(整理)二階常系數(shù)線性微分方程的解法版

精品文檔精品文檔精品文檔精品文檔第八章8.4講第四節(jié)二階常系數(shù)線性微分方程一、二階常系數(shù)線形微分方程的概念形如 y"+py'+qy=f(x) (1)的方程稱為二階常系數(shù)線性微分方程.其中p、q均為實(shí)數(shù),f(x)為已知的連續(xù)函數(shù).如果f(x)三0,則方程式⑴變成y"+py'+qy=0 ⑵我們把方程(2)叫做二階常系數(shù)齊次線性方程,把方程式(1)叫做二階常系數(shù)非齊次線性方程.本節(jié)我們將討論其解法.二、二階常系數(shù)齊次線性微分方程1．解的疊加性定理1如果函數(shù)y1與y2是式(2)的兩個(gè)解，則y=C1y1+C2y2也是式(2)的解，其中C1,C2是任意常數(shù).證明因?yàn)閥1與y2是方程(2)的解,所以有y；+py2+qy2=0將y=c1y1+c2y2代入方程(2)的左邊，得11 2211 2211 22(Cy〃+Cy〃)+p(Cy'+Cyf)+q(Cy+Cy)11 2211 2211 22=C1(y產(chǎn)py:+qy1)+C2(y；+py2+qy2)=0所以y=C1y1+C2y2是方程(2)的解.定理1說明齊次線性方程的解具有疊加性.疊加起來的解從形式看含有C1,C2兩個(gè)任意常數(shù)，但它不一定是方程式(2)精品文檔精品文檔精品文檔的通解.2.線性相關(guān)、線性無關(guān)的概念設(shè)y,y，…,y,為定義在區(qū)間i內(nèi)的n個(gè)函數(shù)，若存在不全為零的常數(shù)12 nk,k,…，k，使得當(dāng)在該區(qū)間內(nèi)有ky+ky+…+ky三0,則稱這n1 2n 11 22 nn個(gè)函數(shù)在區(qū)間I內(nèi)線性相關(guān)，否則稱線性無關(guān).例如1,cos2x,sin2x在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)是線性相關(guān)的，因?yàn)?一cos2x一sin2x三0又如1,x,x2在任何區(qū)間（a,b）內(nèi)是線性無關(guān)的,因?yàn)樵谠搮^(qū)間內(nèi)要使k+kx+kx2三012 3必須k—k—k=0123對(duì)兩個(gè)函數(shù)的情形，若&―常數(shù)，則y,y線性相關(guān)，若耳豐常數(shù)，則y 12 y22y,y線性無關(guān).123.二階常系數(shù)齊次微分方程的解法定理2如果y1與y2是方程式（2）的兩個(gè)線性無關(guān)的特解，則y―c1y1+C2yjq,。2為任意常數(shù)）是方程式（2）的通解.例如，y〃+y―0是二階齊次線性方程,y—sinx,y—cosx是它的12兩個(gè)解，且1—tanx豐常數(shù)，即y,y線性無關(guān)，所以y 122y—Cy+Cy—Csinx+Ccosx11 22 1 2（C],C2是任意常數(shù)）是方程y〃+y—0的通解.由于指數(shù)函數(shù)y—erx（r為常數(shù)）和它的各階導(dǎo)數(shù)都只差一個(gè)常數(shù)因子,精品文檔精品文檔精品文檔精品文檔根據(jù)指數(shù)函數(shù)的這個(gè)特點(diǎn),我們用y=e。來試著看能否選取適當(dāng)?shù)某?shù)r,使y=erx滿足方程(2).將y=erx求導(dǎo)，得… 一" -八y=rerx,y=r2erx把y,y',y"代入方程(2),得(r2+pr+q)erx=0因?yàn)閑rx中0,所以只有r2+pr+q=0 (3)只要r滿足方程式(3),y=erx就是方程式(2)的解.我們把方程式(3)叫做方程式(2)的特征方程,特征方程是一個(gè)代數(shù)方程,其中r2,r的系數(shù)及常數(shù)項(xiàng)恰好依次是方程(2)y",y',y的系數(shù).一p土pp2-4q特征方程⑶的兩個(gè)根為r2二 %；——-,因此方程式(2)的通,2解有下列三種不同的情形.(1)當(dāng)p2-4q>0時(shí)，r,r2是兩個(gè)不相等的實(shí)根.—p+v'p2-4q -p-pP2-4qr= r= i 2 2 2y=erix,y=er2x是方程(2)的兩個(gè)特解，并且&=e(rix豐常數(shù),即12 y2y1與y2線性無關(guān).根據(jù)定理2,得方程(2)的通解為y=qerix+c2er2x(2)當(dāng)p2-4q=0時(shí)，r1,r2是兩個(gè)相等的實(shí)根.pr1=r2=-g，這時(shí)只能得到方程(2)的一個(gè)特解y1=erix，還需求出另

