2021年遼寧省大連市第四十七中學(xué)高三數(shù)學(xué)理下學(xué)期期末試題含解析

2021年遼寧省大連市第四十七中學(xué)高三數(shù)學(xué)理下學(xué)期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知全集，集合，則為

A.

B.

C.

D.參考答案：C略2.若直線與圓相交于A,B兩點(diǎn)，則A.

B．

C．

D．參考答案：A3.（x2+）6展開式的常數(shù)項(xiàng)是15，如圖陰影部分是由曲線y=x2和圓x2+y2=a及x軸圍成的封閉圖形，則封閉圖形的面積為（）A．﹣ B．+ C． D．參考答案：A【考點(diǎn)】定積分在求面積中的應(yīng)用；二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)．【分析】用二項(xiàng)式定理得到中間項(xiàng)系數(shù)，解得a，然后利用定積分求陰影部分的面積．【解答】解：因?yàn)椋▁2+）6展開式的常數(shù)項(xiàng)是15，所以=15，解得a=2，所以曲線y=x2和圓x2+y2=2的在第一象限的交點(diǎn)為（1，1）所以陰影部分的面積為==﹣．故選：A．4.在所在的平面內(nèi)，點(diǎn)滿足，，且對(duì)于任意實(shí)數(shù)，恒有，則（

）A.

B.

C.

D.參考答案：C略5.偶函數(shù)滿足，且當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)，則在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（

）A．11

B．10

C.9

D．8參考答案：B6.如圖是某四棱錐的三視圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1，則該四棱錐的外接球的表面積為（

）A．

B．

C．41π

D．31π參考答案：C7.若展開式的常數(shù)項(xiàng)為60，則a的值為(

).A.4

B.±4

C.2

D.±2參考答案：D因?yàn)檎归_式的通項(xiàng)為，令，則，所以常數(shù)項(xiàng)為，即，所以.故選D

8.已知函數(shù)是偶函數(shù)，內(nèi)單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)m=（

）A.2

B.

C.

D.0參考答案：B略9.已知命題（

）

A．

B．

C．

D．參考答案：A略10.設(shè)i為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限參考答案：B略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知向量a＝(2，m)，b＝(－1，2)，若a⊥b，則b在向量上的投影為________．參考答案：12.已知一個(gè)幾何體的三視圖及有關(guān)數(shù)據(jù)如圖所示，則該幾何體的體積為參考答案：【考點(diǎn)】由三視圖求面積、體積．【分析】根據(jù)三視圖得出該幾何體是四棱錐，畫出直觀圖，利用四棱錐的一個(gè)側(cè)面與底面垂直，作出四棱錐的高線，求出棱錐的高，即可求出棱錐的體積．【解答】解：由三視圖知：該幾何體是四棱錐，其直觀圖如圖所示；四棱錐的一個(gè)側(cè)面SAB與底面ABCD垂直，過S作SO⊥AB，垂足為O，∴SO⊥底面ABCD，SO=2×=，底面為邊長(zhǎng)為2的正方形，∴幾何體的體積V=×2×2×=．故答案為：．13.已知雙曲線的漸近線方程是，那么此雙曲線的離心率為

.參考答案：略14.給出定義：若（其中m為整數(shù)），則m叫做離實(shí)數(shù)x最近的整數(shù)，記作{x}，即{x}=m．在此基礎(chǔ)上給出下列關(guān)于函數(shù)的四個(gè)論斷：

①；

②

③

④的定義域?yàn)镽，值域是[一]．

則其中論斷正確的序號(hào)是

（

）（A）①②

（B）①③

（C）②④

（D）③④參考答案：B略15.義在R上的函數(shù)滿足，則的值為

．參考答案：-216.a，b為正數(shù)，給出下列命題：①若a2﹣b2=1，則a﹣b＜1；②若﹣=1，則a﹣b＜1；③ea﹣eb=1，則a﹣b＜1；④若lna﹣lnb=1，則a﹣b＜1．期中真命題的有．參考答案：①③【考點(diǎn)】不等式的基本性質(zhì)．【專題】綜合題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；不等式．【分析】不正確的結(jié)論，列舉反例，正確的結(jié)論，進(jìn)行嚴(yán)密的證明，即可得出結(jié)論．【解答】解：①中，a，b中至少有一個(gè)大于等于1，則a+b＞1，由a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）=1，所以a﹣b＜1，故①正確．②中﹣==1，只需a﹣b=ab即可，取a=2，b=滿足上式但a﹣b=＞1，故②錯(cuò)；③構(gòu)造函數(shù)y=x﹣ex，x＞0，y′=1﹣ex＜0，函數(shù)單調(diào)遞減，∵ea﹣eb=1，∴a＞b，∴a﹣ea＜b﹣eb，∴a﹣b＜ea﹣eb=1，故③正確；④若lna﹣lnb=1，則a=e，b=1，a﹣b=e﹣1＞1，故④不正確．故答案為：①③．【點(diǎn)評(píng)】本題考查不等式的性質(zhì)、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用等基礎(chǔ)知識(shí)，意在考查學(xué)生分析問題解決問題的能力、推理能力、運(yùn)用轉(zhuǎn)化與化歸思想的能力．17.已知雙曲線的離心率為，則它的漸近線方程為

