屆華杯賽真題詳解第4決賽及解答

第四屆“金杯”少年數(shù)學(xué)邀請(qǐng)10077（a，圖（a，圖口BC？19的不同數(shù)字，已知ABCDEFG1993，問，乘積ABCDEFG的最一組互不相同的自然數(shù)，其中最小的數(shù)是1，最大的數(shù)是25，除1之外，這A、BAB4千米/小時(shí)。甲、ABA、B之間往返航行，甲在靜水中的28千米/20千米/小時(shí)，已知量傳遞二次迎面相遇地等于甲船第二次追上乙船（不算開始甲、乙在A處的那一次）的地點(diǎn)相距40千米，求A、B互為反數(shù)的兩個(gè)自然數(shù)的積是92565，求這兩個(gè)互為反序的自然數(shù)（例如102201，3553，111112021不是互為，9AB的工作崗位，其他工人生C和D的工作崗AB，CD的工作崗位，其他工人生產(chǎn)效率不變，可以提前幾分某校學(xué)生中，沒有一個(gè)學(xué)生讀過學(xué)校館的所有，又知道館內(nèi)任A、B、C，甲讀過A、B，沒讀過C，乙讀過B、C，沒讀過A？說明判斷過程。63cm，4cm，5cm的相同的長(zhǎng)方體，把它們的某些面染上分割成棱長(zhǎng)為1cm的小正方形，分割完畢后，恰有一面是紅色的小正方體至多，玩某種游戲，每局可隨意玩若干次，每次得分是8a（自然數(shù)，0這三個(gè)數(shù)中的一個(gè)，每局各次得分的總和叫做這一局的總積分曾得到過這樣a是多少？，8同數(shù)值？各棱中點(diǎn)所寫的數(shù)是否可能恰有四種不同數(shù)題12345答題6789答165題答【分析與解答】100以內(nèi)的奇數(shù)之和我們很容易得到；因此，對(duì)于這道題，7777不互素的數(shù)227734327577541（減去77，是因?yàn)槲覀冊(cè)赼）b）里都算了77，因此要去掉一100以內(nèi)奇數(shù)的和1(199502那么， 以內(nèi) 互質(zhì)的所有奇數(shù)之和 x2yx2y6圖（a）的陰影部分的周長(zhǎng)2(x2y2(x2y6)（b）的陰影部分的周長(zhǎng)2(x2y2(x2y62y2(x2y6x化簡(jiǎn)得4x8y因此，圖（a）12cmA點(diǎn)是（0，0，B點(diǎn)，c點(diǎn)分別是（3，3（3，1；由于對(duì)設(shè)A點(diǎn)出發(fā)的孩子總共有N（0，1（1，0）2 走過（1，1）的有1N （2，0（0，2）4（2，1（1，2）2 走過（2，2）3N8走過（3，0）1N8走過C，即（3，1）1(31)N12 走過（3，2）1(31)N5N2 因此，走過C14答：走過C48先要讓E最大，但是A=1，則B2，因此E7；這時(shí)B2；由于D+G的個(gè)位數(shù)是3D+G不可能是3D+G=13C+F=8，C至少是3，則F5。這時(shí)，C3；D+G=13，則G可取9，D取4。這時(shí)，ABC FG1234759=936606首先，B+E只能是9，可令C+F只能是8，可令D+G只能是13，可令G=4，D=9；這時(shí)，ABC FG1759234=411606這時(shí)，最大值和最小值之差是936606411606答：乘積ABCDEFG525000211的和。它的和取到最大值，是：123 251(1 2Nk1，最大的數(shù)是k1之外，這組數(shù)2NkSk1Nk不小于2k1，當(dāng)k2Nk不小于2k，當(dāng)k2顯然，當(dāng)k1和k2當(dāng)kn都成立時(shí)，我們看kn若這組數(shù)里存在ab，使得nab;Nn不小于2n若不存在這樣的ab，則必存在c,使得n2c；這時(shí),

Nn不小于nNcNc當(dāng)c2Nc不小于2c1，即不小于n當(dāng)c2Nc不小于2c，即不小于n；因此，我們有對(duì)于kn時(shí):Nn不小于2n1，當(dāng)n2Nn不小于2n，當(dāng)n22對(duì)于k7Nk不小于2k3。證明：我們首先有當(dāng)k1Sk1，2Sk1，最小的數(shù)是i2;但這時(shí)iSk2倍，也不可能是Sk我們令kabab若b12若b1，則ak1NkkNk1k2(k113k32k4若b1，則ak2NkkNk2k2(k23k42k3。2得證。25abab，因此aa13b12N252513N1262a14b11N252514N1164a15b10N252515N10a16b9a17b8a17b8

