三角形中的范圍與最值問題（解析版）

專題15三角形中的范圍與最值問題

【方法技巧與總結(jié)】

1.在解三角形專題中，求其“范圍與最值”的問題，一直都是這部分內(nèi)容的重點、難點。解決這類問題，

通常有下列五種解題技巧：

(1)利用基本不等式求范圍或最值；

(2)利用三角函數(shù)求范圍或最值；

(3)利用三角形中的不等關(guān)系求范圍或最值；

(4)根據(jù)三角形解的個數(shù)求范圍或最值；

(5)利用二次函數(shù)求范圍或最值.

要建立所求量(式子)與已知角或邊的關(guān)系，然后把角或邊作為自變量，所求量(式子)的值作為函數(shù)值，

轉(zhuǎn)化為函數(shù)關(guān)系，將原問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域問題.這里要利用條件中的范圍限制，以及三角形自身范圍

限制，要盡量把角或邊的范圍(也就是函數(shù)的定義域)找完善，避免結(jié)果的范圍過大.

2.解三角形中的范圍與最值問題常見題型：

(1)求角的最值：

(2)求邊和周長的最值及范圍；

(3)求面積的最值和范圍.

【題型歸納目錄】

題型一：周長問題

題型二：面積問題

題型三：長度問題

題型四：轉(zhuǎn)化為角范圍問題

題型五：倍角問題

題型六：角平分線問題

題型七：中線問題

題型八：四心問題

題型九：坐標(biāo)法

題型十：隱圓問題

題型H^―?:兩邊夾問題

題型十二：與正切有關(guān)的最值問題

題型十三：最大角問題

題型十四：費馬點、布洛卡點、拿破侖三角形問題

題型十五：托勒密定理及旋轉(zhuǎn)相似

題型十六：三角形中的平方問題

題型十七：等面積法、張角定理

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【典例例題】

題型一：周長問題

例1.(2022?云南?昆明市第三中學(xué)高一期中)設(shè)的內(nèi)角4,B,C的對邊分別為a,b,c,設(shè)

asinC-ccos(A--).

6

⑴求4

(2)從三個條件：①"8C的面積為相；②6=6；③a=6中任選一個作為已知條件，求A/8C周長的取

值范圍.

【答案】(1)/=。；

(2)答案見解析.

【解析】

【分析】

(1)由正弦定理及已知有sin4=cos-專)，應(yīng)用差角余弦公式化簡求得tan/=6,即可確定工的大小.

(2)根據(jù)所選的條件，應(yīng)用正余弦定理、三角恒等變換及基本不等式、三角函數(shù)的范圍求A/8C周長的取

值范圍.

(1)

ac[7^\

在△45C中，由----=----得：csin4=〃sinC,又asinC=ccos4一7，

sinAsinC\6J

/.sinA=cosfA-^-\,即sinA=cosf>1=cosJcos—+sinJsin—=—cos/1+—sinA,

I6JV6j6622

...tan4=JJ，又力￡(°,乃)，

,冗

A——.

3

⑵

選擇①：I大I為Z=。，則/“Be=g'csin/=,得bc=4,

由余弦定理得/=〃+c?-6c=(6+。2-36c=(6+。2-12,

即AABC的周長/=a+6+c=J(b+c>-12+b+c<

因為b+cN24=4,當(dāng)且僅當(dāng)b=c=2時等號成立，

所以/2戶=11+4=6,即A/8C的周長的取值范圍是[6,+00).

選擇②：b=也,因為N=b=y[i>

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2

由正弦定理得a=—^―,V3sinC瓜m/d)3cos8,6,

2'由'sinBsinB2sinB2

,iB

6cos—

即“8C的周長:a+gc=」一+2巨+地=3(1+38)+遺=3石33M

________2_+----=

A.BB22tan”2

2sinB2sin822sin824sin—cos—

222

因為8w(0,-^-,則故0<tan?<百,

32

33百

2近，即的周長的取值范圍是(2省,+?)).

所以；―B+~>

2tan—

2

選擇③：a=5/3?因為力=§,a—y/3,

b

由正弦定理得—=2,

sinBsinCsinA

24

即△ABC的周長/=a+b+c=2sin6+2sinC+Vi=2sin8+2sin8+百

=3sinB+6cosB+6=26sin(5+專卜/

因為Be。,?],所以3<8+￡<^，則<<sin(8+I)41,

\376662\oy

即“8C的周長的取值范圍是(2月,36).

