2022-2023學年湖南省婁底市新化縣高一年級上冊學期期末數(shù)學試題【含答案】

2022-2023學年湖南省婁底市新化縣高一上學期期末數(shù)學試題一、單選題1．已知集合，全集則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)補集概念求解即可.【詳解】.故選：C2．已知，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【分析】取判斷充分性，根據(jù)不等式的性質(zhì)判斷必要性.【詳解】取，滿足，但不滿足，故“”不是“”的充分條件.若，則，故“”是“”的必要條件.故“”是“”的必要不充分條件.故選:B.3．已知，則（

）A． B． C． D．無法確定【答案】A【分析】作差即可比較大小.【詳解】,故.故選:A.4．（

）A． B． C． D．—【答案】C【分析】結(jié)合誘導公式、兩角和的正弦公式求得正確答案.【詳解】.故選：C5．這三個數(shù)的大小順序是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】分別比較與中間值0和1的大小關系即可得答案.【詳解】解：因為，，，所以，故選：C.6．將函數(shù)的圖象向右平移個單位，所得圖象對應的函數(shù)為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】直接根據(jù)三角函數(shù)的平移得答案.【詳解】函數(shù)的圖象向右平移個單位得到，即故選：C7．給定函數(shù)，用表示中的較大者，記為，例如當時，，則的最小值為（

）A． B．0 C．1 D．4【答案】B【分析】將寫出分段函數(shù)形式，畫出圖象，由圖象可得最小值.【詳解】令，可得，即，解得；令，可得，即，解得或.所以.作出的圖象如圖所示：由圖象可得的最小值為0.故選:B.8．已知函數(shù),若實數(shù),則函數(shù)的零點個數(shù)為(

)A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【分析】根據(jù)分段函數(shù)做出函數(shù)的圖象，運用數(shù)形結(jié)合的思想可求出函數(shù)的零點的個數(shù)，得出選項.【詳解】令，得，根據(jù)分段函數(shù)的解析式，做出函數(shù)的圖象，如下圖所示，因為，由圖象可得出函數(shù)的零點個數(shù)為3個，故選：D.【點睛】本題考查函數(shù)的零點,考查學生分析解決問題的能力,關鍵在于做出函數(shù)的圖象，運用數(shù)形結(jié)合的思想得出零點個數(shù)，屬于中檔題.二、多選題9．命題，．命題q：任意兩個等邊三角形都相似．關于這兩個命題，下列判斷正確的是（

）A．p是真命題 B．，C．q是真命題 D．：存在兩個等邊三角形，它們不相似【答案】BCD【分析】根據(jù)根的判別式可判斷命題的真假，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)判斷命題的真假，從而判斷AC，根據(jù)命題的否定可判斷BD.【詳解】對于方程，,所以，無解，故p是假命題，故A錯誤；，，故B正確；任意兩個等邊三角形都相似，故q是真命題，故C正確；：存在兩個等邊三角形，它們不相似，故D正確.故選:BCD.10．下列運算正確的是（

）A． B．C． D．【答案】AC【分析】直接借助根式的運算法則計算即可.【詳解】對于A，，故A正確；對于B，，故B錯誤；對于C，，故C正確；對于D，，，故D錯誤；故選：AC.11．下列說法不正確的是(

)A．三角形的內(nèi)角是第一象限角或第二象限角B．C．1弧度的角就是長為半徑的弦所對的圓心角D．若，則與的終邊相同【答案】ACD【分析】根據(jù)任意角的基本概念和三角函數(shù)定義即可逐項判斷．【詳解】對于選項A，三角形內(nèi)角范圍是，其中90°不屬于象限角，故A錯誤；對于選項B，大小為2的角終邊在第二象限，故cos2＜0，故B正確；對于選項C，1弧度的角是長為半徑的“弧”所對的圓心角，故C錯誤；對于選項D，若，則α和β的終邊相同或關于y軸對稱，故D錯誤．故選：ACD．12．已知定義在R上的奇函數(shù)，當x∈[0，1]時，，若函數(shù)是偶函數(shù)，則下列結(jié)論正確的有（