一個(gè)解y，且22豐常數(shù)，設(shè)/2=u(x)，即TOC\o"1-5"\h\z2y y11y=erixu(x)2y'=erix(u'+ru),y"=er1x(u"+2ru'+r2u)2 i 2 ii將y,y',y〃代入方程(2),得222er1x(u"+2ru'+r2u)+p(u'+ru)+quL0

ii i整理,得er1x[u"+(2r+p)u'+(r2+pr+q)u]=0i ii由于er1x中0,所以u(píng)"+(2r+p)u'+(r2+pr+q)u=0i i ii因?yàn)閞1是特征方程(3)的二重根，所以r2+pr+q=0,2r+p=0ii i從而有 u"=0因?yàn)槲覀冎恍枰粋€(gè)不為常數(shù)的解,不妨取u=x，可得到方程(2)的另一個(gè)解y=xerix.2那么,方程(2)的通解為=Cer1x+Cxer1x

i2y=(C+Cx)er1x.

i2(3)當(dāng)p2-4q<0時(shí)，特征方程(3)有一對(duì)共軛復(fù)根于是r=a+iP,r=a-iP(Pw0)i2于是y=e(a+iP)x,y=e(a-i0)xi2利用歐拉公式…cosx+isinx把y1，y2改寫為

y=e(a+ip)x=eax-ei限=eax(cosPx+isinPx)y=e(a-ip)x=eax-e-iPx=eax(cosPx一isinPx)2yJy2之間成共軛關(guān)系取y1=2(y1+y2)=e網(wǎng)cosPx,y=y=—2 2iy-y)=easinPx 方程(2)的解具有疊加性,所以y1,y2還是方程(2)的解,并且eaeaxsinPx=tanPx豐常數(shù)，所以方程(2)的通解為y=eax(CcosPx+CsinPx)綜上所述，求二階常系數(shù)線性齊次方程通解的步驟如下:(1)寫出方程(2)的特征方程r2+pr+q-0(2)求特征方程的兩個(gè)根r1,r2⑶根據(jù)r，r2的不同情形，按下表寫出方程(2)的通解.特征方程r2+pr+q=0的兩個(gè)根r,r1 2方程y"+py'+qy-0的通解兩個(gè)不相等的實(shí)根r中r1 2y-Cer1x+Cer2x1 2兩個(gè)相等的實(shí)根r-r1 2y=(C+Cx)er1x1 2一對(duì)共軛復(fù)根r-a士iP1,2y-ea(CcosPx+CsinPx)1 2精品文檔精品文檔精品文檔例1求方程y"+2了+5y=0的通解.解：所給方程的特征方程為廠2+2r+5=0TOC\o"1-5"\h\zr=-1+2z,r=-1-2z

1 2所求通解為 y=e-x(Ccos2x+Csin2x).1 2d2s dS例2求方程1—+2 +S=0滿足初始條件—4,5|=—2dt?at t=o t=o的特解.解所給方程的特征方程為廠2+2r+1=0r=r=—11 2通解為 s=(C+Ct)e-t1 2將初始條件s| =4代入，得C=4,于是t=o 1S=(4+C對(duì)其求導(dǎo)得2S'=(c-4-Ct)e-t