例2.(2022?重慶?高一階段練習(xí))已知向量3=(石sinx,cosx),5=(1,1),函數(shù)/(》)=萬名.

⑴求函數(shù)〃x)在[0,兀]上的值域；

(2)若"8C的內(nèi)角A、B、。所對的邊分別為。、b、c,且/(N)=2,a=\,求48C的周長的取值范圍.

【答案】⑴[T,2]；

⑵(2,3].

【解析】

【分析】

(1)利用數(shù)量積的坐標(biāo)表示求出函數(shù)/(x)并化簡，再根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)求值域作答.

7T

(2)III(1)求出力=《，借助余弦定理求出b+c的范圍，即可求解作答.

(1)

(1)依題意，f(x)=ab=>/3sinx+cosx=2sin(x+—),

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由xe[0,兀]得x+?e，sin(x+g)e-^-,1,

LJ6166J6L2J

所以/(x)=2sin(x+今在[0,可上的值域為[T2].

6

⑵

由/⑷=2sin(/+g)=2得,sin(/+生)=1,八(0,兀)，則有/+￡=&,解得/=工，

66623

在△/BC中，由余弦定理得，

\=a2=Z?24-c2-2hccosA=h2+c2-he=(h-^-c)2-3hc>(Z>4-c)2-3("工(竺。).,

44

當(dāng)且僅當(dāng)b=c=l時取"="，即有0<b+c?2,又因為b+c>〃=l,則l<b+c42,

因iHs2<b+c+〃K3,

所以"8C的周長的取值范圍為(2,3].

例3.(2022?浙江?高三專題練習(xí))銳角A/8C的內(nèi)切圓的圓心為。，內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為。，b,

c.若Rc=伊+c2-?tan/,且“8C的外接圓半徑為1,則ABOC周長的取值范圍為.

【答案】(2石,2+6]

【解析】

【分析】

由余弦定理變形可求得A角，再由正弦定理求得。，在ABOC中利用余弦定理表示出08,。。的關(guān)系，并由

基本不等式得出O8+OC的一個范圍，結(jié)合三角形的性質(zhì)求得08+0C的范圍，從而可得結(jié)論.

【詳解】

解：由余弦定理,y/3bc-2bccosAtanAf即sinN=且，

2

因為0</<]，所以/=工.

23

由正弦定理，得a=2Rsin/=2x.

2

2%

因為N/8C+N/C8=7，

IT

由內(nèi)切圓的性質(zhì)可得ZOBC+ZOCB=

3

27r

所以ZBOC=3-,

在A8OC中，由余弦定理，BC2=OB1+OC2-2OB-OC-cosZBOC.

即3=01+℃2+08℃=(O8+OC)2-O8OC2pB+OC>("'+")，

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解得O8+OCM2,乂OB+OC>BC,

所以G<O8+OC42，

所以ABOC周長的取值范圍卜石,2+6]

故答案為：062+石]

A

B

例4.(2022?浙江省新昌中學(xué)模擬預(yù)測)已知函數(shù)/(外=6M5853-5m28+；,其中0>0,若實數(shù)為,2

滿足|/(再)-/仁)1=2時-，|陽-%I的最小值為%-

(1)求0的值及/(X)的對稱中心；

(2)在A/BC中，a,b,c分別是角4B,C的對邊，若/(/)=—l,a=JL求A/8C周長的取值范圍.

【答案】(1)0=1,對稱中心(-A+g,。),"eZ；

⑵(2石,2+行|

【解析】

【分析】

(1)先由倍角公式及輔助角公式化簡得f(x)=sin(20x+7)再結(jié)合己知求得周期即可求出0,由正弦函

數(shù)的對稱性即可求得對稱't1心；

(2)先求出4=與，再由正弦定理求得“2sin8,c=2sinC,再借助三角恒等變換及三角函數(shù)的值域即可求

得周長的取值范圍.

