圓的解題技巧總結(jié)

圓的解題技巧總結(jié)一、垂徑定理的應(yīng)用給出的圓形紙片如下圖，如果在圓形紙片上任意畫一條垂直于直徑CD的弦AB,垂足為P，再將紙片沿著直徑CD對折，我們很容易發(fā)現(xiàn)A、B兩點重合，即有結(jié)論AP=BP，弧AC=弧BC.其實這個結(jié)論就是“垂徑定理〃，準確地表達為：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的弧.垂徑定理是“圓〃這一章最早出現(xiàn)的重要定理，它說明的是圓的直徑與弦及弦所對的弧之間的垂直或平分的對應(yīng)關(guān)系，是解決圓內(nèi)線段、弧、角的相等關(guān)系及直線間垂直關(guān)系的重要依據(jù)，同時，也為我們進行圓的有關(guān)計算與作圖提供了方法與依據(jù).例1某居民小區(qū)一處圓柱形的輸水管道破裂，維修人員為更換管道，需確定管道圓形截面的半徑，下列圖是水平放置的破裂管道有水局部的截面.請你補全這個輸水管道的圓形截面；假設(shè)這個輸水管道有水局部的水面寬AB=16cm,水面最深地方的高度為4cm,求這個圓形截面的半徑.例2如圖，PQ=3,以PQ為直徑的圓與一個以5為半徑的圓相切于點P，正方形ABCD的頂點A、B在大圓上，小圓在正方形的外部且與CD切于點Q,那么AB=?pp例3如圖，00中，直徑MN=10,正方形ABCD的四個頂點分別在半徑0M、0P以及00例4圖為小自行車內(nèi)胎的一局部，如何將它平均分給兩個小朋發(fā)做玩具?二、與圓有關(guān)的多解題幾何題目一般比擬靈活，假設(shè)畫圖片面，考慮不周，很容易漏解，造成解題錯誤，在解有關(guān)圓的問題時，常常會因無視圖形的幾種可能性而漏解.無視點的可能位置.例5△ABC是半徑為2的圓的內(nèi)接三角形，假設(shè)BC2、訂cm,那么ZA的度數(shù)為無視點與圓的位置關(guān)系.例6點P到00的最短距離為2cm，最長距離為6cm，那么00的半徑是 無視平行弦與圓心的不同位置關(guān)系.例7四邊形ABCD是00的內(nèi)接梯形，AB〃CD,AB=8cm，CD=6cm，00的半徑是5cm,那么梯形的面積是 .忽略兩圓相切的不同位置關(guān)系例8點P在00外，0P=13cm，PA切00于點A,PA=12cm,以P為圓心作0P與00相切，那么0P的半徑是 .例9假設(shè)00與00相交，公共弦長為24cm，00與00的半徑分別為13cm和15cm，1212那么圓心距00的長為12 三、巧證切線切線是圓中重要的知識點，而判斷直線為圓的切線是中考的重要考點.判斷直線是否是圓的切線，主要有兩條途徑：圓心到直線的距離等于半徑當題中沒有明確直線與圓是否相交時，可先過圓心作直線的垂線，然后證明圓心到直線的距離等于半徑.例10如圖，P是ZAOB的角平分線0C上一點，PD丄0A于點D,以點P為圓心，PD為半徑畫OP，試說明0B是0P的切線.證明直線經(jīng)過圓的半徑的外端，并且垂直于這條半徑當直線與圓有交點時，連結(jié)交點和圓心〔即半徑〕然后證明這條半徑與直線垂直即可.例11如圖，AB為00的直徑，直線BC與00相切于點B,過A作AD〃0C交00于點D,連結(jié)CD.求證：CD是00的切線；假設(shè)AD=2，直徑AB=6，求線段BC的長.四、結(jié)論巧用，妙解題例12:如圖，00為RtAABC的內(nèi)切圓，D、E、F分別為AB、AC、BC邊上的切點,求證：s=AD-BD.?AABC該結(jié)論可表達為：“直角三角形的面積等于其內(nèi)切圓與斜邊相切的切點分斜邊所成兩條線段的乘積.〃運用它，可較簡便地解決一些與直角三角形內(nèi)切圓有關(guān)的問題，舉例如下:例13如圖，00為RtAABC的內(nèi)切圓，切點D分斜邊AB為兩段，其中AD=10,BD=3,求AC和BC的長.