．參考答案：y=±x【考點(diǎn)】KC：雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【分析】運(yùn)用離心率公式和a，b，c的關(guān)系，可得b==a，即可得到所求雙曲線的漸近線方程．【解答】解：由題意可得e==，即c=a，b==a，可得雙曲線的漸近線方程y=±x，即為y=±x．故答案為：y=±x．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.某臍橙基地秋季出現(xiàn)持續(xù)陰雨寡照等異常天氣，對(duì)臍橙物候和產(chǎn)量影響明顯，導(dǎo)致臍橙春季物候期推遲，畸形花增多，果實(shí)偏小，落果增多，對(duì)產(chǎn)量影響較大.為此有關(guān)專家提出2種在異常天氣下提高臍橙果樹產(chǎn)量的方案，每種方案都需分兩年實(shí)施.實(shí)施方案1：預(yù)計(jì)第一年可以使臍橙產(chǎn)量恢復(fù)到災(zāi)前的1.0倍、0.8倍的概率分別是0.4、0.6；第二年可以使臍橙產(chǎn)量為第一年的1.25倍、1.1倍的概率分別是0.5、0.5.實(shí)施方案2：預(yù)計(jì)第一年可以使臍橙產(chǎn)量恢復(fù)到災(zāi)前的1.2倍、0.8倍的概率分別是0.5、0.5；第二年可以使臍橙產(chǎn)量為第一年的1.25倍、1.0倍的概率分別是0.6、0.4.實(shí)施每種方案第一年與第二年相互獨(dú)立，令表示方案1實(shí)施兩年后臍橙產(chǎn)量達(dá)到災(zāi)前產(chǎn)量的倍數(shù)，表示方案2實(shí)施兩年后臍橙產(chǎn)量達(dá)到災(zāi)前產(chǎn)量的倍數(shù).（1）分別求，的分布列和數(shù)學(xué)期望；（2）不管哪種方案，如果實(shí)施兩年后，臍橙產(chǎn)量不高于和高于災(zāi)前產(chǎn)量的預(yù)計(jì)利潤(rùn)分別為12萬元和20萬元.為了實(shí)現(xiàn)兩年后的平均利潤(rùn)更大，應(yīng)該選擇哪種方案？參考答案：（1）分布列見解析，期望分別為；（2）應(yīng)選擇方案2．試題分析：（1）利用相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率思想可求得的所有可能取值及相應(yīng)的概率，從而得分0.8811.11.250.30.30.20.2的可能取值為，其分布列為0.8811.21.50.20.30.20.3（2）設(shè)實(shí)施方案1、2的平均利潤(rùn)為利潤(rùn)1、利潤(rùn)2，根據(jù)題意：利潤(rùn)1（萬元）利潤(rùn)2（萬元），∴利潤(rùn)1<利潤(rùn)2，∴實(shí)施方案2平均利潤(rùn)更大，故應(yīng)選擇方案2.考點(diǎn)：隨機(jī)變量分布列，數(shù)學(xué)期望，用樣本估計(jì)總體．19.(本小題滿分12分)如圖，已知直三棱柱ABC—A1B1C1的側(cè)棱長(zhǎng)為2，底面△ABC是等腰直角三角形，且∠ACB=90°，AC=2，D是AA1的中點(diǎn)．

（Ⅰ）求異面直線AB和C1D所成的角（用反三角函數(shù)表示）；

（Ⅱ）若E為AB上一點(diǎn)，試確定點(diǎn)E在AB上的位置，使得A1E⊥C1D；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，求點(diǎn)D到平面B1C1E的距離．參考答案：解（Ⅰ）法一：取CC1的中點(diǎn)F，連接AF，BF，則AF∥C1D．∴∠BAF為異面直線AB與C1D所成的角或其補(bǔ)角．…1＇∵△ABC為等腰直角三角形，AC=2，∴AB=．又∵CC1=2，∴AF=BF=．∵cos∠BAF=，…………3＇∴∠BAF=，即異面直線AB與C1D所成的角為．……4＇法二：以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，CB，CA，CC1分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則A（0，2，0），B（2，0，0），C1（0，0，2），D（0，2，1），∴=（2，－2，0），=（0，2，－1）．由于異面直線AB與C1D所成的角為向量與的夾角或其補(bǔ)角．…………1＇設(shè)與的夾角為，則cos==，………………3＇∴=，即異面直線AB與C1D所成的角為