(1)

f(x)=A/3sinrurcostur-sin2aw+—=^sin2rar-!~"%—=-^-sin2(yx+—cos2?x=sin[l(ox+,

222222<6)

顯然fM的最大值為1,最小值為-1.則|/(—(￡)|=2時，卜-X1的最小值等于白則/，則去萬，

69=1;

令2x+g=R肛％wZ,解得x=-=+竺，4eZ,則/(x)的對稱中心為+”,0),%eZ；

6122V122)

(2)

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/(4)=sin(2/+3=-l,2A+-=--+2k^,keZ.,又/e(O/),則工=」，

6623

a_b_c_6

由正弦定理得sin力sinBsinC?則b=2sin4,c=2sinC,

T

則周長為a+力+。=班+2sin8+2sinC=yp3+2sin8+2si

=6+sin3+石cos8=6+2sin(8+生)，又0<8<工，則工<8+工<紜，

33333

則JJ<2sin(8+$42,故周長的取值范圍為(26,2+石］

題型二：面積問題

例5.(2022?貴州黔東南?高一期中)在面積為S的△Z8C中，內(nèi)角力，B,C所對的邊分別為a,b,c,且

rcrsinCsin%),

2S\----+----=cr+Z/sm4

IsinBsinCj')

⑴求C的值；

(2)若48c為銳角三角形，記機=乂，求加的取值范圍.

a

【答案】(嗚

中)

【解析】

【分析】

(1)利用三角形面積公式、正弦定理及余弦定理即可求解；

(2)根據(jù)題干得出角A的取值范圍，利用三角形面積公式及正弦定理進行化筒，最后利用角A的取值范圍

進行求解.

(1)

解：在AN8C中，由三角形面積公式得S=；加sin/l,

由正弦定理得:2x-lz,csin+—J=(a2+/>2)sinJ,

整理得：a2+b2-c2=ab,由余弦定理得：cosC="~+.Jj.,

lab2

IT

又0<(7<］，故C=§.

(2)

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TTTTTT

解：因為△48。為銳角二角形，所以/eg,'），4=4一4一],5￡（0,萬）,

所以4￡(g,g),

62

17?人

匚匚I、IabsmC

所以2b乖?6sinB6sin(Z+Q

m=--------—_x-----X----zz--x----------

a44sinA4sinA

1,6

后—sinZ+一

=02-------2_31

-x----

4sinA8tanA

例6.（2022?浙江?高二階段練習(xí)）在“8C中，角48,C的對邊分別為d6,c,cos/+hin/l=2.

⑴求角A；

（2）若點。滿足瓦==就，且8C=2,求△BCD面積的取值范圍.

4

【答案】（1）力=。

【解析】

【分析】

結(jié)合輔助角公式得到2sin=2,進而可求出結(jié)果:

（2）結(jié)合正弦定理以及三角恒等變換求出歷=:+]sin（25-51，然后結(jié)合正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)即可求

33k67

出"BC的面積的取值范圍，從而根據(jù)S.BCL(S“BC即可求出結(jié)果.

(1)

因為8$/+任［0^=2,所以2sin(,4+7)=2,且Xe(0,乃),:.N=?.

⑵

,,b_c_a_4

sin5sinCsirt4石，

6c=—sin5sinC

3

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=—sinBsin

16fV3?01.，?

————siiwDcosn

312+—2sin~BJ

1616.yI1

————sin2S+-------cos25

31444J

6cG(0,4].

S&ABC=sinAe(0,6].

—3—1

因為點。滿足4。=7力。，所以久^^二^^,席，

-S『。叵

,?*GBCD，4'

3

例7.(2022?浙江?杭師大附中模擬預(yù)測)在A/8C中，。的邊8c的中點，=2,2cosc-cos2(4+8)=^.

⑴求角C;

(2)求A/8C面積的取值范圍.

【答案】(1)C=?

(2)(0,273]

【解析】

【分析】

⑴根據(jù)內(nèi)角和公式和二倍角余弦公式化簡求角C；(2)由余弦定理可得。力的關(guān)系，結(jié)合基本不等式求必的

最大值，根據(jù)二角形面積公式求8c面積的取值范圍.

(1)

3

因為2cosc-cos2(4+5)=],

3

所以2cosc-cos2C=-

2

所以4cos2。一4cosc+1=0，故cosC=!，又C￡(0,%)；

2

所以。=?.

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(2)

在/XACD中，由余弦定理可得AD2=CD2+CA2-2CDCAcosZACD

因為AD=2,C=—f

2i

所以4=三+/一2_〃6,

42

所以工"+4=《+加>ab,當(dāng)且僅當(dāng)。=4,6=2時等號成立,

24

所以MW8,又〃6>0,當(dāng)且僅當(dāng)。=4力=2時等號成立,

所以面積S=；absinC=曰abe(0,26].

