土木工程材料力學(xué)知識點

一工程力學(xué)的研究對象工程力學(xué)是一門研究物體機械運動一般規(guī)律和有關(guān)構(gòu)件的強度、剛度、穩(wěn)定性理論的科學(xué)，它包括靜力學(xué)、材料力學(xué)、運動學(xué)和動力學(xué)的有關(guān)內(nèi)容。建筑物中承受荷載而起骨架作用的部分稱為結(jié)構(gòu)。結(jié)構(gòu)是由若干構(gòu)件按一定方式組合而成的。組成結(jié)構(gòu)的各單獨部分稱為構(gòu)單層廠房結(jié)構(gòu)由屋頂、樓板和吊車梁、柱等構(gòu)件組成；結(jié)構(gòu)受荷載作用時，如不考慮建筑材料的變形，其幾何形狀和位置不會發(fā)生改變。結(jié)構(gòu)按其幾何特征分為三種類型遠遠大于橫截面的寬度和高度工程力學(xué)的研究對象主要是桿系結(jié)二工程力學(xué)的研究內(nèi)容和任結(jié)構(gòu)正常工作必須滿足強度、剛度和穩(wěn)定性的要求按教學(xué)要求，我們主要研究以下幾個部分的內(nèi)容體、變形固體及其基本理想變形固體是對實際變形固體的材料理想化，作出以下假設(shè)各向異性材料。本中僅研究各向同性材料。變形固體受荷載作用時將產(chǎn)生變形。當荷載撤去后，可完全四荷載的分結(jié)構(gòu)工作時所承受的主動外力稱為荷載荷載可分為不同的類第一 剛體靜力學(xué)基第一節(jié)靜力學(xué)基本概一、剛體的概二、力的概力是物體之間相互的機械作用，力的大小是物體相互作用的強弱程度在國際單位制中，力的單位用（N）或千（kN，1kN=103N。力的方向力的作用位置是指物體上承受力的部位一般來說是一表示，如AB長度按一定的比例尺表示力F的大小，線段的方位和箭頭的指向表示力的方向。線段的起點A或終B表示力的作用點。線段AB的延長線（中虛線）力的作用線。應(yīng)，用一個簡單的等效力系（或一個力）代替一個復(fù)雜力系的過程三、靜力學(xué)公理公理二力平衡公值可以表示為：=-/或F+/此公理給出了作用于剛體上的最簡力系平衡時所必須滿足的條公理加減平衡力系公在作用于剛體的任意力系中，加上或減去平衡力系，并不改變原力系對剛體作用效應(yīng)。推論一力的可傳性原理。證明：F作用于剛體上的點A。在力F作用線上任選一B，在點B上加一對平衡力F1F2，F(xiàn)1=－F1、F2、F構(gòu)成的力系與F等效。將平衡力系F、F2減去F1F等效。此時，相當于力F已由點A沿作用線移到了點B。公理三力的平行四邊形法則作用于物體上同一點的兩個力可以合成為作用于該點的一個合。以R表示力1和力2的合力，則可以表示為：=1+2。即作用于物體上同一點兩個力的合力等于這兩個力的矢量合。在求共點兩個力的合力時，我們常采用力的三角形法則：從剛體外任選一點a作矢量ab代表力F1，然后從b的終點作bc代表F2，最后連起點a與終點c得到矢量ac,ac就代表合力矢FR。分力矢與合力矢所構(gòu)成的三角形abc稱為力的三角形這種合成方法稱推論三力平衡匯交定。證明:設(shè)在剛體上三點A、B、C分別作用有力F1F2、F3，其互不平行，且為平衡力系據(jù)力的可傳性，將力F1F2移至匯公理一知，F(xiàn)3FR1必共線，所以力F1、F2的作用線必過點O。公理四作用與反作用公理。與反作用力雖然等值、反向、共線，但它們不能平衡，因為二者分作用在兩個物體上，不可與二力平衡公理起來。公理五剛化原理（剛化，則其平衡狀態(tài)不變。第二節(jié)力對點之矩一、力矩的概念母為例，設(shè)螺母能繞點O轉(zhuǎn)動。由經(jīng)驗可知，螺母能否旋動，不僅取決于作用在扳手上的力F的大小，而且還與點OF的作用線的垂直距離d有關(guān)。因此，用F與d的乘積力F使螺母繞點O轉(zhuǎn)動效應(yīng)的量度其中距離d稱為FO點的力臂O稱為矩心。由于轉(zhuǎn)動有逆時針和順時針兩個轉(zhuǎn)向，則力FO點之矩定義為：力的大小F與力臂d的乘積冠以適當?shù)恼撎栆苑杕o(F)表示，在國際單位制中力矩的單位是?（N?m或千?由上述分析可得力矩的性證明設(shè)剛體上的A點作用著一平面匯交力系力系的合力在力系所在平面內(nèi)任選一點OOoy軸，且垂直于OA。則圖中Ob1、Ob2、…、Obn分別等于力F1、F2、…、FnFROy軸上的投影Y1、Y2、…、YnYR?，F(xiàn)分別計算F1、F2、…、FnFR各分力對點O的力矩。mO(F1)Ob1OAY1OAm(F)ObOAY m(F)ObOAY mO(FR)ObrOA根據(jù)合力投影定兩端乘以O(shè)A將式（1）代入mo(FR)＝mo(F1)＋即例 試計算圖中力對A點之矩解本題有兩種解法由力矩的定義計算力FA點之矩。先求力臂d。由圖中幾何關(guān)系有：d=ADsinα=(AB-DB)sinα=(AB-BCctg)sinα=(a-=asinα-所mA(F)=F?d=F(asinα-根據(jù)合力矩定理計算力FA點之矩將力FC點分解為兩個正交的分力由合力矩定理可mA(F)=mA(Fx)+mA(Fy)=－ b+ a=－Fbcosα＋Fasin=F(asinα-第三節(jié)力一、力偶力偶在日常生活和工程實際中經(jīng)常見到物體受動兩個大小相等、方向相反但不在同一直線上的兩個平行力作用的情況例如轉(zhuǎn)動駕駛汽車時兩手作用在方向盤上的力，工人用絲錐攻螺紋時兩手加在扳手上的力；以及用兩個手指擰動水龍頭所加的力等等。在力學(xué)中把這樣一對等值、反向而不共線的平行力稱為力偶，用符號(F,′對物體轉(zhuǎn)動效應(yīng)的量度，稱為力偶矩，用mmF,F′)表示在國際單位制中力矩的單位是?（N?m或千?二、力偶的性力和力偶是靜力學(xué)中兩個基本要素。力偶與力具有不同的性質(zhì)如圖力偶(F,F′)的力偶矩m(F)＝F?d在其作用面內(nèi)任取一點量度OF′的垂直距離為x，則力偶(F,F′)對于點O的矩mo(F,F′)=mo(F)+mo(F′)=F（x+d）-F′x=F?d=所得結(jié)果表明不論點O選在何處其結(jié)果都不會變即力偶對，由上述分析得到如下結(jié)論這就是平面力偶的等效條件。根據(jù)力偶的等效性，可得出下面兩個推論1力偶可在其作用面內(nèi)任意移動和轉(zhuǎn)而不會改變它對2只要保持力偶矩時改變力偶中力的大小和力中箭頭表示力偶的轉(zhuǎn)向，m表示力偶矩的大小。三、平面力偶系的合作用在物體同一平面內(nèi)的各力偶組成平面力偶系設(shè)在剛體的同一平面內(nèi)作用三個力偶F1,F1′)F2,F2′F3,F3′力偶矩分別為m1＝F1?d1，m2＝F2?d2，在力偶作用面內(nèi)任取一線段AB＝d，按力偶等效條件，將這三個力偶都等效地改為以為d力偶臂的力偶(P1,P1′)(P2,P2′)和(P3,P3′)。由等效條件可知P1?d=F1?d1，P2?d＝F2?d2，－P3?d＝－F3?d3然后移轉(zhuǎn)各力偶，使它們的力偶臂都與AB重合，則原平面力偶系變換為作用于點AB的兩個共線力系將這兩個共線力系分別合可見，力R與R′等值、反向作用線平行但不共線，構(gòu)成一新的力偶（R，F(xiàn)R′，為偶（，′）稱為原來的三個力偶的合力偶。用M表示此合力偶矩，則＝FRd＝（1＋2－3）d=1?d2?d－3?d=F1?d12?d2－3?d3所 若作用在同一平面內(nèi)有個力偶，則上式可以推廣由此可得到如下結(jié)論四、平面力偶系的平衡條即平面力偶系有一個平衡方程，可以求解一個未知量例`1－2如圖示，電動機軸通過聯(lián)軸器與工作軸相連，聯(lián)軸器上4個螺栓A、B、C、D的均勻地分布在同一圓周上，此圓的直徑d＝150mm，電動機軸傳給聯(lián)軸器的力偶矩m＝2.5kN?m，試解 取聯(lián)軸器為研究對象，作軸器上的力有電動機傳給聯(lián)軸器的力偶，每個螺栓的反力，受力如圖所示。設(shè)4個螺栓的受力均勻，即F1＝F2＝F3＝F4＝F，則組成 解 F

