幾種重要的分布

幾種重要的分布第1頁，共74頁，2023年，2月20日，星期一二項(xiàng)分布0-1分布超幾何分布泊松分布幾何分布離散型第2頁，共74頁，2023年，2月20日，星期一

若以X表示進(jìn)行一次試驗(yàn)事件A（成功）發(fā)生的次數(shù)，則稱X服從0－1分布(兩點(diǎn)分布)。

0-1分布P33一門課程的考試是“及格”還是“不及格”剛出生的新生兒是“男”還是“女”產(chǎn)品檢驗(yàn)的結(jié)果是“合格”還是“不合格”射擊結(jié)果是“擊中目標(biāo)”還是“沒有擊中目標(biāo)”(0-1)分布的實(shí)際背景若一個(gè)試驗(yàn)只產(chǎn)生兩個(gè)結(jié)果，則可以用服從(0-1)分布的r.v來描述例例例例第3頁，共74頁，2023年，2月20日，星期一二項(xiàng)分布二項(xiàng)分布的分布律的圖形特點(diǎn)二項(xiàng)分布的定義二項(xiàng)分布的實(shí)際背景（兩個(gè)例子）第4頁，共74頁，2023年，2月20日，星期一稱r.vX服從參數(shù)為n和p的二項(xiàng)分布，記作

X~B(n,p)

用X表示n重貝努里試驗(yàn)中事件A（成功）出現(xiàn)的次數(shù)，則特別當(dāng)時(shí)就是(0-1)兩點(diǎn)分布，即X~b(n,p)二項(xiàng)分布的定義P24注：第5頁，共74頁，2023年，2月20日，星期一若則問答

X~B(n,p),則

X=X1+X2+…+Xni=1,2，…，nX表示n重貝努里試驗(yàn)中的“成功”次數(shù).若設(shè)

表示第i次貝努里試驗(yàn)中的“成功”次數(shù).=np所以

=np(1-p)并且獨(dú)立注：第6頁，共74頁，2023年，2月20日，星期一稱r.vX服從參數(shù)為n和p的二項(xiàng)分布，記作

X~B(n,p)

用X表示n重貝努里試驗(yàn)中事件A（成功）出現(xiàn)的次數(shù)，則X~b(n,p)P24例設(shè)X表示10次獨(dú)立重復(fù)射擊命中的次數(shù)，每次射中的概率為0.4，則第7頁，共74頁，2023年，2月20日，星期一X~b(n,p)二項(xiàng)分布的分布律的圖形特點(diǎn)第8頁，共74頁，2023年，2月20日，星期一

對(duì)于固定n及p，當(dāng)k增加時(shí),概率P(X=k)先是隨之增加直至達(dá)到最大值,隨后單調(diào)減少.二項(xiàng)分布的圖形特點(diǎn)：X~B(n,p)當(dāng)(n+1)p不為整數(shù)時(shí)，二項(xiàng)概率P(X=k)在k=[(n+1)p]達(dá)到最大值；([x]表示不超過x

的最大整數(shù))n=10,p=0.7nPkP82-83第9頁，共74頁，2023年，2月20日，星期一

對(duì)于固定n及p，當(dāng)k增加時(shí),概率P(X=k)先是隨之增加直至達(dá)到最大值,隨后單調(diào)減少.二項(xiàng)分布的圖形特點(diǎn)：X~B(n,p)當(dāng)(n+1)p為整數(shù)時(shí)，二項(xiàng)概率P(X=k)在k=(n+1)p和k=(n+1)p-1處達(dá)到最大值.n=13,p=0.5Pkn0P82-83第10頁，共74頁，2023年，2月20日，星期一二項(xiàng)分布的實(shí)際背景（兩個(gè)例子）第11頁，共74頁，2023年，2月20日，星期一

若一年中某類保險(xiǎn)者里面每個(gè)人死亡的概率等于0.005，現(xiàn)有10000個(gè)人參加這類人壽保險(xiǎn)，試求在未來一年中在這些保險(xiǎn)者里面，⑴有40個(gè)人死亡的概率;⑵死亡人數(shù)不超過70個(gè)的概率.解例記

