高中數(shù)學(xué)思想方法專題

2n31212n31212n高中數(shù)學(xué)思想方法專（一）——函數(shù)與方程的思方法一、知識(shí)要點(diǎn)概述函數(shù)與方程的思想是中學(xué)數(shù)學(xué)的基本思想數(shù)題中函數(shù)與方程的思想占較大的比例，題型涉及選擇題、填空題、解答題，難度有大有小，且試題中的大部分壓軸題都與函數(shù)方程有關(guān)。函數(shù)的思想就是運(yùn)用運(yùn)動(dòng)和變化的觀點(diǎn)集合與對(duì)應(yīng)的思想去分析和研究數(shù)學(xué)問題中的等量關(guān)系建立或構(gòu)造函數(shù)關(guān)系再運(yùn)用函數(shù)的圖像和性質(zhì)去分析問題，轉(zhuǎn)化問題，從而使問題獲得解決。方程的思想就是從問題的數(shù)量關(guān)系入手運(yùn)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言將問題中的條件轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型——方程或方程組通過解方程或方程組或者運(yùn)用方程的性質(zhì)去分析、轉(zhuǎn)化問題，使獲得解決。二、解題方法指導(dǎo)運(yùn)用函數(shù)觀點(diǎn)解決問題主要從以下四個(gè)方面著手是根據(jù)方程與函數(shù)的密切關(guān)系，可將二元方程轉(zhuǎn)化為函數(shù)來(lái)解決；二是根據(jù)不等式與函數(shù)的密切關(guān)系，常將不等式問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題利用函數(shù)的圖象和性質(zhì)進(jìn)行處理三是在解決實(shí)際問題中常涉及到最值問題通常是通過建立目標(biāo)函數(shù)利用求函數(shù)最值的方法加以解決四是中學(xué)數(shù)學(xué)中的某些數(shù)學(xué)模（如數(shù)列的通項(xiàng)或前n和含有一個(gè)未知量的二項(xiàng)式定理等可轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題利用函數(shù)相關(guān)知識(shí)或借助處理函數(shù)問題的方法進(jìn)行解決。運(yùn)用方程觀點(diǎn)解決問題主要從以下四個(gè)方面著手是把問題中對(duì)立的已知與未知通過建立相等關(guān)系統(tǒng)一在方程中通過解方程解決二是從分析問題的結(jié)構(gòu)入手，找出主要矛盾，抓住某一個(gè)關(guān)鍵變量，將等式看成關(guān)于這個(gè)主變?cè)ǔ７Q為主元）的方程，利用方程的特征解決；三是根據(jù)幾個(gè)變量間的關(guān)系，判斷符合哪些方程的性質(zhì)和特征（如利用根與系數(shù)的關(guān)系構(gòu)造方程等通過研究方程所具有的性質(zhì)和特征解決四是在中學(xué)數(shù)學(xué)中常見數(shù)學(xué)模（如函數(shù)曲線等經(jīng)常轉(zhuǎn)化為方程問題去解決。三、范例剖析例已知t,t[2，8]，對(duì)于f(t)值域內(nèi)的所有實(shí)數(shù)，不等式x2+mx+4>2m+4x恒成立，求的取值范圍。例2實(shí)數(shù)滿足(a+c)(ab+c)<0,證明：—c)2

b+例3關(guān)于x的方程cosx—a=0（]有解，求a取值范圍.例4設(shè)等差數(shù)列{的前n和為已知=12求公差d的取值范圍;(2)指出S，S，…中哪個(gè)值最大，并說明理由。

例若拋物線y=

x2+mx

1和兩端點(diǎn)為A（0，3（3，0）的線段AB兩上不同的交點(diǎn)，求的取值范圍。高中數(shù)學(xué)思想方法專（二）——數(shù)形結(jié)合的思想法一、知識(shí)要點(diǎn)概述數(shù)與形是數(shù)學(xué)中兩個(gè)最古老、最基本的元素，是數(shù)學(xué)大廈深處的兩塊基石，所有的數(shù)學(xué)問題都是圍繞數(shù)和形的提煉演變發(fā)展而展開的每一個(gè)幾何圖形中都蘊(yùn)藏著一定的數(shù)量關(guān)系數(shù)量關(guān)系又常?？梢酝ㄟ^圖形的直觀性作出形象的描述因此在解決數(shù)學(xué)問題時(shí)常常根據(jù)數(shù)學(xué)問題的條件和結(jié)論之間的內(nèi)在聯(lián)系將數(shù)的問題利用形來(lái)觀察提示其幾何意義而形的問題也常借助數(shù)去思考分析其代數(shù)含義如此將數(shù)量關(guān)系和空間形式巧妙地結(jié)合起來(lái)并充分利用這種“結(jié)合找解題思路，使問題得到解決的方法，簡(jiǎn)言之，就是把數(shù)學(xué)問題中的數(shù)量關(guān)系和空間形式相結(jié)合起來(lái)加以考察的處理數(shù)學(xué)問題的方法之為數(shù)形結(jié)合的思想方法。二、解題方法指導(dǎo)1．轉(zhuǎn)換數(shù)形的三條途徑：①通過坐標(biāo)系的建立，引入數(shù)量化靜為動(dòng)，以動(dòng)求解。②轉(zhuǎn)化，通過分析數(shù)與式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，把問題轉(zhuǎn)化到另一個(gè)角度來(lái)考慮，如將轉(zhuǎn)化為勾股定理或平面上兩點(diǎn)間的距離等。③構(gòu)造，比如構(gòu)造一個(gè)幾何圖形，構(gòu)造一個(gè)函數(shù)，構(gòu)造一個(gè)圖表等。2．運(yùn)用數(shù)結(jié)合思想解題的三種類型及思維方法：①“由形化數(shù)”：就是借助所給的圖形，仔細(xì)觀察研究，提示出圖形中蘊(yùn)含的數(shù)量關(guān)系，反映幾何圖形內(nèi)在的屬性。②“由數(shù)化形”：就是根據(jù)題設(shè)條件正確繪制相應(yīng)的圖形，使圖形能充分反映出它們相應(yīng)的數(shù)量關(guān)系，提示出數(shù)與式的本質(zhì)特征。③“數(shù)形轉(zhuǎn)換”：就是根據(jù)“數(shù)”與“形”既對(duì)立，又統(tǒng)一的特征，觀察圖形的形狀，分析數(shù)與式的結(jié)構(gòu)，引起聯(lián)想，適時(shí)將它們相互轉(zhuǎn)換，化抽象為直觀并提示隱含的數(shù)量關(guān)系。三、范例剖析例1知f(x)是實(shí)數(shù)集R上的奇函數(shù)，且在區(qū)間（0+∞）上是單調(diào)遞增函12

