淺談數(shù)形結合在初中數(shù)學中的應用 論文

淺談數(shù)形結合在初中數(shù)學中的應用【內容摘要】數(shù)學是研究數(shù)量關系的科學，是研究空間形式的科學。數(shù)與形之間是有聯(lián)系的，并且這種聯(lián)系叫做數(shù)形結合。數(shù)形結合的應用作為一種數(shù)學思想和方法，有三種形態(tài)，但初中數(shù)學中數(shù)學結合的應用大致可分為以下兩種形態(tài)：1、借助數(shù)的精確性，闡明形的某些屬性，即“以數(shù)解形”；2.借助形的幾何直觀性，闡明數(shù)的某種關系，也就是“以形助數(shù)”。《初中數(shù)學》從七年級第一章有理數(shù)的第二節(jié)數(shù)軸、相反數(shù)、絕對值的大小到第三節(jié)有理數(shù)的大小，分別開啟了初中數(shù)學數(shù)形結合思想的學習與運用，滲透到初中數(shù)學教學的各個階段。在初中三年的數(shù)學教學中，數(shù)學結合思想方法的學習與運用，對初中生在大量解決代數(shù)、幾何等數(shù)學問題中起到了決定性的作用。這不僅使初中學生了解和明白了什么是數(shù)形結合思想方法，而且使初中學生體驗到了數(shù)形結合思想方法解題的實用性和實效性。初中學生經歷了數(shù)形結合思想方法的運用，領略了“數(shù)”與“形”的和諧統(tǒng)一，逐步形成了運用數(shù)形結合思想的自覺性。數(shù)形結合思想方法，不僅限于初中數(shù)學向數(shù)學學科無限研究學習的延伸?！娟P鍵詞】數(shù)形結合；初中數(shù)學；教學；應用；效果數(shù)形結合主要指數(shù)和形態(tài)的一一對應關系。它將抽象的數(shù)學語言、數(shù)量關系與直觀的幾何圖形、位置關系等對應相結合，呈現(xiàn)出以數(shù)解形或以形助數(shù)的方式，為初中生分析問題、解決問題開辟了一物兩用的新視角；還將初中學生的抽象思維與形象思維相結合，引導他們把復雜問題簡單化，把抽象問題具體化，達到優(yōu)化解題方法的目的和效果。因此，初中生可以在研究圖形時，利用其代數(shù)性質，尋找解題要點；初中生在遇到一些代數(shù)問題時，可以利用自己的幾何圖形，尋求解題的切入點。所以教師在初中數(shù)學教學過程中，會善于通過不同的方式和變式，培養(yǎng)初中學生的“數(shù)形結合思想”，增強他們的思維能力和解決問題的能力。 初中學生如何在數(shù)學解題過程中，運用數(shù)形結合的思路解題？我從以下兩個角度來分析歸納。從“以數(shù)解形”的角度解決幾何問題（1）采用數(shù)軸、平面坐標系等工具把幾何問題代數(shù)化；（2）用距離、面積等事物的幾何量求解幾何問題，如：用勾股定理和平面直角坐標系探求平面直角坐標系中兩點之間的距離公式，用勾股定理反命題證明直角，用等面積法求解等等。例1已知在平面直角坐標系中任意兩點Ax1,y1和Bx2,y2之間的距離公式為AB=x1x2y1y2.利用此公式計算原點至直線yx25的距離。【解析】本題考查的是從幾何問題的點到直線的距離。方法一：先在平面直角坐標系直接畫出一條直線yx25的圖像，然后過原點作直線yx25的距離，最后構造直角三角形等方法，求點到直線的距離；解決起來費時易錯。方法二：先用平面直角坐標系中兩點距離表示原點與直線yx25上任意一點的距離；再用函數(shù)關系式求出表達式中的最小值就可以了。比較以上兩種方法，顯然采用方法二以數(shù)解形的方法更高效、更快速地解決這一幾何問題。點M解：設點Mx2,x5在直線yx25上任意一點，則原點O與x2,x5的距離為OM=x02x505x25所以原點到直線yx25的距離=OM最小值=5.【釋義】把幾何問題中點到直線的距離放在平面直角坐標系中，使幾何問題代數(shù)化，這樣解決起來效率更高，也更準確，同時避免添加輔助線(這是平面幾何的一大難題)，從而實現(xiàn)幾何問題的化繁為簡。（例2已知ABC的三條邊長分別為mn2、2mn和mn2m、n為正整數(shù)，且m＞n），求ABC的面積（用含m、n的代數(shù)式表示）.【解析】本題考查的是已知三角形三邊求三角形的區(qū)域。方法一：利用“海倫公式”進行運算?！昂惞健保喝切蔚娜龡l邊長分別為a，b，c，其中p為三角形周長的一半，則三角形的面積s=ppapbpc；方法二：初中學過勾股定理逆定理的學生計算發(fā)現(xiàn)：這個三角形的三邊長滿足勾股定理逆定理的關系，我們判斷這個三角形是直角三角形的同時并能指出兩個直角邊，再用直角三角形的面積公式算出這個三角形的面積。解：m2n2mn2=2m22n2=2mn為直角邊，故ABC是直角三角形且mn2和2mn故ABC的面積=1?m2n2?2mnmnm2n22.【釋義】勾股定理的逆定理證明，三角形是直角三角形“以數(shù)解形”的一種較為常用的方法。由此也可以引申，證明一個角是直角(垂直關系)。 例3如圖所示，由5個邊長為1的小方塊連在一起組成的圖形，請你將其切成無重疊、無空隙的大方塊。果單【分析】如從“形”的角度思考，需要多試驗找出解決方案。但如果從“數(shù)”的角度來計算，就可以通過“面積法”來推算出大方塊的邊長應該是5。接下來我們只要找出圖中邊長為5的線段，以此為一邊做正方形(如右圖所示)就可以了。由此可以設計出各種剪裁的方式。 【釋義】此題借助“面積法”將代數(shù)問題轉換成幾何問題，其實是“數(shù)形結合”的具體表現(xiàn)形式。二、從“以形助數(shù)”角度運用“數(shù)形結合”解決問題幾何圖形具有直觀易懂的特點，師生在運用“數(shù)形結合”時更傾向于“以形助數(shù)”，用幾何圖形解決代數(shù)問題?！耙孕沃鷶?shù)”經常產生“出奇制勝”的效果。初中數(shù)學師生探究數(shù)軸上的點和實數(shù)一一對應，平面直角坐標系上的點和有序的一對實數(shù)一一對應；直觀地將初中數(shù)學幾何轉化為代數(shù)，主要概括以下幾個方面：顯然，當且僅當點P與點B重合時，y最小值=5.即當且僅當=2時，yx最小值=5. 【釋義】函數(shù)問題幾何直觀化，絕對值和的最值問題轉化為三條線段和的問題。代數(shù)問題用幾何直觀化的方法高效解答。

