2021年遼寧省大連市莊河第七初級(jí)中學(xué)高三數(shù)學(xué)文模擬試卷含解析

2021年遼寧省大連市莊河第七初級(jí)中學(xué)高三數(shù)學(xué)文模擬試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.3名老師隨機(jī)從3男3女共6名學(xué)生中各帶2名進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，其中每名老師各帶一名男生和一名女生的概率為

（

）A、

B、 C、 D、參考答案：A2.已知函數(shù)，x∈R,則是（

）A．最小正周期為的奇函數(shù)

B．最小正周期為的偶函數(shù)C．最小正周期為的奇函數(shù)

D．最小正周期為的偶函數(shù)參考答案：無(wú)略3.函數(shù)的定義域是A．

B．

C．

D．參考答案：B略4.在中,若,則的形狀一定是（）A．等邊三角形 B．直角三角形C．鈍角三角形

D．不含角的等腰三角形

參考答案：B略5.已知復(fù)數(shù)z=（i為虛數(shù)單位），則|z|=（）A． B．2 C． D．參考答案：A【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)求模．【專題】對(duì)應(yīng)思想；定義法；數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)．【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)模的定義，直接計(jì)算z的模長(zhǎng)即可．【解答】解：∵復(fù)數(shù)z=（i為虛數(shù)單位），∴|z|====．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了復(fù)數(shù)求模的應(yīng)用問(wèn)題，是計(jì)算題目．6.下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在單調(diào)遞增的函數(shù)是（

）A．

B．

C．

D．參考答案：C7.已知直角坐標(biāo)系中點(diǎn)，向量則點(diǎn)的坐標(biāo)為（

）A.(11,8)

B.(3,2)

C.(－11,－6)

D.(－3,0)參考答案：C8.設(shè)為直線，，是兩個(gè)不同的平面，下列命題中正確的是A．若，，則 B．若，，則C．若，，則

D．若，，則參考答案：D9.設(shè)集合，集合，則（

）A．

B．

?C．

?D．參考答案：B.試題分析：由題意得，，，∴，故選B.考點(diǎn)：集合的運(yùn)算.10.已知x，y滿足，則目標(biāo)函數(shù)z=3x+y的最小值是（）A．4 B．6 C．8 D．10參考答案：B【考點(diǎn)】簡(jiǎn)單線性規(guī)劃．【分析】畫(huà)出可行域，求出A，B坐標(biāo)，利用角點(diǎn)法求解即可．【解答】解：畫(huà)出可行域如圖1所示，當(dāng)目標(biāo)函數(shù)y=﹣3x+z經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（1，3）時(shí)，z的值為6；當(dāng)目標(biāo)函數(shù)y=﹣3x+z經(jīng)過(guò)點(diǎn)B（2，2）時(shí)，z的值為8，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查線性規(guī)劃的簡(jiǎn)單應(yīng)用，角點(diǎn)法求法具體目標(biāo)函數(shù)的最值的求法的應(yīng)用，考查數(shù)形結(jié)合思想以及計(jì)算能力．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.（5分）（2014秋?衡陽(yáng)縣校級(jí)月考）已知函數(shù)f（x）=2+，則f（x）dx=．參考答案：π+4【考點(diǎn)】：定積分的簡(jiǎn)單應(yīng)用．【專題】：計(jì)算題；導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用．【分析】：f（x）dx的幾何意義是以（1，2）為圓心，1為半徑的圓的面積，可得結(jié)論．解：∵y=2+，∴（x﹣1）2+（y﹣2）2=1（y≥2），∴f（x）dx的幾何意義是以（1，2）為圓心，1為半徑的圓的面積的一半加正方形面積，即π+4．故答案為：π+4．【點(diǎn)評(píng)】：本題考查定積分求面積，考查學(xué)生的計(jì)算能力，比較基礎(chǔ)．12.對(duì)任意實(shí)數(shù)表示不超過(guò)的最大整數(shù)，如，關(guān)于函數(shù)，有下列命題：①是周期函數(shù)；②是偶函數(shù)；③函數(shù)的值域?yàn)?；④函?shù)在區(qū)間內(nèi)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，其中正確的命題為

