人教課標(biāo)實(shí)驗(yàn)版八年級(jí)上冊(cè)第十二章軸對(duì)稱1等腰三角形“百校聯(lián)賽”一等獎(jiǎng)

等腰三角形【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1．了解等腰三角形的概念，探索并掌握等腰三角形的性質(zhì)：等腰三角形的兩底角相等，底邊上的高、中線及頂角平分線三線合一．2．探索并掌握一個(gè)三角形是等腰三角形的條件：有兩個(gè)角相等的三角形是等腰三角形．3．了解等邊三角形的概念，并探索其性質(zhì)：等邊三角形每個(gè)角都是60°．【主體知識(shí)歸納】1．兩邊相等的三角形叫做等腰三角形．等腰三角形中，相等的邊分別叫做腰，另一邊叫做底邊，兩腰的夾角叫做頂角，腰和底邊的夾角叫做底角．2．把一個(gè)等腰三角形紙片對(duì)折，可以發(fā)現(xiàn)折疊的兩部分是互相重合的，所以等腰三角形是一個(gè)軸對(duì)稱圖形．由此可得：等腰三角形的兩個(gè)底角相等，即等腰三角形的性質(zhì)，簡(jiǎn)寫成等邊對(duì)等角．3．等腰三角形有一個(gè)簡(jiǎn)稱為“三線合一”的性質(zhì)，這是指等腰三角形的頂角平分線、底邊上的高和底邊上的中線互相重合．4．三條邊都相等的三角形叫做等邊三角形．等邊三角形的三個(gè)角都相等，并且每個(gè)角都等于60°；把等邊三角形也叫做正三角形．5．如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對(duì)的邊也相等，簡(jiǎn)寫成等角對(duì)等邊．6．有兩個(gè)角都等于60°的三角形是等邊三角形．等腰直角三角形是指頂角是直角的等腰三角形．【基礎(chǔ)知識(shí)精講】1．對(duì)于等腰三角形，只要已知它的一個(gè)內(nèi)角的度數(shù)，就能算出其他兩個(gè)內(nèi)角的度數(shù)．有時(shí)有兩組解，有時(shí)只有一組解．主要依據(jù)有兩點(diǎn)：一是三角形的內(nèi)角和等于180°，二是等腰三角形中至少有兩個(gè)角相等．當(dāng)已知的角是銳角的時(shí)候它可以是頂角，也可以是底角，此時(shí)有兩種情況；當(dāng)已知的角是直角或鈍角的時(shí)候只能是頂角，即只有一種情況．解題時(shí)要小心，不要漏解．2．確定等腰三角形的依據(jù)（1）定義：兩邊相等的三角形是等腰三角形；（2）兩個(gè)角相等的三角形是等腰三角形．特別提醒：當(dāng)圖形中有角平分線和平行線時(shí)常常有等腰三角形．3．在解決角度計(jì)算問題時(shí),還可以用列方程求角度的方法.設(shè)某角為x°，然后根據(jù)三角形內(nèi)角和為180°，等腰三角形的性質(zhì)將圖中相關(guān)角用含x的代數(shù)式表示，最后找出一個(gè)等量關(guān)系，列出關(guān)于x的方程，也可列出方程組求解．在列方程時(shí)，特別注意三角形三個(gè)內(nèi)角和等于180°的隱含條件的應(yīng)用．4．解決幾何題目一定要盡量畫圖，再在圖形上標(biāo)出已知條件，便于觀察．注意等腰三角形的“三線合一”的性質(zhì)充分利用，已知底邊的中點(diǎn)，可連接頂點(diǎn)與底邊中點(diǎn)得底邊上的中線，由此聯(lián)想到底邊上的高和頂角的平分線；已知底邊上的高要聯(lián)想到頂角的平分線或底邊上的中線；已知頂角的平分線聯(lián)想到底邊上的高和中線，三者之間相互聯(lián)系．注意不是任意一邊上的中線或高都有這樣的性質(zhì)．【例題精講】例1．在等腰三角形中，（1）已知一個(gè)角等于40°，求另外兩個(gè)角的度數(shù)；（2）已知一個(gè)角等于60°，求另外兩個(gè)角的度數(shù)；（3）已知一個(gè)角等于90°，求另外兩個(gè)角的度數(shù)；（4）已知一個(gè)角等于100°，求另外兩個(gè)角的度數(shù)．解：（1）若40°的角是底角，那么另外兩個(gè)角等于40°、100°；若40°的角是頂角，那么另外兩個(gè)角都等于70°．