3323233232數(shù)，若f()=0，且△的內(nèi)角A滿足f(cosA)<0，則A取值范圍是（）2(A)（，π）

(B)（，）(C)（，）(D)（，）∪（，π）23例2不等式x+的解集是（4,ba,b的值.例3函數(shù)x+)(區(qū)間[上是增函數(shù)，且f(a)=則函數(shù)

x+)在區(qū)間a,b)上（）(A)是增函數(shù)

(B)是減函數(shù)

(C)可以取得最大值M(D)可以取得最小值例4函數(shù)(1+x)(a>0且a≠若k

R論x的方程g(-x+x+1)=a

f(k)

x的實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)高中數(shù)學(xué)思想方法專（三）——分類討論的思想法一、知識(shí)要點(diǎn)概述在研究與解決數(shù)學(xué)問題時(shí)果問題不能用同一種方法處理或同一種形式表達(dá)概括可根據(jù)數(shù)學(xué)對(duì)象的本質(zhì)屬性的相同和不同點(diǎn)按照一定的原則或某一確定的標(biāo)準(zhǔn)比較的基礎(chǔ)上學(xué)對(duì)象劃分為若干既有聯(lián)系又有區(qū)別的部分，然后逐類進(jìn)行討論再把這幾類的結(jié)論匯癖從而得出問題的答案這種研究解決問題的思想方法就是分類討論的思想方法.分類討論的思想方法是中學(xué)數(shù)學(xué)的基本方法之一近幾年的高考試題中都把分類討論的思想方法列為重要的思想方法來(lái)考查體現(xiàn)出其重要的位置分類討論的思想方法不僅具有明顯的邏輯性題型覆蓋知識(shí)點(diǎn)較多合性強(qiáng)等特點(diǎn)而且還有利于對(duì)學(xué)生知識(shí)面的考查，需要學(xué)生有一定的分析能力一定的分類技巧對(duì)學(xué)生能力的考查有著重要的作用類討論的思想的實(shí)質(zhì)就是針對(duì)數(shù)學(xué)問題中各種限制條件的制約及變動(dòng)因素的影響而采取的化整為零、各個(gè)突破的解題手段二、解題方法指導(dǎo)1．分類討的思想方法的步驟）確定標(biāo)準(zhǔn)2）合理分類）逐類討論4）歸納總結(jié)。2．簡(jiǎn)化分討論的策略1）消去參數(shù)）整體換元）變更主元；（4）考慮反面5）整體變形）數(shù)形結(jié)合）縮小范圍等3．解題時(shí)好“四關(guān)（1）要深刻理解基本知識(shí)與基本原理，把好“基礎(chǔ)關(guān)（2）要找準(zhǔn)劃分標(biāo)準(zhǔn)，把好“分類關(guān)（3）要保證條理分明，層次清晰，把好“邏輯關(guān)（4）要注意對(duì)照題中的限制條件或隱含信息，合理取舍，把好“檢驗(yàn)關(guān)

aaa三、范例剖析例1解關(guān)于x的不等式：xtanx|x|tancotx例2四個(gè)男孩和三個(gè)女孩站成一列，男孩甲前面至少有一個(gè)女孩站著，并且站在這個(gè)男孩前面的女孩個(gè)數(shù)必少于站在他后面的男孩個(gè)數(shù)的站法共有多少種？例3函數(shù)

的值域是()(A){-2,4}(B){-2,0,4}(D){-4,-2,0,4}例4已知直角坐標(biāo)平面上點(diǎn)（2，0）和圓Ox

2

2

=1，

y

M動(dòng)點(diǎn)M到圓O的切線長(zhǎng)與的比等于常數(shù)λ(λ求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程，說明它表示什么曲線

O1

高中數(shù)學(xué)讀教學(xué)方法中數(shù)教王閱讀作為一種眼、口、手、腦等器官積極、充分協(xié)同參與的認(rèn)識(shí)過程，在語(yǔ)文、英語(yǔ)教學(xué)中發(fā)揮著重要作用但作為基本學(xué)科之一的數(shù)學(xué)教學(xué)中閱讀能力的培養(yǎng)卻不到位