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變分法與邊值問題第1頁，共14頁，2023年，2月20日，星期一第6章變分法與邊值問題6.1

邊值問題與算子方程6.1.1薄膜的橫振動與最小位能原理

考慮張在平面有界區(qū)域上的均勻薄膜在垂直于平面的外力作用下的微小橫振動，薄膜的邊緣固定在上。利用微元分析法可得薄膜的總位能為其中，T表示張力，F(x,y)表示外力面密度，u(x,y)表示薄膜在點(x,y)出垂直于平面方向的位移。由于薄膜邊緣固定,故可見,(6.1.1)是定義在容許函數類上的泛函。第2頁，共14頁，2023年，2月20日，星期一第6章變分法與邊值問題

類似于5.2.5小節(jié)中對Dirichlet原理的討論，可知泛函（6.1.1）的極小函數就是Poisson方程Dirichlet問題

的解；反之邊值問題（6.1.2)的解u也是泛函(6.1.1)的極小函數,即

于是,我們可以用變分方法得到邊值問題(6.1.2)的解.值得注意的是,為了保證極小函數的存在性,有時必須將容許函數類擴大.此時我們得到的不一定是邊值問題的古典解而是弱解.第3頁，共14頁，2023年，2月20日，星期一第6章變分法與邊值問題6.1.2正算子與算子方程

我們稱滿足等式（Au,v)=(Av,u)的算子A為對稱算子。設A是定義在Hilbert空間H的某一線性稠密子集上的線性算子，若對中的任意元素u，有且等號成立當且僅當u=0,則稱A是正算子。第4頁，共14頁，2023年，2月20日，星期一第6章變分法與邊值問題應用

取Hilbet空間為第5頁，共14頁，2023年，2月20日，星期一第6章變分法與邊值問題

可以驗證，它們各自對應的算子是正算子。對應于以上三種問題算子的定義域分別為第6頁，共14頁，2023年，2月20日，星期一第6章變分法與邊值問題6.1.3正定算子弱解存在性

設A是上的線性算子，若存在常數對任意有則稱算子A是上的正算子。在上引入新內積由此內積誘導的新范數記為第7頁，共14頁，2023年，2月20日，星期一第6章變分法與邊值問題第8頁，共14頁，2023年，2月20日，星期一第6章變分法與邊值問題第9頁，共14頁，2023年，2月20日，星期一第6章變分法與邊值問題6.2Laplace算子的特征值問題

本節(jié)考慮如下的Laplace算子特征值問題：第10頁，共14頁，2023年，2月20日，星期一第6章變分法與邊值問題6.2.1特征值與特征函數的存在性第11頁，共14頁，2023年，2月20日，星期一第6章變分法與邊值問題第12頁，共14頁，2023年，2月20日，星期一第6章變分法與邊值問題6.2.2

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