所以另外兩個(gè)角等于40°、100°或都等于70°；（2）不論60°的角是底角還是頂角，另外兩個(gè)角都等于60°；（3）90°的角只能作為頂角，所以另外兩個(gè)角都等于45°；（4）100°的角只能作為頂角，所以另外兩個(gè)角都等于40°．（對(duì)于等腰三角形，只要已知它的一個(gè)內(nèi)角的度數(shù)，就能算出其他兩個(gè)內(nèi)角的度數(shù)．有時(shí)有兩組解，有時(shí)只有一組解．主要依據(jù)有兩點(diǎn)：一是三角形的內(nèi)角和等于180°，二是等腰三角形中至少有兩個(gè)角相等．什么時(shí)候有兩組解，什么時(shí)候只有一組解，你能歸納出一個(gè)結(jié)論來嗎？）例2．（1）在等腰三角形中，一邊長(zhǎng)為4cm，另一邊長(zhǎng)為5（2）在等腰三角形中，一邊長(zhǎng)為2cm，另一邊長(zhǎng)為5解：（1）若長(zhǎng)為4cm的邊為底邊，則兩腰的長(zhǎng)為5cm，所以它的周長(zhǎng)為4＋5＋5＝14（cm）；若長(zhǎng)為4cm的邊為腰，則底邊的長(zhǎng)為5cm，所以它的周長(zhǎng)為4＋4＋5＝13（cm）．所以這個(gè)三角形的周長(zhǎng)等于（2）若長(zhǎng)為2cm的邊為底邊．則兩腰的長(zhǎng)為5cm，所以它的周長(zhǎng)為2＋5＋5＝12（cm）;若長(zhǎng)為2cm的邊為腰,則底邊的長(zhǎng)為5cm，這時(shí)兩腰的和為評(píng)注：類似于例2的問題有時(shí)有兩個(gè)解，有時(shí)只有一個(gè)解．如果一個(gè)等腰三角形的一邊長(zhǎng)為a，另一邊長(zhǎng)為b，其中a<b或a＝b，根據(jù)三角形三邊的關(guān)系，則當(dāng)a＝b或2a<b或2a＝b時(shí)只有一組解；當(dāng)2a例3．如圖1，AB＝AC＝AD，請(qǐng)說明：圖1（1）若AD∥BC，則BD是∠ABC的平分線且∠C＝2∠D；（2）若BD平分∠ABC，則AD∥BC．解：因?yàn)锳B＝AC＝AD，所以∠ABC＝∠C，∠ABD＝∠D（1）因?yàn)锳D∥BC，所以∠D＝∠CBD，所以∠ABC＝∠ABD＋∠CBD＝∠D＋∠D＝2∠D，所以∠C＝2∠D．（2）因?yàn)锽D平分∠ABC，所以∠ABD＝∠CBD，所以∠CBD＝∠D，所以AD∥BC．評(píng)注：說明一個(gè)結(jié)論的由來,要學(xué)會(huì)分析，明確要說明的目標(biāo)，再尋找理由．圖2分析：因?yàn)椤鰽BC是等腰三角形，AD是頂角∠BAC的平分線，所以由等腰三角形的“三線合一”可知AD是高和中線，從而問題得以解決．解：因?yàn)榈妊切蔚摹叭€合一”,所以AD是△ABC的底邊上的中線、底邊上的高，即∠ADC＝90°,所以BC＝2BD＝2×2＝4（cm）．例5．如圖3，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°．BD是△ABC的角平分線，求∠ADB的度數(shù)．圖3分析：要求∠ADB，可在△ABD中來求，因?yàn)椤螦＝30°已知，所以只需求出∠ABD，BD是∠ABC的角平分線，從而∠ABD＝∠ABC．在等腰△ABC中，∠A＝30°，由三角形內(nèi)角和為180°很容易求出∠ABC，從而問題得解．解：因?yàn)锳B＝AC，所以∠ABC＝∠ACB又因?yàn)椤螦＝30°，∠ABC十∠ACB十∠A＝180°所以∠ABC＝（180°－30°）÷2＝75°又因?yàn)锽D是∠ABC的角平分線，所以∠ABD＝∠ABC＝°又因?yàn)椤螦＋∠ABD十∠ADB＝180°所以∠ADB＝180°－30°－°＝°（想一想，有其他方法嗎？）圖4分析：思路一：由于∠CBD＝∠ABC－∠ABD．在△ABD中可得∠ABD．在等腰△ABC中，∠A＝30°，可求得∠ABC．從而求出∠CBD．思路二：在△CBD中，已知∠BDC＝90°．從而∠CBD＝90°－∠C，∠C可由等腰△ABC中∠A＝30°求出．解法一：因?yàn)锽D是△ABC的高，所以∠ADB＝90°．又因?yàn)椤螦＝30°，所以∠ABD＝180°－∠A－∠ADB＝60°．因?yàn)锳B＝AC，所以∠ABC＝∠ACB．