2023屆湖南省長沙市寧鄉(xiāng)市高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末綜合測試模擬試題含解析

2022-2023高二下數(shù)學(xué)模擬試卷考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．若點(diǎn)P在拋物線上，點(diǎn)Q（0,3），則|PQ|的最小值是（）A． B． C． D．2．若（為虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)（）A． B． C． D．3．設(shè)函數(shù)f（x），g（x）在[A，B]上均可導(dǎo)，且f′（x）＜g′（x），則當(dāng)A＜x＜B時，有（）A．f（x）＞g（x）B．f（x）+g（A）＜g（x）+f（A）C．f（x）＜g（x）D．f（x）+g（B）＜g（x）+f（B）4．已知函數(shù)，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B．C． D．5．若復(fù)數(shù)（其中為虛數(shù)單位，）為純虛數(shù)，則等于（）A． B． C． D．6．現(xiàn)對某次大型聯(lián)考的1.2萬份成績進(jìn)行分析，該成績服從正態(tài)分布，已知，則成績高于570的學(xué)生人數(shù)約為（）A．1200 B．2400 C．3000 D．15007．已知，，，若>恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是A．或 B．或C． D．8．下列函數(shù)中，滿足“且”的是()A． B．C． D．9．設(shè)隨機(jī)變量，若，則等于（）A． B． C． D．10．（）A．2 B．1 C．0 D．11．設(shè)是曲線上的一個動點(diǎn)，記此曲線在點(diǎn)點(diǎn)處的切線的傾斜角為，則可能是（）A． B． C． D．12．某大學(xué)推薦7名男生和5名女生參加某企業(yè)的暑期兼職，該企業(yè)欲在這12人中隨機(jī)挑選3人從事產(chǎn)品的銷售工作，記抽到的男生人數(shù)為，則（）A．2 B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．由拋物線y＝x2，直線x＝1，x＝3和x軸所圍成的圖形的面積是______．14．已知展開式中只有第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則展開式中常數(shù)項(xiàng)為_______．15．已知某程序框圖如圖所示，則執(zhí)行該程序后輸出的結(jié)果是_____.16．已知函數(shù)y=fx的圖象在點(diǎn)M2,f2處的切線方程是y=x+4，則三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）把編號為1、2、3、4、5的小球，放入編號為1、2、3、4、5的盒子中.(1)恰有兩球與盒子號碼相同；(2)球、盒號碼都不相同，問各有多少種不同的方法18．（12分）設(shè)（I）若的極小值為1，求實(shí)數(shù)的值；（II）當(dāng)時，記，是否存在整數(shù)，使得關(guān)于的不等式有解？若存在求出的最小值，若不存在，說明理由.19．（12分）設(shè)實(shí)部為正數(shù)的復(fù)數(shù)，滿足,且復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在第一、三象限的角平分線上.(1)求復(fù)數(shù)；(2)若復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，求實(shí)數(shù)的值.20．（12分）設(shè).(1)若,且是實(shí)系數(shù)一元二次方程的一根,求和的值；(2)若是純虛數(shù),已知時,取得最大值,求；(3)肖同學(xué)和謝同學(xué)同時獨(dú)立地解答第（2）小題,己知兩人能正確解答該題的概率分別是0.8和0.9,求該題能被正確解答的概率.21．（12分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，極坐標(biāo)系中，弧所在圓的圓心分別為，曲線是弧，曲線是弧，曲線是弧，曲線是弧.（1）分別寫出的極坐標(biāo)方程；（2）直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），點(diǎn)的直角坐標(biāo)為，若直線與曲線有兩個不同交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍，并求出的取值范圍.22．（10分）已知函數(shù).[來源:]（1）當(dāng)時，解不等式；（2）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】試題分析：如圖所示，設(shè)，其中，則，故選B.考點(diǎn)：拋物線.2、B【解析】由可得：，故選B.3、B【解析】試題分析：設(shè)F（x）=f（x）-g（x），∵在[A，B]上f'（x）＜g'（x），F(xiàn)′（x）=f′（x）-g′（x）＜0，∴F（x）在給定的區(qū)間[A，B]上是減函數(shù)．∴當(dāng)x＞A時，F(xiàn)（x）＜F（A），即f（x）-g（x）＜f（A）-g（A）即f（x）+g（A）＜g（x）+f（A）考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性4、A【解析】

代入特殊值對選項(xiàng)進(jìn)行驗(yàn)證排除，由此得出正確選項(xiàng).【詳解】若，符合題意，由此排除C,D兩個選項(xiàng).若，則不符合題意，排除B選項(xiàng).故本小題選A.【點(diǎn)睛】本小題主要考查分段函數(shù)函數(shù)值比較大小，考查特殊值法解選擇題，屬于基礎(chǔ)題.5、D【解析】