2

第四節(jié)力的平移定證明設(shè)力F作用于剛體上A點，為將力F等效地平行移動到剛體上任意一點,根據(jù)加減平衡力系公理，在B點加上兩個等值、反向的力F′F"，并使F′＝F"＝F，顯然，力F、F′F"組成的力系與原力F等效。由于在力系F、F′F"F與力F"等F"的力F′和力偶（F、F"）與原力F等效。亦即把作用于A點的力F平行移動到任意一點B，但同時附加了一個力偶，附加力偶的力偶第五節(jié)約束與約束反一、柔性約束力。二、光滑接觸面光滑接觸面約束反力作用于接觸點，沿接觸面的公法線且指向物體，為壓力。三、圓柱形鉸鏈這種約束稱為鉸鏈約束，簡稱鉸連接或中間鉸，鉸鏈約束只能限制線相對轉(zhuǎn)動。鉸鏈約束的約束反力作用在銷釘與物體的接觸點D，約束反力Fc的方向也不能確定。因此，其約束反力作用在垂直于銷約束反力常用過鉸鏈中心兩個大小未知的正交分力Xc，Yc來表示四、固定鉸支座固定鉸支座的約束與鉸鏈約束完全相同簡化記號和約束反力如圖五、活動鉸鏈支動鉸支座，這種約束只能限制物體沿支承面法線方向運動，而不能六、中間鉸兩端以鉸鏈與其它物體連接中間不受力且不計自重的剛性直桿稱鏈桿，這種約束反力只能限制物體沿鏈桿軸線方向運動，因此鏈桿的約束反力沿著鏈桿七、固定端約一個約束反力偶來代替。第六節(jié)物體的受力分析與受力畫受力圖一、下面舉例說明物體受力分析的方法例1－3 起吊架由桿件AB和CD組成，起吊重物的重量為Q。不計桿件自重，作桿件AB的受力圖。解：取桿件AB為分離體，畫出其分離體圖桿件AB上沒有荷載，只有約束反力。A端為固定鉸支座。約束反力用兩個垂直分力XAYA表示，二者的指向是假定的。D點用鉸鏈與CD連接，因為CD為二力桿，所以鉸D反力的作用線沿C、D兩點連線，以FD表示。圖中FD的指向也是假定的。B點與繩索連接，繩索作用給B點的約束反力FT沿繩索、背離桿件AB2－14b為桿件AB的受力圖。應(yīng)該注意（圖b）中的力FT不是起吊重物的重力FGFT是繩索對桿件AB的作用FG是地球?qū)χ匚锏淖饔檬埽▓Dc）上，作用有力FT的反作用力FTˊ和重力FG。由二力平衡FTˊ是反向、等值的。所以力FTFG大小相等，方向相同。例1－3 水平梁ＡＢ用斜桿ＣＤ支撐，A、C、D三處均為光滑鉸鏈連接，梁上放置一重為FG1的電動機。已知為FG2，不計CD自重，試分別畫出桿CDAB的受力圖的兩端分別受有鉸鏈的約束反力FC和FD的作用由些判斷CD桿為二力桿。根據(jù)公理一，F(xiàn)C和FD兩力大小相等、沿鉸鏈中心連線CD方向且指向相反。斜桿CD的受力圖如圖所示。；取梁AB（包括電動機）為研究對象。它受FG1、FG2兩個主動力的作用；鉸鏈D處受二力桿CD給它的約束反力FDˊ的作用根據(jù)公理四，F(xiàn)Dˊ＝－FDA處受固定鉸支座的約束反力，由于方向未知，可用兩個大小未知的正交分力XAYA表示。梁；1－3簡支梁兩端分別為固定鉸支座和可動鉸支座，在C處作用一集中荷載FP不計，試畫梁AB的受力圖。解：取梁AB為研究對象。作用于梁上的力有集中荷載FP，可動鉸支座B的反力FB，鉛垂向上，固定鉸支座A的反力用過點A的兩個正交分力XA的YA表示。由于些三個力作用而平衡，故可由推論二確定FA的方向。用點D表示力FPFB的作用線交點。FA的作用線必過交點D。1－3三鉸拱橋由左右兩拱鉸接而成，如圖示。設(shè)各拱自重不計在拱AC上作用荷載F試分別畫出拱ACCB的受力圖1取拱CB為研究對象由于拱自重不計且只在B、C處受到鉸約束，因此CB為二力構(gòu)件。在鉸鏈中心B、C分別受到FB和FC的作用，且FB＝－FCCB的受力圖如圖所示。（2）取拱AC連同銷釘C為研究對象。由于自重不計，主動力只有荷載FC受拱CB施加的約束力FCˊ，且FCˊ＝－FC；A處的約束反力可分解為XAYAAC的受力圖如圖示定理，可確定出鉸鏈A處約束反力FA的方向。點DFFCˊ的交點，當拱AC平衡時，F(xiàn)A的作用線必通過點D，如圖1－17d所示，F(xiàn)A的指向，可先設(shè)，以后由平衡條件確定。1－3系統(tǒng)中，物體FFG，其它和構(gòu)件不計自重。（2）AB（3）BE（4）F所組成的系統(tǒng)的受力圖。解：整體受力圖如圖示。固定支座A自有兩個垂直反力和一個約束反力偶。鉸C、D、E和G點這四處的約束反力對整體來說是桿件AB的受力圖如圖。對桿件AB來說B、D的反力是外桿件BE的受力圖如圖BEB點的反力XBˊYBˊ上XB和YB反作用力，必須等值、反向的畫出桿件CD、輪C、繩和重物F所組成的系統(tǒng)的受力圖如圖所示桿件CD上的約束反力分別是桿件AB、BED、E兩點相應(yīng)力的反用力，力XEˊ的指向應(yīng)與力XE的指向相反，不能再隨意假定。鉸C（1約束反力的作用位置和方向不能臆斷（5二力桿要優(yōu)先分析第二章平面匯交力§2-1平面匯交力系合成與平衡的幾何法設(shè)在某剛體上作用有由力F1F2F3F4組成的平面匯交力系，各力的作用線交于點A。由力的可傳性，將力的作用線移至匯交A;然后由力的合成三角形法則將各力依次合成即從任意點a作矢量ab代表力矢F1，在其末端b作矢量bc代表力矢F2，則虛線ac表示力矢F1F2的合力矢FR1；再從點C作矢量cd代表力矢F3，則ad表示FRF3的合力FR2；最后從點dde代表力矢F4ae代表力矢FR2F4的合力矢，亦即力F1、F2、F3、F4的合力矢FR，其大小和方向如圖，其作用線通過匯交點A。作圖，虛線acad不必畫出，只需把各力矢首尾相連，得折線abcd，則第一個力矢F1的起點a向最后一個力矢F4的終點e作ae，即得合力矢FR。各分力矢與合力矢構(gòu)成的多邊形稱為力的多邊形，表示合力矢的邊ae稱為力的多邊形的逆封邊。這種求合力的方首尾相連，而環(huán)繞力多邊形周邊的同一方向，而合力把向封閉多邊形上述方法可以推廣到由n個力1F2…n組成的平面匯可用矢量式表示FR=F1+F2+…+Fn例2－1同一平面的三根鋼索邊連結(jié)在一固定環(huán)上，已知三鋼1＝500N2＝10003＝2000N解先定力的比例尺如圖作力多邊形先將各分力乘以比例尺得到各力的長度，然后作出力多邊形圖，量得代表合力矢的長度為，則FR的實際值為FRFR的方向可由力的多邊形圖直接量出，F(xiàn)RF1的夾角為31二、平面匯交力系平衡的幾何條平面匯交力系的平衡的必要與充分的幾FR2－2求一支架，A、B為鉸鏈支座，C為圓柱鉸鏈。斜撐桿BC與水平桿AC的夾角為30o在支架的C處用繩子吊著重G＝20kN解ACBC均為二力桿銷釘C為研究對象，作用它上面的力有：繩子的拉力FT(FT=G)，ACBC桿對銷釘C的作用力FCA和FCB。這三個力為一平面匯交力系（銷釘C的受力圖如圖根據(jù)平面匯交力系平衡的幾何條件，F(xiàn)T、FCA和FCB應(yīng)組成閉合的力三角形。選取比例尺如圖，先畫已知力FT＝ab，過a、b兩點分別作直線平行于FCAFCB得交點c，于是得力三角形abc，順著abc的方向標出箭頭，使其首尾相連，則矢量ca和bc就分別表示力FCAFCB的大小和方向。用同樣的比例尺量得§2-2平面匯交力系合成與平衡的解一、在坐標軸上的投如圖3－5所示，設(shè)力F作用于剛體上的A點，在力作用的平面內(nèi)建立坐標系oxy，由力F的起點和終點分別向x軸作垂線，得垂足a1b1，則線段a1b1冠以相應(yīng)的正負號稱為力Fx軸上的投影，用X表示。即X=±a1b1；同理，力Fy軸上的投影用Y表示，即XabFcosYabFcos式中α、β分別為FX、Y軸正向所夾的銳角反之，若已知力F在坐標軸上的投影X、Y，則該力的大小及向余弦