例14如圖，AABC中ZA與ZB互余,且它們的角平分線相交于點0,又0E丄AC,0F丄BC,垂足分別為E、F,AC=10,BC=13.求AE?BF的值.L五、點擊圓錐的側(cè)面展開圖圓錐的側(cè)面展開圖是中考中的熱點內(nèi)容：解決此類問題的關(guān)鍵是明確圓錐的側(cè)面展開圖中各元素與圓錐各元素之間的關(guān)系:圓錐的側(cè)面展開圖是扇形，而扇形的半徑是圓錐的母線，弧長是圓錐的底面周長.例15假設(shè)一個圓錐的母線長是它的底面半徑長的3倍，那么它的側(cè)面展開圖的圓心角是（）A.180° B.90° C.120°D.135°例16圓錐的側(cè)面展開圖是一個半圓面，那么這個圓錐的母線長與底面半徑長的比是（ ）A.2:1 B.2n：1C、込:1D.亍3:1例17如圖，小紅要制作一個高4cm，底面直徑是6cm的圓錐形小漏斗,假設(shè)不計接縫，不計損耗，那么她所需紙板的面積是（）A.15ncm2 B.6J13兀cm2C.12、；13嘰cm2D.30cm2例18下列圖是小芳學(xué)習(xí)時使用的圓錐形臺燈罩的示意圖，那么圍成這個燈罩的鐵皮的面積為 cm2.〔不考慮接縫等因素，計算結(jié)果用n表示〕

評注：圓錐的側(cè)面積，需要熟練掌握其計算公式，理解圓錐的側(cè)面積等于其剪開后扇形的面積.例19如圖，有一塊四邊形形狀的鐵皮ABCD,BC=CD,AB=2AD,ZABC=ZADB=90°.求評注：圓錐的側(cè)面積，需要熟練掌握其計算公式，理解圓錐的側(cè)面積等于其剪開后扇形的面積.例19如圖，有一塊四邊形形狀的鐵皮ABCD,BC=CD,AB=2AD,ZABC=ZADB=90°.求ZC的度數(shù)；以C為圓心，CB為半徑作圓弧BD得一扇形CBD,剪下該扇形并用它圍成一圓錐的側(cè)面，假設(shè)BC=a，求該圓錐的底面半徑；在剩下的材料中，能否剪下一塊整圓做該圓錐的底面？并說明理由.六、例談三角形內(nèi)切圓問題三角形的內(nèi)切圓是與三角形都相切的圓，它的圓心是三角形三條角平分線的交點，它到三角形三邊的距離相等，它與頂點的連線平分內(nèi)角.應(yīng)用內(nèi)心的性質(zhì)，結(jié)合切線的性質(zhì)、切線長的性質(zhì)可以解決很多問題，現(xiàn)舉例說明，例20如圖，AABC中，內(nèi)切圓01和邊BC、CA、AB分別相切于點D、E、F.求證：(1)ZFDE=90?！?ZA；A(2)ZBIC=90o+丄厶.21A)PADHliAC僅供學(xué)習(xí)參考A.(a+b+c)r1C.3(aA)PADHliAC僅供學(xué)習(xí)參考A.(a+b+c)r1C.3(a+b+c)r1B.2(a+b+c)r1D.-(a+b+c)r例21如果△ABC的三邊長分別為a、b、c,它的內(nèi)切圓01半徑為r,那么△ABC的面積為（5.平移法把圖形做適當?shù)钠揭?，然后再計算面積.例26如圖，CD是半圓0的直徑，半圓0的弦AB與半圓0'相切，點0'在CD上，且AB〃CD,AB=4,那么陰影局部的面積是〔結(jié)果保存n〕ZBAC=60°，七、陰影局部面積的求值技巧求陰影局部面積，通常是根據(jù)圖形的特點，將其分解、轉(zhuǎn)化為規(guī)那么圖形求解.但在轉(zhuǎn)化過程中又有許多方法?本文精選幾個題，介紹幾種常用方法.1?直接法當圖形為熟知的根本圖形時，先求出適合該圖形的面積計算公式中某些線段、角的大小，然后直接代入公式進行計算.2/3—兀心的誨與AD相切于點P,那么圖中陰影局部的面積為（）C寧兀D.于例22如圖，在矩形ABCD中，AB=1,AD=N，以BC的中點E為圓AfA.—兀 B.3兀3 42.和差法當圖形比擬復(fù)雜時，我們可以把陰影局部的面積轉(zhuǎn)化為假設(shè)干個熟悉的圖形的面積的和或差來計算.例23如圖，AB和AC是00的切線，B、C為切點，00的半徑為1,那么陰影局部的面積是（）A.J3—-兀 B.^3—- C.2占—-3 3 3割補法把不規(guī)那么的圖形割補成規(guī)那么圖形，然后求面積.例24如圖，正方形ABCD的頂點A是正方形EFGH的中心,EF=6cm,那么圖中的陰影局部的面積為 .等積變形法把所求陰影局部的圖形進行適當?shù)牡确e變形，即可找出與它面積相等的特殊圖形，從而求出陰影局部面積.例25如圖，C、D兩點是半圓周上的三等分點，圓的半徑為R,求陰影局部的面積.6.整體法例27如圖，正方形的邊長為a,分別以對角頂點為圓心，邊長為半徑畫弧，那么圖中陰影局部的面積是(）陰影局部的面積是(）A1,1A. a2+ 兀a22 41B.2（a2一兀a2）4P , 1C. —a2+—.