公路設(shè)計(jì)合理性分析和改進(jìn)

數(shù)學(xué)建模課程作業(yè)小組成員名單姓名學(xué)號(hào)學(xué)院專業(yè)常永樂(lè)1500350機(jī)械工程與自動(dòng)化機(jī)械設(shè)計(jì)及理論范云飛1500357機(jī)械工程與自動(dòng)化機(jī)械設(shè)計(jì)及理論房家驥1500359機(jī)械工程與自動(dòng)化機(jī)械設(shè)計(jì)及理論選擇題目：√A B公路設(shè)計(jì)合理性分析和改進(jìn)方案一摘要本論文通過(guò)上網(wǎng)查找事故發(fā)生地的實(shí)際情況，結(jié)合公路設(shè)計(jì)的標(biāo)準(zhǔn)要求，忽略次要因素，對(duì)于問(wèn)題一，建立了基于分析汽車在彎道內(nèi)側(cè)滑的條件的公路合理性模型，計(jì)算出汽車在彎道內(nèi)行駛最容易發(fā)生事故的點(diǎn)和進(jìn)入彎道而不發(fā)生事故的最大速度。對(duì)于問(wèn)題二，設(shè)計(jì)緩和曲線，建立了緩和曲線的曲線方程模型，使汽車通過(guò)緩和曲線能從直道平滑的過(guò)渡到彎道。對(duì)于問(wèn)題一，首先，通過(guò)在地圖上取點(diǎn)，描繪出事故多發(fā)地彎道的曲線形狀，將屏幕坐標(biāo)點(diǎn)轉(zhuǎn)化為實(shí)際道路情況坐標(biāo)點(diǎn)。其次，對(duì)得到的反映實(shí)際路況的一系列坐標(biāo)點(diǎn)進(jìn)行Newton插值處理，并將處理后的點(diǎn)擬合成一個(gè)多項(xiàng)式函數(shù)。再次，通過(guò)分析汽車入彎后行駛時(shí)的情況得出發(fā)生側(cè)滑的條件。最后，考慮汽車在彎道上每一點(diǎn)行駛的滾動(dòng)摩擦力，結(jié)合已經(jīng)分析得出的側(cè)滑條件，計(jì)算得出在彎道上最容易發(fā)生事故的點(diǎn)的坐標(biāo)，并求出該點(diǎn)對(duì)應(yīng)的進(jìn)入彎道的初始速度的值，這個(gè)值就是能順利過(guò)彎而不發(fā)生事故的速度最大值。通過(guò)計(jì)算得出進(jìn)入彎道的最大速度為17.2839m/s轉(zhuǎn)換為km/h為62.2221km/h即超過(guò)此速度后汽車在彎道內(nèi)一定會(huì)發(fā)生事故。對(duì)于問(wèn)題二，由于不要求成本最低，則假設(shè)不能改變S型彎道的形狀，依據(jù)問(wèn)題一的結(jié)論，在不改變彎道形狀的前提下，通過(guò)設(shè)計(jì)緩和曲線使汽車安全過(guò)彎，緩和曲線作用主要有兩點(diǎn)，一是提示司機(jī)前方有彎，需減速至60km/h以下，二是使汽車車頭能平滑的轉(zhuǎn)動(dòng)至彎道切線方向，而不因?yàn)檐囶^轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)快使汽車失去控制?；匦€是常用的道路平曲線緩和曲線線形，筆者將其加以推廣成回旋曲線族，從道路行駛力學(xué)特性出發(fā)，討論了它在道路平曲線的緩和曲線設(shè)計(jì)中的應(yīng)用，論證了回旋曲線族適合道路線形設(shè)計(jì)恰當(dāng)?shù)貞?yīng)用回旋曲線可解決道路線形設(shè)計(jì)中的許多難題，對(duì)各種地形適應(yīng)性好，與常用的回旋線有較好的統(tǒng)一性，可作為一種新的緩和曲線設(shè)計(jì)方法應(yīng)用于道路線形設(shè)計(jì)中[1]。