（把正確答案的序號(hào)填在橫線上）．參考答案：13.一個(gè)圓經(jīng)過(guò)橢圓的三個(gè)頂點(diǎn)，且圓心在x軸的負(fù)半軸上，則該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．參考答案：【考點(diǎn)】K4：橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【分析】由橢圓的方程求出頂點(diǎn)坐標(biāo)，然后求出圓心坐標(biāo)，進(jìn)一步求出圓的半徑可得圓的方程．【解答】解：由，可知橢圓的右頂點(diǎn)坐標(biāo)（4，0），上下頂點(diǎn)坐標(biāo)（0，±2），∵圓經(jīng)過(guò)橢圓的三個(gè)頂點(diǎn)，且圓心在x軸上．當(dāng)圓經(jīng)過(guò)橢圓右頂點(diǎn)及短軸兩端點(diǎn)時(shí)，設(shè)圓的圓心（a，0），a＞0，則=4﹣a，解得a=，由橢圓在x軸正半軸，不滿足；當(dāng)圓經(jīng)過(guò)橢圓左頂點(diǎn)及短軸兩端點(diǎn)時(shí)，設(shè)圓的圓心（a，0），a＜0，則=4+a，解得a=﹣，圓的半徑為r=，∴所求圓的方程：（x+）2+y2=，故答案為：（x+）2+y2=．14.如圖，為測(cè)量某山峰的高度（即OP的長(zhǎng)），選擇與O在同一水平面上的A，B為觀測(cè)點(diǎn).在A處測(cè)得山頂P的仰角為45°，在B處測(cè)得山頂P的仰角為60°.若米，，則山峰的高為_(kāi)________米.參考答案：【分析】設(shè)出OP，分別在直角三角形AOP和直角三角形BDP中，求得OA，OB，進(jìn)而在△AOB中，由余弦定理求得山峰的高度．【詳解】設(shè)OP＝h，在等腰直角△AOP中，得OA＝OP=．在直角△BOP中，得OP＝OBtan60°得OB＝h在△AOB中，由余弦定理得，得h＝（米）．則山峰的高為m．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了解三角形的實(shí)際應(yīng)用．考查了學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力．

15.設(shè)點(diǎn)P（x，y）是曲線a|x|+b|y|=1（a≥0，b≥0）上任意一點(diǎn)，其坐標(biāo)（x，y）均滿足+≤2，則a+b取值范圍為

．參考答案：[2，+∞）【考點(diǎn)】直線與圓錐曲線的關(guān)系．【專題】分類討論；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．【分析】曲線a|x|+b|y|=1（a≥0，b≥0），對(duì)x，y分類討論．畫(huà)出圖象：表示菱形ABCD．由+≤2，即+．設(shè)M（﹣1，0），N（1，0），可得：2|PM|≤2，|BD|≤2，解出即可．【解答】解：曲線a|x|+b|y|=1（a≥0，b≥0），當(dāng)x，y≥0時(shí)，化為ax+by=1；當(dāng)x≥0，y≤0時(shí)，化為ax﹣by=1；當(dāng)x≤0，y≥0時(shí)，化為﹣ax+by=1；當(dāng)x≤0，y≤0時(shí)，化為﹣ax﹣by=1．畫(huà)出圖象：表示菱形ABCD．由+≤2，即+．設(shè)M（﹣1，0），N（1，0），則2|PM|≤2，|BD|≤2，∴，，解得b≥1，a≥1，∴a+b≥1+1=2．∴a+b取值范圍為[2，+∞）．故答案為：[2，+∞）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了直線方程、分類討論思想方法、兩點(diǎn)之間的距離公式，考查了數(shù)形結(jié)合思想方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．16.已知三棱錐P﹣ABC的頂點(diǎn)P、A、B、C在球O的表面上，△ABC是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，如果球O的表面積為36π，那么P到平面ABC距離的最大值為．參考答案：【考點(diǎn)】MK：點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算．【分析】求出球心O到平面ABC的距離，即可求出P到平面ABC距離的最大值．【解答】解：△ABC是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，外接圓的半徑為1，球O的表面積為36π，球的半徑為3，∴球心O到平面ABC的距離為=2，∴P到平面ABC距離的最大值為．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查P到平面ABC距離的最大值，考查勾股定理的運(yùn)用，考查球的表面積，屬于中檔題．17.正三棱柱ABC-A1B1C1的底面邊長(zhǎng)為2，側(cè)棱長(zhǎng)為，D為BC中點(diǎn)，則三棱錐A-B1DC1的體積為

．參考答案：1；三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.已知函數(shù).（Ⅰ）求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（Ⅱ）求證：.參考答案：（I）（II）見(jiàn)解析【分析】（Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求出切線的斜率，然后求解切線方程；（Ⅱ）化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問(wèn)題，即可證明（x﹣1）f（x）≥0．【詳解】（Ⅰ）定義域?yàn)椋?.

