史上最全的數(shù)列通項公式的求法13種

nbn最全的數(shù)通項公式nbn數(shù)列是高考中的重點內(nèi)容之一，每年的高考題都會考察到，小題一般較易，大題一般較難。而作為給出數(shù)列的一種形式——通項公式，在求數(shù)列問題中尤其重要。本文給出了求數(shù)列通項公式的常用方法。一、直法根據(jù)數(shù)列的特征，使用作差法等直接寫出通項公式。二、公式法①利用等差數(shù)列或等比數(shù)列的定義求通項②若已知數(shù)列的前n項和與a的關系，求數(shù)項可用公式nna求解(意：求完后一定要考慮合并通項例2①已知數(shù)項滿足2an

n

n．求數(shù)式②已知數(shù)項和S滿足n

Sn

2

，求數(shù)式.③已知等比數(shù)a0q數(shù)b1

n

a

n

，求數(shù)列

。n③解析：由題意b

n

n

n

，列公比ba∴nn，故數(shù)列b是等比數(shù)列q2(1231nn∴qn(q三、歸猜想法如果給出了數(shù)列的前幾項或能求出數(shù)列的前幾項，我們可以根據(jù)前幾項的規(guī)律，歸納猜想出數(shù)列的通項公式，然后再用數(shù)學歸納法證明之。也可以猜想出規(guī)律，然后正面證明。四、累（乘）法對于形如a

n

(n)型或形an

n

f(n)型的數(shù)列，我們可以根據(jù)遞推公式，寫出nn取1到n時的所有的遞推關系式，然后將它們分別相加（或相乘）即可得到通項公式。例4.若在數(shù)3a1

n

an，求通a。nn例

在數(shù)a1

n

2

n

aNn

*

求通a。五、?。▽Γ?shù)法a

n

par這種類型一般是等式兩邊取對數(shù)轉化an

n

pa，再利用待系數(shù)法求解nb、數(shù)列有如f(aaaa)0關系，可在等式兩邊同乘以nn

1,先求出,再求得a.aannnca

n

f(nng()()n

解法：這種類型一般是等式兩邊取倒數(shù)后換轉化a。n

n1nn1nnqn1nnn2nn1nn1nnqn1nnn2n例6.．設數(shù){}滿2,a

n

nn

(N),求.例7設正項數(shù)a22（n≥2）.求數(shù)式.n解：兩邊取對數(shù)得aa2(log，a2222n2bb是以2為公比的等比數(shù)列blog1.nn

，bnnlogn變式:

a2

n

log

a2

2

n

，an

2

31.已知數(shù)列｛a｝滿足：＝，且a＝2

n1（n，nN2a＋n1n1

求數(shù)列｛a｝的通項公式；12、若數(shù)列的遞推公式3,)，則求這個數(shù)列的通項公式。aan3、已知數(shù)列{}滿足a時a1

n

an

n

a，求通項公式。n4、已知數(shù)列｛a｝滿足n

，求數(shù)列｛a｝的通項公式。5、若數(shù)列｛a｝中，a=1，an1六、迭法

n

=

2a2

n∈N，求通項a．n迭代法就是根據(jù)遞推式，采用循環(huán)代入計算七、待系數(shù)法：1通過分解常數(shù)，可轉化為特殊數(shù)列{a+k}的形式求解。一般地，形如an

=pa+qn≠1≠0）型的遞推式均可通過待定系數(shù)法對常數(shù)q分解法：設a

+k=p）與原式

n比較系數(shù)可得pk－k=q，即k=，從而得等比數(shù)列{a。p例9數(shù)列{a}滿足a=1，a=a+1（n≥2數(shù)列{a}的通項公式。說明：過對常數(shù)1的分解，進行適組合，得等比數(shù)列{－2}從而達到?jīng)Q問題n的目的練習、數(shù)列{a}滿足a=13an1