緩和曲線的設(shè)計(jì)通過(guò)對(duì)緩和2曲線的要求推導(dǎo)出霍爾布魯克螺線（回旋線）模型 RjA，根據(jù)要求改變道路lj成本最低，確定處緩和曲線的最小長(zhǎng)度，通過(guò)最小長(zhǎng)度確定回旋線的參數(shù)。求解緩和曲線方程式，通過(guò)轉(zhuǎn)化，近似，將此問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求解一個(gè)帶初值的二階微分方程的問(wèn)題，微分方程無(wú)法求得解析解，因此采用計(jì)算出其在設(shè)置緩和曲線范圍內(nèi)的一系列數(shù)值解，之后通過(guò)最小二乘法對(duì)緩和曲線方程做擬合的方法近似計(jì)算緩和曲線方程。論文中圖七為緩和曲線與彎道連接的示意圖。關(guān)鍵詞：Newton插值，最小二乘法擬合，滾動(dòng)摩擦力，緩和曲線，霍爾布魯克螺線（回旋線），微分方程數(shù)值解二 問(wèn)題重述廣元市利州區(qū)寶輪鎮(zhèn)街道上，于2010年5月25日發(fā)生一起交通事故。一輛拉磚的貨車一頭撞進(jìn)路邊居民房?jī)?nèi)，司機(jī)受傷。該段道路的上段是近2公里的長(zhǎng)坡，到出事路段時(shí)，則是一段S形的急彎陡坡路?！斑@一段公路至少都有40多米寬，是寶輪的形象公路。”張建東來(lái)到寶白公路另一端說(shuō)，他家門口的公路，卻因?yàn)榻艘蛔吧秸浯髲B”，將整個(gè)道路差不多占去一半，該大廈同時(shí)將往寶輪方向行駛的車輛的視線完全擋住?！拔覀冋J(rèn)為這段路設(shè)計(jì)上有問(wèn)題，以前這里就是一塊平地，本來(lái)可以建成沒(méi)有坡的道路，現(xiàn)在卻是原沒(méi)有坡的拱了個(gè)坡，沒(méi)有彎的造了個(gè)彎。”附近居民說(shuō)，行駛至該路段的駕駛員被前方十字路口的建筑擋住視線，駛過(guò)此路段的車輛車速都很快，一下坡就遇到紅綠燈，根本來(lái)不及剎車。汽車行駛經(jīng)過(guò)下坡路段后，車速達(dá)到較大的值，在不知道前方有彎道和紅綠燈的情況下，不會(huì)減速剎車。遇到紅綠燈后剎車已經(jīng)來(lái)不及了。在題目給定的條件下，同學(xué)們可自行設(shè)計(jì)符合題意的情景，建立你的數(shù)學(xué)模型：說(shuō)明道路設(shè)計(jì)是否合理；如道路設(shè)計(jì)不合理需要如何修改設(shè)計(jì)在最小成本的情況下得到最大改善。三 模型假設(shè)汽車在下坡時(shí)不知道前方有急彎。汽車在不知情情況下沿下坡路段一直加速。當(dāng)汽車發(fā)現(xiàn)紅綠燈時(shí)立即剎車減速，并開(kāi)始過(guò)彎。汽車進(jìn)入彎道為平滑入彎，即是沿彎道的切線方向進(jìn)入彎道的。汽車的轉(zhuǎn)彎半徑約等于彎道的曲率半徑。假設(shè)汽車發(fā)生的事故只有側(cè)滑而沒(méi)有側(cè)翻的情況，即當(dāng)失去平衡時(shí)汽車四輪沒(méi)有離開(kāi)地面。認(rèn)為只要側(cè)滑就為發(fā)生事故。四 問(wèn)題分析通過(guò)查閱地圖中當(dāng)?shù)氐匦蔚膶?shí)際情況的衛(wèi)星視圖可清楚的看到事故發(fā)生路段的地形情況，事故所發(fā)生路段為一個(gè)直道下坡之后接一個(gè)S型彎道如下圖所示：1[2]。山珍大廈直道

