小學(xué)數(shù)學(xué)概率的啟蒙教育

小學(xué)數(shù)學(xué)“概率”的啟蒙教育

在小學(xué)階段，學(xué)生將認(rèn)識確定現(xiàn)象和不確定現(xiàn)象，初步體會概率的含義，學(xué)習(xí)一些計(jì)算簡單事件可能性的方法；體驗(yàn)概率在日常生活中的作用，初步嘗試運(yùn)用所學(xué)知識解決簡單的實(shí)際問題，逐步學(xué)習(xí)以隨機(jī)的觀點(diǎn)看待某些現(xiàn)象。一、初步體驗(yàn)有些事件的發(fā)生是確定的，有些則是不確定的通過實(shí)際例子，讓學(xué)生體會客觀世界不但存在著確定事件，也存在著不確定事件，并能用“可能”、“不可能”、“一定”等詞語來描述和表達(dá)。讓學(xué)生認(rèn)識到對于某一客觀事件來說，其發(fā)生的可能性與個(gè)人的愿望無關(guān)。例1：左面盒子里放8個(gè)紅棋子，右面盒子里放2個(gè)紅棋子、2個(gè)藍(lán)棋子、2個(gè)綠棋子和2個(gè)黃棋子。（人教版義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書三年級上冊第105頁）在這一部分內(nèi)容的教學(xué)中，要注意幾點(diǎn)：(1)在比較的基礎(chǔ)上鑒別事件發(fā)生的可能性。如例題所示，左面盒子里都是紅棋子，那么一定能摸出紅棋子，不可能摸出綠棋子。右面盒子里有綠棋子，才可能摸出綠棋子。(2)不人為編造不可能發(fā)生的事件。如“太陽有可能從西邊升起”，“我從出生到現(xiàn)在沒吃過一點(diǎn)東西”，這都是不可能事件，是人為編造的偽命題。(3)教師正確引導(dǎo)學(xué)生的舉例。如有的教師讓學(xué)生用“一定”、“不可能”和“可能”說一句話，學(xué)生有的說，哥哥的歲數(shù)一定比弟弟大。有的說，妹妹的歲數(shù)不可能比姐姐大。有的說，亮亮的歲數(shù)可能比妞妞大。這些話屬于生活常識，不屬于概率論的研究范疇。兒童會聯(lián)想到自己的生活經(jīng)驗(yàn)，是很正常的。教師可以從數(shù)學(xué)的角度提出問題：“想一想哪些事情是一定會發(fā)生的？哪些事情不可能發(fā)生？哪些事件可能發(fā)生？”不要簡單地期望學(xué)生用造句來理解事件發(fā)生的偶然性與必然性。最好能聯(lián)系數(shù)學(xué)知識舉例：“一位數(shù)乘三位數(shù)的積不可能是五位數(shù)，可能是三位數(shù)或四位數(shù)”，“單數(shù)不可能等于雙數(shù)”（張奠宙：小學(xué)數(shù)學(xué)教材中概率統(tǒng)計(jì)內(nèi)容述評）。二、知道事件發(fā)生的可能性是有大有小的，對一些簡單事件發(fā)生的可能性作出描述，并和同伴交換想法在研究隨機(jī)事件發(fā)生的可能性大小的初期，只要求學(xué)生能夠說出有幾種可能，并能用“可能性比較大”、“可能性比較小”、“可能性相同”等詞語來描述隨機(jī)事件發(fā)生的可能性。例2：盒子里有4個(gè)紅棋子和1個(gè)綠棋子。（人教版義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書三年級上冊第106頁）這是一道需要通過概率實(shí)驗(yàn)解答的例題。概率實(shí)驗(yàn)有兩個(gè)顯著特點(diǎn)，一個(gè)是實(shí)驗(yàn)結(jié)果的不確定性，一個(gè)是大量重復(fù)實(shí)驗(yàn)時(shí)的穩(wěn)定性。在課堂教學(xué)中，由于時(shí)間的限制，實(shí)驗(yàn)結(jié)果的不確定性比較突出，在課堂教學(xué)中解決這個(gè)問題，要注意以下幾點(diǎn)：(1)運(yùn)用概率的基本模式。(2)培養(yǎng)概率直覺。在做實(shí)驗(yàn)之前先猜測，然后進(jìn)行試驗(yàn)，幫助學(xué)生逐步建立正確的概率直覺。(3)規(guī)范實(shí)驗(yàn)操作。在摸棋子實(shí)驗(yàn)中，學(xué)生往往希望拿出自己喜歡的棋子，或者拿出與別的同學(xué)不一樣的棋子。出于好奇，偷看的現(xiàn)象時(shí)有發(fā)生。要保證實(shí)驗(yàn)的隨機(jī)性，老師首先要使棋子除顏色外，其余的條件完全相同（包括大小、質(zhì)量、光潔度等），同時(shí)明確實(shí)驗(yàn)要求，再通過小組演示使學(xué)生感受到什么是搖勻、不許看、任意摸，這是這類實(shí)驗(yàn)中研究隨機(jī)事件、保證公平的前提條件，從而確保摸棋子數(shù)據(jù)的真實(shí)、可靠。(4)數(shù)據(jù)處理到位。采用先分組統(tǒng)計(jì)，再全班統(tǒng)計(jì)的方式整理數(shù)據(jù)。①小組記錄表②班級記錄表如果全班有40人，每4人一小組，每人摸5次，結(jié)果每個(gè)小組摸20次，這樣一共摸200次，基本上可以保證實(shí)驗(yàn)結(jié)果的穩(wěn)定性，從而發(fā)現(xiàn)隨機(jī)事件的統(tǒng)計(jì)規(guī)律。通過這樣的過程讓學(xué)生體會“可能性”，更符合概率的思想。