2017高等代數(shù)第3章課件

Zhanglizhuo-Zhanglizhuo-一、子空間的基二、子空間的相一、子空間的基定義1設(shè)U是Kn的一個(gè)子空間，U中向量組1…r，1012r線性無(wú)關(guān)20U中每一個(gè)向量都可以由12r線性表出，則稱1,2,…,r是U的一個(gè)基。【注】比較向量Zhanglizhuo-=(a1,a2,…,Zhanglizhuo-即2不能由1線性表示,由§3.2推論212線性無(wú)關(guān)，如果U1,2，則在U中存在31,2，同理1,2,3線性無(wú)關(guān)，又Kn中任一線性無(wú)關(guān)下去，即必得U中一個(gè)線性無(wú)關(guān)組1,2s，U=1,2s，則1,2s是U的一個(gè)基。Zhanglizhuo-【注】定理過(guò)程從子空間U的一個(gè)非【注 零向量的向量組都有極大線性無(wú)關(guān)組Zhanglizhuo-【證】設(shè)12s與12t是Kn的任意兩個(gè)基，§3.3推論s=t。【注】向量組任Zhanglizhuo-量的數(shù)目稱為U的維數(shù),記作dimKU,或簡(jiǎn)記作dimU。零子空間的維數(shù)規(guī)定為0因?yàn)?2n是Kn的標(biāo)準(zhǔn)基，所以Kn也稱為n【注】向量組極Zhanglizhuo-二、子空間的相命題3設(shè)U是Kn的一個(gè)非零子空間，1r是U可以由1,…,r線性表出，假如表示方式有兩種：兩式相減(a1-b1)1+(a2-b2)2+…+(ar-Zhanglizhuo-由1r線性無(wú)a1-b1=0,a2-b2=0,…,ar-從而可由1r線性表出【注】Kn中每一向量均可由基Zhanglizhuo-的有序數(shù)組(a1ar)稱為在基1r下的坐標(biāo)。Zhanglizhuo-【證】在U中任取r+1個(gè)向量1rr+1，設(shè)1r為U的一個(gè)基，則1,…,r,r+1可以由1,…,r線性線性表出，又r+1>r，據(jù)§3.3引理1，1,…,r,r+1線性相關(guān)。Zhanglizhuo-由命題41,…,r,線性相關(guān)，從而可由1,…,rZhanglizhuo-【證】設(shè)1,…,r是U的一個(gè)基，1,2,…,t是W的一個(gè)基，因?yàn)閁W，所以1rW，于是1r可以由1,2,…,t線性表出，又1,…,r線性無(wú)關(guān)，據(jù)§3.3推論3，rt， 【注】若零向量組(I)可由向量組(II)線性表出，Zhanglizhuo-【證】設(shè)1,…,r是U的一個(gè)基，由于UW，所由命題5，1,…,r是W的一個(gè)基，所以WU是子空間，對(duì)加法和數(shù)量乘法封閉，所以UWU，從而U=WZhanglizhuo-【注】非零子空間與零向量的向量組的區(qū)別Zhanglizhuo- 個(gè)向量組生成的子空間U=1,…,s的一個(gè)基，從而dim1,…,s=rank{1,…,s}?！咀ⅰ孔涌臻g與Zhanglizhuo-數(shù)域K上，mnA的行向量組生成的子空間稱為A的行空間Zhanglizhuo-W中任取向量={(a1a2ar0,…,0)Ta1 1 0 0a 0 1 2 0 0

0 r 1 2 aa r 1 2 0 0 0 0

0 0 0 0 其中向量1,2,…,r滿足則12r為W的一個(gè)基，且Zhanglizhuo-例2在Kn中V={(a1,a2,…,an)Ta1+…+an=0,aiK,i=1,…,n}，【解】顯然OV，即V非空，V在V中任取=(a1a2,an)T，=(b1b2,bn)T，則a1+…+an=0b1+…+bn=0，于是+=(a1+b1,a2+b2,an+bn)T，(a1+b1+(an+bn)=(a1+…+an)+(b1+…+bn)=0，Zhanglizhuo-W={(a1,a2,…,ar,0,…,0)TaiK,i=1,2,…,r}，【解】顯然OW，即W非空，在W={(a1,…,ar,0,…,0)T，={(b1,…,br,0,…,0)T+=(a1+b1ar+br0,…,0)TW，kK,k=(ka1,…,kar,W對(duì)于數(shù)量乘法封閉，所以W是KnZhanglizhuo-kK，k=(ka1,ka2,,kan)T，且Zhanglizhuo-V中任取向量={(a1a2 aa

a0a1a

2

30

n a a

0 其中向量1,2,…,n-1滿足

則12n-1為V的一個(gè)基，且Zhanglizhuo-例3V1={(1x2x3xn)Tx2xnK}V1是否為Kn的一個(gè)子空間【答】否。事實(shí)上，在V=(1,x2,,xn)T，=(1,y2,