S型彎道圖片一：事故發(fā)生地地形示意圖結(jié)合地圖中的地形和照片中的路口實(shí)際情況，分析事故發(fā)生的原因可以推斷，汽車行駛經(jīng)過(guò)下坡路段后，車速達(dá)到較大的值，在不知道前方有彎道和紅綠燈的情況下，不會(huì)減速剎車。遇到紅綠燈后汽車剎車過(guò)彎，但已經(jīng)來(lái)不及將速度降低到正常過(guò)彎的情況。由于離心力的作用，導(dǎo)致汽車失去控制，發(fā)生事故。分析道路設(shè)計(jì)是否合理即可轉(zhuǎn)化為分析汽車以一定速度從坡道上行駛下來(lái)后不發(fā)生事故的最大速度的問(wèn)題。改良公路線型使汽車能平滑入彎第一步，通過(guò)取點(diǎn)將入彎段得公路彎道曲線離散化，用Newton插值對(duì)所取離散的點(diǎn)進(jìn)行插值處理，之后用最小二乘法擬合出在入彎處得公路曲線的函數(shù)。第二步，結(jié)合第一步所得的函數(shù)，計(jì)算在入彎處的函數(shù)在此點(diǎn)的曲率半徑，結(jié)合牛頓力學(xué)進(jìn)行分析，得出實(shí)際允許的最大速度，與實(shí)際情況比較得出公路設(shè)計(jì)是否合理第三步，以汽車在彎道路段不發(fā)生側(cè)滑為原則，對(duì)以上兩步求得的結(jié)果進(jìn)行優(yōu)化分析，結(jié)合公路設(shè)計(jì)中的緩和曲線，盡可能大的增大最大速度，權(quán)衡成本與速度最優(yōu)得出結(jié)論。符號(hào)(xi,yi)y f(x)(xs,ys)x [xs,xe]Rs，Rimvs，viesi

五 符號(hào)說(shuō)明含義在地圖上取得一系列的點(diǎn)汽車行駛到彎道處得曲線方程汽車駛?cè)霃澋罆r(shí)，彎道的起點(diǎn)彎道在xs處開(kāi)始到xe處結(jié)束，汽車入彎時(shí)在xs的曲率半徑，在彎道中行駛在xi處得曲率半徑汽車的質(zhì)量汽車入彎時(shí)的速度，汽車行駛到(xi,yi)時(shí)的速度汽車的滾動(dòng)摩擦系數(shù)汽車的橫向附著力系數(shù)路面超高，即公路平面與水平面夾角剎車后滑行，從剎車點(diǎn)到 (xi,yi)的路程。2Y F(x)x0ljv0'aLkRj

緩和曲線的方程。緩和曲線的起始點(diǎn)。xj點(diǎn)處距開(kāi)始x0處距離。緩和曲線段行駛的平均速度。緩和曲線上行駛的離心加速度變化率為a'緩和曲線的總長(zhǎng)度。直線段得斜率，即入彎點(diǎn)的彎道斜率緩和曲線上點(diǎn)(xj,yj)處得曲率半徑六 模型建立6.1原始數(shù)據(jù)的取得和處理6.1.1對(duì)所取的點(diǎn)進(jìn)行Newton插值用地圖中的點(diǎn)在屏幕上的坐標(biāo)得到在題目描述路段的道路曲線上的點(diǎn)的坐標(biāo)并將通過(guò)比例尺轉(zhuǎn)化為橫縱坐標(biāo)都為m的點(diǎn)設(shè)為(xi,yi)。以水平東西方向?yàn)閤軸，以水平南北方向?yàn)閥軸建立直角坐標(biāo)系，。在(xi,yi)中對(duì)事故發(fā)生路段著重取點(diǎn)增大取點(diǎn)的密集程度，提高準(zhǔn)確性。對(duì)取得的一組點(diǎn)(xi,yi)中的事故發(fā)生路段的點(diǎn)設(shè)為x[xs,xe]，設(shè)其中有若干組點(diǎn)進(jìn)行Newton插值，得到更加密集的一組點(diǎn)，使曲線更加平滑。