又因?yàn)椤螦BC＋∠ACB＋∠A＝180°，所以∠ABC＝（180°－∠A）＝75°．從而有∠CBD＝∠ABC－∠ABD＝75°－60°＝15°．解法二：因?yàn)锽D是△ABC的高，所以∠BDC＝90°．又因?yàn)锳B＝AC，所以∠ABC＝∠ACB．又因?yàn)椤螦BC＋∠ACB＋∠A＝180°．所以∠ACB＝（180°－∠A）＝（180°－30°）＝75°．又因?yàn)椤螩BD＋∠BDC＋∠ACB＝180°，所以∠CBD＝180°－∠BDC－∠ACB＝180°－90°－75°＝15°．例7．如圖5，在△ABC中．∠A＝40°，BD和CE是角平分線,相交于點(diǎn)O．求∠BOC的度數(shù)．圖5分析：在△ABC中∠A＝40°，從而可求得∠ABC＋∠ACB＝140°，又因?yàn)锽D、CE是角解：因?yàn)椤螦BC＋∠ACB＋∠A＝180°所以∠ABC＋∠ACB＝180°－∠A＝180°－40°＝140°又因?yàn)锽D、CE是角平分線所以∠1＝∠ABC，∠2＝∠ACB所以∠1＋∠2＝∠ABC＋∠ACB＝（∠ABC＋∠ACB）＝×140°＝70°．又因?yàn)椤?＋∠2＋∠BOC＝180°所以∠BOC＝180°－（∠1＋∠2）＝110°．（當(dāng)∠A＝60°、90°、120°等時(shí)，∠BOC等于多少度？∠BOC與∠A的度數(shù)有何關(guān)系？）例8．（1）在△ABC中，∠B＝35°，∠C＝110°，△ABC是等腰三角形嗎？圖6（2）如圖6，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，∠ABC的平分線交AC于D，那么圖中一共有幾個(gè)等腰三角形?解：（1）因?yàn)椤螦＝180°－∠B－∠C＝180°－35°－110°＝35°，所以∠A＝∠C，所以BC＝AB，所以△ABC是等腰三角形．（2）因?yàn)椤螦＝36°，所以∠ABC＋∠C＝144°.因?yàn)锳B＝AC，所以∠ABC＝∠C＝72°．因?yàn)锽D是∠ABC的平分線，所以∠ABD＝∠DBC＝36°．①在△ABD中，∠A＝∠ABD＝36°，所以DA＝DB，所以△ABD是等腰三角形．②在△BDC中，∠BDC＝180°－∠C－∠DBC＝72°＝∠C．所以BD＝BC，所以△BDC是等腰三角形．③由已知，△ABC是等腰三角形．所以，圖中共有三個(gè)等腰三角形．例9．如圖7，在等腰△ABC中，AB＝AC，AD是BC邊上的高，E、F分別是邊AB、AC上的點(diǎn)．EF∥BC．（1）說明△AEF是等腰三角形；（2）說明△DEF是等腰三角形．圖7解：（1）因?yàn)镋F∥BC，所以∠AEF＝∠B，∠AFE＝∠C因?yàn)锳B＝AC，所以∠B＝∠C，所以∠AEF＝∠AFE，所以AE＝AF，所以△AEF是等腰三角形．（2）因?yàn)锳D是等腰三角形ABC的底邊上的高，所以AD也是∠BAC的平分線．因?yàn)椤鰽EF是等腰三角形，所以AG是底邊EF上的高和中線，所以AD⊥EF，GE＝GF．所以AD是線段EF的垂直平分線，所以DE＝DF，所以△DEF是等腰三角形．評(píng)注：要說明一個(gè)三角形是等腰三角形，就是要說明這個(gè)三角形中有兩條邊相等．我們可以說明這個(gè)三角形有兩個(gè)內(nèi)角相等或它的一個(gè)頂點(diǎn)在它對(duì)邊的垂直平分線上．事實(shí)上，本題的圖形是一個(gè)軸對(duì)稱圖形．1．選擇題（1）一個(gè)等腰三角形的一個(gè)內(nèi)角為90°，那么這個(gè)等腰三角形的一個(gè)底角等于（）A．90°B．45°C．50°D．°（2）等腰三角形的一個(gè)底角為30°，則它的頂角等于（）A．30°B．40°C．75°D．120°（3）在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于D，∠B＝50°，則∠CAD等于（）A．50°B．25°C．40°D．65°（4）等腰三角形的一邊長(zhǎng)是10，另一邊長(zhǎng)是7，則它的周長(zhǎng)是（）A．27B．24C．17D．27或（5）若等腰三角形的一個(gè)內(nèi)角等于88°，則另兩個(gè)內(nèi)角的度數(shù)分別為（）A．88°、4° B．