F X2Y2cos 二、合力投影定設(shè)一平面匯交力系由F1、F2、F3和F4作用于剛體上，其力的多邊形abcde如圖所示，封閉邊ae表示該力系的合力矢FR，在力的多邊形所在平面內(nèi)取一坐標系oxy，將所有的力矢都投影到x軸和y軸X=a1e1,X1=a1b1,X2=b1c1，X3=c1d1由圖可 同 將上述關(guān)系式推廣到任意平面匯交力系的情形，XX1X2XnX YY1Y2Yn即。三、平面匯交力系合成的解析坐標系oxy。求出力系中各力在x軸和y軸上的投影，由合力投影理X2X2Y (X)2(Y)2XXRFRcos其中α是合力FR分別與X、Y軸正向所夾的銳角2－3如圖固定圓環(huán)作用有四根繩索，其拉力分別為F1＝解建立如圖所示直角坐標系。根據(jù)合力投影定理，X=ΣX＝X1+X2+X3+X4＝F1cosα1＋F2cosα2＋F3cosα3＋F4Y=ΣY＝Y(jié)1+Y2+Y3+Y4＝F1sinα1＋F2sinα2＋F3sinα3－F4(X)2(Y(X)2(YFR

方向

cos

解 四、平面匯交力系平衡的解析條我們已經(jīng)知道平面匯交力系平衡的必要與充分條件上其合力于零，即FR＝0ΣX=0 (平衡方程上式表明平面匯交力系平衡的必要與充分條件是：力系中在力系所在平面內(nèi)兩個相交軸上投影的代數(shù)和同時為零。平面匯交力系的平衡方程只能求解兩個未知量。2－4重量為G和重物，放置在傾角為α的光滑斜面上求保持重物成平衡時需沿斜面方向所加的力F和重物對斜面的壓力解以重物為研究對象。重物受到重力G、拉力F和斜面對重物的作用力FN，其受力圖如圖所示。取坐標系oxy，列平衡方程 > － α解 F＝ 則重物對斜面的壓力FN＇＝Gcosα，指向和相反2－5水平桿重量不計，受固定鉸支座ACD的約束 取AB桿為研究對象。作用于AB桿的是一個主動力偶，A、C兩點的約束反力也必然組成一個力偶才能與主動力偶平衡。由于CD桿是二力桿，F(xiàn)C必沿C、D兩點的連線，而FA應(yīng)與FC平行，且有FA＝FC，由平面力偶系平衡條件可得 FA×h－其 FFm100

2－6重G＝20kN的物體被絞車勻速吊起，絞車的繩子繞過點均為光滑鉸鏈。試求AB、AC所受的力。解AB和AC都是二力桿其受力如圖b所示假設(shè)兩桿受拉。取滑輪連同銷釘A為研究對象。重物G通過繩索直接加在滑輪的一邊在其勻速上升時拉力FT1＝G，而繩索又在滑輪的另一邊施加同樣大小的拉力FT1＝FT2受力圖如圖c所示取坐標系A(chǔ)xy列平衡方 解

421244212423

FT112122解

T力FAC是負值表示該力的假設(shè)方向與實際方向相反因此桿是受壓桿工作。盡量避免求解聯(lián)立方程，以提高計算的工作效率。這些都是第三章平面任意力系意力系來處理如圖所示的屋架可以忽略它與其它屋架之間的對于水壩縱向尺寸較大的結(jié)構(gòu)，在分析時常截取單位長度的考慮將壩段所受的力簡化為作用于平面內(nèi)的平面任意力系第一節(jié)平面任意力系向作用面內(nèi)任意一點設(shè)剛體受到平面任意力系12…n的作用，在力系所在的平面內(nèi)任取一點OO點，得到匯交于O點的平面匯交力系1′、F2′、…、n′，此外還應(yīng)附加相應(yīng)的力偶，構(gòu)成附加力偶系1、2、…、n.F1′＝F1，F(xiàn)2′＝F2所得平面匯交力系可以合成為一個力RO，也作用于點O，其力矢R′等于各力矢F1′、F2′、…、Fn′的矢量和，即RO＝F1′+F2′+…+Fn′＝F1+F2′主矢R′的大小與方向可用解析法求得。按圖所選定的坐標Oxy,主矢R′的大小及方向分別由下式確定R

R2R2 X2Y2 tan1

tan1 其中α為主矢R′與x軸正向間所夾的銳角各附加力偶的力偶矩分別等于原力系中各力對簡化中心O之矩即mO1＝mo(F1)，mO2＝mo(F2)，…，mOn號MO表示，它等于各附加力偶矩mO1、mO2、…、mOn的代數(shù)和，MO＝mO1+mO2+mOn＝mo(F1)+mo(F2…mo(Fn)＝ΣmO（F）原力系中各力對簡化中心之矩的代數(shù)和稱為原力系對簡化中的主矩簡化，可得一力和一個力偶。這個力的作用線過簡化中心，其力矢等于原力系的主矢；這個力偶的矩等于原力系對簡化中心的主矩第二節(jié)簡化結(jié)果分析及合力矩定平面任意力系向O點簡化一般得一個力和一個力偶可能出現(xiàn)的情′≠0＝0O＝′＝Σ?！洌?≠03．R′＝0，MO＝0，原力系平衡4．R′≠0，MO≠0，這種情況下，由力的平移定理的逆過程，可將力R′和力偶矩為MO的力偶進一步合成為一合力R將力偶矩為O，R作用在點O′，R′與R"組成一對平衡力將其去掉后得到作用于O′點的力R，與原力系等效。因此這個力R就是原力系的合力。顯然R′＝R，而合力作用線到簡化中心的距離為MOdMO MO＞0時，順著RO的方向看，合力RRO的右邊0時，合力RRO的左邊 因為O點是任選的，上式有普遍意義平面任意力系的合力對其作用面內(nèi)任一點之矩等于力系中各力對同一點之矩的代數(shù)和。 3－1重力壩斷面如圖a示,壩上游有泥沙淤積已知水深H＝46m，泥沙厚度h＝6m，水的容重γ＝98kN/m3，泥沙的容重γ′＝8kN/m3，已知1m壩段所受重力W＝4500kN，W＝14000kN。受力圖如圖b示。試將此壩段所受的力向點O簡化，并求簡化的最后 解已知水中任一點的相對壓強與距水面的距離成正比即在坐標為y處的水壓強為p＝γ(H－y)(0≤y≤H)。同理,泥沙壓強為＝γ′(h－y)(0≤y≤h所以上游壩面所受的分布荷載如圖b所示。算。水壓力如圖中大三角形所示，其合力為P1,則