為未來一年中在這些人中死亡的人數(shù)，則當(dāng)很大時(shí)直接計(jì)算二項(xiàng)分布的值是很困難的n①用計(jì)算機(jī)編程計(jì)算②利用第五章介紹的極限定理來計(jì)算實(shí)際背景：二項(xiàng)分布產(chǎn)生于n重伯努利試驗(yàn)第12頁，共74頁，2023年，2月20日，星期一共15層小釘Ox-8-7-6-5-4-3-2-1

12345678高爾頓釘板試驗(yàn)小球最后落入的格數(shù)?記小球向右落下的次數(shù)為

則記小球向左落下的次數(shù)為

則實(shí)際背景：二項(xiàng)分布產(chǎn)生于n重伯努利試驗(yàn)第13頁，共74頁，2023年，2月20日，星期一超幾何分布第14頁，共74頁，2023年，2月20日，星期一

設(shè)有N件產(chǎn)品,其中有M件次品,現(xiàn)從這N件中任取n件,次品正品M件次品N-M件正品

這種概率分布就稱為超幾何分布。X~H(N,M,n)

超幾何分布以二項(xiàng)分布為極限。P85-86，例3則其中所包含的次品數(shù)就是一個(gè)隨機(jī)變量X.P83第15頁，共74頁，2023年，2月20日，星期一

設(shè)有N件產(chǎn)品,其中有M件次品,現(xiàn)從這N件中任取n件,則其中所包含的次品數(shù)就是一個(gè)隨機(jī)變量X.P83若設(shè)

表示第i次抽到的次品數(shù).i=1,2，…，（抽簽問題）則

X=X1+X2+…+Xn注：第16頁，共74頁，2023年，2月20日，星期一泊松分布

泊松分布的定義及圖形特點(diǎn)二項(xiàng)分布與泊松分布

泊松分布產(chǎn)生的一般情況泊松分布的例子第17頁，共74頁，2023年，2月20日，星期一

在一個(gè)時(shí)間間隔內(nèi)某電話交換臺(tái)收到的電話的呼喚次數(shù)。

泊松分布產(chǎn)生的一般情況

一本書一頁中的印刷錯(cuò)誤數(shù)

某地區(qū)在一天內(nèi)郵遞遺失的信件數(shù)

某一醫(yī)院在一天內(nèi)的急診病人數(shù)

某一地區(qū)一個(gè)時(shí)間間隔內(nèi)發(fā)生交通事故的次數(shù)第18頁，共74頁，2023年，2月20日，星期一

泊松分布的定義及圖形特點(diǎn)

設(shè)隨機(jī)變量X所有可能取的值為0,1,2,…,且概率分布為：其中>0是常數(shù),則稱

X服從參數(shù)為的泊松分布,記作X~P().P86第19頁，共74頁，2023年，2月20日，星期一若問答則并且獨(dú)立第20頁，共74頁，2023年，2月20日，星期一泊松分布的圖形第21頁，共74頁，2023年，2月20日，星期一

泊松分布的圖形特點(diǎn)：X~P()當(dāng)

不為整數(shù)時(shí)，概率P(X=k)在k=[]達(dá)到最大值；當(dāng)

為整數(shù)時(shí)，概率P(X=k)在k=和達(dá)到最大值；第22頁，共74頁，2023年，2月20日，星期一P254例設(shè)X服從參數(shù)為的泊松分布，且已知?jiǎng)t第23頁，共74頁，2023年，2月20日，星期一C第24頁，共74頁，2023年，2月20日，星期一歷史上，泊松分布是作為二項(xiàng)分布的近似，于1837年由法國(guó)數(shù)學(xué)家泊松引入的.近數(shù)十年來，泊松分布日益顯示其重要性,成為概率論中最重要的幾個(gè)分布之一.在實(shí)際中，許多隨機(jī)現(xiàn)象服從或近似服從泊松分布.二項(xiàng)分布與泊松分布第25頁，共74頁，2023年，2月20日，星期一泊松定理表明，泊松分布是二項(xiàng)分布B(n,p)的極限分布.當(dāng)n很大，p很小時(shí)，二項(xiàng)分布就可近似地看成是參數(shù)=np的泊松分布第26頁，共74頁，2023年，2月20日，星期一

