2023屆北京市牛欄山一中數(shù)學(xué)高二下期末檢測試題含解析

2022-2023高二下數(shù)學(xué)模擬試卷考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知a=tan(-π5)A．a(chǎn)>b>c B．c>b>aC．c>a>b D．b>c>a2．一根細金屬絲下端掛著一個半徑為1cm的金屬球，將它浸沒底面半徑為2cm的圓柱形容器內(nèi)的水中，現(xiàn)將金屬絲向上提升，當金屬球被拉出水面時，容器內(nèi)的水面下降了（）A．cm B．cm C．cm D．cm3．如圖，平行六面體中，，，，則（）A． B． C． D．4．下面是利用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式（，且的部分過程：“……，假設(shè)當時，＋＋…＋，故當時，有，因為，故＋＋…＋，……”，則橫線處應(yīng)該填（）A．＋＋…＋+＜，B．＋＋…＋，C．2＋＋…＋+，D．2＋＋…＋，5．設(shè)是虛數(shù)單位，則的值為（）A． B． C． D．6．角的終邊上一點，則（）A． B． C．或 D．或7．某校有6名志愿者，在放假的第一天去北京世園會的中國館服務(wù)，任務(wù)是組織游客參加“祝福祖國征集留言”、“歡樂世園共繪展板”、“傳遞祝福發(fā)放彩繩”三項活動，其中1人負責(zé)“征集留言”，2人負責(zé)“共繪展板”，3人負責(zé)“發(fā)放彩繩”，則不同的分配方案共有（）A．30種 B．60種 C．120種 D．180種8．下列說法：①將一組數(shù)據(jù)中的每個數(shù)據(jù)都乘以同一個非零常數(shù)后，標準差也變?yōu)樵瓉淼谋?；②設(shè)有一個回歸方程，變量增加個單位時，平均減少個單位；③線性相關(guān)系數(shù)越大，兩個變量的線性相關(guān)性越強；反之，線性相關(guān)性越弱；④在某項測量中，測量結(jié)果服從正態(tài)分布，若位于區(qū)域的概率為，則位于區(qū)域內(nèi)的概率為⑤在線性回歸分析中，為的模型比為的模型擬合的效果好；其中正確的個數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．49．如圖，長方形的四個頂點為，，，，曲線經(jīng)過點.現(xiàn)將一質(zhì)點隨機投入長方形中，則質(zhì)點落在圖中陰影區(qū)域外的概率是（）A． B． C． D．10．2019年高考結(jié)束了，有為同學(xué)（其中巴蜀、一中各人，八中人）高考發(fā)揮不好，為了實現(xiàn)“南開夢”來到南開復(fù)讀，現(xiàn)在學(xué)校決定把他們分到三個班，每個班至少分配位同學(xué)，為了讓他們能更好的融入新的班級，規(guī)定來自同一學(xué)校的同學(xué)不能分到同一個班，則不同的分配方案種數(shù)為（）A． B． C． D．11．在邊長為2的菱形中，，將菱形沿對角線對折，使二面角的余弦值為，則所得三棱錐的內(nèi)切球的表面積為（）A． B． C． D．12．已知單位向量的夾角為，若，則為（）A．等腰三角形 B．等邊三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．正態(tài)分布三個特殊區(qū)間的概率值,,,若隨機變量滿足，則____．14．在平面直角坐標系中，已知點是橢圓：上第一象限的點，為坐標原點，，分別為橢圓的右頂點和上頂點，則四邊形的面積的最大值為__________．15．如圖，圓形紙片的圓心為O，半徑為5cm，該紙片上的等邊三角形ABC的中心為O.D，E，F(xiàn)為圓O上的點，△DBC，△ECA，△FAB分別是以BC，CA，AB為底邊的等腰三角形．沿虛線剪開后，分別以BC，CA，AB為折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得D，E，F(xiàn)重合，得到三棱錐．當△ABC的邊長變化時，所得三棱錐體積(單位：cm3)的最大值為______．16．已知函數(shù)，則當函數(shù)恰有兩個不同的零點時，實數(shù)的取值范圍是______．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，已知是圓(為圓心)上一動點，線段的垂直平分線交于點．（1）求點的軌跡的方程；（2）若直線與曲線相交于、兩點，求面積的最大值．18．（12分）在中，角的對邊分別為，且.（1）求；（2）若，求的面積.19．（12分）某大廈的一部電梯從底層出發(fā)后只能在第18,19,20層?？浚粼撾娞菰诘讓虞d有5位乘客，且每位乘客在這三層的每一層下電梯的概率均為，用ξ表示這5位乘客在第20層下電梯的人數(shù)，求：（1）隨機變量ξ的分布列；（2）隨機變量ξ的均值．20．（12分）已知函數(shù)，.（1）當時，求的單調(diào)區(qū)間；（2）若有兩個零點，求實數(shù)的取值范圍.21．（12分）命題：方程有實數(shù)解，命題：方程表示焦點在軸上的橢圓．(1)若命題為真，求的取值范圍；(2)若命題為真，求的取值范圍．22．（10分）以直角坐標系的原點為極點，軸的非負半軸為極軸建立極坐標系，若直線的極坐標方程為，曲線的參數(shù)方程是（為參數(shù)）.（1）求直線的直角坐標方程和曲線的普通方程；（2）設(shè)點的直角坐標為，過的直線與直線平行，且與曲線交于、兩點，若，求的值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】