）A．的圖象關于對稱 B．C． D．有100個零點【答案】ABD【分析】由題設有、、，即關于對稱且是周期為4的奇函數(shù)，利用周期性求、、，判斷A、B、C；再畫出與的函數(shù)部分圖象，數(shù)形結(jié)合法判斷它們的交點情況判斷D.【詳解】由題設，，即，關于對稱，A正確；又，則，即是周期為4的奇函數(shù)，由，即，，B正確；，，故，C錯誤；綜上，與的函數(shù)部分圖象如下：當，過點，故時與無交點；由圖知：上與有1個交點；上的每個周期內(nèi)與有兩個交點，共有個交點；而與且，即時無交點；當，過點，故時與無交點；由圖知：上與有3個交點；上的每個周期內(nèi)與有兩個交點，共有個交點；而與且，即時無交點；綜上，共有個零點，D正確.故選：ABD三、填空題13．計算_____．【答案】.【詳解】由對數(shù)的運算性質(zhì)可得：，故答案為2.14．已知函數(shù)的定義域是_____________.【答案】【分析】根據(jù)被開方數(shù)非負即可求解.【詳解】函數(shù)的定義域應滿足，解得.故函數(shù)的定義域為.故答案為:.15．已知函數(shù)和的圖象均連續(xù)不斷，若滿足：，均有，則稱區(qū)間為和的“區(qū)間”，則和在上的一個“區(qū)間”為_________．（寫出符合題意的一個區(qū)間即可）【答案】【分析】結(jié)合正弦函數(shù)與余弦函數(shù)在區(qū)間上的正負性，得到答案.【詳解】和的定義域都是，當時，，，滿足“區(qū)間”的定義，故和在區(qū)間上的一個“區(qū)間”可以是．故答案為：16．研究表明，函數(shù)為奇函數(shù)時，函數(shù)的圖象關于點成中心對稱，若函數(shù)的圖象對稱中心為，那么_____【答案】【分析】構(gòu)造奇函數(shù)，即可求得的值，進而求得的值.【詳解】令，則，則由，可得為奇函數(shù)，則函數(shù)的圖象對稱中心為，則故答案為：四、解答題17．（1）知，計算；（2）已知都是銳角，，求的值.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）對原式弦化切后求值即可；（2）由已知及同角三角函數(shù)平方和是1求出，對變形成，再利用兩角差的余弦公式計算.【詳解】解：（1），；（2）且是銳角，，且，，.18．已知冪函數(shù)為偶函數(shù).(1)求冪函數(shù)的解析式；(2)若函數(shù)，根據(jù)定義證明在區(qū)間上單調(diào)遞增.【答案】(1)；(2)見解析.【分析】（1）根據(jù)冪函數(shù)的定義可得，結(jié)合函數(shù)的奇偶性即可求解；（2）由（1）得，設,作差即可證明.【詳解】（1）因為是冪函數(shù)，所以,解得或.當時，為偶函數(shù)，滿足題意；當時，為奇函數(shù)，不滿足題意.故.（2）由（1）得，故.設,則，因為，所以，，所以,所以，即，故在區(qū)間上單調(diào)遞增.19．為了做好新冠疫情防控工作，某學校要求全校各班級每天利用課間操時間對各班教室進行藥熏消毒.現(xiàn)有一種備選藥物，根據(jù)測定，教室內(nèi)每立方米空氣中的藥含量（單位：mg）隨時間（單位：）的變化情況如圖所示，在藥物釋放的過程中與成正比，藥物釋放完畢后，與的函數(shù)關系為（為常數(shù)），其圖象經(jīng)過，根據(jù)圖中提供的信息，解決下面的問題.(1)求從藥物釋放開始，與的函數(shù)關系式；(2)據(jù)測定，當空氣中每立方米的藥物含量降低到mg以下時，才能保證對人身無害，若該校課間操時間為分鐘，據(jù)此判斷，學校能否選用這種藥物用于教室消毒？請說明理由.【答案】(1)；(2)可以，理由見解析.【分析】(1)將圖象上給定點的坐標代入對應的函數(shù)解析式計算作答.(2)利用(1)的結(jié)論結(jié)合題意，列出不等式求解作答.【詳解】（1）依題意，當時，設，因函數(shù)的圖象經(jīng)過點A，即，解得，又當時，，解得，而圖象過點，則，因此，所以與的函數(shù)關系式是.