在一個(gè)時(shí)間間隔內(nèi)某電話交換臺(tái)收到的電話的呼喚次數(shù)?；仡櫍翰此煞植籍a(chǎn)生的一般情況

一本書一頁中的印刷錯(cuò)誤數(shù)

某地區(qū)在一天內(nèi)郵遞遺失的信件數(shù)

某一醫(yī)院在一天內(nèi)的急診病人數(shù)

某一地區(qū)一個(gè)時(shí)間間隔內(nèi)發(fā)生交通事故的次數(shù)泊松定理表明，泊松分布是二項(xiàng)分布B(n,p)的極限分布.當(dāng)n很大，p很小時(shí)，二項(xiàng)分布就可近似地看成是參數(shù)=np的泊松分布

……第27頁，共74頁，2023年，2月20日，星期一例．某地區(qū)疾病資料統(tǒng)計(jì)表明，因感冒而導(dǎo)致死亡的比例為0.2%（死因獨(dú)立）．現(xiàn)有1000人患感冒．求（1）恰有4人死亡的概率（2）死亡人數(shù)不超過2人的概率

泊松分布的例子第28頁，共74頁，2023年，2月20日，星期一第29頁，共74頁，2023年，2月20日，星期一例

一家商店采用科學(xué)管理，由該商店過去的銷售記錄知道，某種商品每月的銷售數(shù)可以用參數(shù)λ=5的泊松分布來描述，為了以95%以上的把握保證不脫銷，問商店在月底至少應(yīng)進(jìn)某種商品多少件？解:設(shè)該商品每月的銷售數(shù)為X,已知X服從參數(shù)λ=5的泊松分布.設(shè)商店在月底應(yīng)進(jìn)某種商品m件,求滿足P(X≤m)>0.95的最小的m

.進(jìn)貨數(shù)銷售數(shù)第30頁，共74頁，2023年，2月20日，星期一求滿足P(X≤m)>0.95的最小的m.查泊松分布表得P(X>m)≤0.05也即于是得m+1=10,或m=9件第31頁，共74頁，2023年，2月20日，星期一

某射手連續(xù)向一目標(biāo)射擊，直到命中為止，已知他每發(fā)命中的概率是p，求所需射擊發(fā)數(shù)X

的概率函數(shù).P36幾何分布第32頁，共74頁，2023年，2月20日，星期一均勻分布指數(shù)分布正態(tài)分布連續(xù)型第33頁，共74頁，2023年，2月20日，星期一則稱X在區(qū)間(a,b)上服從均勻分布，X～U(a,b)若

r.vX的概率密度為：記作均勻分布第34頁，共74頁，2023年，2月20日，星期一

r.vX的概率密度為：X～U(a,b)

r.vX的分布函數(shù)為：F(x)1abx第35頁，共74頁，2023年，2月20日，星期一X～U(a,b)

這說明在同樣長(zhǎng)的子區(qū)間內(nèi)概率是相同的，這個(gè)概率只依賴于區(qū)間的長(zhǎng)度而不依賴于區(qū)間的位置。

r.vX的概率密度為：

對(duì)于長(zhǎng)度為l的區(qū)間第36頁，共74頁，2023年，2月20日，星期一

公交線路上兩輛公共汽車前后通過某汽車停車站的時(shí)間，即乘客的候車時(shí)間等.均勻分布常見于下列情形：如在數(shù)值計(jì)算中，由于四舍五入，小數(shù)點(diǎn)后某一位小數(shù)引入的誤差；第37頁，共74頁，2023年，2月20日，星期一例