例8.（2022?江蘇省天一中學(xué)高一期中）在△ZBC中，角次氏C所對應(yīng)的邊分別為若

b=2,cosC=y-^-.A/8C是銳角三角形，則A/8C面積的取值范圍是,

【答案】

【解析】

【分析】

14

根據(jù)題意和余弦定理，求得4=/+。2一4，再結(jié)合余弦定理求得cos8=：，再由正弦定理可得a=FSin4

273

c=，sinC,化簡ac=；8sin24-g+：4,根據(jù)AZBC是銳角三角形求得4<￡71,得到

33\63/36622

I，4,結(jié)合面積公式，即可求解.

sin一，6即小

2t

【詳解】

a2+4-c2a

由余弦定理可得cosC=整理得4=/+c2-ac

4a24

yyi41

又由cos5D=-------------=-

2ac2

因為5￡（0,乃），所以3=

h24A

_________________Ac=jinC,

由正弦定理可知：sin8-,所以a=7^sin”,

6

2

—16sin^sinC=—16sinyisin化乃-4

故4」修

333I322

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3、，3(222J3V6J3

0<A<-

因為A/8C是銳角三角形，1:,解得￡</<1,

八「24”"62

0<C=------A<—

32

可得2Z-今噌聾，所以si%--故小(|，4，

又由4ABe的面積S=；acsin?=~^~ac，所以$wff,0].

故答案為：(f'"]

題型三：長度問題

例9.(2022?遼寧?模擬預(yù)測)在AN8C中，內(nèi)角Z,B,C的對邊分別為a,b,c,且

(c+a-6)(sinC-sinN+sin8)=3。sin8.

(1)求角C的大??；

(2)設(shè)機〉1,若ANBC的外接圓半徑為4,且24+機6有最大值，求用的取值范圍.

【答案】(1)C=F27r

Q)(1,4)

【解析】

【分析】

(1)根據(jù)已知條件，利用正弦定理及余弦定理即可求解.

(2)由題意及正弦定理可知上=—」=8,利用正弦定理及止弦函數(shù)兩角和公式將2a+m6化為

sinBsinA

/(x)=4sin(ox+g)型函數(shù)進行求解.

(1)

解：由已知及正弦定理得(c+a-b)(c-a+b)=3ab,所以/+/“2=_/，

由余弦定理得cosC=亡"一\=J.,

lab2

27r

因為0＜。＜%，所以。=彳.

⑵

由正弦定理得一^―=—^—=8,所以2a+"?b=8(2sinA+msinS)=SnisinB+16sin[--5

sinBsinAI3

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［等cos8-；sin8=（8/H-8）sin5+85/3cosB=8，（」-2/w+4sin（8+6）,

=8msinB+16

其中tan6=",北閘,

m-\

又所以8+匹,?71+外,

3

TT7TTT71TC

若癡存在最大值,則+。二有解，則』二,即公

2a+5'6,2

m>1,

所以V3V3解得1<〃z<4,

---->一,

m—\----3

即〃7的取值范圍是（1,4）.

例10.（2022?河南?模擬預(yù)測（文））在“5C中，角A,B,C的對邊分別為。，b,c.2cos2c=2-6sin2c，

c=4r。+6=2瓶.

⑴求色力sc；

（2）求的取值范圍.

ab

【答案】（1）26

<f—V2——仞>

（2）

4'4

【解析】

【分析】

TT

（1）先求出C=g,利用余弦定理求出M=8,即可求出S“3C；

（2）先求出a-b=±2&，即可求出的取值范圍.

ab

（1）

因為2cos2c=2-瓜畝2（7,所以2sin（2C+：）=l,所以sin（2C+￡|=g.

因為Ce（O,萬），所以2C+S=學(xué)，所以C=￡.

663

因為c=4,a+b=2V10,由余弦定理/=/+/一勿6cosc得：16=（2"^）—3ab,解得：4b=8.

所以S/Bc二—tzftsinC—1創(chuàng)8--=25/3.

⑵

由（1）可知：ab=8.而a+/>=2何，所以（a-b）2=（a+b）2-4M=40-32=8,所以0-6=及應(yīng)，

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所以工_!="￡=絲也=土也.

abab84

故，-1的取值范圍為，:

ab44

例11.(2022?江蘇?高三專題練習(xí))已知△力3。內(nèi)角力，B,C的對邊分別為a,b,c,A+C=2B,"BC

的面積s=3”.