2 2將初始條件S'l =-2代入上式，得t=OC=22所求特解為S=(4+2t)e-t例3求方程y〃+2y,-3y=0的通解.解所給方程的特征方程為r2+2r-3=0其根為 \=-3,r=11 2精品文檔所以原方程的通解為y=ce-3X+Cex1 2二、二階常系數(shù)非齊次方程的解法1.解的結(jié)構(gòu)定理3設(shè)y*是方程(1)的一個(gè)特解,Y是式(1)所對(duì)應(yīng)的齊次方程式(2)的通解，則y=Y+y*是方程式(1)的通解.證明把y=Y+y*代入方程(1)的左端：(Y〃+y*")+p(Y'+y*')+q(Y+y*)=(Y"+pY'+qY)+(y*〃+py*'+qy*)=0+f(x)=f(x)y=Y+y*使方程(1)的兩端恒等，所以y=Y+y*是方程(1)的解.定理4設(shè)二階非齊次線性方程(1)的右端f(x)是幾個(gè)函數(shù)之和,如y"+py'+qy=f1(x)+f2(x) (4)而y*與y*分別是方程 y"+py'+qy=f(x)2 1與 y"+py'+qy=f(x)2的特解，那么y:+y2就是方程(4)的特解，非齊次線性方程(1)的特解有時(shí)可用上述定理來幫助求出..f(x)=e標(biāo)P(x)型的解法mf(x)=e標(biāo)P(x)，其中九為常數(shù),P(x)是關(guān)于x的一個(gè)m次多項(xiàng)式.m m方程(1)的右端f(x)是多項(xiàng)式P(x)與指數(shù)函數(shù)e嬴乘積的導(dǎo)數(shù)仍為m同一類型函數(shù)，因此方程⑴的特解可能為y*=Q(x)e標(biāo)，其中Q(x)是某個(gè)多項(xiàng)式函數(shù).精品文檔把 y*=Q(X)e標(biāo)y*'=[^Q(x)+Q'(x)]e標(biāo)y*〃=[九2Q(x)+2九Qf(x)+Qff(x)]e標(biāo)代入方程(1)并消去e嬴，得Q"(x)+(2九+p)Qr(x)+(九2+pX+q)Q(x)=P(x) (5)m以下分三種不同的情形,分別討論函數(shù)Q(x)的確定方法：(1)若九不是方程式(2)的特征方程r2+pr+q=0的根，即九2+p九+q豐0,要使式(5)的兩端恒等,可令Q(x)為另一個(gè)m次多項(xiàng)式Q(x)：mQ(x)=b+bx+bx2d Fbxmm 0 1 2 m代入(5)式，并比較兩端關(guān)于x同次幕的系數(shù)，就得到關(guān)于未知數(shù)b,b，…,b0 1 m的m+1個(gè)方程.聯(lián)立解方程組可以確定出b(i=0,1，…,m).從而得到所求i方程的特解為y*=Q(x)e標(biāo)

m(2)若九是特征方程r2+pr+q=0的單根，即九2+p九+q=0,2九+p豐0，要使式(5)成立，則Q'(x)必須要是m次多項(xiàng)式函數(shù),于是令Q(x)=xQ(x)m用同樣的方法來確定Q(x)的系數(shù)b(i=0,1，…,m).mi(3)若九是特征方程r2+pr+q=0的重根，即九2+p九+q=0,2入+p=0.精品文檔精品文檔精品文檔精品文檔精品文檔要使(5)式成立，則Q〃(X)必須是一個(gè)m次多項(xiàng)式，可令Q(x)=x2Q(x)

m用同樣的方法來確定Q(X)的系數(shù).m綜上所述，若方程式(1)中的f(X)=P(X)e標(biāo)，則式(1)的特解為my*=xkQ(x)e標(biāo)

m其中Q(x)是與P(x)同次多項(xiàng)式,k按九不是特征方程的根，是特征方程mm的單根或是特征方程的重根依次取0,1或2.例4求方程y〃+2y'=3e-2x的一個(gè)特解.解f(x)是p(x)e標(biāo)型，且P(x)=3,九二—2mm對(duì)應(yīng)齊次方程的特征方程為"+2r=0,特征根根為r=0,r=-2.12九=-2是特征方程的單根，令y*=xbe-2x，代入原方程解得0b=-30 23故所求特解為 y*=--xe-2x.例5求方程y〃-2y'=(x-1)e的通解.解先求對(duì)應(yīng)齊次方程y〃-2y'+y=0的通解.特征方程為r2-2r+1=0,r=r=112齊次方程的通解為 丫=(C+Cx)ex.12再求所給方程的特解九二1,p(x)=x-1m由于卜=1是特征方程的二重根，所以y*=x2(ax+b)ex把它代入所給方程,并約去ex得6ax+2b=x-1比較系數(shù)，得TOC\o"1-5"\h\z1 卜a=— b6于是 y*=x2(6-mex所給方程的通解為 y=y+y*=(C+Cx-1x2+1x3)ex2 2 6f(x)=AcosBx+Bsinbx型的解法f(x)=Acos3x+Bsin3x,其中A、B、3均為常數(shù).此時(shí),方程式(1)成為y"+py'+q=Acos3x+Bsin3x (7)這種類型的三角函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，仍屬同一類型,因此方程式⑺的特解y*也應(yīng)屬同一類型,可以證明式⑺的特解形式為y*=xk(acos3x+bsin3x)其中a,b為待定常數(shù).k為一個(gè)整數(shù).當(dāng)±3i不是特征方程r2+pr+q=0的根，k取0；當(dāng)±3i不是特征方程r2+pr+q=0的根，k取1；例6求方程y〃+2y'-3y=4sinx的一個(gè)特解.解3=1，±3i=±i不是特征方程為r2+2r-3=0的根，k=0.因此原方程的特解形式為y*=acosx+bsinx于是 y*'=一asinx+bcosxy*'=一ac