高中數(shù)學(xué)競賽教案講義(3)-函數(shù)

-1-1-1-1-1數(shù)學(xué)競賽教案-1-1-1-1-1第三章

函數(shù)一基知

w.w.w.k.s.5.u.c.o.m定1映，對(duì)于任意兩個(gè)集合A，，依對(duì)應(yīng)法則，對(duì)中的任意一個(gè)元素，在B中都有唯一一個(gè)元素與之對(duì)應(yīng)，則稱f:A→為一個(gè)映射。定2單，若f:→是個(gè)映射且對(duì)任意,y,x

,都f(x)

f()則稱之為單射。定3滿若f:A→是射且對(duì)任意∈，都有一個(gè)x∈使x)=y則稱:→是到B上滿射。定4一映射，若fA→既是單射又是滿射，則叫做一一映射，只有一映射存在逆映射，即從B到A由反的對(duì)應(yīng)法則f

-1

構(gòu)成的映射，記作

:A→B。定5函，映射:→中若A，都非空數(shù)集，則這個(gè)映射為函數(shù)稱為它的定義域，若x∈,∈，()=（即x對(duì)應(yīng)中yy叫x的x叫y的象。集合{fx)|∈}叫數(shù)的值域。通常函數(shù)由解析式給出，此時(shí)函數(shù)定義域就是使解析式有意義的未知數(shù)的取值范圍，如函數(shù)y

-1的定義域|≥0,x∈定6反數(shù)，若函數(shù)fA→（通常記作=f(x)）一一映射，則它的逆映射:AB叫原函數(shù)的反函數(shù)，通常寫作yx).這求反函數(shù)的過程是：在解析式y(tǒng)=f(x中反解得=(，后,y互得y(x，后指出反函的定義域即原函數(shù)的值域。例如：函數(shù)=

1的反函數(shù)是=1-x1定1互反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)于直線yx對(duì)。定2在義域上為增（減）函數(shù)的函數(shù)，其反函數(shù)必為增（減）函數(shù)。定7函的性質(zhì)。（性數(shù)f(在區(qū)間I上足對(duì)任意的,∈I并xxx)<f(x)(fxf))，1212122則稱x在區(qū)間I上是增（減）函數(shù)，區(qū)間I稱單調(diào)增（減）區(qū)間。（偶函數(shù)y=x的定義域?yàn)镈是于原點(diǎn)對(duì)稱的數(shù)集對(duì)任意的x∈，都有x)=-f(x)，稱f(x)是奇函數(shù)；若對(duì)任意的x∈，有f(-xf()，稱f(x是函。奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸稱。（）期：于函數(shù)f(x)，果存在一個(gè)不為零的常數(shù)T，使得當(dāng)取義域內(nèi)每一個(gè)數(shù)時(shí)，xTf(x成立，則稱f(x)為期函數(shù)T稱這個(gè)函數(shù)的周期，如果周期中存在最小的正數(shù)，這個(gè)正數(shù)叫做函數(shù)fx)的小正周期。0定8如實(shí)數(shù)a<b數(shù){xaxb,∈叫做開區(qū)間,b|≤≤,x∈1

數(shù)學(xué)競賽教案記作閉區(qū)間a,b]集合{x|<≤}作半開半閉區(qū)間a,b，集合|ax<b記半閉半開區(qū)間a,b集合|xa記作開區(qū)間a,+∞合x|x≤}記半半閉區(qū)間∞a].定9函的圖象{,y)|y(x),x∈稱函數(shù)=的象中D為(的義域。通過畫圖不難得出函數(shù)x)的象與其他函數(shù)圖象之間的關(guān)(a,>0)）向右平移a個(gè)單位得到fx圖象向平移a個(gè)單位得到y(tǒng)+a)的象向平移個(gè)單位得到=xb的象）與函數(shù)y=(-的象關(guān)于y軸對(duì)稱）與函數(shù)y=-(-x的象關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱與函數(shù)yf(的圖象關(guān)于直線yx對(duì)與數(shù)y=-f(x圖象關(guān)于x軸稱。定3復(fù)函數(shù)=[gx的調(diào)性，記住四個(gè)字增減如y

12

,u=2-x在∞）上是減函=

1u

1在（，∞上是減函數(shù)，所以y=在（∞）上是增函數(shù)。2注：復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷方法為同增異減。這里不做嚴(yán)格論證，求導(dǎo)之后是顯然的。二方與題1．形合。例求|-1|=

1

的正根的個(gè).例求數(shù)fx)=

x42

x

的最大值。2

22數(shù)學(xué)競賽教案22函性的應(yīng)。1997(例設(shè),y∈，滿足3

，求x+.例奇數(shù)fx)在義域（-1，）是減函數(shù)，又(1-a)+(1-a)<0，a的值范圍。例設(shè)f(x定義∞∞以2為周期的函數(shù)∈,用I表區(qū)(2k2k+1]，已知當(dāng)xI時(shí)x)=x0

，求f(x)在上的解析式。例解程(3-1)(

92

)+(2x-3)(

42

+1)=0.3

數(shù)學(xué)競賽教案3.配方。例求數(shù)=x+

2

的值域。4．元。例求數(shù)=(

++2)(

+1),x∈的值域。5．別法例求數(shù)=

的值域。6．于函。例10若數(shù)yfx)定域、值域均為R，且存在反函數(shù)。若f)在(∞∞上增求證：=(x在∞∞也是增函數(shù)。4

-122數(shù)學(xué)競賽教案-122例11設(shè)數(shù)x

4x3x

，解方程：()=(x).三基訓(xùn)題1．已知X1},Y-1,0,1,，射→滿：對(duì)任意的x，在中象x)使得x+fx)為數(shù)，這樣的映射個(gè)。2．給定A={1，，，，，和映射fX→Y若f為單射，則f有個(gè)若f為滿射，則f有個(gè)滿足f[fx)]=x)的射有個(gè)。3．若直線ykx-2)與數(shù)yx+2x圖象相交于點(diǎn)（，圖象與直線一共個(gè)交點(diǎn)。4．函數(shù)=(x)的域?yàn)?/p>