.所以曲線在處的切線方程為，即（Ⅱ）記..由解得．與在區(qū)間上的情況如下：↘極小↗

所以在時(shí)取得最小值．所以.所以.所以在上單調(diào)遞增.又由知，當(dāng)時(shí)，，，所以；當(dāng)時(shí)，，，所以.所以.【點(diǎn)睛】本題解出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，切線方程的求法，函數(shù)的單調(diào)性的判斷，考查分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力．利用導(dǎo)數(shù)證明不等式常見(jiàn)類型及解題策略(1)構(gòu)造差函數(shù).根據(jù)差函數(shù)導(dǎo)函數(shù)符號(hào)，確定差函數(shù)單調(diào)性，利用單調(diào)性得不等量關(guān)系，進(jìn)而證明不等式.（2）根據(jù)條件，尋找目標(biāo)函數(shù).一般思路為利用條件將求和問(wèn)題轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)項(xiàng)之間大小關(guān)系，或利用放縮、等量代換將多元函數(shù)轉(zhuǎn)化為一元函數(shù).19.（本小題滿分12分）

甲、乙兩名射手在一次射擊中的得分為兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，已知甲、乙兩名射手在每次射擊中擊中的環(huán)數(shù)均大于6環(huán)，且甲射中10，9，8，7環(huán)的概率分別為，，，，乙射中10，9，8環(huán)的概率分別為，，。（1）求的分布列；（2）求的數(shù)學(xué)期望與方差，并以此比較甲、乙的射擊技術(shù)。參考答案：解析：（1）依題意得解得………2分乙射中10，9，8環(huán)的概率分別為，，乙射中7環(huán)的概率為（++）=……………4分的分布列為：1098710987………………6分（2）由（1）可得：（環(huán)）（環(huán)）…………8分

……………10分由于，說(shuō)明甲平均射中的環(huán)數(shù)比乙高；又因?yàn)?，說(shuō)明甲射中的環(huán)數(shù)比乙集中，比較穩(wěn)定。所以，甲比乙的技術(shù)好?！?2分20.如圖，是直角三角形，．以為直徑的圓交于點(diǎn)，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)．連結(jié)交圓于點(diǎn).（Ⅰ）求證：、、、四點(diǎn)共圓；（Ⅱ）求證：參考答案：（Ⅰ）證明：如圖，連結(jié)、，則⊥又∵D是的中點(diǎn)，

∴.又∵，，

∴，∴.

∴、、、四點(diǎn)共圓．（Ⅱ）證明：延長(zhǎng)交圓于點(diǎn).

由(1)知為圓的切線，∴，∴，

∴．略21.已知橢圓C：+=1（a＞b＞0）的焦距為4，其短軸的兩個(gè)端點(diǎn)與長(zhǎng)軸的一個(gè)端點(diǎn)構(gòu)成正三角形．（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)F為橢圓C的左焦點(diǎn)，T為直線x=﹣3上任意一點(diǎn)，過(guò)F作TF的垂線交橢圓C于點(diǎn)P，Q．①證明：OT平分線段PQ（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)）；②當(dāng)最小時(shí)，求點(diǎn)T的坐標(biāo)．參考答案：考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的關(guān)系；橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．專題：圓錐曲線中的最值與范圍問(wèn)題．分析：第（1）問(wèn)中，由正三角形底邊與高的關(guān)系，a2=b2+c2及焦距2c=4建立方程組求得a2，b2；第（2）問(wèn)中，先設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)及直線PQ的方程，利用兩點(diǎn)間距離公式及弦長(zhǎng)公式將表示出來(lái)，由取最小值時(shí)的條件獲得等量關(guān)系，從而確定點(diǎn)T的坐標(biāo)．解答： 解：（1）依題意有解得所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為+=1．（2）設(shè)T（﹣3，t），P（x1，y1），Q（x2，y2），PQ的中點(diǎn)為N（x0，y0），①證明：由F（﹣2，0），可設(shè)直線PQ的方程為x=my﹣2，則PQ的斜率．由?（m2+3）y2﹣4my﹣2=0，所以，于是，從而，即，則直線ON的斜率，又由PQ⊥TF知，直線TF的斜率，得t=m．從而，即kOT=kON，所以O(shè)，N，T三點(diǎn)共線，從而OT平分線段PQ，故得證．②由兩點(diǎn)間距離公式得，由弦長(zhǎng)公式得==，所以，令，則（當(dāng)且僅當(dāng)x2=2時(shí)，取“=”號(hào)），所以當(dāng)最小時(shí)，由x2=2=m2+1，得m=1或m=﹣1，此時(shí)點(diǎn)T的坐標(biāo)為（﹣3，1）或（﹣3