．………………4＇（Ⅱ）法一：過C1作C1M⊥A1B1，垂足為M，則M為A1B1的中點(diǎn)，且C1M⊥平面AA1B1B．連接DM.∴DM即為C1D在平面AA1B1B上的射影．…6＇要使得A1E⊥C1D，由三垂線定理知，只要A1E⊥DM．

………7＇∵AA1=2，AB=2，由計(jì)算知，E為AB的中點(diǎn)．

……………8＇法二：過E作EN⊥AC，垂足為N，則EN⊥平面AA1C1C.連接A1N.∴A1N即為A1E在平面AA1C1C上的射影．………6＇要使得A1E⊥C1D，由三垂線定理知，只要A1N⊥C1D．……………7＇∵四邊形AA1C1C為正方形，∴N為AC的中點(diǎn)，∴E點(diǎn)為AB的中點(diǎn)．…………8＇法三：以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，CB，CA，CC1分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則A1（0，2，2），B（2，0，0），C1（0，0，2），

D（0，2，1），設(shè)E點(diǎn)的坐標(biāo)為（x，y，0）,要使得A1E⊥C1D，只要·=0，………6＇∵=（x，y－2，－2），=（0，2，－1），∴y=1．……7＇又∵點(diǎn)E在AB上，∴∥．∴x=1．∴E點(diǎn)為AB的中點(diǎn)．……8＇（Ⅲ）法一：取AC中點(diǎn)N，連接EN，C1N，則EN∥B1C1．

∵B1C1⊥平面AA1C1C，

∴面B1C1NE⊥平面AA1C1C．

過點(diǎn)D作DH⊥C1N，垂足為H，則DH⊥平面B1C1NE，∴DH的長(zhǎng)度即為點(diǎn)D到平面B1C1E的距離．…10＇在正方形AA1C1C中，由計(jì)算知DH=，即點(diǎn)D到平面B1C1E的距離為．…………12＇法二：連接DE，DB1.在三棱錐D—B1C1E中，點(diǎn)C1到平面DB1E的距離為，B1E=，DE=，又B1E⊥DE，∴△DB1E的面積為，∴三棱錐C1—DB1E的體積為1．……10＇設(shè)點(diǎn)D到平面B1C1E的距離為d，在△B1C1E中，B1C1=2，B1E=C1E=，∴△B1C1E的面積為．由，得d=，即點(diǎn)D到平面B1C1E的距離為．………12＇20.（本小題滿分13分）某中學(xué)高三年級(jí)從甲、乙兩個(gè)班級(jí)各選出7名學(xué)生參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽，他們?nèi)〉玫某煽?jī)（滿分100分）的莖葉圖如圖3，其中甲班學(xué)生的平均分是85，乙班學(xué)生成績(jī)的中位數(shù)是83.（1）求和的值；（2）計(jì)算甲班7位學(xué)生成績(jī)的方差；（3）從成績(jī)?cè)?0分以上的學(xué)生中隨機(jī)抽取兩名學(xué)生，求甲班至少有一名學(xué)生的概率.參考答案：（1）..（2）40；（3）甲校至少有一名學(xué)生的概率為.（1）解：∵甲班學(xué)生的平均分是85，∴.

……………1分∴.

……………2分∵乙班學(xué)生成績(jī)的中位數(shù)是83，∴.

……………3分（2）解：甲班7位學(xué)生成績(jī)的方差為.

……5分（3）解：甲班成績(jī)?cè)?0分以上的學(xué)生有兩名，分別記為，

……………6分乙班成績(jī)?cè)?0分以上的學(xué)生有三名，分別記為.

……………7分從這五名學(xué)生任意抽取兩名學(xué)生共有10種情況：.

……………9分其中甲班至少有一名學(xué)生共有7種情況：.…11分記“從成績(jī)?cè)?0分以上的學(xué)生中隨機(jī)抽取兩名學(xué)生，甲班至少有一名學(xué)生”為事件，則.答：從成績(jī)?cè)?0分以上的學(xué)生中隨機(jī)抽取兩名學(xué)生，甲校至少有一名學(xué)生的概率為.……………12分21.(本小題滿分l3分)清明節(jié)小長(zhǎng)假期間，某公園推出擲飛鏢和摸球兩種游戲，甲參加擲飛鏢游戲，已知甲投擲中紅色靶區(qū)的概率為，投中藍(lán)色靶區(qū)的概率為，不能中靶概率為；該游戲規(guī)定，投中紅色靶區(qū)記2分，投中藍(lán)色靶區(qū)記1分，未投中標(biāo)靶記0