46°、46°或88°、4°C．46°、46° D．88°、24°（6）若等腰三角形的一個(gè)內(nèi)角等于92°，則另兩個(gè)內(nèi)角的度數(shù)分別為（）A．92°、16° B．44°、44°C．92°、16°或44°、44° D．46°、46°（7）已知等腰三角形的一邊等于3，一邊等于6，則它的周長(zhǎng)等于（）A．12B．12或15C．15D．15或（8）等腰三角形底邊上的高與底邊的比等于1∶2，則它的頂角等于（）A．90°B．60°C．120°D．150°（9）已知等腰三角形的一個(gè)內(nèi)角等于75°，則其頂角為（）A．30°B．75°C．105°D．30°或75°（10）在△ABC中，①若AB＝BC＝CA，則△ABC是等邊三角形；②一個(gè)底角為60°的等腰三角形是等邊三角形；③頂角為60°的等腰三角形是等邊三角形;④有兩個(gè)角都是60°的三角形是等邊三角形．上述結(jié)論中正確的有．（）A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)（11）給出下面四個(gè)條件：①已知兩腰；②已知底邊和頂角；③已知頂角和底角；④已知底邊和底邊上的高．其中能確定一個(gè)等腰三角形的大小、形狀的有（）A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)（12）如圖8，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，D為△ABC內(nèi)部的一點(diǎn)，DB＝DC且∠DBC＝∠DCA，則∠BDC等于（）圖8A．110°B．120°C．130°D．140°（13）下列說法中，正確的有（）①等腰三角形的底角一定是銳角;②等腰三角形的內(nèi)角平分線與此角所對(duì)邊上的高重合；③頂角相等的兩個(gè)等腰三角形的面積相等；④等腰三角形的一邊不可能是另一邊的兩倍．A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)（14）一個(gè)三角形的三個(gè)外角的度數(shù)之比為5∶4∶5，那么這個(gè)三角形是（）A．等腰三角形，但不是等邊三角形，也不是等腰直角三角形B．等邊三角形C．直角三角形，但不是等腰三角形D．等腰直角三角形（15）把兩個(gè)都有一個(gè)銳角為30°的一樣大小的直角三角形拼成如圖9所示的圖形，兩條直角邊在同一直線上．圖中等腰三角形的個(gè)數(shù)是（）A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)圖92．填空題（1）在△ABC中，AB＝BC＝CA，則∠A＝_______．（2）等腰三角形底邊上的高為5cm，則底邊上的中線的長(zhǎng)為_______（3）若等腰三角形的一個(gè)內(nèi)角為50°，則它的一條腰上的高與底邊的夾角的度數(shù)為_______．（4）等腰三角形一腰上的高與底邊所夾的角為45°，則它的頂角等于_______．（5）一個(gè)等腰三角形的周長(zhǎng)等于24cm，一邊長(zhǎng)6cm，則其他兩邊的長(zhǎng)分別為（6）一個(gè)等腰三角形的周長(zhǎng)等于23cm，一邊長(zhǎng)6cm，則其他兩邊的長(zhǎng)分別為（7）如圖10，在△ABC中，D是邊AC上的一點(diǎn)，且AB＝BD＝DC，∠C＝40°，則∠ABD＝_______．圖10（8）如圖11，在△ABC中，AB＝AC，D點(diǎn)在BC邊上．根據(jù)等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)填寫結(jié)論：①若BD＝CD，則____________．②若AD⊥BC，垂足為D，則____________．③若DA平分∠BAC，則____________．圖11（9）如圖12，在△ABC中，∠B＝∠C，DE∥FG∥BC，那么圖中共有_______個(gè)等腰三角形．圖12（10）設(shè)等邊三角形ABC的周長(zhǎng)為30，過邊AB的中點(diǎn)D作BC的平行線DE與AC相交于E點(diǎn)，則△ADE的周長(zhǎng)為_______．