4

⑴求邊c；

(2)若A/BC為銳角三角形，求a的取值范圍.

【答案】(1)1

⑵加

【解析】

【分析】

(1)根據(jù)N+C=2B,結(jié)合三角形內(nèi)角和定理求得5=1,由三角形面積公式結(jié)合s=3a,求得答案；

34

(2)由正弦定理表示a=1+—3一,由三角形為銳角三角形確定即可求得答案.

22tanC(62)

(1)

因為/+C=28,A+B+C=n,所以8=1；

因為S=Iqcsin8=，所以c=l

244

(2)

HC

在△48。中，由正弦定理一；=「；，

sinAsinC

?以1V3

由(1)知8=.c=l,代入上式得：sinZ叫C+]J-sinC+-yCOsC,6,

3a-----=------=--------------=—?-------

sinCsinCsinC22tanC

因為“8C為銳角三角形，則力+C=^,/=與-C苦，所以八信3

所以tanCe

p-rK|1J3

WT以a=-H-----------

22tanC

例12.(2022?陜西?寶雞中學(xué)模擬預(yù)測(文))已知d=(co&r,cosx),5=(岳inr,-cosxf[x)=ab,

⑴求/(x)的單調(diào)遞增區(qū)間;

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⑵設(shè)“8C的內(nèi)角48,C所對的邊分別為a,6,c,若/（N）=g,且“=#,求的取值范圍.

TT7T

【答案】（1）-J+kn,三+kn,keZ

⑵(3,6]

【解析】

【分析】

（1）利用平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示及三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用可求/（X）,利用正弦函數(shù)的單調(diào)性即可求

解.

（2）由已知可求sin（24-3）=l,求得A,利用余弦定理，基本不等式可求歷43,可得/+/46,根據(jù)

b2+c2>3,即可得解.

解：因為"=(COSY,COST),B=(7Jsim?，-COSY)且/(x)=,Z,

所以f(x)=ab=>/3s\nxcosx-cosX

百1i.,、G[i,i.心吟i

=——sin2x——(r1+cos2x)=——sin2x—cos2x—=sin2x---

即/(x)=sin[2x-?卜;，

令---F2k冗W2x—K—+2k兀,kJZ、解得----FkTt、、x、k7tH—,kwZ.

26263

所以函數(shù)/(X)的單調(diào)遞增區(qū)間為-3+k小三+k兀,kGZ,

63

(2)

解：因為/(/)=sin(2/-?)_g=g,

所以sin|24-鄉(xiāng)

因為4w（0,%）,所以24-丁e（―w-]，所以24—二=工，所以/=；,

6<66J623

又因為a=y/3,

所以由余弦定理/=〃+，一才0cos],

即3=/+/—力c，HPb2+c2=3+bc-

而從+仃222從，當(dāng)且僅當(dāng)b=c時取等號，

所以beK3,即〃+c2K6,

又因為82+。2=3+6c>3,

第13頁共103頁

所以3</+/46,即〃+c%(3,6].

例13.(2022?江蘇南京?模擬預(yù)測)請在①向量工=(P，sine],彳=[U,sinN]，且列入②

標(biāo)=2csin[A+這兩個條件中任選一個填入橫線上并解答.

在銳角三角形N8C中，已知角A,B,C的對邊分別為。，b,c,.

(1)求角C;

(2)若A/8C的面積為26，求2a+6的取值范圍.

注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.

【答案】(l)C=g

⑵(8,10)

【解析】

【分析】

(1)選①：根據(jù)平面共線向量的坐標(biāo)表示和正弦定理可得c2=a2+y-ab,結(jié)合余弦定理即可求出C:選②：

根據(jù)正弦定理和兩角和的正弦公式化簡計算可得bcosC=sinC，結(jié)合特殊角的正切值即可求出C；

Q

(2)由三角形的面積公式可得2a+6=2a+-=/(a),法?：利用余弦定理解得2<4：法二：由正弦定理

a

可得2<a<4,進而利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)/(a)的值域即可.

