人教版八年級上第十二章全等三角形1三角形全等的判定“衡水賽”一等獎

三角形全等的判定1.教學(xué)設(shè)計說明數(shù)學(xué)教學(xué)活動應(yīng)建立在學(xué)生的認知發(fā)展水平和已有的知識經(jīng)驗基礎(chǔ)上，教師應(yīng)成為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的組織者、引導(dǎo)者與合作者。教師應(yīng)激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，向?qū)W生提供充分的從事數(shù)學(xué)活動的機會，從中真正理解和掌握基本的數(shù)學(xué)知識與技能、數(shù)學(xué)思想和方法，獲得數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗。學(xué)生成為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的主人。以三角形全等是否需要六個條件為背景導(dǎo)入新課，可以提高學(xué)生學(xué)習(xí)興趣和探索新知的欲望；通過一題多解的處理方法達到提高識圖能力、分析能力的目的；同時兩個圖形畫法的再現(xiàn)與合理性證明也是為了滲透尺規(guī)作圖的原理，為后續(xù)知識的學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)，分散教學(xué)難點，便于更好地突出重點。探究問題的設(shè)計意在激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，調(diào)動學(xué)習(xí)積極性，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力。2.教學(xué)分析教材分析①《全等三角形的判定》學(xué)習(xí)重點之一是推理證明，雖然前面平行線的學(xué)習(xí)中已經(jīng)接觸了推理證明，但那只是初步的、淺顯的。通過全等三角形的學(xué)習(xí)，力圖使學(xué)生在邏輯推理的能力上達到教學(xué)的要求。另外，在尺規(guī)作圖，特別是按要求作三角形的教學(xué)內(nèi)容中，全等三角形的判定起到至關(guān)重要的作用。②全等三角形的學(xué)習(xí)是繼平行線后的第二次比較系統(tǒng)的學(xué)習(xí)幾何推理，學(xué)生對此感覺比較新鮮有趣，利用這段教學(xué)內(nèi)容可以有效激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，并借此提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情。全等三角形的知識相對來講比較簡單，通過本段知識的學(xué)習(xí)可以幫助學(xué)生樹立學(xué)好數(shù)學(xué)的信心。學(xué)情分析在此之前，學(xué)生雖然已有平行線的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)，但是識圖能力和運用符號語言的能力還都有待提高。在“空間與圖形”相關(guān)知識的學(xué)習(xí)過程中，我始終比較重視對學(xué)生的畫圖、識圖能力的培養(yǎng)，并且有意滲透了一些尺規(guī)作圖的基本方法，但是方法的合理性是遺留在學(xué)生心中的疑問，他們只是在機械地模仿。全等三角形的各種判定方生的掌握，絕大部分同學(xué)能夠準(zhǔn)確根據(jù)條件標(biāo)圖，判斷出兩個三角形是否具備全等的條件，并且能夠正確地表達推理過程，但在靈活選取方法方面還略顯不足。3.