（11）在等腰三角形ABC中，AB＝AC，設(shè)∠A＝α，則∠B＝_______；若∠B＝β，則∠A＝_______．（Ⅰ）如圖①，CE∥AB，CE交AD的延長(zhǎng)線于E點(diǎn)，則_______是等腰三角形．（Ⅱ）如圖②，DE∥AC，DE交AB于E點(diǎn)，則_______是等腰三角形．圖13（Ⅲ）如圖③，CE∥AD，CE交BA的延長(zhǎng)線于E點(diǎn)，則_______是等腰三角形．（Ⅳ）如圖④，EF∥AD，EF與AB相交于G點(diǎn)，與CA的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)E，與BC相交于點(diǎn)F，則_______是等腰三角形．（13）在等腰三角形中，三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)之比為4：x：3，則x＝_______．（14）如圖14，在△ABC中，D是AB邊上的點(diǎn)．且AD＝DC＝BC，∠ADC＝110°，則∠BDC＝_______，∠ACB＝_______．圖143．如圖15，在△ABC中，AB＝AC，AD是底邊BC上的高，已知BC＝6cm，∠B＋∠C＝50°，求∠DAC的度數(shù)和BD圖154．已知等腰三角形的兩個(gè)內(nèi)角度數(shù)的比為1∶2，求這個(gè)等腰三角形的一個(gè)底角的度數(shù)．5．如圖16，在△ABC中，AD既是邊BC上的中線，又是邊BC上的高；BE既是邊AC上的中線，又是邊AC上的高．請(qǐng)說明△ABC是等邊三角形．圖166．如圖17，在△ABC中，∠ABC＝50°，∠BCA＝70°．延長(zhǎng)CB到D，使BD＝BA；延長(zhǎng)BC到E，使CE＝CA．試求△ADE的三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)．圖177．如圖18，在△ABC中，E是邊AC上的一點(diǎn)．AD是中線．已知AB＝BC＝CA．且AD＝AE，求∠CDE的度數(shù)．圖188．如圖19，在△ABC中，CD是邊AB上的中線，且DA＝DB＝DC．圖19（1）已知∠A＝30°，求∠ACB的度數(shù)；（2）已知∠A＝40°，求∠ACB的度數(shù)；（3）試改變∠A的度數(shù)，計(jì)算∠ACB的度數(shù)，你有什么發(fā)現(xiàn)嗎?9．如圖20，P、Q是△ABC的邊BC上的兩點(diǎn)．∠B＝40°，且BP＝AP＝AQ＝CQ．求∠BAC的度數(shù)．圖2010．如圖21，∠A＝36°，∠DBC＝36°，∠C＝72°，問圖中共有幾個(gè)等腰三角形，并把它們?nèi)繉懗鰜恚畧D2111．若一個(gè)三角形的兩個(gè)內(nèi)角為50°、80°，判斷這個(gè)三角形是什么三角形．若一個(gè)三角形有兩個(gè)內(nèi)角是60°，這個(gè)三角形又是什么形狀的三角形?12．等腰三角形中有一個(gè)角是52°，它的一條腰上的高與底邊的夾角為多少度?13．已知：如圖22，在△ABC中，∠ABC＝50°，∠ACB＝75°，延長(zhǎng)CB到D，使BD＝BA．延長(zhǎng)BC到E，使CE＝CA，連結(jié)AD、AE，求∠D、∠E、∠DAE的度數(shù)．圖2214．已知：如圖23，在△ABC中，CD平分∠ACB，DE∥BC，交AC于E，若DE＝7cm，AE＝5cm，求圖2315．等腰三角形的周長(zhǎng)為26cm，以一腰為邊作等邊三角形，其周長(zhǎng)為30cm圖2418．已知如圖25，∠A＝15°，AB＝BC＝CD＝DE＝EF，求∠FEM度數(shù)．圖2519．等腰三角形底邊為5cm，一腰上的中線把其周長(zhǎng)分為兩部分之差為320．如果等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為45°，求這個(gè)等腰三角形的頂角．21．如圖26，在△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)D在AC上，且BD＝BC＝AD，求△ABC各內(nèi)角的