6.1.2最小二乘法擬合由于Newton插值得到的插值多項(xiàng)式一階可導(dǎo)但二階不一定可導(dǎo)，而求曲線的曲率時(shí)必須用到函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)值，因此，對(duì)Newton求得的更密集的點(diǎn)用最小二乘法進(jìn)行擬合，擬合成一個(gè)多項(xiàng)式函數(shù)，設(shè)用最小二乘法擬合求得彎道曲線的方程為y f(x)，(x [xs,xe])并求得汽車在(xs,ys)處入彎。6.2公路彎道設(shè)計(jì)合理性分析公路設(shè)計(jì)的合理性可由入彎不發(fā)生側(cè)滑的最大速度衡量，即容許通過(guò)該路段不發(fā)生事故車輛的最大速度。通過(guò)動(dòng)力學(xué)理論分析可求得此最大速度。6.2.1彎道曲線中的曲率半徑道路曲線的方程為 y f(x)，則曲線上點(diǎn)的的曲率半徑為：33(1y'2)2Ry''(1)在點(diǎn)(xs,ys)的曲率半徑Rs為Rs R(xs)6.2.2汽車不發(fā)生側(cè)滑時(shí)速度條件模型輪胎在路面上出現(xiàn)橫向滑移時(shí)的附著系數(shù)稱為橫滑附著系數(shù)設(shè)其為 。汽車通過(guò)彎道時(shí)，在未使用制動(dòng)的條件下，不出現(xiàn)側(cè)滑的條件是離心力不大于橫向附著力與汽車重力在路面平行方向的分力之和。汽車離心力可表示為v2F m (2)R公示中m為汽車的質(zhì)量，v為汽車過(guò)彎的速度。汽車的橫向附著力可表示為：F1mg(3)由于公路設(shè)計(jì)時(shí)路面都不會(huì)是平整的，路面與水平面之間都有很小的夾角，設(shè)路面與水平面之間的夾角即路面超高為e，因此重力在路面方向的分力為：F2mgsine(4)在e很小時(shí)由于limsine1，即sine~e則可以用e近似的代替sine，即上式可化e0e為：F2mg(e)(5)要使汽車入彎后不出現(xiàn)側(cè)滑的情況須有：FF1F2(6)由以上各式可解得：v2Rg(ue)(7)6.2.3剎車之后速度變化模型剎車之后，發(fā)動(dòng)機(jī)停止工作不做功，汽車依靠原有動(dòng)能在路上滑行，摩擦力最大可取滑動(dòng)摩擦力 mg，不發(fā)生側(cè)滑時(shí)取滾動(dòng)摩擦力為 mg。設(shè)滑到(xi,yi)處時(shí)汽車速度為vi，在此處彎道的曲率半徑為 Ri。由剎車后汽車動(dòng)能轉(zhuǎn)化為內(nèi)能。 從(xs,ys)處入彎到達(dá)(xi,yi)處汽車劃過(guò)距離由弧長(zhǎng)公示可得：4xis1[f'(x)]2dx(8)ixs汽車行駛到xi處時(shí)的速度vi滿足關(guān)系式：1mvs21mvi2mgsi(9)22判斷公路設(shè)計(jì)是否合理即判斷在彎道曲線上的每一點(diǎn)上是否都有vi2Rig(ue)(10)由以上各式帶入化簡(jiǎn)可得：vs22gsiRig(e)(11)在曲線的每一點(diǎn)都要滿足上式，因此應(yīng)滿足：vs2min[2gsiRig(e)](12)將上式作為評(píng)判公路是否合理的標(biāo)準(zhǔn)。6.3緩和曲線道路改善模型在不改變彎道形狀的情況下，使道路狀態(tài)改善，在彎道上發(fā)生事故的事故率降低，只有降低入彎時(shí)的速度才能達(dá)到目的，在6.2的出的結(jié)論基礎(chǔ)上，在坡道和彎道間加入緩和曲線，緩和曲線能提醒司機(jī)前方有彎道，提醒司機(jī)減速。