例5（2021年安徽省初中學業(yè)水平考試19題）已知正比例函數(shù)ykxk0與反比例函數(shù)y6的圖象都經過點Am2,.x（1）求k,m的值；（2）在圖坐標系中畫出正比例函數(shù)ykx的繪圖，并根據(jù)繪圖寫出正比例函數(shù)的值大于反比例函數(shù)值時x的取值范圍是多少?！痉治觥繂栴}（1）采用函數(shù)表達式（代數(shù)）及函數(shù)圖象（幾何）之間的聯(lián)系求出k,m的值；問題（2）中正比例函數(shù)圖象和反比例函數(shù)圖象交點及由圖象反應出的函數(shù)性質解不等式kx﹥6.x解：（1）因為正比例函數(shù)ykxk0與反比例函數(shù)y6的圖象x都經過點A，所以mk2，解得km2.m2,623m3（2）結合圖象得：2x﹥6的解集為-3＜x＜0或x＞3.3x【釋義】一元方程問題可以轉化為函數(shù)圖象直觀題來求解。該題采用正比例函數(shù)圖象和反比例函數(shù)圖象的幾何直觀圖直接解出不等式2x﹥6的解集，突出了“以形解數(shù)”的解題效率高。3x例6（2021年安徽省初中學業(yè)水平考試22題）已知拋物線yax22x1a0對稱軸為直線x=1.（1）求a的值；（2）若點Mx1,y1，Nx2,y2都在此拋物線上，且-1＜1x＜0，1（3）＜2x＜2，比較1y與2y的大小，并說明理由。設直線ymm0和拋物線yax22x1交于點A和點B，與拋物線y3x1交于點C和點D,求線段AB與線段CD的長度比例。【解析】(1)由二次函數(shù)解析式y(tǒng)ax2bxca0與其圖象的關系探究其性質中的對稱軸直線xb可以求出本題的a12a(2)由(1)得拋物線表達式y(tǒng)x22x1直觀地解第(2)問，也可直接帶入表達式中比較1y與2y大小；（3）結合圖象直觀列出方程組