(5)深入分析數(shù)據(jù)。在數(shù)據(jù)分析的過程中，不僅關(guān)注最后的結(jié)果，更應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生觀察數(shù)據(jù)的變化規(guī)律在合計(jì)中，紅棋子出現(xiàn)的次數(shù)大約是160次左右。在數(shù)據(jù)分析中，結(jié)合各小組的試驗(yàn)數(shù)據(jù)，可以提出如下問題引導(dǎo)學(xué)生討論：①觀察每個(gè)小組20次試驗(yàn)的結(jié)果，有什么發(fā)現(xiàn)？（哪些小組摸出紅棋子的次數(shù)比綠棋子多，哪些小組摸出紅棋子的次數(shù)和綠棋子的次數(shù)同樣多，有沒有摸出紅棋子的次數(shù)比綠棋子少的小組。）②為什么各個(gè)小組摸到紅棋子的次數(shù)不完全一樣？（盒子里既有紅棋子也有綠棋子，每次摸棋子時(shí)，可能摸到紅棋子，也可能摸到綠棋子。）③再觀察全班10個(gè)組的數(shù)據(jù)，又發(fā)現(xiàn)了什么？為什么各個(gè)小組（或多數(shù)小組）摸到紅棋子的次數(shù)都比綠棋子多？（因?yàn)楹凶永锛t棋子的個(gè)數(shù)比綠棋子多。）④最后看全班200次試驗(yàn)的結(jié)果，又發(fā)現(xiàn)了什么？（摸到紅棋子的次數(shù)比綠棋子多，摸到紅棋子的可能性比較大。）這要逐步觀察思考，使學(xué)生體會到：各個(gè)小組實(shí)驗(yàn)的結(jié)果可能相同，也可能不同，這完全是正常的。實(shí)驗(yàn)結(jié)果的共同規(guī)律是：摸到紅棋子的次數(shù)多，摸到綠棋子的次數(shù)少。從而得到：只摸出一個(gè)棋子，可能是紅色的，也可能是綠色的，摸到紅棋子的可能性比較大。通過對實(shí)驗(yàn)結(jié)果的觀察，就可以發(fā)現(xiàn)：隨著數(shù)據(jù)量的增加，出現(xiàn)偏差較大的現(xiàn)象會逐步減少。（根據(jù)現(xiàn)行高中教材“二次分布的計(jì)算公式”，每一小組共摸20次，用函數(shù)計(jì)算器計(jì)算出的結(jié)果是出現(xiàn)紅棋子的次數(shù)小于或等于10次的概率是0.259%，即如果有386個(gè)小組進(jìn)行類似的實(shí)驗(yàn)大約有1個(gè)小組的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)可能出現(xiàn)這樣的偏差。另外20次小組實(shí)驗(yàn)出現(xiàn)全部是紅棋子的概率是1.15%，就是說87個(gè)小組進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，大約有1個(gè)小組的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)會出現(xiàn)這樣的偏差。這兩種偏差是小概率事件，通常不會出現(xiàn)。）例3：盒子里有7個(gè)紅棋子、4個(gè)藍(lán)棋子和1個(gè)綠棋子。（人教版義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書三年級上冊第107頁）顯然，教材安排這道例題的目的是在前面例題的基礎(chǔ)上，讓學(xué)生進(jìn)行合理猜測：摸出一個(gè)棋子，可能是紅色、藍(lán)色或綠色。摸出紅棋子的可能性最大，摸出綠棋子的可能性最小。這道題不適合進(jìn)行摸棋子實(shí)驗(yàn)。這是由于摸到紅棋子與摸到其他棋子數(shù)量上的差異比較小，在摸棋子實(shí)驗(yàn)中，如果摸的次數(shù)比較少的話，出現(xiàn)偏差的可能性就比較大。通過計(jì)算，在20次的試驗(yàn)中，這道題摸出紅棋子的次數(shù)小于或等于10的概率是：0.296。這就是說，如果有10個(gè)小組進(jìn)行同樣的摸20次棋子的實(shí)驗(yàn)，大約有3個(gè)小組摸到紅棋子的可能性少于11次。這對于初學(xué)概率的三年級學(xué)生來說，是很難正確理解的。許多教師在教學(xué)這部分內(nèi)容時(shí)常常安排擲硬幣的實(shí)驗(yàn)，或其他概率值是的實(shí)驗(yàn)。通過這樣的實(shí)驗(yàn)，讓學(xué)生理解“可能性相等”的概念。下面是一枚硬幣擲10次的概率分布情況：從上表可以看出：(1)擲的次數(shù)越多，概率值越分散，極大值越小，但概率值之和是1。(2)在擲硬幣的實(shí)驗(yàn)中，概率分布是有規(guī)律的。中間的概率值最大，兩端的概率值最小，呈現(xiàn)對稱分布（正態(tài)分布）。(3)較大的概率值集中在中間部位。如，在一枚硬幣擲10次的實(shí)驗(yàn)中，有11種可能，正面朝上出現(xiàn)4次、5次、6次的概率值之和是65.63%。說明擲的次數(shù)越多，正面朝上的次數(shù)越接近擲的次數(shù)的，但正好是一半的可能性就越少。因此，看可能性是否相等，關(guān)鍵是看正面朝上的變化趨勢，而不能只看絕對數(shù)值。由于課堂教學(xué)時(shí)間有限，這種用頻率驗(yàn)證概率的實(shí)驗(yàn)不提倡