n

,求數(shù)列{a}的通項公式。nn2、已知數(shù)，a

a，a．2、遞推式為

n（p、q為常）時，同除q，

apnqnqq

nn

令bn

aq

nn從而化為apa為常數(shù)）型n例．已知數(shù)列滿足a、

a

n

2)a．，

nn22解：annn22

n

兩邊同nn

2aaa，得nn33

2，b．()bbt338t．條件可化b，數(shù)列是b1為首項，3

8a為公比的等比數(shù)列b)．b3

,8a3()n．33、形

n

papn解法：這種類型一般利用待定系數(shù)法構造等比數(shù)列，即

n

x(pxny)n與已知遞推式比較，解出,y,從而轉化yp的等比數(shù)列。n例11:設數(shù)4,

n

a.解：令

a

n

x(na)n化簡得：

a

n

xnn所以

解得

，所以

a

n

n)n又因為

a1

，所以數(shù)列

n是以為首項，3為公比的等比數(shù)列。從而可得

an所以annnn4、形如

an

paann

2

(解法：這種類型一般利用待定系數(shù)法構造等比數(shù)列，即令a(nn(xnyn)，與已知遞推式比較，解出x,y,z.從nn而轉化p的等比數(shù)列。例12:設數(shù)

aa1n

2

n

，求a八：不點法，形如解法：如果數(shù)列{}足下列條件：已a的值且對，都1

（其中p、r

、h均為常數(shù)，且qr,r0,么，可作特征方程x,特征方程有且僅rrx

12nnnnnnnnn1nnnnnnnn112nnnnnnnnn1nnnnnnnn有一根時等差數(shù)列;當特征方程有兩個相異的根x時，則n1aan數(shù)列。

是等比例已知數(shù){}足性質(zhì)：對N,

n

nan

且a{}的通項公式1n九：換法：類函數(shù)的值域的求法有三角代換和代數(shù)代換兩種，目的是代換后出現(xiàn)的整體數(shù)列具有規(guī)律性。例已知數(shù){}滿ann

116

1，a求數(shù){}的通項公式。nn1n解：ba，nn

124

(bn

an

11(b，代aaa)得2416111b2[1(b2]2416244b2n

3)n

2因b，n

24a

2n

，n

1，2可化n

1(b，2所{b是b24首項，以為公比的等比數(shù)列，因2111)n)n，b)n，即a)，222211a()n)n。323：本題解的關鍵通過將124a元為b得所給遞推關系式化bn

13形式，從而可知數(shù){b3}等比數(shù)列，進而求出數(shù){b通項公式，2最后再求出數(shù){}的通項公式。n例18.已知數(shù)1

12

n

n

，a。

nnnn3nnnnn3nnn1nn27解析：

1cos，∵2

n

n

，∴

acos

a，…acos62n

總之，求數(shù)列的通項公式，就是將已知數(shù)列轉化成等差（或等比）數(shù)列，從而利用等差（或等比）數(shù)列的通項公式求其通項。十、雙列解法：據(jù)所給兩個列遞推式的關系，活采用加、累乘、歸等方求解。例已知數(shù)；數(shù)

0。，a),(ab)a,b.1解：(2a)()ann所ann

n

n

a

n

n

???aa2211…………）n又因n

1(2a)(a)()所(a))))(a)3)n.)………（2）11由（1得)]，b)23

]十一、期型

解法：由遞推式計算出前幾項，尋找周期。例若數(shù)

12)212n

6，a，則的值為___________。變式:（湖南文，5）已知數(shù){}滿aan

a3a

(N*)，=（）A．0B．3

C．3

D．

十二、解因式法當數(shù)列的關系式較復雜，可考慮分解因式和約分化為較簡形式，再用其它方法求得.例已知f(x)(x4,g)r3,(r數(shù){}滿a2,（∈

n有條(nn

n

nf

n

求a(≥2）n解：由得：(

)

3a

4即(

3[r(

)

1)]對n∈N，a故r(an

n

)

n

合并同項得:an

1r再由待系數(shù)法得rran

rr

(anan十三、環(huán)法

r