長(zhǎng)途汽車起點(diǎn)站于每時(shí)的10分、25分、55分發(fā)車，設(shè)乘客不知發(fā)車時(shí)間，于每小時(shí)的任意時(shí)刻隨機(jī)地到達(dá)車站，求乘客候車時(shí)間超過10分鐘的概率解：設(shè)A—乘客候車時(shí)間超過10分鐘X—乘客于某時(shí)X分鐘到達(dá)，則XU(0,60)1545第38頁，共74頁，2023年，2月20日，星期一若r.vX具有概率密度為常數(shù),則稱

X

服從參數(shù)為

的指數(shù)分布.指數(shù)分布λf(x)xP88第39頁，共74頁，2023年，2月20日，星期一r.vX具有概率密度λf(x)xr.vX的分布函數(shù)第40頁，共74頁，2023年，2月20日，星期一第41頁，共74頁，2023年，2月20日，星期一例指數(shù)分布通常用來描述“壽命”的分布電子元件的壽命；生物的壽命；電話的通話時(shí)間；機(jī)器的修理時(shí)間；營(yíng)業(yè)員為顧客提供的服務(wù)時(shí)間；······指數(shù)分布實(shí)際背景de平均壽命λf(x)x第42頁，共74頁，2023年，2月20日，星期一設(shè)考慮概率指數(shù)分布的重要性質(zhì)--無記憶性如果已知壽命長(zhǎng)于年,則再活年的可能性與年齡無關(guān)！即指數(shù)分布是“永遠(yuǎn)年青”的!sts說明什么？第43頁，共74頁，2023年，2月20日，星期一正態(tài)分布正態(tài)分布的圖形特點(diǎn)

正態(tài)分布的定義標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布正態(tài)分布表3準(zhǔn)則正態(tài)分布的背景和應(yīng)用正態(tài)分布的和二元正態(tài)分布第44頁，共74頁，2023年，2月20日，星期一

正態(tài)分布的定義

若r.vX的概率密度為記作

f(x)所確定的曲線叫作正態(tài)曲線.其中和都是常數(shù)，任意，>0，則稱X服從參數(shù)為和的正態(tài)分布.

P92第45頁，共74頁，2023年，2月20日，星期一故f(x)以μ為對(duì)稱軸，并在x=μ處達(dá)到最大值:令x=μ+c,

x=μ-c(c>0),

分別代入f(x),

可得f(μ+c)=f(μ-c)且

f(μ+c)≤f(μ),f(μ-c)≤f(μ)函數(shù)

在

上單調(diào)增加,在

上單調(diào)減少；第46頁，共74頁，2023年，2月20日，星期一這說明曲線

f(x)向左右伸展時(shí)，越來越貼近x軸。即f(x)以x軸為漸近線。當(dāng)x→∞時(shí)，f(x)→0,第47頁，共74頁，2023年，2月20日，星期一用求導(dǎo)的方法可以證明，為f(x)的兩個(gè)拐點(diǎn)的橫坐標(biāo)。x=μσ第48頁，共74頁，2023年，2月20日，星期一當(dāng)x→∞時(shí)，f(x)→0,x=μσ故f(x)以μ為對(duì)稱軸，并在x=μ處達(dá)到最大值:第49頁，共74頁，2023年，2月20日，星期一正態(tài)分布的圖形特點(diǎn)

正態(tài)分布的密度曲線是一條關(guān)于對(duì)稱的鐘形曲線.特點(diǎn)是“兩頭小，中間大，左右對(duì)稱”.第50頁，共74頁，2023年，2月20日，星期一

決定了圖形的中心位置，決定了圖形中峰的陡峭程度.正態(tài)分布的圖形特點(diǎn)第51頁，共74頁，2023年，2月20日，星期一

設(shè)X~,X的分布函數(shù)是第52頁，共74頁，2023年，2月20日，星期一標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布下面我們介紹一種最重要的正態(tài)分布

正態(tài)分布由它的兩個(gè)參數(shù)μ和σ唯一確定，當(dāng)μ和σ不同時(shí)，是不同的正態(tài)分布。第53頁，共74頁，2023年，2月20日，星期一標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的正態(tài)分布稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布.其密度函數(shù)和分布函數(shù)常用

和

表示：P93第54頁，共74頁，2023年，2月20日，星期一它的依據(jù)是下面的定理：

標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的重要性在于，任何一個(gè)一般的正態(tài)分布都可以通過線性變換轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布.