首先通過誘導(dǎo)公式，化簡三個數(shù)，然后判斷它們的正負性，最后利用商比法判斷a,c的大小，最后選出正確答案.【詳解】a=tan而ac=【點睛】本題考查了誘導(dǎo)公式、以及同角三角函數(shù)關(guān)系，以及商比法判斷兩數(shù)大小.在利用商比法時，要注意分母的正負性.2、D【解析】

利用等體積法求水面下降高度?！驹斀狻壳虻捏w積等于水下降的體積即，．答案：D．【點睛】利用等體積法求水面下降高度。3、D【解析】

利用，即可求解.【詳解】，,.故選：D【點睛】本題考查了向量加法的三角形法則、平行四邊形法則、空間向量的數(shù)量積以及向量模的求法，屬于基礎(chǔ)題.4、A【解析】

由歸納假設(shè)，推得的結(jié)論，結(jié)合放縮法，便可以得出結(jié)論．【詳解】假設(shè)當時，＋＋…＋，故當時，＋＋…＋+＜，因為，＋＋…＋，故選A．【點睛】本題主要考查數(shù)學(xué)歸納法的步驟，以及放縮法的運用，意在考查學(xué)生的邏輯推理能力．5、B【解析】

利用錯位相減法、等比數(shù)列的求和公式及復(fù)數(shù)的周期性進行計算可得答案.【詳解】解：設(shè),可得：，則，，可得：，可得：，故選：B.【點睛】本題主要考查等比數(shù)列的求和公式，錯位相減法、及復(fù)數(shù)的乘除法運算，屬于中檔題.6、D【解析】

根據(jù)三角函數(shù)的定義求出，注意討論的正負．【詳解】的終邊上一點，則，，所以.故應(yīng)選D.【點睛】本題考查三角函數(shù)的定義，解題時要注意分類討論，即按參數(shù)的正負分類．7、B【解析】

從6人中選1人負責(zé)“征集留言”，從剩下的人中選2人負責(zé)“共繪展板”，再從剩下的人中選3人負責(zé)“發(fā)放彩繩，即可得出不同的分配方案.【詳解】從6人中選1人負責(zé)“征集留言”，從剩下的人中選2人負責(zé)“共繪展板”，再從剩下的人中選3人負責(zé)“發(fā)放彩繩，則不同的分配方案共有種故選：B【點睛】本題主要考查了分組分配問題，屬于基礎(chǔ)題.8、B【解析】