N252516N962；N2525N1762；N2525N1762a18

N2525N18a19N2525Na25+219=63這時(shí)，我們就找到了N25的值：25+15+10+5+3+2+1=61；這是最小的解法1：我們?cè)O(shè)A、B兩地港口的距離為x千米；甲從A向B行駛時(shí)是順?biāo)?，?8+4=32千米/AB20+4=24千米/小時(shí)；甲從BA行駛時(shí)是逆水，速度是28-4=24千米/小時(shí)；乙從B向A行駛20-4=16千米/小時(shí)。當(dāng)甲第一次從A到達(dá)B時(shí)，耗

x小時(shí)；這時(shí)乙行駛了24x3x 當(dāng)甲第一次從B返回A的途中甲和乙第一次相遇而在乙到達(dá)B地之前24千米/BA3x4那么，從乙第一次到達(dá)BA3x24x時(shí)，這時(shí)，乙從B向A行駛了16

x

當(dāng)甲第二次從A向B行駛乙有了第二次相遇而從甲在A地開始x3216xA32

x AB

2

A2

A當(dāng)甲第二次從BA行駛時(shí)，乙第二次從AB行駛，這時(shí)，他們速度相同；因此，當(dāng)甲第二次返回到A地時(shí)，乙第二次到達(dá)B地。當(dāng)甲當(dāng)甲第三次從A到達(dá)B時(shí)，耗

xBA16x1x千米；即，乙離Ax 當(dāng)甲第三次從B返回A，耗時(shí)x小時(shí)；這時(shí)乙已經(jīng)在xx16x 到達(dá)了A；又已經(jīng)行駛了24xx 當(dāng)甲當(dāng)甲第四次從A到達(dá)B，耗時(shí)x小時(shí)；這期間乙行駛了24

3x米；因此，可以看出，甲第一次追上乙，是在B

甲第四次從B返回A，耗時(shí)x小時(shí)；這期間乙行駛16

2x千米，離x3

甲當(dāng)甲當(dāng)甲第五次從A到達(dá)B，耗時(shí)xx16x 時(shí)到達(dá)AAB行駛了24(xxx 甲第五次從B返回A，耗時(shí)x3x24x 了BB向A行駛了16(xxx 甲當(dāng)甲當(dāng)甲第六次從A到達(dá)B，耗

xBA16x1x千米；離A地還剩(111)xx 甲第六次從B返回A，耗時(shí)xx16x A，并又從AB行駛了24(xxx 甲當(dāng)甲當(dāng)甲第七次從A到達(dá)B，耗時(shí)x1x24 小時(shí)到達(dá)了BB向A行駛了16(xxx 甲第七次從B返回A，耗時(shí)xBA行駛了16x2 A地還剩(112)xxBA Bx2416x 這時(shí)，剛好行駛到了A和B的中點(diǎn)處。因此：由c）n）可得到：xx x答：A、B2402：同樣，我們?cè)O(shè)A、Bx1甲 乙有了第二次相遇時(shí)，距離A地x3首先我們有：甲來(lái)回一趟需要x

7xx

10x(k2)7x 10x(k1)7x(k k2073k1753k6而甲行駛完第6個(gè)來(lái)回回到A時(shí)，乙行駛完了四個(gè)來(lái)回又行駛了7x610x42x 7A行駛到B52xx5x AB只需xBA5xxx

x16x

Bx2416x 這時(shí)甲剛好行駛到了A和Bxx40x240 答：A、B240求第2004次甲追到乙的地點(diǎn)，解法2的情況也不會(huì)變的更復(fù)雜，解法1就根本2004次相遇，把第二次追上改成第2004次追上，那么我們的答案又是什么呢？有和余力的同學(xué)可AB時(shí)，這時(shí)他們算追上，而另外，我們還，這道題和復(fù)賽的14題有什么聯(lián)系，有什么不同是ABC和CBA5AC55155時(shí)，這兩個(gè)反6位數(shù)，這是不可能的；因此，AC1，55，1；A=1，C=5。這時(shí)有：：B=6aAB交換后，每小時(shí)多完成b；CD交換后，每小時(shí)多完成c；則我們有：8(ab)8(ac)因此bc1a8同時(shí)交換A與B，CD的工作崗位，每小時(shí)完成量應(yīng)為abc，那么需要耗9a(abc9a(a1a1a36 因此，提前了9369小時(shí)=108 108而甲總有沒讀過的書，我們?nèi)∫槐炯讻]讀過的書C。我們?cè)偃稳〖鬃x過的一本書B。這時(shí)，我們可以找到一個(gè)人，他讀過了B、C，設(shè)這個(gè)人是乙。書為A。甲讀過A、BCB、C，沒讀過A面是紅色的小正方體為A。只有一個(gè)面是紅色時(shí)，把其中一個(gè)54的面涂上，A20有三面紅色時(shí)，把兩個(gè)54的面涂上，再把一個(gè)3535543436四面時(shí)，把兩個(gè)54的面涂上，再把兩個(gè)34的涂上，可得到32塊；若把兩個(gè)54的面涂上，把一個(gè)35的涂上，再把一個(gè)34的涂上，可得3132塊。五個(gè)面時(shí)，留一面3527六個(gè)面時(shí)，共有22塊177a不可能得到“83分”這個(gè)總積分，即不存在自然數(shù)k，使得：a整除838k838k0即a不整除：83，75，67，59，51，43，35，27，19，11，3中的任意一個(gè)；a2013；如果存在a20a5120分。105，106，107，108，109，110分時(shí)，由抽屜原理，就至少有兩局的得a的次數(shù)103-1108的倍數(shù)。但是，因此a20a1313103133105135106132107137810813487109131101368a13首先我們來(lái)看標(biāo)了8的這個(gè)點(diǎn)它和它挨著的三個(gè)點(diǎn)可以組成3個(gè)和；這三個(gè)和最小值不小于9，且三個(gè)互不相同，我們?cè)O(shè)為abc。我們?cè)倏礃?biāo)了1的這個(gè)點(diǎn)，它和它挨著的三個(gè)點(diǎn)可以組成3個(gè)和；這三個(gè)和最小值不大于9，且三個(gè)互不相同，我們?cè)O(shè)為x,y,z。6abcxyz如果abc9xyz96如果a