2

P1過三角形形心，即與壩底相

1H15.33m3泥沙壓力如圖中的角形所示，其合力設(shè)為P2，P2與壩底相

P2h2m

2

現(xiàn)將P1、P2、W1、W2四個力向O簡化。先求主矢Rx′＝ΣX＝P1+P2Ry′＝ΣY＝－W1－W2 RyRxtanRyRx再求對O的主 mPHPhW2

9276300kN 最后求合力R＝R′，其作用線線與x軸交點坐標xMOxMO

第三 平面任意力系的平即用解析式表示可

X0Y0mO力系中各力在其作用面內(nèi)兩相交軸上的投影二矩式平衡方程形式

0其中A、B兩點的連線不能與x軸垂直因為當滿足時力系不可能簡化為一個力偶或者是通過A點的通過A、B兩點連線的合力，或者平衡。如果力系又滿足條件，其中x軸若與A、B連線垂直，力系仍有可能有通過這兩個矩心的合力，而不一定平衡；若x軸不與A、B連線垂直，這就排除了力系有合力的可能性。由此斷定，當三個方程同時滿足，并附加條件矩心A、B兩點的連線不能與x軸垂直時，力系一定是平衡力系。三矩式平衡方程形式

mA

其中A、B、C三點不能共在平面平行力系的作用面內(nèi)取直角坐標系Oxy，令y軸與該力系各力的作用線平行，則不論力系平衡與否，各力在x軸上的投影恒為零，不再具有判斷平衡與否和功能。于是平面任意力系的后兩個方為平面平行力系的平衡方程

Y0mOmAmB其中兩個矩心A、B的連線不能與各力作用線平平面平行力系有兩個獨立的平衡方程，可以求解兩個未知量3－2圖示為一懸臂式起重機，A、B、C都是鉸鏈連接。梁AB自重FG＝1kN，作用在梁的中點，提升重量FP＝8kN，桿BC自重不計，求支座A的反力和桿BC所受的力。解（1）取梁AB為研究對象，受力圖如圖b所示。A處為固定鉸支座其反力用兩分力表示BC為二力桿它的約束反力沿BC（2）取投影軸和矩心為使每個方程中未知量盡可能少A點為矩,選取直角坐標系A(chǔ)xy。（3）列平衡方程并求解AB所受各力構(gòu)成平面任意力由 得F(2FG3FP)(2138) 4sin 4由 (2FGFP)(218) 由 FAx F(2FG3FP)(2138) 4 4校3－3一端固定的懸臂梁如圖a所示梁上作用均布荷載荷載集度為q，在梁的自由端還受一集中力P和一力偶矩為m的力偶的作用。試求固定端A處的約束反力。解AB為研究對象。受力圖及坐標系的選取如圖b所 ΣX＝0，ΣY＝0，解 Σm＝0，解 3－4塔式起重機如圖所示。機身重G＝220kN，作用線A、B的間距為4m，平衡錘重Q至機身中心線的距離為6m。試（2）而起重機滿載時，軌道對A、B的約束反力。 取起重機整體為研究對象。其正常工作時受力如圖所示求確保起重機不至翻倒的平衡錘重Q的大小 解 解 Q≤因此平衡錘重Q的大小應(yīng)滿7.5kN≤Q≤當Q＝30kN，求滿載時的約束反力NA、NB的大小。 解 解 第四節(jié)靜定和超靜定問題及物體系統(tǒng)的平程全部求出，這樣的問題稱為靜不定問題或超靜定問a是平面平行力系，平衡方程是2個，而未知力是3個，屬于超靜定問題；圖b是平面任意力系，平衡方程是3個，而未知力有4個，因而也是出補充方程。cC處的FCxFCy。衡方程，而整個系統(tǒng)共有不超過3n個獨立的平衡方程。若系統(tǒng)中的3－5圖示的人字形折梯放在光滑地面上。重P＝800N的人站在梯子AC邊的中點H，C是鉸鏈，已知EB＝0.5m，梯子的自重不計。求地面A、B兩處的約束反力和繩的拉力解先取梯子整體為研究對象。受力圖及坐標系如圖b所示。 ΣmA＝0,NB(AC+BC)cos75o－P?ACcos75o／2＝0解 ，NA解 為求繩子的拉力，取其所作用的桿BC為研究對象。受力圖如c所示 ΣmC＝0,NB?BC?cos75o－T?EC?解 例3－6組合AB梁和BC中間鉸B連接而成支承與荷載情況如圖所示。已知P＝20kN，q＝5kN/m，α＝45o；求支座A、C的約束反力及鉸B處的壓力。 先取BC研究對象。受力圖及坐標如圖b所示。 ΣmC＝0, 1?P－2YB＝0解 ΣY＝0 YB－P解 ΣX＝0 解 XB＝10再取AB研究對象，受力圖及坐標如圖c所示由ΣX＝0解XA＝XB′＝10由ΣY＝0解YA＝Q＋YB′＝2q+YB＝20由ΣmA＝0mA－1?Q－2解3－7圖為一個鋼筋混凝土三鉸剛架的計算簡圖，在剛架上受到沿水平方向均勻分布的線荷載q＝8kN/m，剛架高h＝8m，跨l＝12m。試求支座A、B及鉸C的約束反力。 先取剛架整體為研究對象。受力圖如圖b所示。 ΣmC＝0, 解 YA－ql＋YB＝0 XA－XB＝0 XA＝XB再取左半剛架為研究對象。受力圖如圖c所示。 ΣmC＝0, 解 由（1）式 XA ΣX＝0 XA解 XC YA－ql／2＋YC＝0 考慮摩擦?xí)r物體的平一、滑動摩擦與滑動摩擦定用F表示。如圖所示一重為G的物體放在粗糙水平面上受水平力P的作用，當拉力P由零逐漸增大，只要不超過某一定值，物體仍處于平衡狀態(tài)這說明在接觸面處除了有法向約束反力N外必定還有一個阻礙重物沿水平方向滑動的摩擦力F，這時的摩擦力稱為靜摩擦力。靜摩擦力可由平衡方程確定。ΣX＝0, P－F＝0。解得F＝P?？梢?，靜摩擦力F隨主動力P的變化而變化。但是靜摩擦力F并不是隨主動力的增大而地增大，當水平生滑動物體即將滑動而未滑動的平衡狀態(tài)稱為臨界平衡狀態(tài)。在臨界平衡狀態(tài)下靜摩擦力達到最大值稱為最大靜摩擦力Fm表示。所以靜摩擦力大小只能在零與最大靜摩擦力Fm之間取值。即0≤小可用如下近似關(guān)系：最大靜摩擦力的大小與接觸面之間的正（法向反力）成正比， 這就是摩擦定律。式中f是無量綱的比例系數(shù)，稱為靜摩擦物體間在相對滑動的摩擦力稱為動摩擦力，用F′表示。實驗即 二、摩擦角與自鎖現(xiàn)如圖5－17所示，當物體有相對運動趨勢時，支承面對物體法向反力N和摩擦力F，這兩個力的合力R，稱為全約束反力。全約束反力R與接觸面公法線的夾角為φ，如圖5－17a。顯然，它隨摩擦力的變化而變化當靜摩擦力達到最大值Fmφ也達到最大值φm，則稱φm0為摩擦角。如圖5－17b所示，可見 作用線則這些直線將形成一個錐面稱摩擦錐如圖5－17c所示將作用在物體上的各主動力用合力Q表示，當物體處于平衡狀態(tài)時，主動力合力Q與全約束反力R應(yīng)共線、反向、等值，則有α＝而物體平衡時，全約束反力作用線不可能超出摩擦錐，即5－18 即作用于物體上的主動力的合力Q，不論其大小如何，只要其作用線與接觸面公法線間的夾角α不大于摩擦角φm物體必保持靜止。三、考慮摩擦?xí)r的平衡問5－8物體重G＝980N，放在一傾角α=30o的斜面上。已知接觸面間的靜摩擦系數(shù)為f＝0.20。有一大小為Q＝588N的力沿斜面推物體如圖5－19a所示，問物體在斜面上處于靜止還是處于滑動狀解可先假設(shè)物體處于靜止狀態(tài)，然后由平衡方程求出物體處于靜止狀態(tài)時所需的靜摩擦力F，并計算出可能產(chǎn)生的最大靜摩擦力Fm，將兩者進行比較，確定力F是否滿足F≤Fm，從而斷定物體是設(shè)物體沿斜面有下滑的趨勢；受力圖及坐標系如圖5－19所示。由ΣX＝0, 解 ΣY＝0 解 根據(jù)靜定摩擦定律，可能產(chǎn)生的最大靜摩擦力為F98N169.7N結(jié)果說明物體在斜面上保持靜止。而靜摩擦力F為－98N，負號例5－9 重Q的物體放在傾角α＜φm 5－20a求維持物體在斜面上靜止時的水平推力P的大小。 ，若力P過小，則物體下滑；若力P過大，又將使物體上滑；若力P的數(shù)值必在某一范圍內(nèi)。先求剛好維持物體不至于下所需力P的最小值Pmin。此時物體處于下滑的臨界狀態(tài)，其受力圖及坐標系如圖5－20b所示。 ΣX＝0 Pmincosα－Qsinα+F1m＝>Y＝0 N1－Pminsinα－Qcosα＝由式（b） N1＝Pminsinα+QcosF1m=fN1、f=tanφm和式（c）代入式（a，