經(jīng)分析該段道路容易發(fā)生事故的主要原因就是司機(jī)不能提前知道事故路段是一個(gè)S型彎道，即彎道曲線的曲率半徑變化過(guò)快，車通過(guò)在坡道和彎道曲線之間加入一條緩和曲線可解決此問(wèn)題。緩和曲線是設(shè)置在直線與圓曲線之間或大圓曲線與小圓曲線之間過(guò)渡的線型，是道路平面線型要素之一。在加入緩和曲線后，汽車行駛至緩和曲線范圍時(shí)開(kāi)始減速。讓司機(jī)有足夠的時(shí)間調(diào)整車頭方向，使汽車平滑入彎[3]。6.3.1 緩和曲線的曲線方程模型此處的緩和曲線應(yīng)為在一條直線與圓曲線之間的過(guò)渡，在理想狀態(tài)下此緩和曲線應(yīng)滿足如下性質(zhì)：1.在緩和曲線開(kāi)始處，曲率半徑應(yīng)與直線曲率半徑一致，均為無(wú)窮大。2.在緩和曲線結(jié)束處，曲率半徑應(yīng)與彎道曲線的曲率半徑相同。3.以緩和曲線開(kāi)始處為參照點(diǎn)，在曲線任意點(diǎn)處曲線的曲率半徑都與對(duì)應(yīng)的曲線長(zhǎng)成反比例。由以上性質(zhì)建立緩和曲線方程模型，設(shè)緩和曲線從 x x0處開(kāi)始至x xs處結(jié)束，xj為緩和曲線上任意一點(diǎn)，此點(diǎn)距 x0處距離為lj，曲率半徑為Rj。緩和5曲線總長(zhǎng)為L(zhǎng)。在曲線任意點(diǎn)曲率半徑與對(duì)應(yīng)曲線長(zhǎng)成反比例：Rj1(13)lj為使上式滿足當(dāng)lj0時(shí)Rj，當(dāng)ljL時(shí)RjRs。必須找出一個(gè)待定的比例系數(shù)，為推導(dǎo)上的便利，由于rj和lj都為正數(shù)因此選比例系數(shù)為A2。上式可化為：RjA2(14)lj此公式即為緩和曲線公式，滿足此條件的螺旋線稱為霍爾布魯克螺線 （回旋線）。用此作為公路直線段與彎道段的過(guò)渡曲線可滿足平滑過(guò)渡的要求。6.3.2霍爾布魯克螺線（回旋線）中參數(shù)的確定以上推導(dǎo)得出的霍爾布魯克螺線方程中緩和曲線總長(zhǎng)為 L是未知量，即緩和曲線的初始位置x0是未知的。霍爾布魯克螺線的參數(shù) A2未知，可根據(jù) 6.2中擬合出的緩和曲線終點(diǎn)的曲率半徑等于彎道起始點(diǎn)的曲率半徑得出 A2與L的函數(shù)關(guān)系如下：A2 RsL (15)分析上述函數(shù)式，必須引入其他因素來(lái)確定緩和曲線長(zhǎng)度的值L從而確定出螺線中的參數(shù)A2。緩和曲線的長(zhǎng)度應(yīng)盡可能的小，從而降低修改公路的成本，緩和曲線的最小長(zhǎng)度可綜合旅客過(guò)彎時(shí)的舒適程度和緩和曲線段行駛時(shí)間長(zhǎng)短確定。（1）根據(jù)旅客的舒適程度確定 L旅客的舒適程度是有離心加速度的變化率決定的， 設(shè)在緩和曲線上行駛的離心加速度變化率為a'，進(jìn)入彎道時(shí)的離心加速度為 a，緩和曲線上行駛平均速度為v0，緩和曲線上行駛的時(shí)間為t，則：a'a0avs2(16)ttRstLminv0t(17)綜合確定a'的取值6Lminvs2v0(18)RSa'這A的取值即可確定：Avs2v0。a'（2）行駛時(shí)間不宜過(guò)短確定L緩和曲線上行駛的時(shí)間為t，緩和曲線上行駛平均速度為v0，則有Lminv0t，由此可得出螺線參數(shù)A的取值：ARSv0t(19)綜合以上兩點(diǎn)，可由（1）先計(jì)算出Lmin的值，再由（2）式條件調(diào)整Lmin的大小，達(dá)到最優(yōu)解決問(wèn)題的目的。