可對角化的概念

可對角化的概念第1頁，共22頁，2023年，2月20日，星期一定義1：設(shè)是維線性空間V的一個(gè)線性變換，如果存在V的一個(gè)基，使在這組基下的矩陣為對角矩陣，則稱線性變換可對角化.矩陣，則稱矩陣A可對角化.定義2：矩陣A是數(shù)域上的一個(gè)級方陣.如果存在一個(gè)上的級可逆矩陣，使為對角一、可對角化的概念

第2頁，共22頁，2023年，2月20日，星期一1.(定理7)設(shè)為維線性空間V的一個(gè)線性變換，則可對角化有個(gè)線性無關(guān)的特征向量.證：設(shè)在基下的矩陣為對角矩陣

則有

二、可對角化的條件

就是的n個(gè)線性無關(guān)的特征向量.第3頁，共22頁，2023年，2月20日，星期一反之，若有個(gè)線性無關(guān)的特征向量

那么就取為基，則在這組基下的矩陣是對角矩陣.2.(定理8)設(shè)為n維線性空間V的一個(gè)線性變換,如果分別是的屬于互不相同的特征值的特征向量，則線性無關(guān).證：對k作數(shù)學(xué)歸納法.當(dāng)時(shí)，線性無關(guān).命題成立.

第4頁，共22頁，2023年，2月20日，星期一假設(shè)對于來說，結(jié)論成立.現(xiàn)設(shè)為

的互不相同的特征值，是屬于的特征向量，即以乘①式的兩端，得

②

設(shè)

①又對①式兩端施行線性變換，得

③

第5頁，共22頁，2023年，2月20日，星期一③式減②式得

由歸納假設(shè)，線性無關(guān)，所以

但互不相同，所以將之代入①，得故線性無關(guān).

第6頁，共22頁，2023年，2月20日，星期一特別地，(推論2)在復(fù)數(shù)域C上的線性空間中，3.(推論1)設(shè)為n

維線性空間V的一個(gè)線性變換，則可對角化.如果線性變換的特征多項(xiàng)式?jīng)]有重根，則可如果的特征多項(xiàng)式在數(shù)域

P

中有n個(gè)不同特征值，對角化.第7頁，共22頁，2023年，2月20日，星期一特征值的線性無關(guān)的特征向量，則向量線性無關(guān).4.(定理9)設(shè)為線性空間V的一個(gè)線性變換，是的不同特征值，而是屬于證明：首先，的屬于同一特征值的特征向量的非零線性組合仍是的屬于特征值的一個(gè)特征向量.第8頁，共22頁，2023年，2月20日，星期一令

由④有，

設(shè)

④若有某個(gè)則是的屬于特征值的特征向量.而是互不相同的，由定理8，必有所有的第9頁，共22頁，2023年，2月20日，星期一即而線性無關(guān)，所以有

故線性無關(guān).為的特征子空間.

5.

設(shè)為n維線性空間V的一個(gè)線性變換，為全部不同的特征值，則可對角化第10頁，共22頁，2023年，2月20日，星期一6.

設(shè)為n維線性空間V的一個(gè)線性變換，若在某組基下的矩陣為對角矩陣則1）的特征多項(xiàng)式就是

2）對角矩陣D主對角線上元素除排列次序外是唯一確定的,它們就是的全部特征根(重根按重?cái)?shù)計(jì)算).第11頁，共22頁，2023年，2月20日，星期一三、對角化的一般方法

1°

求出矩陣A的全部特征值

2°對每一個(gè)特征值，求出齊次線性方程組

設(shè)為維線性空間V的一個(gè)線性變換，為V的一組基，在這組基下的矩陣為A.

步驟:的一個(gè)基礎(chǔ)解系（此即的屬于的全部線性無關(guān)的特征向量在基下的坐標(biāo)）.

第12頁，共22頁，2023年，2月20日，星期一3°若全部基礎(chǔ)解系所合向量個(gè)數(shù)之和等于n，則（或矩陣A）可對角化.以這些解向量為列，作一個(gè)n階方陣T，則T可逆，是對角矩陣.而且有n個(gè)線性無關(guān)的特征向量從而

T就是基到基的過渡矩陣.第13頁，共22頁，2023年，2月20日，星期一下的矩陣為

基變換的過渡矩陣.問是否可對角化.在可對角化的情況下，寫出例1.設(shè)復(fù)數(shù)域上線性空間V的線性變換在某組基第14頁，共22頁，2023年，2月20日，星期一解：A的特征多項(xiàng)式為

得A的特征值是1、1、－1.解齊次線性方程組得故其基礎(chǔ)解系為：

所以，是的屬于特征值1的兩個(gè)線性無關(guān)的特征向量.第15頁，共22頁，2023年，2月20日，星期一再解齊次線性方程組得

故其基礎(chǔ)解系為：

所以，是的屬于特征值－1的線性無關(guān)的特征向量.線性無關(guān)，故可對角化，且在基下的矩陣為對角矩陣

第16頁，共22頁，2023年，2月20日，星期一即基到的過渡矩陣為第17頁，共22頁，2023年，2月20日，星期一例2.

問A是否可對角化？若可，求可逆矩陣T，使為以角矩陣.這里得A的特征值是2、2、-4.解:A的特征多項(xiàng)式為

第18頁，共22頁，2023年，2月20日，星期一對于特征值2，求出齊次線性方程組

對于特征值－4，求出齊次方程組

的一個(gè)基礎(chǔ)解系:（－2、1、0），（1、0、1）

的一個(gè)基礎(chǔ)解系:

第19頁，共22頁，2023年，2月20日，星期一令

則

所以A可對角化.第20頁，共22頁，2023年，2月20日，星期一是對角矩陣（即D不可對角化）.

項(xiàng)式.并證明：D在任何一組基下的矩陣都不可能練習(xí)：在中,求微分變換D的特征多解：在中取一組基：則D在這組基下的矩陣為第21頁，共22頁，202