兀a22n 1D.a2一兀a227.折疊法例28如圖，半圓A和半圓B均與y軸相切于點0,其直徑CD,EF均和x軸垂直，以0為頂點的兩條拋物線分別經(jīng)過點C、E和點D、F,那么圖中陰影局部的面積是 8.聚零為整法例29如下圖，將半徑為2cm的00分割成十個區(qū)域，其中弦AB、CD關(guān)于點0對稱,EF、GH關(guān)于點0對稱，連結(jié)PM，那么圖中陰影局部的面積是 〔結(jié)果用n表示〕////八、圓中輔助線大集合圓是初中重點內(nèi)容，是中考必考內(nèi)容.關(guān)于圓的大局部題目，常需作輔助線來求解.現(xiàn)對圓中輔助線的作法歸納總結(jié)如下：1、有關(guān)弦的問題，常做其弦心距，構(gòu)造直角三角形例30如圖，矩形ABCD與圓心在AB上的00交于點G、B、F、E，GB=8cm，AG=1cm，DE=2cm，那么EF= cm.2、有關(guān)直徑問題，常做直徑所對的圓周角例31如圖，在△ABC中，ZC=90。，以BC上一點0為圓心，以0B為半徑的圓交AB于點M,交BC于點N.求證：AB-BM=BC-BN如果CM是00的切線，N為0C的中點，當AC=3時，求AB的值.3、直線與圓相切的問題，常連結(jié)過切點的半徑，得到垂直關(guān)系；或選圓周角，找出等角關(guān)系例32如圖，AB、AC分別是00的直徑和弦，點D為劣弧AC上一點，弦ED分別交00于點E,交AB于點H,交AC于點F,過點C的切線交ED的延長線于P.⑴假設(shè)PC=PF，求證：AB丄ED.⑵點D在劣弧的什么位置時，才能使AD2=DE?DF,為什么？4、兩圓相切，常做過切點的公切線或連心線，充分利用連心線必過切點等定理例33如圖，002與半圓0］內(nèi)切于點C,與半圓的直徑AB切于D，假設(shè)AB=6,0O2的半徑為1,那么ZABC的度數(shù)為 . 2C、數(shù)學(xué)思想方法與中考能力要求數(shù)學(xué)思想和方法是數(shù)學(xué)的血液和精髓，是解決數(shù)學(xué)問題的有力武器，是數(shù)學(xué)的靈魂.因此，我們領(lǐng)悟和掌握以數(shù)學(xué)知識為載體的數(shù)學(xué)思想方法，是提高數(shù)學(xué)思維水平，提高數(shù)學(xué)能力，運用數(shù)學(xué)知識解決實際問題的有力保證，因此，我們在學(xué)習(xí)中必須重視數(shù)學(xué)思想在解題中的應(yīng)用.一、數(shù)形結(jié)合思想.數(shù)形結(jié)合的思想，其實質(zhì)是將抽象的數(shù)學(xué)語言與直觀的圖形結(jié)合起來，使抽象思維和形象思維相結(jié)合.通過對圖形的認識，數(shù)形結(jié)合的轉(zhuǎn)化，可培養(yǎng)同學(xué)們思維的靈活性、形象性,使問題化難為易，化抽象為具體.例1MN是半圓直徑，點A是叼K的一個三等分點，點B是:謖的中點，P是直徑MN上的一動點，00的半徑是1,求AP+BP的最小值.二、轉(zhuǎn)化思想轉(zhuǎn)化思想，就是在研究和解決有關(guān)數(shù)學(xué)問題時，采用某種手段將問題通過變換，使之轉(zhuǎn)化，進而得到解決的一種方程，轉(zhuǎn)化思想，能化繁為簡，化難為易，化未知為.例2如圖，以0。的直徑BC為一邊作等邊△ABC,AB、AC交00于D、E兩點，試說明BD=DE=EC.在同圓或等圓中，經(jīng)常利用圓心角、圓周角、弧、弦等量的轉(zhuǎn)化，說明其他量.三、分類思想所謂分類思想，就是當被研究的問題包含多種可能情況，不能一概而論時，必須按可能出現(xiàn)的所有情況來分別討論，得出各種情況下相應(yīng)的結(jié)論.分類必須遵循一定的原那么：（1）每一次分類要按照同一標準進行；（2）不重、不漏、最簡.例3 00的直徑AB=2cm，過點A的兩條弦AC=話2cm，AD=、：3cm,求ZCAD所夾的圓內(nèi)局部的面積.在圓中有許多分類討論的題目，希望同學(xué)們做題時，要全面、縝密，杜絕“會而不對,對而不全〃的現(xiàn)象.四、方程思想通過對問題的觀察、分析、判斷，將問題化歸為方程問題，利用方程的性質(zhì)和實際問題與方程的互相轉(zhuǎn)化到達解決問題的目的.例4如圖，AB是00的直徑，點P在BA的延長線上，弦CD丄AB,垂足為E,且PC是00的切線，假設(shè)0E:EA=1:2,PA=6,求00的半徑.HI17-53

五、函數(shù)思想例5〔2005