yymx1求出點A,B的坐標求出x22線段AB長的表達式，再類比以上列出方程組

yym1求出點C,D3x的坐標求出線段CD長的表達式，最后求AB:CD。21a解：（1）由2aa=1,得=1；（2）由（1）得拋物線表達式為yx22x1得拋物線m；yx22x1。如圖所示：1y＞2ym1故AB=2（3）由

yym1得x1m1，x2x22xy1my2m同理求得CD=23m；所以AB:CD=2m：23m=3.33【釋義】函數(shù)與方程在初中數(shù)學中起著至關重要的作用，函數(shù)的解析式(代數(shù))與圖象的對應關系(幾何直觀)滲透到數(shù)形結合的重要應用之一，使用函數(shù)圖像可以求函數(shù)表達式，比較函數(shù)值大小等等。（2）幾何圖形演示代數(shù)公式比如：①采用正方形的分割圖表示完全平方公式②同一個圓弧所對應的圓周角與圓心角的聯(lián)系（如下圖所示） 在任何情況之下都證明，同一個圓弧所對應的圓周角是圓心角的1/2。 （3）利用統(tǒng)計圖整理分析數(shù)據(jù)等(數(shù)形結合在概率與統(tǒng)計題中的應用)。例7（2022年安徽省初中學業(yè)水平考試21題）第24屆冬奧會于2022年2月20日在北京勝利閉幕。某學校七、八年級各有500名初中生，為了解這兩個年級的初中生對本屆冬奧會的關注程度，現(xiàn)從這兩個年級中各隨機抽取N名初中生進行冬奧會了解知識測試，將測試數(shù)據(jù)按以下6組(分數(shù)用x表示)進行整理歸結：A:70≤x＜75,B:75≤x＜80,C:80≤x＜85,D:85≤x＜90,E:90≤x＜95,F:95≤x＜100, 并且描繪出了七年級測試成績頻數(shù)直方圖和八年級測試成績扇形統(tǒng)計圖，描繪信息如下圖：現(xiàn)已知八年級測試成績D組的全部數(shù)據(jù)分部如下： 86,85,87,86,85,89,88

請根據(jù)以上信息，完成下列問題：（1）n=;a=； （2）八年級測試成績的中位數(shù)是；

（3）如果測試成績結果顯示等于或高于90分，則認定該初中生對冬奧會關注了解程度很高。請估計一下該校七、八年級初中生總共有多少人對冬奧會的關注度高，并說明理由?！踞屃x】(1)樣本容量n=八年級D組頻數(shù)7÷頻率35%（扇形統(tǒng)計圖）；七年級六組頻數(shù)之和=2+a+6+a+3+1=n（2）根據(jù)一組數(shù)的中位數(shù)定義結合題中統(tǒng)計圖提供的數(shù)據(jù)信息計算出八年級測試成績的中位數(shù)=（86+87）÷2=86.5分；（3）統(tǒng)計圖提供的數(shù)據(jù)信息分別計算出樣本中七、八年級測試成績不低于90分（E、F兩組）的概率，再計算出各年級總人數(shù)×各測試成績不低于90分的概率的和。解：（1）n=20;a=4； (2)∵n=20∴八年級測試成績的中位數(shù)為這20個數(shù)據(jù)從小到大排序后的第10、11個數(shù)據(jù)的平均數(shù);

又∵八年級測試成績扇形統(tǒng)計圖可知A、B、C三組共計

（5%+5%+20%）×20=6，八年級測試成績D組的全部數(shù)據(jù)排序后的順序依次為85,85,86,86,87,88，89

∴八年級測試成績的中位數(shù)=（86+87）÷2=86.5分

（3）七年級測試成績不低于90分的概率=(3+1)÷20=20%八年級測試成績不低于90分的概率=（1-5%-5%-20%-35%）=35%，估算出該校七、八年級對冬奧會關注程度高的初中生一共=500×20%+500×35%=275（人）【釋義】利用統(tǒng)計表和統(tǒng)計圖對收集到的數(shù)據(jù)信息進行直觀的整理，幫助我們分析和運用數(shù)據(jù)。概率和統(tǒng)計是數(shù)形結合的具體運用方法之一。經過數(shù)形結合思想