6.3.2霍爾布魯克螺線直角坐標(biāo)系下曲線方程的推導(dǎo)設(shè)霍爾布魯克螺線在直角坐標(biāo)系下的方程為YF(x)則由上一問(wèn)模型中給3出的公式得在螺線上的每一點(diǎn)的曲率半徑都滿足表達(dá)式(1Y'2)2R，距緩和曲Y''xj線開(kāi)始時(shí)的長(zhǎng)度滿足表達(dá)式L1(Y')2dx。在螺線上每一點(diǎn)都滿足A2RL，x0得出在螺線的曲線方程應(yīng)滿足：xj3(1Y'2)21'22(Y)dxY''A(20)x0Y'y',Y''y''SsSsxj曲為了簡(jiǎn)化計(jì)算，當(dāng)緩和曲線上點(diǎn)的曲率半徑充分大時(shí)可將L1(Y')2dx近x0似的等于直線上從點(diǎn)xx0到點(diǎn)xxt的直線距離，設(shè)直線的方程為ykxb。則L(xjx0)1k2上微分方程可化為：3(xx0)1k2(1Y'2)22(21)Y''AYS'ys',YS''ys''求出此微分方程即可得出 Y'的表達(dá)式，積分得到Y(jié)的表達(dá)式。要求解處此微分方7程解析解非常困難，本模型通過(guò)計(jì)算數(shù)值解在曲線上描點(diǎn)后擬合得出其曲線方程。七 模型求解7.1原始數(shù)據(jù)的處理在地圖上取地圖在屏幕上像素點(diǎn)的坐標(biāo)為原始擬合數(shù)據(jù)，由于題目中給出坡道是一條直線，因此在二維平面上取點(diǎn)時(shí)坡道部分只取起點(diǎn)和終點(diǎn)，彎道部分為分析的重點(diǎn)，在彎道部分取點(diǎn)密集在地圖中取點(diǎn)并用matlab畫出折線圖圖像如下：圖二像素點(diǎn)的初始數(shù)據(jù)需要對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，將數(shù)據(jù)的像素點(diǎn)對(duì)應(yīng)成距離，由于在地圖中縮放都是按比例進(jìn)行的，即X軸縮放多少倍，Y軸也縮放多少倍，由地圖比例尺可知轉(zhuǎn)化成距離圖像如下8圖三處理后道路實(shí)際情況示意圖由模型假設(shè)得圖中直線部分與曲線部分相切，即只考慮曲線部分圖形即可，將圖像中的第一個(gè)點(diǎn)去掉后可得彎道部分的取點(diǎn)情況（如圖中曲線1），像素點(diǎn)坐標(biāo)是離散的值，各個(gè)點(diǎn)之間不光滑，而擬合曲線時(shí)越光滑越好，對(duì)所得曲線進(jìn)行分段Newton插值，通過(guò)取每0.2m為一段插值后的曲線（圖中曲線2）比插值前光滑程度上有明顯改善9圖四彎道插值前后的對(duì)比曲線為提高計(jì)算的準(zhǔn)確度，計(jì)算曲率半徑時(shí)可將數(shù)據(jù)沿東西方向平移，即將橫坐標(biāo)減去2300。將圖像中X和Y變化后用一下過(guò)程擬合。求解過(guò)程中需要計(jì)算切入點(diǎn)的曲率半徑， 因此需用最小二乘法對(duì)所得插值后各點(diǎn)進(jìn)行多項(xiàng)式擬合，比較各個(gè)階次多項(xiàng)式的擬合情況，決定用 10次多項(xiàng)式對(duì)彎道曲線進(jìn)行擬合，擬合情況和各次多項(xiàng)式擬合的程度如下：10圖五擬合曲線與原曲線擬合度對(duì)比由以上圖形可得出彎道曲線部分的擬合多項(xiàng)式為：y =p1*x^10 + p2*x^9 +p3*x^8 + p4*x^7 +p5*x^6 + p6*x^5 +p7*x^4 +p8*x^3+p9*x^2+p10*x+p11p=polyfit(x,y,10)Coefficients:p1=3.1713e-023;p2=-1.4584e-019;p3=2.835e-016;p4=-3.0413e-013;p5=1.9759e-010;p6=-8.0578e-008;p7=2.0784e-005;p8=-0.0033561;p9=0.33085;p10=-18.581;p11=695.16;p=polyfit(x,y,10);z=polyval(p,x);plot(x,y,'r*',x,z,'b'),legend('處理后彎道曲線','10次多項(xiàng)式擬合曲線'),xlabel('東西方向直線離X(m)'),ylabel('南北方向直線距離Y(m)'),title('擬合曲線與原曲線對(duì)比')上述多項(xiàng)式即為插值擬合后得到的擬合曲線方程。 去掉一些不合理的點(diǎn)之后得11到多項(xiàng)式函數(shù)曲線圖像如圖圖六最終確定的多項(xiàng)式函數(shù)曲線在如圖曲線中X的取值可從50m到680m可研究此段水平方向上0.6公里的彎道情況來(lái)說(shuō)明公路設(shè)計(jì)的合理性和緩和曲線的設(shè)計(jì)。7.2公路彎道設(shè)計(jì)合理性求解7.1.1計(jì)算彎道的曲率半徑由求得的擬合多項(xiàng)式函數(shù)及曲率半徑的公示計(jì)算可得曲率半徑為：fori=1:1:1259in=x(i)out(i)=p1*in^10+p2*in^9+p3*in^8+p4*in^7+p5*in^6+p6*in^5+p7*in^4+p8*in^3+p9*in^2+p10*in+p11;endd1=diff(out,1);d2=diff(out,2);d1=abs(d1);d2=abs(d2);fori=1:1:1259ans(i)=sqrt((1+d1(i)^2)^3)/d2(i);end因此在入彎時(shí)曲率半徑為142.9576m。此曲率半徑在x=50時(shí)取得，最小曲率半徑為86.9802m此曲率半徑在x=555m是取得。min(ans)ans=1286.98027.1.1計(jì)算彎道個(gè)點(diǎn)的長(zhǎng)度根據(jù)曲線弧長(zhǎng)的計(jì)算公式，在計(jì)算公式中，積分可變成求個(gè)段得和matlab實(shí)現(xiàn)代碼如下：s=sqrt(1+d1^2);fori=1:1:1259s(i)=sqrt(1+d1(i)^2);endfori=1:1:1259q(i)=sum(s(1:i));end得出的q即為各點(diǎn)到起點(diǎn)的曲線長(zhǎng)度。7.1.2選取合適的參數(shù),e,g在公路上行駛假設(shè)地面對(duì)汽車的橫向附著力系數(shù)是一個(gè)常量，并且不會(huì)改變。查閱相關(guān)資料可取0.25，g9.8m/s2，路面超高e0.1，為了簡(jiǎn)化計(jì)算此處的滾動(dòng)摩擦因數(shù)取附著力系數(shù)的1即。下面來(lái)求最容易失去控制發(fā)生側(cè)3030滑的點(diǎn)在曲線中的位置。按照模型推理出來(lái)的公式求各點(diǎn)的速度的matlab代碼如下：fori=1:1:1259f(i)=sqrt(2*(1/30)*0.25*9.8*q(i)+ans(i)*9.8*0.25*(31/30));endmin(f)ans=17.2839得出要安全過(guò)彎在彎道入口處得最大速度為17.2839m/s轉(zhuǎn)換為km/h得入彎時(shí)的速度應(yīng)為62.2221km/h。