一個(gè)服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量X的線性函數(shù)Y=aX+b仍然服從正態(tài)分布。,則

~N(0,1)

設(shè)定理,則

~N(0,1)

設(shè)P94第55頁，共74頁，2023年，2月20日，星期一

書末附有標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)數(shù)值表，有了它，可以解決一般正態(tài)分布的概率計(jì)算查表.正態(tài)分布表表中給的是x>0的值.當(dāng)x<0時(shí)P260第56頁，共74頁，2023年，2月20日，星期一當(dāng)x<0時(shí)P260第57頁，共74頁，2023年，2月20日，星期一當(dāng)x<0時(shí)正態(tài)分布表兩個(gè)重要的數(shù)值：P260第58頁，共74頁，2023年，2月20日，星期一若~N(0,1)

若

X～N(0,1),一般正態(tài)分布的計(jì)算：第59頁，共74頁，2023年，2月20日，星期一

第60頁，共74頁，2023年，2月20日，星期一

第61頁，共74頁，2023年，2月20日，星期一解例設(shè)求下列概率值：求得下列概率值3準(zhǔn)則第62頁，共74頁，2023年，2月20日，星期一總結(jié)：時(shí)，可以認(rèn)為，Y的取值幾乎全部集中在區(qū)間內(nèi).

這在統(tǒng)計(jì)學(xué)上稱作“3準(zhǔn)則”

（三倍標(biāo)準(zhǔn)差原則）.P260第63頁，共74頁，2023年，2月20日，星期一例設(shè)則的大小關(guān)系是第64頁，共74頁，2023年，2月20日，星期一自然界許多指標(biāo)都服從或近似服從正態(tài)分布

成年人的各種生理指標(biāo)：身高、體重、血壓、視力、智商等例一個(gè)班的某門課程的考試成績(jī)例海浪的高度例一個(gè)地區(qū)的日耗電量例各種測(cè)量的誤差例炮彈彈著點(diǎn)例一個(gè)地區(qū)的家庭年收入例正態(tài)分布的背景和應(yīng)用第65頁，共74頁，2023年，2月20日，星期一服從正態(tài)分布的指標(biāo)有什么特點(diǎn)一般說，若影響某一數(shù)量指標(biāo)的隨機(jī)因素很多，而每個(gè)因素所起的作用都不太大，則這個(gè)指標(biāo)服從正態(tài)分布.為什么叫“正態(tài)”分布正態(tài)分布密度呈現(xiàn)“中間高，兩頭低”的形態(tài)，它描述了自然界大量存在的隨機(jī)現(xiàn)象，所以正態(tài)分布是自然界的一種“正常狀態(tài)

(normal)”的分布.問題？問題？第66頁，共74頁，2023年，2月20日，星期一Ox-8-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

12345678正態(tài)分布的密度曲線高爾頓釘板試驗(yàn)第67頁，共74頁，2023年，2月20日，星期一

例公共汽車車門的高度是按男子與車門頂頭碰頭機(jī)會(huì)在0.01以下來設(shè)計(jì)的.設(shè)男子身高X～N(170,62),問車門高度應(yīng)如何確定?

解:設(shè)車門高度為hcm,按設(shè)計(jì)要求P(X≥h)≤0.01或

P(X<h)≥0.99，下面我們來求滿足上式的最小的

h.第68頁，共74頁，2023年，2月20日，星期一因?yàn)閄～N(170,62),故

P(X<h)=0.99查表得(2.33)=0.9901>0.99所以=2.33,即

h=170+13.98184設(shè)計(jì)車門高度為184厘米時(shí)，可使男子與車門碰頭機(jī)會(huì)不超過0.01.P(X<h)0.99求滿足的最小的

h.第69頁，共74頁，2023年，