力學(xué)振動和波

力學(xué)振動和波第1頁，共49頁，2023年，2月20日，星期日振動與波無所不在振動與波是橫跨物理學(xué)各分支學(xué)科的最基本的運動形式。盡管在各學(xué)科里振動與波的具體內(nèi)容不同，但在形式上卻有很大的相似性。力學(xué)——機械振動，機械波（聲波）電學(xué)——電磁振蕩，電磁波（光波）量子力學(xué)（波動力學(xué)）第2頁，共49頁，2023年，2月20日，星期日振動廣義振動：任一物理量(如位移、電流等)在某一數(shù)值附近反復(fù)變化。機械振動：物體在一定位置附近作來回往復(fù)的運動。第3頁，共49頁，2023年，2月20日，星期日彈簧振子(彈簧—物體系統(tǒng))模型簡諧振動微分方程一、簡諧振動的基本特征1

簡諧振動（simpleharmonicmotion)物體一定作簡諧振動其通解為：諧振動運動方程運動學(xué)特征第4頁，共49頁，2023年，2月20日，星期日簡諧振動定義（判據(jù)）：描述運動的物理量遵從微分方程（或運動方程為）運動學(xué)特征物體所受合外力動力學(xué)特征例：判斷下列運動是否為簡諧振動1.乒乓球在地面上的上下跳動第5頁，共49頁，2023年，2月20日，星期日2.小球在半徑很大的光滑凹球面底部作小幅振動mgO切向運動諧振動第6頁，共49頁，2023年，2月20日，星期日單擺結(jié)論：單擺的小角度擺動振動是簡諧振動。角頻率,振動的周期分別為：當(dāng)時擺球?qū)點的力矩第7頁，共49頁，2023年，2月20日，星期日復(fù)擺：繞不過質(zhì)心的水平固定軸轉(zhuǎn)動的剛體結(jié)論：復(fù)擺的小角度擺動振動是簡諧振動。當(dāng)時第8頁，共49頁，2023年，2月20日，星期日二、描述簡諧振動的特征量1、振幅A簡諧振動物體離開平衡位置的最大位移（或角位移）的絕對值。初始條件第9頁，共49頁，2023年，2月20日，星期日頻率：單位時間內(nèi)振動的次數(shù)。2、周期、頻率、圓頻率對彈簧振子角頻率固有周期、固有頻率、固有角頻率周期T：物體完成一次全振動所需時間。第10頁，共49頁，2023年，2月20日，星期日單擺復(fù)擺

是t=0時刻的位相—初位相3、位相和初位相—位相，決定諧振動物體的運動狀態(tài)第11頁，共49頁，2023年，2月20日，星期日三、簡諧振動的旋轉(zhuǎn)矢量表示法0t=0xt+0t=toX第12頁，共49頁，2023年，2月20日，星期日

超前和落后兩個諧振動位相差兩振動位相之差。對兩同頻率的諧振動=2-1初相差若=2-1>0,稱x2比x1超前(或x1比x2后)。當(dāng)=2k

,k=0,±1,±2…,兩振動步調(diào)相同,稱同相當(dāng)=(2k+1)

,k=0,1,2...兩振動步調(diào)相反,稱反相第13頁，共49頁，2023年，2月20日，星期日用旋轉(zhuǎn)矢量表示相位關(guān)系同相反相即x2比x1超前第14頁，共49頁，2023年，2月20日，星期日諧振動的位移、速度、加速度之間的位相關(guān)系toTavxT/4T/4第15頁，共49頁，2023年，2月20日，星期日由圖可見：xt+o·第16頁，共49頁，2023年，2月20日，星期日簡諧振動的復(fù)數(shù)表示復(fù)數(shù)表示的優(yōu)越之處：求導(dǎo)、積分很方便。復(fù)數(shù)的實部或虛部對應(yīng)真實的振動量第17頁，共49頁，2023年，2月20日，星期日例:如圖m=2×10-2kg,彈簧的靜止形變?yōu)閘=9.8cm

t=0時x0=-9.8cm,v0=0⑴

取開始振動時為計時零點，寫出振動方程；（2）若取x0=0，v0>0為計時零點，寫出振動方程,并計算振動頻率。XOmx解：⑴確定平衡位置

mg=kl

取為原點

k=mg/l

令向下有位移x,則f=mg-k(l+x)=-kx作諧振動設(shè)振動方程為第18頁，共49頁，2023年，2月20日，星期日由初條件得由x0=Acos0=-0.098<0cos0<0,取0=振動方程為：x=9.810-2cos(10t+)m(2)按題意t=0

時x0=0，v0>0x0=Acos0=0,cos0=00=/2,3/2

v0=-Asin>0,sin0

<0,取0=3/2x=9.810-2cos(10t+3/2)m對同一諧振動取不同的計時起點不同，但、A不變XOmx固有頻率第19頁，共49頁，2023年，2月20日，星期日例:如圖所示，振動系統(tǒng)由一倔強系數(shù)為k的輕彈簧、一半徑為R、轉(zhuǎn)動慣量為I的定滑輪和一質(zhì)量為m的物體所組成。使物體略偏離平衡位置后放手，任其振動，試證物體作簡諧振動，并求其周期T.（繩與定滑輪無相對滑動）mm解：取位移軸ox，m在平衡位置時，設(shè)彈簧伸長量為l，則第20頁，共49頁，2023年，2月20日，星期日mm當(dāng)m有位移x時聯(lián)立得物體作簡諧振動第21頁，共49頁，2023年，2月20日，星期日已知某簡諧振動的速度與時間的關(guān)系曲線如圖所示，試求其振動方程。解：方法1用解析法求解設(shè)振動方程為第22頁，共49頁，2023年，2月20日，星期日故振動方程為第23頁，共49頁，2023年，2月20日，星期日v的旋轉(zhuǎn)矢量與v軸夾角表示t時刻相位由圖知方法2：用旋轉(zhuǎn)矢量法輔助求解。15.7-15.7第24頁，共49頁，2023年，2月20日，星期日諧振動系統(tǒng)的能量=系統(tǒng)的動能Ek+系統(tǒng)的勢能Ep某一時刻，諧振子速度為v，位移為x諧振動的動能和勢能是時間的周期性函數(shù)四、