Q(sinfcos)Qtan()(cosfsin)

再求不至使物體向上滑動的力P的最大值Pmin。此時物體處于上滑的臨界平衡狀態(tài)，其受力圖及坐標如圖5－20c所示。 ΣX＝0 Pmaxcosα－F2m－Qsinα＝ΣY＝0 由式（f） （e，

Q(sinfcos)Qtan()(cosfsin)

可見，要使物體在斜面上保持靜止，力P必須滿足下列條件Qtan(α－φm)≤第四章軸向拉伸與壓第一節(jié)、軸向拉伸與壓縮的概第二節(jié)、截面法、軸力與軸力一、內(nèi)力的概由外力作用而引起的受力構(gòu)件內(nèi)部質(zhì)點之間相互作用力簡稱工程力學(xué)所研究的內(nèi)力是由外力引起的附加內(nèi)力著。二、截確定構(gòu)件任意截面上內(nèi)力值的基本方法是截面法。圖示為任意受平衡力系作用的構(gòu)件.為了顯示并計算某一截面上的內(nèi)力,可在該對保留部分的作用以力的形式表示,此即該截面上的內(nèi)力.六個內(nèi)力分量（空間任意力系）Nx、Qy、Qz和Mx、My、Mz來表示，既可求出Nx、Qy、QzMx、My、Mz等各內(nèi)力分量.用截面法研究保內(nèi)力Nx.截面法求內(nèi)力的步驟可歸納為截開:在欲求內(nèi)力截面處,用一假想截面將構(gòu)件一分為二如圖所示為一受拉桿,用截面法求m-m面上的內(nèi)力取左段由 N-解 解 由上可見N與N/大小相等，方向相反，符合作用與反作用定律。為了無論取哪段，均使求得的同一截面上的軸力N有相同的符號，則規(guī)定：軸力N方向與截面外法線方向相同為正，即為拉力；相4-1一等直桿受4個軸向力作用，試求指定截面的軸力 解 如圖7-8c所示， N2-P1-解 如圖7-8d所示， N3-P1+P3-解 N3=P1-P3+P2=-N3第三節(jié)截面上的應(yīng)一、應(yīng)力的概設(shè)在某一受力構(gòu)件的mm截面上，圍繞K點取為面積AA上的內(nèi)力的合力為F，這樣，在A上內(nèi)力的平均集度定義為：p平均

一般情況下mm截面上的內(nèi)力并不是均勻分布的，因此平均應(yīng)力p平均隨所取A的大小而不同，當A0時，上式的極限值plimA0

即為K點的分布內(nèi)力集度K點處的總應(yīng)力。p是一矢量，通常把應(yīng)力p分解成垂直于截面的分量和相切與截面的分量。由psin p稱為正應(yīng)力，稱為剪應(yīng)力。在國際單位制中，應(yīng)力的單位是帕斯卡，以Pa（帕）表示，1Pa=1N/m2。由于帕斯卡這一單位甚小，工程常kPa（）MPa（）GPa（）。 仍為垂直于桿軸的平面。于是桿件任意兩個橫截面間的所有纖維，橫截面上的正應(yīng)力為正，壓應(yīng)力

為負第五 材料在拉伸和壓縮時的力學(xué)性這些性能是構(gòu)件承載能力分析及選取材料的依據(jù)。一、材料在常溫、靜載下拉伸的力學(xué)性低碳圖8-18示。在試件等直部分的中段劃取一段l0作為標距長度。標距長度有兩種，分別為l010d0l05d0。d0為試件的直徑。將試件裝夾在萬能試驗機上，隨著拉力P的緩慢增加，標距段的P，則在試驗機的自動繪圖儀上便可繪出Pl曲線，稱為拉伸圖。圖為a低碳鋼的拉伸圖。由于Pl曲線受試件的幾何尺寸影響所以其還不能直接反映材料的力學(xué)性能。為此，用應(yīng)力PA0（A0為試件標距段原橫截面面積來反映試件的受力情況ll0來反映標距段的變形情況于是便得圖(b)所示的曲線，稱為應(yīng)力應(yīng)變圖。根據(jù)低碳鋼的曲線的特點，對照其在實驗過程中的變形特征將其整個拉伸過程依次分為彈性、屈服、強化和頸縮4個階段 曲線上oa段，此段內(nèi)材料只產(chǎn)生彈性變形，若緩慢卸去載荷，變形完全。點a對應(yīng)的應(yīng)力值e稱為材料的彈性極限。雖然a'a微段是彈性階段的一部分，但其不是直線段。oa'是斜直線，，而tan/，令E ，則有E（拉、定律的數(shù)學(xué)表達式式中E稱為材料的彈性模量a'對應(yīng)的應(yīng)力值P稱為材料的比例極限。Q235鋼的P200Maa，由于大部分材料的Pe，所以將P和e統(tǒng)稱為彈性極限。屈服階段曲線上bc段為近于水平的鋸齒形狀線。這種應(yīng)力變化很小，應(yīng)變顯著增大的現(xiàn)象稱為材料的屈服或流動。bc段最低b'對應(yīng)的應(yīng)力值s稱為材料的屈服極限，是衡量材料強度的強化階段曲線上的cd段可見，經(jīng)過屈服階段以后，應(yīng)力又隨應(yīng)變增大而增加種現(xiàn)象稱為材料的強化曲線最高點d對應(yīng)的應(yīng)力值b是材料所能承受的最大應(yīng)力，稱為強度極限。Q235鋼的b=380~470Mpa是衡量材料強度的又一重要指標。若在cd段內(nèi)任一點f停止加載，并緩慢卸載，應(yīng)力與應(yīng)變關(guān)系將沿著與oa近乎平行的直線fO1回到點O（bO1O2為卸載后的應(yīng)變，即彈性應(yīng)變；OO1為卸載后未的應(yīng)變，即塑性應(yīng)變。卸載后立即加載，應(yīng)力與應(yīng)變關(guān)系基本上是沿著1f上升至點f后，再沿fde曲線變化?？梢娫谥匦录虞d時，點f以前材料的變形是彈性f頸縮階段過點d后，在試件的某一局部區(qū)域，其橫截面工程上用于衡量材料塑性的指標有延伸（和斷面伸縮（延伸