教學(xué)目標(biāo)知識與技能目標(biāo)：①能夠正確應(yīng)用全等三角形的性質(zhì)和判定證明線段相等或角相等；②學(xué)習(xí)兩次應(yīng)用全等的證明方法；過程與方法目標(biāo)：①通過例題和習(xí)題一題多解的練習(xí)，提高學(xué)生分析問題的能力和推理的能力，提高學(xué)生解題的靈活性和識圖能力；②通過探究問題的解決，進一步培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力；情感、態(tài)度與價值觀目標(biāo)：①通過兩個遺留問題的證明，使學(xué)生感受數(shù)學(xué)的嚴謹性，體會數(shù)學(xué)知識的形成過程。②通過探究問題的探討，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，幫助學(xué)生樹立學(xué)好數(shù)學(xué)的信心。4.教學(xué)重難點靈活運用三角形全等的條件；運用全等的條件解決一些實際問題。靈活運用三角形全等條件構(gòu)造、證明并解決一些實際問題。5.課時設(shè)計全等三角形判定：“SSS”、“SAS”、“ASA”“AAS”、“HL”新課各一課時。6.教學(xué)策略以多媒體為輔助，問題式教學(xué)、探究法。教學(xué)過程（1）課前探究部分Ⅰ．創(chuàng)設(shè)情境，引入新課（一）出示投影片，回憶前面研究過的全等三角形．已知△ABC≌△A′B′C′，找出其中相等的邊與角．圖中相等的邊是：AB=A′B′、BC=B′C′、AC=A′C′．相等的角是：∠A=∠A′、∠B=∠B′、∠C=∠C′．展示課作前準(zhǔn)備的三角形紙片，提出問題：你能畫一個三角形與它全等嗎？怎樣畫？（可以先量出三角形紙片的各邊長和各個角的度數(shù)，再作出一個三角形使它的邊、角分別和已知的三角形紙片的對應(yīng)邊、對應(yīng)角相等。這樣作出的三角形一定與已知的三角形紙片全等）。這是利用了全等三角形的定義來作圖．那么是否一定需要六個條件呢？條件能否盡可能少呢？現(xiàn)在我們就來探究這個問題．Ⅱ．導(dǎo)入新課全等的判定（SSS）1．只給一個條件（一組對應(yīng)邊相等或一組對應(yīng)角相等），畫出的兩個三角形一定全等嗎？2．給出兩個條件畫三角形時，有幾種可能的情況，每種情況下作出的三角形一定全等嗎？分別按下列條件做一做．①三角形一內(nèi)角為30°，一條邊為3cm．②三角形兩內(nèi)角分別為30°和50°．③三角形兩條邊分別為4cm、6cm．學(xué)生分組討論、探索、歸納，最后以組為單位出示結(jié)果作補充交流．結(jié)果展示：1．只給定一條邊時：只給定一個角時：2．給出的兩個條件可能是：一邊一內(nèi)角、兩內(nèi)角、兩邊．可以發(fā)現(xiàn)按這些條件畫出的三角形都不能保證一定全等．給出三個條件畫三角形，你能說出有幾種可能的情況嗎？歸納：有四種可能．即：三內(nèi)角、三條邊、兩邊一內(nèi)角、兩內(nèi)角一邊．在剛才的探索過程中，我們已經(jīng)發(fā)現(xiàn)三內(nèi)角不能保證三角形全等．下面我們就來逐一探索其余的三種情況．已知一個三角形的三條邊長分別為6cm、8cm、10cm．你能畫出這個三角形嗎？把你畫的三角形剪下與同伴畫的三角形進行比較，它們?nèi)葐幔?．作圖方法：先畫一線段AB，使得AB=6cm，再分別以A、B為圓心，8cm、10cm為半徑畫弧，兩弧交點記作C，連結(jié)線段AC、BC，就可以得到三角形ABC，使得它們的邊長分別為AB=6cm，AC=8cm，BC=10cm．2．以小組為單位，把剪下的三角形重疊在一起，發(fā)現(xiàn)都能夠重合．這說明這些三角形都是全等的．3．特殊的三角形有這樣的規(guī)律，要是任意畫一個三角形ABC，根據(jù)前面作法，同樣可以作出一個三角形A′B′C′，使AB=A′B′、AC=A′C′、BC=B′C′．將△A′B′C′剪下，發(fā)現(xiàn)兩三角形重合．這反映了一個規(guī)律：三邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等，簡寫為“邊邊邊”或“SSS”．