(1)

選擇①：

因為列I歹，所以(c=")sin，4=0c)smB,

b+cc+a

由正弦定理得，(c-a"="￡竺,

b+cc+a

即“，一/)=6(〃一。2),即加2+兒2=〃3+人即c2(a+b)=(〃+?(/一/+⑹，

BPc2=a2+h2-ab.因為COSC=9+'----=—，

lab2

又。為銳角，所以。

選擇②:

因為百b=2csin

由正弦定理得，V3sinS=2sinCsin^+y

即>/3sinS=sinCsinJ+>/3sinCcosA-

第14頁共103頁

Xsin5=sin(^4+C)=sinAcosC+cos力sinC,

所以JJsin4cosC=sinCsinA?

因為sin4〉0,所以cosC=sinC?

又C為銳角，所以tanC=6，C=。.

⑵

因為S4ABe=；sinC=乎功=25

Q

所以ob=8,則2。+方=2。+—.

a

(法一)由余弦定理得，c2=a2+b2-2abcosC=a2+b2-8.①

cosJ>0,b2+c2-a2>0,

因為△力8c為銳角三角形，所以即4

cos8>0,a2+c2-b2>0.

小解得29

吁:即

將①代入上式可得

a>4,

a2>4,

令/㈤。則小)=2-9勺>。，

所以/(a)在2<a<4上單調(diào)遞增，所以/(2)</(a)</(4),

即8<〃a)<10,即2a+6的取值范圍為(&10).

(法二)由正弦定理得q=迎4=，訪,+§)=；sinB+?cos8=1+正J

hsinBsinBsinB22tan8

a_a_a2

又廣亙

所嘩與高

a3

八.271cTt

0<A=---B<一,

因為△力8c為銳角三角形，所以332解得717r

7162

0A<BD<一,

2

因為tan8>—?所以0<--—<\/3,—<—H———-----<2，

3tan8222tan5

即JL<M.<2,解得2<a<4.

28

令/(a)=24+［，2<a<4,則/'⑷=2/=業(yè)二^>0,

所以在2<a<4上單調(diào)遞增，所以〃2)<〃。)<〃4),

第15頁共103頁

即8</(a)<10,即2a+6的取值范圍為(8,10).

例14.(2022?全國?模擬預(yù)測)在“BC中，內(nèi)角48,C的對邊分別為a也c,且

asinA=c(sinC-2sin8)+6(sinC+sin8).

⑴求角A；

(2)若A/8C為銳角三角形，求G("-c)的取值范圍.

2a

【答案】(1)/=2;

【解析】

【分析】

(1)角換邊，在利用余弦定理求解；

(2)邊換角，將待求表達(dá)式表示成關(guān)于8的三角函數(shù)，利用銳角三角形條件求出5的范圍，最后再求表達(dá)

式的范圍即可.

(1)

因為osinZ=c(sinC-2sin8)+6(sinC+sin8),所以由正弦定理得/=c(c-2b)+b(c+6),整理得

b2+c2-a2=bc,由余弦定理得cos4=二.因為0</<?，所以“=￡.

"+2bcf-'23

(2)

由正弦定理得也也0=立.包史二包￡=sin8-sinC=sinB-sinf3=sinfS^\

2a2sinA{3J{3)

0<S<-,

7

因為A/8C為銳角三角形，所以、

解E0得一兀<B門<一兀,所.以..一7~1—<cB―7―1<7—1-,

62636

所以-；<sin[8-()<；,

故鳳口)的取值范圍為(

2ak22)

例15.(2022?遼寧?撫順市第二中學(xué)三模)在①(Zc-^sinCHN+4-a^^,②

cos)々C-cos4cosc=：,③二=tan/+tanB這三個條件中，任選一個，補充在下面問題中,

24bcosA

問題：在A/IBC中，a,b,c分別為角力,B,C所對的邊，6=2內(nèi)，.

第16頁共103頁

⑴求角B;

(2)求2a-c的范圍.

【答案】(1)任選一條件，都有8=2

(2)(-273,473)

【解析】

【分析】

(1)若選①由正弦定理可得2c-a=2bcos4,再由余弦定理可得c2+/-〃=ac,結(jié)合余弦定理可得答案；若

選②由余弦的二倍角公式結(jié)合余弦的差角公式可得出答案;若選③由正弦定理結(jié)合切化弦可得

行sinC=sinC,從而得到t皿8=6,得出答案.

sin8cos力cosAcosB

(2)由正弦定理可得a=4sin4c=4sinC,即2a-c=8sinZ-4sinC,結(jié)合C=孑-4,利用正弦的差角公式

和輔助角公式化簡結(jié)合角的范圍可得答案.