即在入彎處應(yīng)限制最大速度60km/h7.3緩和曲線設(shè)計(jì)模型的求解7.3.1緩和曲線中參數(shù) A2的確定考慮汽車中乘客的舒適程度，查閱相關(guān)資料得到離心加速度變化率一般都在0.35到0.5之間，即a'(0.3,0.5)，平均速度v0取0.0214v得：Lmin0.0214vs3(22)'RSa結(jié)合行駛時(shí)間不超過(guò)3s得L317.2839=51.8517，為方便計(jì)算取L=50m。當(dāng)L=50m時(shí)A=84.5451。137.3.2計(jì)算緩和曲線在直角坐標(biāo)系下的方程由模型建立中給出的公式結(jié)合已算出的數(shù)據(jù)可將微分方程中參數(shù)加以確定：3(xx0)1k2(1Y'2)2A2Y''(23)YS'ys',YS''ys''其中A=84.5451，ys'=1.2133，ys''=0.0270，由假設(shè)得到直線的斜率與入彎點(diǎn)的斜率相等，因此k=1.2133，此微分方程求解析解很困難，因此求出一系列數(shù)值解后描點(diǎn)得出曲線的形狀，再用最小二乘法擬合出緩和曲線的曲線方程。求解微分方程數(shù)值解需對(duì)模型中變量做近似，因?yàn)閮牲c(diǎn)間直線距離最短，當(dāng)直線距離為50米時(shí)緩和曲線取值大于50米，但由于緩和曲線的曲率半徑很小所以可以近似的認(rèn)為緩和曲線設(shè)置在直線長(zhǎng)度為50區(qū)間內(nèi)，求解得出直線上距離入彎點(diǎn)50米得點(diǎn)的坐標(biāo)為（18.5000，243.0834）求解過(guò)程如下：x=[0:0.5:50];and=(50-x)*sqrt(1+1.2133^2)and(38)ans=49.5271x(38)ans=18.5000即計(jì)算出微分方程中 x坐標(biāo)為18.5到50的各點(diǎn)的函數(shù)值即可。求解步驟如下：1.將微分方程變?yōu)橐浑A微分方程組：u1Y,u2u1'3(xx0)1k2(1u22)22(24)u2'Au2Sys',u2S'ys''2.上述方程中求出u2關(guān)于x的一系列值。3.對(duì)u2求積分，得出u1即為緩和曲線上的點(diǎn)。描點(diǎn)得到加入緩和曲線后公路的彎道情況如下：14圖七緩和曲線與彎道連接示意圖曲線用4次多項(xiàng)式擬合后多項(xiàng)式函數(shù)為：y=p1*x^4+p2*x^3+p3*x^2+p4*x+p5Coefficients:p1=1.2659e-017p2=-1.747e-015p3=8.7342e-014p4=-1.2133p5=341.97九 模型優(yōu)化1.公路設(shè)計(jì)合理性的優(yōu)化考慮到方便計(jì)算，上述模型只從汽車過(guò)彎道時(shí)是否發(fā)生側(cè)滑情況加以分析，但沒(méi)有考慮另一種罕見(jiàn)的事故情況即側(cè)傾， 當(dāng)汽車速度過(guò)快入彎時(shí)，車頭方向來(lái)不及調(diào)整，可能造成汽車側(cè)傾，側(cè)傾與側(cè)滑相似也有一個(gè)不發(fā)生側(cè)傾的最大速度，得出不發(fā)生側(cè)傾的最大速度后可依照原模型進(jìn)行分析。 具體過(guò)程與側(cè)滑時(shí)相同。2.緩和曲線的優(yōu)化在設(shè)計(jì)緩和曲線時(shí)，可加入對(duì)超高漸變的設(shè)計(jì)，設(shè)彎道