用上面的規(guī)律可以判斷兩個三角形全等．判斷兩個三角形全等的推理過程，叫做證明三角形全等．所以“SSS”是證明三角形全等的一個依據(jù)．請看例題．[例]如圖，△ABC是一個鋼架，AB=AC，AD是連結(jié)點A與BC中點D的支架．求證：△ABD≌△ACD．[分析]要證△ABD≌△ACD，可以看這兩個三角形的三條邊是否對應(yīng)相等．證明：因為D是BC的中點所以BD=DC在△ABD和△ACD中所以△ABD≌△ACD（SSS）．生活實踐的有關(guān)知識：用三根木條釘成三角形框架，它的大小和形狀是固定不變的，而用四根木條釘成的框架，它的形狀是可以改變的．三角形的這個性質(zhì)叫做三角形的穩(wěn)定性．所以日常生活中常利用三角形做支架．就是利用三角形的穩(wěn)定性．例如屋頂?shù)娜俗至?、大橋鋼架、索道支架等?．三角形全等的判定（SAS）(1)全等三角形具有“對應(yīng)邊相等、對應(yīng)角相等”的性質(zhì)．那么，怎樣才能判定兩個三角形全等呢？也就是說，具備什么條件的兩個三角形能全等？是否需要已知“三條邊相等和三個角對應(yīng)相等”？現(xiàn)在我們用圖形變換的方法研究下面的問題：如圖2，AC、BD相交于O，AO、BO、CO、DO的長度如圖所標(biāo)，△ABO和△CDO是否能完全重合呢？不難看出，這兩個三角形有三對元素是相等的：AO＝CO，∠AOB＝∠COD，BO＝DO．如果把△OAB繞著O點順時針方向旋轉(zhuǎn)，因為OA＝OC，所以可以使OA與OC重合；又因為∠AOB＝∠COD，OB＝OD，所以點B與點D重合．這樣△ABO與△CDO就完全重合．由此，我們得到啟發(fā)：判定兩個三角形全等，不需要三條邊對應(yīng)相等和三個角對應(yīng)相等．而且，從上面的例子可以引起我們猜想：如果兩個三角形有兩邊和它們的夾角對應(yīng)相等，那么這兩個三角形全等．2．上述猜想是否正確呢？不妨按上述條件畫圖并作如下的實驗：(1)讀句畫圖：①畫∠DAE＝45°，②在AD、AE上分別取B、C，使AB＝，AC＝．③連結(jié)BC，得△ABC．④按上述畫法再畫一個△A＇B＇C＇．(2)把△A＇B＇C＇剪下來放到△ABC上，觀察△A＇B＇C＇與△ABC是否能夠完全重合？3．邊角邊公理．有兩邊和它們的夾角對應(yīng)相等的兩個三角形全等(簡稱“邊角邊”或“SAS”)全等的判定（ASA、AAS）1．復(fù)習(xí)：（1）三角形中已知三個元素，包括哪幾種情況？三個角、三個邊、兩邊一角、兩角一邊．（2）到目前為止，可以作為判別兩三角形全等的方法有幾種？各是什么？三種：①定義；②SSS；③SAS．2．在三角形中，已知三個元素的四種情況中，我們研究了三種，今天我們接著探究已知兩角一邊是否可以判斷兩三角形全等呢？Ⅱ．導(dǎo)入新課問題1：三角形中已知兩角一邊有幾種可能？1．兩角和它們的夾邊．2．兩角和其中一角的對邊．問題2：三角形的兩個內(nèi)角分別是60°和80°，它們的夾邊為4cm，你能畫一個三角形同時滿足這些條件嗎？將你畫的三角形剪下，與同伴比較，觀察它們是不是全等，你能得出什么規(guī)律？將所得三角形重疊在一起，發(fā)現(xiàn)完全重合，這說明這些三角形全等．提煉規(guī)律：兩角和它們的夾邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等（可以簡寫成“角邊角”或“ASA”）．問題3：我們剛才做的三角形是一個特殊三角形，隨意畫一個三角形ABC，能不能作一個△A′B′C′，使∠A=∠A′、∠B=∠B′、AB=A′B′呢？①先用量角器量出∠A與∠B的度數(shù)，再用直尺量出AB的邊長．②畫線段A′B′，使A′B′=AB．③分別以A′、B′為頂點，A′B′為一邊作∠DA′B′、∠EB′A′，使∠DA′B′=∠CAB，∠EB′A′=∠CBA．④射線A′D與B′E交于一點，記為C′即可得到△A′B′C′．