（2）由(1)知，因藥物釋放完畢后有，，則當空氣中每立方米的藥物含量降低到mg以下，有，解得：，因此至少需要36分鐘后才能保證對人身無害，而課間操時間為分鐘，所以學?？梢赃x用這種藥物用于教室消毒.【點睛】思路點睛：涉及實際應用問題，在理解題意的基礎上，找出分散的數(shù)量關系，聯(lián)想與題意有關的數(shù)學知識和方法，將實際問題轉(zhuǎn)化、抽象為數(shù)學問題作答.20．已知函數(shù)的部分圖象如圖所示.(1)求函數(shù)的解析式；(2)設函數(shù)，求使成立的的取值集合.【答案】(1)；(2).【分析】（1）根據(jù)圖象先求出周期可得，再由特殊點可得；（2）由三角恒等變換化簡出，解正弦型三角不等式即可得解.【詳解】（1）由已知得，所以，所以，又因為，所以，因此.（2）因為函數(shù)，，因為，則，所以，故，所以符合條件的的取值集合為.21．設函數(shù)．(1)若不等式的解集，求a，b的值；(2)若，①，，求的最小值，并指出取最小值時a，b的值．②求函數(shù)在區(qū)間上的最小值．【答案】(1)(2)①，時，取最小值2；②當時，的最小值為，當時，的最小值為．【分析】（1）根據(jù)題意可知?1，1是方程的兩根，結(jié)合韋達定理求解；（2）根據(jù)題意得，①利用基本不等式進行處理運算，注意“1”得運用；②分類討論判斷單調(diào)性求解．【詳解】（1）由的解集是知?1，1是方程的兩根，由根與系數(shù)的關系可得解得（2）由得，①，，，當且僅當，即，時取等號，的最小值是2．②由于，得，則，函數(shù)的圖象對稱軸為，當時，在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的最小值為，當時，在區(qū)間上單調(diào)遞減，則的最小值為．22．歐拉對函數(shù)的發(fā)展做出了巨大貢獻，除特殊符號、概念名稱的界定外，歐拉還基于初等函數(shù)研究了抽象函數(shù)的性質(zhì)，例如，歐拉引入倒函數(shù)的定義：對于函數(shù)，如果對于其定義域中任意給定的實數(shù)，都有，并且，就稱函數(shù)為倒函數(shù).(1)已知，，判斷和是不是倒函數(shù)，并說明理由；(2)若是上的倒函數(shù)，當時，，方程是否有正整數(shù)解？并說明理由；(3)若是上的倒函數(shù)，其函數(shù)值恒大于，且在上是嚴格增函數(shù).記，證明：是的充要條件.【答案】(1)是倒函數(shù)，不是倒函數(shù)，理由見解析(2)沒有，理由見解析(3)證明見解析【分析】（1）利用“倒函數(shù)”的定義判斷函數(shù)、，可得出結(jié)論；（2）分析可知當時，，則方程若存在整數(shù)解，則，構(gòu)造函數(shù)，利用零點存在定理可得出結(jié)論；（3）推導出函數(shù)為上的奇偶性、單調(diào)性，再利用函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性結(jié)合充分條件、必要條件的定義證明可得結(jié)論.【詳解】（1）解：函數(shù)的定義域為，對任意的，，所以，函數(shù)為倒函數(shù)，函數(shù)的定義域為，該函數(shù)的定義域不關于原點對稱，故函數(shù)不是倒函數(shù).（2）解：當時，則，由倒函數(shù)的定義可得，由滿足倒函數(shù)的定義，當時，函數(shù)、均為增函數(shù)，故函數(shù)在上為增函數(shù)，故當時，，當時，，若函數(shù)有整數(shù)解，則，設，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，因為，，所以，存在，使得，即，故方程無整數(shù)解.（3）解：因為函數(shù)是上的倒函數(shù)，其函數(shù)值恒大于，且在上是嚴格增函數(shù)，所以，，任取、且，則，所以，，，所以，，所以，函數(shù)為上的增函數(shù)，因為，故函數(shù)為上的奇函數(shù).當時，即，則，所以，，即“”“”