34,89

，則函數(shù)gxfx)+

1f(x)

的值域?yàn)椤?．已知(x)=

1

，則函數(shù)(f[fx)]的域_。6．已知(x)=|+|，當(dāng)x≥時(shí)f(x為函，則a的值范圍_。7．設(shè)yf(x在義域（

12

，）是增函，則fx-1)的單調(diào)遞區(qū)間_______。8數(shù)y)存反函數(shù)y(xy(x圖象與(-x)的象關(guān)于直線______對(duì)稱。9．函數(shù)(x)滿

f

1，(。xx10.函數(shù)=

x

x

,∈∞的函數(shù)_。11．下列函數(shù)的值域=.x(3)y=x+2;(4)y=

x

x(2)yx

x

xx

;5

2-122-1212.已知

(x

數(shù)學(xué)競賽教案定義在R上，對(duì)任意∈f(x)=f(x，(x是函數(shù)，又當(dāng)x∈[2,3]時(shí)f(x)=x，當(dāng)x∈[-2,0]時(shí)，求(x的析式。四、高考水平訓(xùn)練題11．已知a∈2

,f(定義域是0,1]，gx)=f(x+a)+x)+f的定義域_。2．設(shè)0≤<1時(shí)(xa-1)-6axa+1恒為正值。則f(x定域?yàn)椤?．映射:a,bc→23}足10<f(a·b)··f，樣的映射f有______個(gè)。4．設(shè)函數(shù)yx)(∈的域?yàn)镽，為函數(shù)，若方程(x)=x解為fx)]=解為，則PQ的系為：_______Q填、5．下列函數(shù)是否為奇函數(shù)x)=(x-1)

1x1

）xx-1|;(3)

(x

x

2

1

2

）=

x設(shè)數(shù)=()(∈且x

0)對(duì)任意非零實(shí)數(shù)x,滿f(x)=(xfx)，fx在0+121212∞）是增函數(shù)，則不等式x)+(x-

12

)≤的集為。7數(shù)x)=

x

xxM

中P為R的兩個(gè)非空子集定fP)={yy=xxPf(M)={yyxx∈，出如下判斷：①若M=

，則f(P)∩(M)=

；②若∩

，則f(P)f(M)③若P∪M=R,則fP)f④P∪則(P∪(M)其正確的判斷_______8．函數(shù)=(x+1)的函數(shù)是y

(x+1)，并且(1)=3997，(1998)=_______。9．已知f(x定義域?yàn)?]的函，且當(dāng)x∈，時(shí)一次函數(shù)，當(dāng)∈6]時(shí)二次函數(shù)，又(6)=2，x∈，時(shí)fx)≤(5)=3。f(x的析式。10．>0，數(shù)f(x定域?yàn)镽，(xa)=

12

f(x)(x)]

，求證f)為期函數(shù)。11關(guān)的程2x-2=0的根α（α<β函數(shù)x)=

4x

1f、f(β）證：x在α，β上是增函數(shù)）對(duì)任意正數(shù)x,，求證：126

-1-12數(shù)學(xué)競賽教案-1-12f

x2x

f

x2x

<2|αβ|.五聯(lián)一水訓(xùn)題1．奇函數(shù)x存函數(shù)(x若把=(x)的象向上平移3個(gè)位，然后向右平移2個(gè)單位后，再關(guān)于直線y=-對(duì)稱，得到的曲線所對(duì)應(yīng)的函數(shù)_2．若a>0，1,x奇函數(shù)，則GF(x)

a

1（偶性）23．若

F

則列等式中正確的①(-2-)=-2-(x)；(-x

F

③)=F(x；F((x))=-.設(shè)數(shù)fR滿f(0)=1任意xy∈f+1)=f(xff(yfx)=________.5已知fx)是義在上函數(shù)且任意x∈R都有(x+5)≥(x)+5,f(x+1)f(x)+1。若gxfx)+1-x，則g(2002)=________.函x)=

1x

的單調(diào)遞增區(qū)間________.函x)=

x12

的奇偶性是：奇數(shù)________偶函數(shù)（填是，非函yx+

x

的值域?yàn)開______.9．設(shè)f()=

x

x[1,2]x2,3

,對(duì)任意的a∈，V({f(x|∈{f(xax∈3]}，試求V(a的小值。y10．方程組：.

（在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)）

2

x11．k∈,→滿足f(x)嚴(yán)遞增對(duì)任意n∈,有f[f(nkn，求證：對(duì)++++任意n∈,都有+

2kn≤(n)≤2

n.7

222222++++數(shù)學(xué)競賽教案222222++++六聯(lián)二水訓(xùn)題1．求證：恰有一個(gè)定義在所有非零實(shí)數(shù)上的函f，足任意≠f(xf（）所有的≠且xy≠，f(x)+f(y)=1+fx+y).設(shè)x)對(duì)切x>0有義，且滿足）x在（，∞是增函數(shù)ⅱ任x>0,f(x

f(

1

試求f(1).f→R滿意∈fx)≥(1)=1,y,xy[0,1]時(shí)(xf(y≤(x+，求最小常數(shù)，滿足（fx)都x≤.試x,y)=6(+yx+y)-4(++y+>0,>0)的最小值。5．對(duì)給定的正數(shù)pq∈1)，有p+>1p+q，試求f(x)=(1-x)

p

+

xq

)

在qp上最大值。6．已知:→且f()=q

xpx