逐個分析，判斷正誤．①將一組數(shù)據(jù)中的每個數(shù)據(jù)都乘以同一個非零常數(shù)后，標準差變?yōu)樵瓉淼谋?；②設(shè)有一個回歸方程，變量增加個單位時，平均減少個單位；③線性相關(guān)系數(shù)越大，兩個變量的線性相關(guān)性越強；線性相關(guān)系數(shù)越接近于，兩個變量的線性相關(guān)性越弱；④服從正態(tài)分布，則位于區(qū)域內(nèi)的概率為；⑤在線性回歸分析中，為的模型比為的模型擬合的效果好．【詳解】①將一組數(shù)據(jù)中的每個數(shù)據(jù)都乘以同一個非零常數(shù)后，標準差變?yōu)樵瓉淼谋?，錯誤；②設(shè)有一個回歸方程，變量增加個單位時，平均減少個單位，正確；③線性相關(guān)系數(shù)越大，兩個變量的線性相關(guān)性越強；線性相關(guān)系數(shù)越接近于，兩個變量的線性相關(guān)性越弱，③錯誤；④服從正態(tài)分布，則位于區(qū)域內(nèi)的概率為，④錯誤；⑤在線性回歸分析中，為的模型比為的模型擬合的效果好；正確故選B.【點睛】本題考查的知識點有標準差，線性回歸方程，相關(guān)系數(shù)，正態(tài)分布等，比較綜合，屬于基礎(chǔ)題．9、A【解析】

計算長方形面積，利用定積分計算陰影部分面積，由面積測度的幾何概型計算概率即可.【詳解】由已知易得：，由面積測度的幾何概型：質(zhì)點落在圖中陰影區(qū)域外的概率故選：A【點睛】本題考查了面積測度的幾何概型，考查了學(xué)生轉(zhuǎn)化劃歸，數(shù)學(xué)運算的能力，屬于基礎(chǔ)題.10、A【解析】

首先先計算出所有的可能分組情況，從而計算出分配方案.【詳解】設(shè)這五人分別為,若A單獨為一組時，只要2種分組方法；若A組含有兩人時，有種分組方法；若A組含有三人時，有種分組情況；于是共有14種分組方法，所以分配方案總數(shù)共有,故選A.【點睛】本題主要考查排列組合的綜合應(yīng)用，意在考查學(xué)生的分析能力，分類討論能力，計算能力，難度中等.11、C【解析】

作出圖形，利用菱形對角線相互垂直的性質(zhì)得出DN⊥AC，BN⊥AC，可得出二面角B﹣AC﹣D的平面角為∠BND，再利用余弦定理求出BD，可知三棱錐B﹣ACD為正四面體，可得出內(nèi)切球的半徑R，再利用球體的表面積公式可得出答案．【詳解】如下圖所示，易知△ABC和△ACD都是等邊三角形，取AC的中點N，則DN⊥AC，BN⊥AC．所以，∠BND是二面角B﹣AC﹣D的平面角，過點B作BO⊥DN交DN于點O，可得BO⊥平面ACD．因為在△BDN中，，所以，BD1＝BN1+DN1﹣1BN?DN?cos∠BND，則BD＝1．故三棱錐A﹣BCD為正四面體，則其內(nèi)切球半徑為正四面體高的，又正四面體的高為棱長的，故．因此，三棱錐A﹣BCD的內(nèi)切球的表面積為．故選：C．【點睛】本題考查幾何體的內(nèi)切球問題，解決本題的關(guān)鍵在于計算幾何體的棱長確定幾何體的形狀，考查了二面角的定義與余弦定理，考查計算能力，屬于中等題．12、C【解析】，，與夾角為，且，為直角三角形，故選C.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、0.1359【解析】

根據(jù)正態(tài)分布，得出其均值和方差的值，根據(jù)的原則和正態(tài)曲線的對稱性可得.【詳解】由題意可知，，，故答案為【點睛】本題考查正態(tài)分布曲線的對稱性和的原則，屬于基礎(chǔ)題.14、【解析】分析：的面積的最大值當?shù)街本€距離最遠的時候取得。詳解：，當?shù)街本€距離最遠的時候取得的最大值，設(shè)直線，所以，故的最大值為。點睛：分析題意，找到面積隨到直線距離的改變而改變，建立面積與到直線距離的函數(shù)表達式，利用橢圓的參數(shù)方程求解距離的最值。本題還可以用幾何法分析與直線平行的直線與橢圓相切時，為切點，到直線距離最大。15、【解析】如下圖，連接DO交BC于點G，設(shè)D，E，F(xiàn)重合于S點，正三角形的邊長為x(x>0)，則.，，三棱錐的體積.設(shè)，x>0，則，令，即，得，易知在處取得最大值.∴.點睛:對于三棱錐最值問題，需要用到函數(shù)思想進行解決，本題解決的關(guān)鍵是設(shè)好未知量，利用圖形特征表示出三棱錐體積.當體積中的變量最高次是2次時可以利用二次函數(shù)的性質(zhì)進行解決，當變量是高次時需要用到求導(dǎo)的方式進行解決.16、【解析】