l1l0100式中： 試件拉斷后標距的長度 原標距長度斷面收縮

A0A1100式中： 試件原橫截面面積 試件斷裂處的橫截面面積和的數(shù)值越高材料的塑性越大5%的材料稱為塑性材料，如合金鋼、鋁合金、碳素鋼和青銅等；5%的材料稱為脆性其他塑性材圖是在相同條件下得到的錳鋼、硬鋁、退火球墨鑄鐵和青銅4種材料的曲線由這種曲線可知這種材料與低碳鋼相同點為斷裂所以測不到s。為此，對這類材料，規(guī)定，取對應(yīng)于試件產(chǎn)0.2%的塑性應(yīng)變時的應(yīng)力（02作為名義屈服強度如圖所示。鑄顯著，沒有屈服階段和頸縮現(xiàn)象鐵拉伸時的曲線。在曲線件總是在較小應(yīng)力范圍內(nèi)工作，因此可以用割線oa來代替曲線oa，即認為在較小應(yīng)力時是符合定律的，也有不變的彈性模量E。曲線可以看出脆性材料只有一個強度指標即拉斷時的最大應(yīng)力強度極限b。它們的曲線與鑄鐵相似，但是各具有不同的強度極限b值。二、常溫靜載下壓縮時的力學(xué)性低碳圖中的虛線和實線分別為低碳鋼拉伸和壓縮時的曲線，由圖時的E值和s值基本相同。過屈服階段后，若繼續(xù)增大荷載，試件將鑄圖為鑄鐵壓縮時的35o~39o強度極限c比其抗拉強度極限b高4~5倍?；炷?、石料等脆性材料的抗壓強度也遠遠高于其抗拉強度。三、許用應(yīng)力與安全系材料喪失其正常工作能力時的應(yīng)力值，稱為應(yīng)力或極限應(yīng)su。而當構(gòu)件的應(yīng)力達到其屈服極限s或強度極限b時，將產(chǎn)生較的極限應(yīng)力為s或02，脆性材料的極限應(yīng)力為b或c。s保證構(gòu)件的最大應(yīng)力值稱為許用應(yīng)力，所以其低極限應(yīng)力常將材料的極限應(yīng)力u除以大于1的安全系數(shù)n作為其許用應(yīng)力。塑性材 脆性材 式中ns和nb分別為塑性材料和脆性材料的安全系數(shù)確定安全系數(shù)應(yīng)考慮以下幾方面因素構(gòu)件材料是塑性還是脆性及其均勻性構(gòu)件所受載荷及其估計的準確性實際構(gòu)件的簡化過程及其計算方法的精確性構(gòu)件的工作條件及其重要性一般在靜載下，對塑性材ns可取1.5~2.5，對脆性材料nb可第六節(jié)桿件的強度計，截面截面上應(yīng)力值最大的點稱為點為了保證構(gòu)件有足夠的強度，其點的有關(guān)應(yīng)力需滿足對應(yīng)的強度條件。，一、正應(yīng)力與切應(yīng)力強度料的極限應(yīng)力u分別為屈服極限s（或02）和強度極限b，則材料材料的許用拉（壓）應(yīng)力n

，則單向應(yīng)力狀態(tài)下的正應(yīng)度條件

二、正應(yīng)力強度拉（壓）桿的正應(yīng)力強度條件

NA

4-7如圖(a)所示托架，AB為圓鋼桿d3.2cm，BC為正方形知鋼的許用應(yīng)=140Maa。木材的許用拉、壓應(yīng)力分t=8Maac3.5Mpa，試求校核托架能否正常工作為保證托架，最大載荷為多大如果要求載荷a=60kN不變應(yīng)如何修改鋼桿和木桿的截 如圖(b)。由解Y0，P1sinPP1Pcsc由X0，P1cosP2解AB、BC的軸力分別為N1P1100kN,BC受壓、軸力負號不參與運算。

N2P280kN，即鋼

d

124Mpa<140Mpa=t木

N

Na

故木桿強度不夠，托架不能安全承擔(dān)所加載荷求最大載c最大載荷P應(yīng)根據(jù)木桿強度來確定。由強度條件有c

a2

68.6而N2P2Pcot，則Pcot68.6故托架的最大載荷為P68.6tan51.45若P60kN不變，求鋼桿與桿截面尺寸由強度條件A鋼桿d24

7.14解 d3.02木 a2

N2

解 a15.1若取鋼桿直徑d3cm木桿邊

a

cm，此時鋼桿與木桿工作應(yīng)力將比其許用應(yīng)力分別大1%和1.6%。通常在工程上規(guī)定不超過5%是允許的。4-8有一高度l=24m的方形截面等直塊石柱其頂部作用軸向載荷a=1000kN已知材料容重23kN/m3，許用應(yīng)力c 如圖(b) X0，NxWxP解 NxPWxPAx石柱的軸力圖如圖(c)所示，最大軸力Nmax出現(xiàn)在石柱的底面上其值N

PAl。柱底截面上的應(yīng)力需滿足下述強度條件

NA

Pl 解 A

c

2.23方形截面的邊長

a

A取aA如圖(d)為階梯形柱。如圖(e)，由A

c

可求得第一段柱橫截面面積A1

1.23其對應(yīng)的方形截面的邊長

a1

1.11取a11.1m，則A11.21同理可求得第二段柱f的橫截面面積AP

1.497c c2其對應(yīng)的方形截面的邊長

a2

1.223取a21.25m，則A21.562第三段柱的橫截面面積APA1l1

c c3其對應(yīng)的方形截面的邊長

a3

1.36取a31.4m，則A31.96等直柱的體積V1Al53.5m3，階梯柱的體積V2A1A2A3l3m3，可見階梯柱比等直柱節(jié)省了15.64m3的石塊第五章、剪切與擠壓的實用計算剪變形特點：二力之間的橫截面產(chǎn)生相對的錯一、剪切的實用如圖(a)為聯(lián)接螺栓，用截面法求mm截面上的內(nèi)力，取下段X0，QP解Q力Q切于剪切面mm稱為剪實用計算中假設(shè)在剪切面上切應(yīng)力是均勻分布的,若以A表示剪切面面積則構(gòu)件剪切面上的平均切應(yīng)A剪切強度條件QA剪切許用應(yīng)力，可從有關(guān)設(shè)計手冊中查得。強，稱為擠壓應(yīng)力，以bs表示。擠壓應(yīng)力分布一般比較復(fù)雜。實用計 AA擠壓強度條件 AA

式中bs為材料的許用擠壓應(yīng)力；Abs為擠壓面積當接觸面為平面時，Abs就是接觸面面積；當接觸面為圓柱面時，以圓柱面的正投影作為Abs。如圖8-46Absdt。例5- 電平車掛鉤由插銷聯(lián)接插銷材料為20鋼，30bs100Maa，直徑d20mm。掛鉤及被聯(lián)接的板件的厚度分別t8mm和1.5t12mm牽引力P15kN試校核插銷的剪切和擠壓度 m和n-n兩個面向左錯動。所以有兩個剪切面，稱為雙剪切。 X0 2QP解 QP/QA

d

23.9Mpa<30Mpa=bs

62.5Mpa<100Mpa=bs故滿足剪切及擠壓強度要求例5- 如圖(a)所示的齒輪用平鍵與軸聯(lián)接（齒輪未畫出。知軸的直徑d=70mm，鍵的尺寸bh m2kN?m，鍵的許用應(yīng)力60Maa，bs100Maa，試校核鍵的強 如圖所示，mm剪切面上的剪力QQA m00

Qd/2m解 2m

2

Mpa<60Mpa=此鍵滿足剪切強度條右側(cè)面上的擠壓力PA

hbs

X0，QP解

h

22028.6

Mpa<100Mpa=bs此鍵滿足擠壓強度條件第六章圓軸扭轉(zhuǎn)產(chǎn)生扭轉(zhuǎn)變形的桿件多為傳動軸，房屋的雨蓬梁也有扭轉(zhuǎn)變形二、受扭桿件橫截面上的如圖a為一受扭桿用截面法來求n—n截面上的內(nèi)力取左段：作用于其上的外力僅有一力偶mA，因其平衡，則作用于n—n截面上由Σmx解得Tm