(1)

選擇①：,:(2c-a)sinC=(從+<?產(chǎn);',

,由正弦定理可得：(2c—a)c=/+c2—/=2bccos/,

―2c—Q

?*.可得：2c—a=2bcosA,可得：cosA=--------,

2b

???由余弦定理可得：cos/=%*="+c」—J

2b2bc

整理可得：c2+a2-b2=accosB=0*°---=—,

lac2ac2

???Bw(O,%),可得：B=%

選擇②:，因為COS?——--cos力COSC=1+8s('~^-cosZcosC

22

_l-coS/4cosC+sinJsinC_l-cos(4+C)_3

---------------------------------=一,

224

所以cos(4+C)=-；,cos4=-cos(力+C)=g,

又因為5w(O,?),所以B=

選擇③：因為=tanA+tanB,

bcosZ

由正弦定理可得二"=A*1。,

bcosAsinBcosJ

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,‘八sinAsin5sinAcosB+cosAsinBsinC

又tan4+tanB=-------+-------=-------------------------------=---------------

cosAcos5cos4cos8cosAcosB

fJ3c,八—rxaV3sinCsinC

由------=tanA+tanB,可彳.---------=----------，

6cos%sin8cos力cosAcosB

因為sinC>0,所以tan8=JJ，因為0<8<乃，所以3=2.

⑵

Ji—=—=—=4

在"8C中，由（1）及b=2sin5sin/sinC百，

T

故。=4sin4,c=4sinC,2a-c=8sin/-4sinC=8sin/-4sin（與一N）=8sinA-2y/5cosJ-2sinA

=6sinN-2-73cosA=40sin（1-f

因為0<4〈經(jīng)，則-三<“一2<?

3662

一；<sin（N-^[<1,-2百<4iAsin（4一1）<4百.

所以2〃-C的范圍為（-26,4行）

例16.（2022?浙江?模擬預(yù)測）在△4BC中,角4B,C所對的邊分別是a,b,c,^2csinB=（2a+c）tanC,

6sin/sinC=JJsin8，則ac的最小值為.

【答案】12

【解析】

【分析】

利用正弦定理及和角公式可得8=羊27r，再結(jié)合條件及正弦定理可得ac=2b,然后利用余弦定理及基本不等

式即求.

【詳解】

;在△4BC中,角4B,C所對的邊分別是a,b,c,2csin8=（2a+c）tanC,

2sinCsin8=（2sin力+sinC）S'n^,

cosC

/.2sin5cosC=2sin4+sinC=2sin（3+C）+sinC=2sinBcosC+2cos5sinC+sinC,

/.2cosBsinC+sinC=0,即cosB二一;,Be（0,4）,

B3

3

第18頁共103頁

因為bsin/sinC=6sin8=2x-^sinB=2sin汨，

2

bac=2b2?B|Jac=2b,

又/=/+-2accos8=/++qc，

；.（￡）=a2+c2+ac>2ac+ac,即如212,當(dāng)且僅當(dāng)a=c時取等號，

二的最小值為為12.

故答案為：12.

例17.（2022?安徽黃山?二模（文））在△/8C中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c,=\,A=—,

a4

若勸+c有最大值，則實數(shù)2的取值范圍是.

【答案】專歷

\/

【解析】

【分析】

由正弦定理可得々=—邑=艱，根據(jù)目標(biāo)式結(jié)合正弦定理的邊角互化，易得

sinBsmC

助+C=-1）2+1.Sin（8+。）且tan0=可知4>+c存在最大值即8+9=g,進而

可求義的范圍.

【詳解】

,6=c=1=石

*/a=1,A=—,由正弦定理得：sinBsinCy[2，

2

4b+c=V2(%sin8+sinC)=V22sinB+6sin

=(舊—1)sin8+cos8=J(0-+1.sin(8+8)，其中tan6=Q/,又Be］。,?)

...4+c存在最大值,即8+e=三有解,即Oe

2

解得幾>,，又哥=>1，解得2<血，故義的范圍是與也

故答案為:

例18.（2022?浙江?高三專題練習(xí)）已知A/8C的三邊長分別為a,b,c,角B是鈍角，則竺*的取值

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范圍是

【答案】(7,1二