幾個(gè)常用的分布和臨界值

幾個(gè)常用的分布和臨界值第1頁(yè)，共14頁(yè)，2023年，2月20日，星期日

前面我們學(xué)習(xí)了一些分布如二項(xiàng)分布、均勻分布、正態(tài)分布等。本節(jié)再介紹幾個(gè)常用的分布，它們?cè)跀?shù)理統(tǒng)計(jì)中起著非常重要的作用，這些分布均與正態(tài)分布有密切的聯(lián)系。定義2設(shè)X1，X2，…，Xn是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，且Xi～N(0，1)(i=1，2，…，n)，則稱隨機(jī)變量(3.1)所服從的分布是自由度為n的分布，簡(jiǎn)記為～(n)。自由度n是指(3.1)式右端的獨(dú)立變量個(gè)數(shù)。1.分布

一、幾個(gè)重要分布第2頁(yè)，共14頁(yè)，2023年，2月20日，星期日分布的概率密度為(3.2)由第二章知，分布的密度函數(shù)正是參數(shù)為的分布。它隨著自由度n的不同而有所改變。第3頁(yè)，共14頁(yè)，2023年，2月20日，星期日

定理1

1)設(shè)2～2(n)，則E2=n，D2=2n；2)設(shè)Y1~2(n1)，Y2~2(n2)，且Y1，Y2相互獨(dú)立，則有Y1+Y2~2(n1+n2)。證明1)由2分布的定義知，Xi～N(0，1)，故分布的性質(zhì)

2)Y1+Y2~2(n1+n2)證略。第4頁(yè)，共14頁(yè)，2023年，2月20日，星期日

其中2)也稱為2分布的可加性，用數(shù)學(xué)歸納法不難推廣到任意有限個(gè)隨機(jī)變量的情形。例1設(shè)(X1，X2，…，Xn)為總體X～N()的樣本，則第5頁(yè)，共14頁(yè)，2023年，2月20日，星期日xf(x)xf(x)mnnm第6頁(yè)，共14頁(yè)，2023年，2月20日，星期日第7頁(yè)，共14頁(yè)，2023年，2月20日，星期日1標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的臨界值定義5：設(shè)X～N(0,1)，對(duì)給定的數(shù)α(0＜α＜1)存在實(shí)數(shù)Zα滿足則稱點(diǎn)Zα為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布X的上α臨界值(或分位點(diǎn))。由標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的性質(zhì)及上述定義知故若已知α，可通過(guò)反查正態(tài)分布表，求出上分位點(diǎn)Zα.如α=0.005則由=0.995，查表得Z0.005=2.57二幾個(gè)重要分布的臨界值第8頁(yè)，共14頁(yè)，2023年，2月20日，星期日當(dāng)時(shí),由=1-α,表中無(wú)法查出,此時(shí)查表再由可求出上分位點(diǎn)Zα.如α=0.975由=0.975，查表得Z1-0.975=1.96∴Z0.975=-Z1-0.975=-1.96第9頁(yè)，共14頁(yè)，2023年，2月20日，星期日2．分布的臨界值定義6

設(shè),概率密度為f(x).對(duì)給定的數(shù)(0＜＜1)，若存在實(shí)數(shù)滿足則稱數(shù)為分布的臨界值，如圖所示。第10頁(yè)，共14頁(yè)，2023年，2月20日，星期日如n=60,=0.05,則例2已知.試確定c值,使,并把c用臨界值表示出來(lái)。解由分布的臨界值定義知,通過(guò)查表n=10,=0.05得。3．t分布的臨界值定義7設(shè)T～t(n)，概率密度為f(x).對(duì)給定的(0＜＜1).若存在實(shí)數(shù)滿足則稱點(diǎn)為t分布的臨界值，如圖所示。第11頁(yè)，共14頁(yè)，2023年，2月20日，星期日1－α已知n，，通過(guò)查t分布附表3表可求得。如n=10，=0.05，查表得t0.05(10)=1.8125。第12頁(yè)，共14頁(yè)，2023年，2月20日，星期日4．F分布的臨界值

如=0.05,m=15,n=12,查表得F0.05(15，12)=2.6。

第13頁(yè)，共14頁(yè)，2023年，2月20日，星期日例3設(shè)(X1，X2，…，Xn)為總體N(0，0.52)的一個(gè)樣本,求解：∵總體為N(0，0.52)∴Xi～N(0，0.52)i=1，