TmAT稱為n—n截面上的扭矩桿件受到外力偶矩作用而發(fā)生扭轉(zhuǎn)變形時，在桿的橫截面上產(chǎn)的內(nèi)力稱扭矩（T）單位：N·m或KN·m率NA=400kW3個從動輪輸出功率分別為

=120kW,N

=120kW,ND=160kW，試求指定截面的扭矩（m9550Nn 由m9550N,nm=9550NA

Am

n=9550

3.82 mDmAmBmC5.09 Σmx

T1

mB解 T1

mB

如圖（c） Σmx

T2mBmC解 T2mB

7.64（d Σmx

T3mAmBmC解 T3mAmB

5.09任一截面上的扭矩值等于對應(yīng)截面一Tm例6-2圖示的傳動軸有4個，作用輪上的外力偶矩分別mA=3kN?m,

=7kN?m,

=2kN?m

=2kN?m,試求指定矩 由Tm，取左段T1mA

取右段T1mBmCmD

取左段T2mAmB取右段T2mCmD

取左段T3mAmBmC

取右段T3mD

例6- 試作出例6-2中傳動軸的扭矩圖 BC段：TxmB0xl

TT3.28lx2l

段:

TxmB

kN·TT7.64AAD段

TxmD

2lx3lTT5.09D根據(jù)T、T、T、T、T、T的對應(yīng)值便可作出扭矩圖。T T分別對應(yīng)橫截面右側(cè)及左側(cè)相鄰橫截面的扭矩二、圓軸扭轉(zhuǎn)時的應(yīng)扭轉(zhuǎn)變形現(xiàn)象及平面假圓軸扭轉(zhuǎn)變形的平面假設(shè)：圓軸變形后其橫截面仍保持為平面，其大小及相鄰兩橫截面間的距離不變，且半徑仍為直線。按照該假變形的幾何關(guān)從圓軸中取出長為dx的微（圖ann相對于截面mm繞軸轉(zhuǎn)了d角，半徑O2C轉(zhuǎn)至O2C’位置。若將圓周看成無數(shù)薄壁圓筒組成，則在此微段中，組成圓軸的所有圓筒的扭轉(zhuǎn)角d均相同。設(shè)其中任意圓筒的半徑為，且應(yīng)變?yōu)椋▓Db，有

式中為沿軸線方向單位長度的扭轉(zhuǎn)角對一個給定的截面為常數(shù)。顯然發(fā)生在垂直于O2H半徑的平面內(nèi)。物理關(guān)以表示橫截面上距圓心為處的切應(yīng)力G將式（a）代入上式，

G

上式表明，橫截面上任意點的切應(yīng)力與該點到圓心的距成正比。因為發(fā)生在垂直于半徑的平面內(nèi)，所以也與半徑垂直，切應(yīng)力在縱、橫截面上沿半徑分布如圖(c)所示。靜力學(xué)關(guān)為dA，所有內(nèi)力矩的總和即為截面上的扭矩TA

dA對x將式（a）代入上式，I為橫截面對點O的極慣性矩由式（d）可得單位長度扭轉(zhuǎn)

TG

P2dAP（b，

T P這就是圓軸扭轉(zhuǎn)時橫截面上任意點的切應(yīng)力在圓截面邊緣上的最大值為R，則最大切應(yīng)力

I令WnI

R，則上式可寫

TmaxTn式中Wn僅與截面的幾何尺寸有關(guān)稱為抗扭截面模量若截面是直徑為d的圓形，則WIP

d d 若截面是外徑為D，內(nèi)徑為d的空心圓形I

D3 d4WP

D

16

D6-4如圖所示，傳動軸n360rmin，其傳遞的功率應(yīng)力；CB段橫截面上的最大和最小切應(yīng)力。 由m9550N計算外力偶n計算扭

m

AC

TWnTW

Tm

3.14303

75

D3 d4CB段：max

，Wn

D

3.14303

D4

d4min

,2,IP

9810 3.14304

三、切應(yīng)力強度1．圓軸扭圓軸扭轉(zhuǎn)時切應(yīng)力強度條件TWmaxTWn

6-5如圖(a)所示的階梯形圓軸，AB段的直徑mD1.8kN·m。許用切應(yīng)力=60Maa。試校核該軸的強度 ACCD段的扭矩分別為T1扭矩圖如圖(b)所示

kNmT2

kNm雖然CD段的扭矩大于AB段的扭矩CD段的直徑也大于段直徑，所以對這兩段軸均應(yīng)進行強度校核AB

T1

55.7Maa<60Mpa=CD故該軸滿足強度條件

T2

Maa<60Mpa=在傳遞同樣的力偶矩時，空心軸所耗材料比實心軸少四、軸的剛度條扭轉(zhuǎn)軸在滿足強度條件的同時，要求其最大單位長度扭轉(zhuǎn)角不應(yīng)大于許用單位長度扭轉(zhuǎn)角，則軸得剛度條件

T

式中的單位是rad/m；若以o/m為單位，則軸的剛度條件

T

例6-6有一啟閉機的傳動軸。已知：材料為45號鋼，剪切彈性模量G=79Gaa許用切應(yīng)力=88.2Maa，許用單位扭轉(zhuǎn)角=0.5解（1）計算傳動軸傳遞的扭Tm9550n

39.59由強度條件確定圓軸的直

Wn

T

0.4488103而

d3，

3d 3（3）由剛度條件確定圓軸的直

而

d4，d

4 4 選擇圓軸的直徑d160mm。即滿足強度條件又滿足剛度條例6-7一電機的傳動軸傳遞的功率為30kW，轉(zhuǎn)速為1400r/min，直徑為40mm，軸材料的許用切應(yīng)=40Mpa，剪切彈性模量G=80Gaa （1）計算扭Tm9550n

強度校TWmaxTWn

1640103

16.3Mpa<40Mpa=剛度校TIP

180

該傳動軸即滿足強度條件又滿足剛度條第七面彎曲內(nèi)力第一 平面彎曲的概變形特點：桿軸線由直變彎多有一根對稱軸，各截面對稱軸形成一個縱向?qū)ΨQ面，梁的軸線也在該平面內(nèi)彎成一條曲線，這樣的彎曲稱為平面彎曲。平面彎曲是 單跨靜定梁有三種基本形式：懸臂梁、簡支梁和外伸第二 平面彎曲內(nèi) 剪力與彎一、截面法內(nèi)aP12P3端xm-m上的內(nèi)力，首先求出支座反力RA、RB，然后用截面法沿截面m-mb所示的左半部分為為使左段垂直方向平衡則在橫截面上必然存在一個于該橫截面的合力QOM Y

RAP1Q解得QRA mo解

RAxP1xam剪力與彎矩的符號規(guī)定剪力符號：當截面上的剪力使分離體作順時針方向轉(zhuǎn)動時為正；反之為負。左上右下、剪力為正彎矩符號反之為負。左順右逆、彎矩為正。例7-1試求圖（a）所示外伸梁指定截面的剪力和彎矩 如圖（b。求梁的支座反力 mB

RCaP2amA解

Y

RCRBP解得RB如圖 Y

Q1RB解得Q1 mO1

M1RB1.3aamA解如圖

M1RB1.3aamA Y

RCQ2RB解得Q2 mO2

M2RB2.5aaRC0.5a解 M2RB2.5aamARC0.5a由上述剪力及彎矩計算過程推得任一截面上的剪力的數(shù)值等于對應(yīng)截面一側(cè)所有外力在垂直于左上右下、剪力為正。任一截面上彎矩的數(shù)值等于對應(yīng)截面一側(cè)所有外力對該截面形左順右逆、彎矩為正即QP Mm例7-2 在點C處作用一集中力a=10kN,求截面n-n上的剪力 求梁的支座反力 mA解 RB3.75 Y