簡諧振動的能量第25頁，共49頁，2023年，2月20日，星期日動能勢能情況同動能。機械能簡諧振動系統(tǒng)機械能守恒第26頁，共49頁，2023年，2月20日，星期日xtTEEpoEtEk(1/2)kA2第27頁，共49頁，2023年，2月20日，星期日一、同方向、同頻率諧振動的合成合振動是簡諧振動,其頻率仍為質(zhì)點同時參與同方向同頻率的諧振動:合振動:2

簡諧振動的合成第28頁，共49頁，2023年，2月20日，星期日如A1=A2,則A=0兩分振動相互加強兩分振動相互減弱分析若兩分振動同相：若兩分振動反相:第29頁，共49頁，2023年，2月20日，星期日合振動不是簡諧振動式中隨t緩變，視為合振動的振幅隨t快變合振動可看作振幅緩變的簡諧振動二.兩個同方向頻率相近簡諧振動的合成拍分振動合振動當(dāng)21時,第30頁，共49頁，2023年，2月20日，星期日拍

合振動忽強忽弱的現(xiàn)象拍頻:單位時間內(nèi)強弱變化的次數(shù)

=|2-1|

xtx2tx1t第31頁，共49頁，2023年，2月20日，星期日三、兩個相互垂直的同頻率簡諧振動的合成合振動分振動合振動質(zhì)點的軌跡方程第32頁，共49頁，2023年，2月20日，星期日合振動的軌跡為通過原點且在第一、第三象限內(nèi)的直線質(zhì)點離開平衡位置的位移討論第33頁，共49頁，2023年，2月20日，星期日合振動的軌跡為通過原點且在第二、第四象限內(nèi)的直線質(zhì)點離開平衡位置的位移第34頁，共49頁，2023年，2月20日，星期日合振動的軌跡為以x軸和y軸為軸線的橢圓.質(zhì)點沿橢圓的運動方向是順時針的。合振動的軌跡為以x軸和y軸為軸線的橢圓.質(zhì)點沿橢圓的運動方向是逆時針的。第35頁，共49頁，2023年，2月20日，星期日=5/4=3/2=7/4=0==/2=3/4Q=/4P

·.時，逆時針方向轉(zhuǎn)動。時，順時針方向轉(zhuǎn)動。第36頁，共49頁，2023年，2月20日，星期日四、兩個相互垂直不同頻率的簡諧振動的合成軌跡稱為李薩如圖形yxA1A2o-A2-A1兩振動的頻率成整數(shù)比第37頁，共49頁，2023年，2月20日，星期日李薩如圖形（周期比）xy第38頁，共49頁，2023年，2月20日，星期日五、簡諧振動的分解頻譜振動的分解：把一個振動分解為若干個簡諧振動。諧振分析：將任一周期性振動分解為各個諧振動之和。若周期振動的頻率為:0則各分振動的頻率為:0、20、30(基頻,二次諧頻,三次諧頻,…)按傅里葉級數(shù)展開第39頁，共49頁，2023年，2月20日，星期日方波的分解x0t0tx1t0x3t0x5t0x1+x3+x5+x0第40頁，共49頁，2023年，2月20日，星期日xot鋸齒波A03050鋸齒波頻譜圖一個非周期性振動可分解為無限多個頻率連續(xù)變化的簡諧振動。xot阻尼振動曲線阻尼振動頻譜圖oA第41頁，共49頁，2023年，2月20日，星期日一、阻尼振動阻尼振動能量隨時間減小的振動稱阻尼振動或減幅振動。摩擦阻尼：系統(tǒng)克服阻力作功使振幅受到摩擦力的作用，系統(tǒng)的動能轉(zhuǎn)化為熱能。輻射阻尼：振動以波的形式向外傳播，使振動能量向周圍輻射出去。3

阻尼振動受迫振動和共振第42頁，共49頁，2023年，2月20日，星期日彈簧振子動力學(xué)方程系統(tǒng)固有角頻率阻尼因子物體以不大的速率在粘性介質(zhì)中運動時,介質(zhì)對物體的阻力僅與速度的一次方成正比—阻尼系數(shù)第43頁，共49頁，2023年，2月20日，星期日弱阻尼弱阻尼阻尼振動的振幅按指數(shù)衰減過阻尼過阻尼系統(tǒng)不作往復(fù)運動，而是非常緩慢地回到平衡位置第44頁，共49頁，2023年，2月20日，星期日臨界阻尼臨界阻尼系統(tǒng)不作往復(fù)運動，而是較快地回到平衡位置并停下來第45頁，共49頁，2023年，2月20日，星期日二、受迫振動受迫振動振動系統(tǒng)在周期性外力作用下的振動。弱阻尼諧振子系統(tǒng)在策動力作用下的受迫振動的方程令周期性外力——策動力第46頁，共49頁，2023年，2月20日，星期日振動周期與周期性外力的周期相同阻尼振動簡諧振動第47頁，共49頁，2023年，2月20日，星期日穩(wěn)定解(1)頻率:等于策動力的頻率(3)