將△A′B′C′與△ABC重疊，發(fā)現(xiàn)兩三角形全等．兩角和它們的夾邊對應(yīng)相等的兩三角形全等（可以簡寫成“角邊角”或“ASA”）．思考：在一個三角形中兩角確定，第三個角一定確定．我們是不是可以不作圖，用“ASA”推出“兩角和其中一角的對邊對應(yīng)相等的兩三角形全等”呢？探究問題4：如圖，在△ABC和△DEF中，∠A=∠D，∠B=∠E，BC=EF，△ABC與△DEF全等嗎？能利用角邊角條件證明你的結(jié)論嗎？證明：∵∠A+∠B+∠C=∠D+∠E+∠F=180°∠A=∠D，∠B=∠E∴∠A+∠B=∠D+∠E∴∠C=∠F在△ABC和△DEF中∴△ABC≌△DEF（ASA）．兩個角和其中一角的對邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等（可以簡寫成“角角邊”或“AAS”）．[例]如下圖，D在AB上，E在AC上，AB=AC，∠B=∠C．求證：AD=AE．[分析]AD和AE分別在△ADC和△AEB中，所以要證AD=AE，只需證明△ADC≌△AEB即可．證明：在△ADC和△AEB中所以△ADC≌△AEB（ASA）所以AD=AE．全等的判定（HL）探索練習(xí)：（動手操作）：已知線段a，c(a<c)和一個直角利用尺規(guī)作一個Rt△ABC，使∠C=∠，AB=c，CB=a1、按步驟作圖：ac作∠MCN=∠=90°，在射線CM上截取線段CB=a，③以B為圓心，C為半徑畫弧，交射線CN于點A，④連結(jié)AB2、與同桌重疊比較，是否重合？3、從中你發(fā)現(xiàn)了什么？斜邊與一直角邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等．（ＨＬ）如圖，△ABC中，AB=AC，AD是高，則△ADB與△ADC（填“全等”或“不全等”）根據(jù)（用簡寫法）如圖，CE⊥AB，DF⊥AB，垂足分別為E、F，（1）若AC下列各組條件中，能判定△ABC≌△DEF的是(

)A．AB=DE，BC=EF，∠A=∠DB．∠A=∠D，∠C=∠F，AC=EF

C．AB=DE，BC=EF，△ABC的周長=

△DEF的周長

D．∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F2.在△ABC與△DEF中，給出下列六個條件：（1）AB=DE；（2）BC=EF；（3）AC=DF；（4）∠A=∠D；（5）∠B=∠E；（6）∠C=∠F，以其中三個條件為已知，不能判斷△ABC與△DEF全等的是（）Ａ．（1）（5）（2） Ｂ．（1）（2）（3）Ｃ．（4）（6）（1） Ｄ．（2）（3）（4）3.下列幾種說法①全等三角形的對應(yīng)邊相等；②面積相等的兩個三角形全等；③周長相等的兩個三角形全等；④全等的兩個三角形的面積相等。其中正確的是（）A.①②B.②③C.③④D.①④4.△ABC和△DEF中，∠B＝∠E、∠C＝∠F,添加下列條件不能得出△ABC≌△DEF的是（）A.BC＝EFB.AB＝DEC.AC＝DED.AC＝DF5.如圖,已知∠1=∠2,AC=AD,增加下列條件:①AB=AE,②BC=ED,③∠C=∠D,④∠B=∠E,其中能使ΔABC≌ΔAED的條件有..............()個.第6題第第6題第5題6.如圖，已知△ABC的六個元素，則下面甲、乙、丙三個三角形中和△ABC全等的圖形是（）A．甲和乙B．乙和丙C．只有乙D．只有丙已知：如圖，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中點，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，則圖中共有全等三角形（）A．5對B．4對C．3對D．2對AAGFEGFE第7題BC第7題BCD已知BD、CE是△ABC的高，點P在BD的延長線上，BP=AC，點Q在CE上，CQ=AB。判斷線段AP和AQ的位置.大小關(guān)系，并證明.3434答案4．C5．B6．B7．A8．AP=AQ證明：∵BD⊥AC，CE⊥