人教課標(biāo)實(shí)驗(yàn)版九年級(jí)上冊(cè)第二十二章一元二次方程2一元二次方程“黃岡賽”一等獎(jiǎng)

典型例題一【例1】如果是方程的兩個(gè)根，不解方程，求的值.解：∵是方程的兩根，∴.說(shuō)明題中沒(méi)有明確，因此的值可能為正，也可能為負(fù).【例2】不解方程，求作一個(gè)一元二次方程，使它的根比原方程各根的2倍大1.解：設(shè)方程的兩根是.則.設(shè)所求的方程為，它的兩根分別是和則，∴所求作的方程是.【例3】a取何值時(shí)，方程，（1）兩根互為相反數(shù)；（2）兩根互為倒數(shù).分析滿足兩根互為相反數(shù)的條件是兩根和為零，滿足兩根互為倒數(shù)的條件是兩極積為1，同時(shí)它們又都隱含著有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，所以必須滿足.解：設(shè)方程的兩根是，則（1）依題意，有由（1）得.由（2）得，∴時(shí)，方程兩根互為相反數(shù).（2）依題意，得由（1）得，由（2）得，∴時(shí)，方程兩根互為倒數(shù).說(shuō)明方程的兩根互為相反數(shù)，也可由條件且異號(hào)來(lái)確定.【例4】已知關(guān)于x的方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根的平方和是，求m值.解：設(shè)方程的兩根是.則.解這個(gè)方程，得.當(dāng)時(shí)，∴舍去.當(dāng)時(shí)，∴.說(shuō)明例3、例4都是由兩根的情況求方程中的待定系數(shù)，情況類似，但解題方法不同，例1是由確定了m的取值范圍，然后求出m的值.而例2中的是一個(gè)一元二次不等式，為了避開(kāi)解這個(gè)不等式，我們采取了“先求后驗(yàn)”的方式，即先求出m的值，然后代入判別式去檢驗(yàn).由此看到，同一類型的題目可以有不同的解法，選用什么方法合適，要根據(jù)題目的特征來(lái)決定.【例5】已知關(guān)于x的一元二次方程的兩個(gè)不等實(shí)根的倒數(shù)和為S，求S的范圍.分析題中方程的一般形式為，因此隱含了二次項(xiàng)系數(shù)不為零和判別式大于零的條件，挖掘這兩個(gè)條件求出m的取值范圍，就能求兩根倒數(shù)和S的范圍.解：整理原方程，得依題意，有解得且.設(shè)方程的兩根為，則即.【例6】關(guān)于x的方程①與②，若方程①的兩個(gè)實(shí)數(shù)根的平方和等于方程②的一個(gè)整數(shù)根，求m的值.分析利用根與系數(shù)的關(guān)系，可將方程①的兩實(shí)根平方和表示為m的代數(shù)式.用因式分解法或求根公式可以求出方程②的兩根，從而構(gòu)造關(guān)于m的方程，求出m的值.解：設(shè)方程①的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為，則∴把方程②變形為解這個(gè)方程，得若為整數(shù)根，根據(jù)題意，得.解這個(gè)方程，得.此時(shí)不是整數(shù)根，不符合題意，舍去.若為整數(shù)根，根據(jù)題意，得.解這個(gè)方程，得.當(dāng)時(shí)，方程②的是整數(shù)，且，方程①有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，符合題意.當(dāng)時(shí)，方程②的不是整數(shù)，不符合題意，舍去.∴.說(shuō)明這是一道綜合性較強(qiáng)的題目，它綜合運(yùn)用了解字母系數(shù)的一元二次方程，一元二次方程根據(jù)的判別式，根與系數(shù)的關(guān)系等知識(shí)及有關(guān)概念，解題時(shí)不僅要求熟練掌握這些知識(shí)而且需要具備方程思想求待定系數(shù)、分類討論思想和檢驗(yàn)所求的解是否符合題意的能力.當(dāng)求出方程的兩根是和后，由于不知道m(xù)的取值范圍，所以不能盲目地認(rèn)為是整數(shù)根，這兩根都有可能是整數(shù)，因此應(yīng)構(gòu)造兩個(gè)方程分別求m的值.求出后，還需要有檢驗(yàn)的意識(shí)，掌握檢驗(yàn)的方法，要代入你所假定的整數(shù)根去看它是否為整數(shù)，注意不是m為整數(shù)，也不是方程②的兩根或另一根是整數(shù).還應(yīng)檢驗(yàn)方程①是否有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，符合這兩個(gè)要求的才是所求的m的值.【例7】實(shí)數(shù)k取何值時(shí)，一元二次方程，（1）有兩個(gè)正根；（2）有兩個(gè)異號(hào)根，并且正根的絕對(duì)值較大；（3）一根大于3，一根小于3.分析：本題的三個(gè)問(wèn)題分別對(duì)根附加了一些限制條件，根據(jù)判別式及韋達(dá)定理，可列出相應(yīng)的使k分別滿足條件的方程組或不等式組，進(jìn)而求出k的取值范圍.解，∴無(wú)論k取任何實(shí)數(shù)，方程都有兩個(gè)實(shí)數(shù)根.設(shè)該方程的兩根為，則由韋達(dá)定理，得（1）若使應(yīng)滿足條件：∴當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)正根.（2）若使且應(yīng)滿足條件：∴當(dāng)時(shí)，兩根異號(hào)，且正根的絕對(duì)值較大.（3）若使應(yīng)滿足條件：，