4RB1.5PRARBP解得RA6.25取左取右

QRA6.25MRA0.85QPRB6.25MRB40.8P1.50.85例7-3試作出圖(a)所示梁的剪力圖和彎矩圖解如圖(b)求梁的支座反力 mA解 YB25 Y

4YB4q2m201YAYB4q20解 YA35 0x

QxRA Mx0xQQ20

M0

M

AB

Qxq5xYB25

ABQ15 Q25ABMx

5x1qP5x225x5x22

1x根據(jù)Q、Q、Q、Q、的對應(yīng)值便可作出剪力圖 根據(jù)M、M、 、M、M、的對應(yīng)值便可作出彎矩圖（ 械類將彎矩圖畫在壓側(cè)，土建類將彎矩圖畫在拉側(cè)）由上述內(nèi)力圖可見集中力作用處的橫截面，剪力圖均發(fā)生突變，二、利用分布荷載與剪力、彎矩間的微分關(guān)系作梁的內(nèi)力Q(x)、Mx和qx間的微分關(guān)系進一步揭示載荷剪力圖和彎如圖所示的梁上作用的分布載荷集度qx是x的連續(xù)函數(shù)設(shè)分載荷向上為正，反之為負，并以A為原點x軸向右為正。用坐標分別為xxdx的兩個橫截面從梁上截出長為dx的微段其受力圖如圖b)所示。 Y解

QxqxdxQxdQxqx mC

MxQxdx1qxdx2MxdMx2略去二階微量1qxdx2解2

QxdM qx

d2M此可知qx和Q(x)分別是剪力圖和彎矩圖的斜率q=0力圖為一水平直線，彎矩圖為一斜直線q=常數(shù)：剪力圖為一斜直線，彎矩圖為一拋物線集中力a作用處：剪力圖在a作用處有突變，突變值a作用處有轉(zhuǎn)折。突變值等于集中力偶剪力圖和彎矩圖的形狀，最后求出特殊截面上的內(nèi)力值，便可畫出全梁的剪力圖和彎矩圖。這種繪圖方法稱為簡捷法。下面舉例說明例7-4外伸(a)所示，試畫出該梁的內(nèi)力圖。求梁的支座反 mB

P5a

3am1q2a20解

14Pm2qa103 3 Y

PRARB2qa解得RBP2qaRA5CA

畫內(nèi)力圖q0kN剪力圖為水平直線矩圖為斜值線QQP3 MC0

MAPa

AD段 q0kN，剪力圖為水平直線；彎矩圖為斜值線MAPa

ADQAD

P

7MDAP2aMDA

a

DB段 q0（因其為方向向下），剪力圖為斜直線；矩圖為拋物線BB0xBB

Q

Qx

令Qx

得xRBq0.5MDAP2aMDA

am

BE R0.5q0.52/2BE

kN·m，MB根據(jù)QQQQQ的對應(yīng)值便可作出剪力圖由圖可見 AD段剪力最大Qmax

kN根據(jù)M、MM、M、M、M的對應(yīng)值便可作出彎矩圖D D由圖可見，梁上點D左側(cè)相鄰的橫截面上彎矩最大

M

第八 平面彎曲梁的強度和剛度計第一節(jié)純彎曲時梁的正應(yīng)梁的ACDB段。此二段梁不僅有彎曲變形，而且還有剪切變形，僅有彎矩而無剪力的情況。梁的CD段，這種彎曲稱為純彎曲。純彎曲變形現(xiàn)象與假，為觀察純彎曲梁變形現(xiàn)象在梁表面上作出圖(a)所示的縱橫線，當梁端上加一力偶M后，由圖(b)可見：橫向線轉(zhuǎn)過了一個角度但仍由變形的連續(xù)性可知肯定有一層長度不變的纖維層，稱為中性，變形的幾何取出的長為dx的微段變形后其兩端相對轉(zhuǎn)了d中性層為y處的各縱向纖維變形，由圖得，ab= 式中為中性層上的纖維O1O2的曲率半徑O1O2ddxab的應(yīng)變abdxydd 由式(a)可知，任一層縱向纖維的線應(yīng)變與其y的坐標成正比(b

物理關(guān)由于將縱向纖維假設(shè)為軸向拉壓，當P時，則由式(b可知橫截面上任一點的正應(yīng)力與該纖維層的y坐標成正比，靜力學(xué)關(guān)取截面的縱向?qū)ΨQ軸為y軸z軸為中性軸，過軸y、z的交點沿縱向線取x軸。橫截面上坐標為（yz）的微面積上的內(nèi)力dA于是整個截面上所有內(nèi)力組成一空間平行力系X0dA將式(b代入式（c）EydAE

ydAA 式中

ydA

為橫截面對中性軸的靜矩E0

0。由SZAyC可知，中性軸z必過截面形心由

0，

dAZ將式(b)代入式（d）E

yZdA式中AyZdAIyZ為橫截面對軸y、z的慣性積y軸為對稱軸軸又過形心，則軸yz為橫截面的形心主慣性軸I

0成立

由

0，

dAy（e，ME

y2dA式中

y2dAI為橫截面對中性軸的慣性矩，則上式可寫ZZ EI曲率1越小，故EIz稱為梁的抗彎剛度。得I式為純彎曲時橫截面上正應(yīng)力的計算。當應(yīng)力y0時，為壓應(yīng)力

0y0時，為在上述推導(dǎo)過程中，是在純彎曲條件下推導(dǎo)的，當梁較細（lh5）時，該同樣適用于橫力彎曲時的正應(yīng)力計算橫力彎曲時彎矩隨截面位置變化一般情況下最大正應(yīng)力發(fā)生于彎矩最大的橫截面上矩中性軸最遠處

MmaxI令

Wz，則上式可寫

MWz式中Wz僅與截面的幾何形狀及尺寸有關(guān)，稱為截面對中性軸的抗彎截面模量。若截面是高為h，寬為b的矩形，則若截面是直徑為d的圓形，

WIz bh3hbh3h

6WIz

dd4dd4dD4d4D若截面是外徑D4d4DI

D3 d4Wz

D

32

D例8- 如圖所示T形截面梁已知P18kN，P220kN，am；橫截面的慣性矩I壓應(yīng)力

5.33106mm4。試求此梁的最大拉應(yīng)力和 （1）求支座反 mA0 RB2aP2aP1a解 RB6 Y0解 RA22

RBP2P1RA（2）作彎矩DA段

MD0

MAPa4.8AC段

MCRBa3.6CB段 MB根據(jù)MD、MA、MC、MB的對應(yīng)值便可作出圖(b)所示的彎求最大拉壓應(yīng)由彎矩圖可知截面A的上邊緣及截面C的下邊緣受拉;A的下邊緣及截面C的上邊緣受壓。雖然M

MC，

y2

y1，所以只有分別計算此二截面的拉截面A上邊緣截面C下邊緣

MAItIzMCItIz

4.810340105.33106103.6103805.33106

3654比較可知在截面C下邊緣處產(chǎn)生最大拉應(yīng)力，其值為tmax54截面A下邊緣c

MAI

4.8103805.33106

72第二節(jié)、彎曲正應(yīng)力強度梁彎曲的正應(yīng)力強度條件

MW

z8-2圖為一受均布載荷的梁，其跨度l=200mm，梁截面直徑d25mm，許用應(yīng)力150Mpa。試求沿梁每米長度上可能承受的最大載荷q為多少？ 彎矩圖如圖所示。最大彎矩發(fā)生在梁的中點所在橫截面上M

ql2/85103

M

于 5103q解 qmax46.8例8- 鑄鐵梁的載荷及截面尺寸如圖(a)所示，點C為T形面的形心，慣性矩Iz601310mm,材料的許用拉應(yīng)力 tt材料許用壓應(yīng)力c160Mpa，試校核該梁的強度 解梁彎矩圖如圖(b)所示。絕對值最大的彎矩為負彎矩，發(fā)生Iat MBy236.2Mpa<40Maa=Iatz最大壓應(yīng)力發(fā)生于截面下邊緣各點處IbMBy1Ibz

Mpa<160Maa=