由題方程恰有兩個不同的實數(shù)根，得與有2個交點，利用數(shù)形結(jié)合得a的不等式求解即可【詳解】由題可知方程恰有兩個不同的實數(shù)根，所以與有2個交點，因為表示直線的斜率，當時，，設(shè)切點坐標為，，所以切線方程為，而切線過原點，所以，，，所以直線的斜率為，直線與平行，所以直線的斜率為，所以實數(shù)的取值范圍是.故答案為【點睛】本題考查函數(shù)與方程的零點，考查數(shù)形結(jié)合思想，考查切線方程，準確轉(zhuǎn)化題意是關(guān)鍵，是中檔題，注意臨界位置的開閉，是易錯題三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）1.【解析】

（1）由題意得,即為定值，且，由橢圓的定義可知，點在以、為焦點的橢圓上，即求點的軌跡的方程；（2）直線代入橢圓方程，消去，根據(jù)韋達定理求出.求出點到直線的距離，則面積，根據(jù)基本不等式求面積的最大值.【詳解】（1）由題意得：,.是圓（為圓心）上一動點，.，∴點在以、為焦點的橢圓上，其中，，∴點的軌跡方程為．（2）直線代入橢圓方程，消去可得，由，得.設(shè)，則，.設(shè)點到直線的距離為，則，面積，當且僅當，即時，等號成立.∴面積的最大值為1．【點睛】本題考查橢圓的定義，考查與橢圓有關(guān)的面積問題，屬于較難的題目.18、（1）（2）【解析】

（1）由正弦定理把已知角的關(guān)系轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系，再由余弦定理求得，從而求得；（2）由(1)及代入可解得，再由求得面積．【詳解】解：（1）由及正弦定理得：，∴，由余弦定理得：，∵，∴（2）由，及，得，∴∴∴的面積為.【點睛】本題考查正弦定理和余弦定理，考查三角形面積公式，解題關(guān)鍵是由正弦定理把已知角的關(guān)系轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系．19、(1)見解析；(2)【解析】

（1）一位乘客是否在第20層下電梯為一次試驗，這是5次獨立重復(fù)試驗．故ξ～B，由此能求出ξ的分布列．（2）由ξ～B，能求出Eξ．【詳解】（1）考察一位乘客是否在第20層下電梯為一次試驗，這是5次獨立重復(fù)試驗，故，即有，.由此可得的分布列為012345（2），.【點睛】本題考查離散型隨機變量的分布列、數(shù)學(xué)期望和方差，是中檔題．解題時要認真審題，仔細解答，注意二項分布的合理運用．20、（1）見解析；（2）【解析】

（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；（2）記t=lnx+x，通過討論a的范圍，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)的零點的個數(shù)判斷a的范圍即可．【詳解】（1）定義域為：，當時，.∴在時為減函數(shù)；在時為增函數(shù).（2）記，則在上單增，且.∴.∴在上有兩個零點等價于在上有兩個零點.①在時，在上單增，且，故無零點；②在時，在上單增，又，，故在上只有一個零點；③在時，由可知在時有唯一的一個極小值.若，，無零點；若，，只有一個零點；若時，，而，由于在時為減函數(shù)，可知：時，.從而，∴在和上各有一個零點.綜上討論可知：時有兩個零點，即所求的取值范圍是.【點睛】已知函數(shù)有零點求參數(shù)取值范圍常用的方法和思路(1)直接法：直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；(2)分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問題加以解決；(3)數(shù)形結(jié)合法：先對解析式變形，在同一平面直角坐標系中，畫出函數(shù)的圖