先利用復(fù)數(shù)的除法將復(fù)數(shù)表示為一般形式，結(jié)合題中條件求出的值，再利用復(fù)數(shù)求模公式求出.【詳解】，由于復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，所以，，得，，因此，，故選D.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的除法、復(fù)數(shù)的概念以及復(fù)數(shù)求模，解決復(fù)數(shù)問題，要通過復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算將復(fù)數(shù)表示為一般形式，結(jié)合復(fù)數(shù)相關(guān)知識求解，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．6、A【解析】

根據(jù)正態(tài)分布的對稱性，求得的值，進(jìn)而求得高于的學(xué)生人數(shù)的估計(jì)值.【詳解】，則成績高于570的學(xué)生人數(shù)約為.故選A.【點(diǎn)睛】本小題主要考查正態(tài)分布的對稱性，考查計(jì)算正態(tài)分布指定區(qū)間的概率，屬于基礎(chǔ)題.7、C【解析】分析：用“1”的替換先解的最小值，再解的取值范圍。詳解：，所以的解集為，故選C點(diǎn)睛：已知二元一次方程，求二元一次分式結(jié)構(gòu)的最值，用“1”的替換是均值不等式的應(yīng)用，構(gòu)造出的模型，再驗(yàn)證條件。8、C【解析】

根據(jù)題意知，函數(shù)在上是減函數(shù)，根據(jù)選項(xiàng)判斷即可?！驹斀狻扛鶕?jù)題意知，函數(shù)在上是減函數(shù)。選項(xiàng)A，在上是增函數(shù)，不符合；選項(xiàng)B，在上不單調(diào)，不符合；選項(xiàng)C，在上是減函數(shù)，符合；選項(xiàng)D，在上是增函數(shù)，不符合；綜上，故選C。【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)單調(diào)性的定義應(yīng)用以及常見函數(shù)的單調(diào)性的判斷。9、C【解析】由于,則由正態(tài)分布圖形可知圖形關(guān)于對稱，故，則，故選C.10、C【解析】

用微積分基本定理計(jì)算．【詳解】．故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查微積分基本定理求定積分．解題時可求出原函數(shù)，再計(jì)算．11、B【解析】分析：求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，利用基本不等式求出導(dǎo)函數(shù)的值域，結(jié)合直線的斜率是直線傾斜角的正切值求解．詳解：由，得

當(dāng)且僅當(dāng)時上式“=”成立．，即曲線在點(diǎn)點(diǎn)處的切線的斜率小于等于-1．

則，

又，故選：B．點(diǎn)睛：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究過曲線上某點(diǎn)處的切線方程，過曲線上某點(diǎn)處的切線的斜率，就是函數(shù)在該點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值，是中檔題．12、B【解析】

依題意可得，X的可能取值為0,1,2,3，分別求出概率，再由期望公式即可求出．【詳解】依題意可得，X的可能取值為0,1,2,3，則，，，，所以．【點(diǎn)睛】本題主要考查離散型隨機(jī)變量期望的求法．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

由題意，作出圖形，確定定積分，即可求解所圍成的圖形的面積．【詳解】解析：如圖所示，S＝x2dx＝1＝(33－13)＝.【點(diǎn)睛】本題主要考查了定積分的應(yīng)用，其中根據(jù)題設(shè)條件，作出圖形，確定定積分求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，以及數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．14、61【解析】分析：根據(jù)題設(shè)可列出關(guān)于的不等式，求出，代入可求展開式中常數(shù)項(xiàng)為.詳解：的展開式中，只有第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，即最大，，解得，又，則展開式中常數(shù)項(xiàng)為.點(diǎn)睛：在二項(xiàng)展開式中，有時存在一些特殊的項(xiàng)，如常數(shù)項(xiàng)、有理項(xiàng)、系數(shù)最大的項(xiàng)等等，這些特殊項(xiàng)的求解主要是利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式.15、-1【解析】

本題考查了程序框圖中的循環(huán)結(jié)構(gòu)，帶入求值即可．【詳解】當(dāng)．這是一個循環(huán)結(jié)構(gòu)且周期為3，因?yàn)?，所以輸出結(jié)果為-1【點(diǎn)睛】本題主要考查了程序框圖中的循環(huán)結(jié)構(gòu)，帶入求出周期即可．16、7.【解析】試題分析：由函數(shù)y=f(x)的圖象在點(diǎn)M(2,f(2))處的切線方程是y=x+4，則f'(2)=1，且f(2)=2+4=6，所以考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的幾何意義．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)20；(2)44.【解析】

(1)由題意結(jié)合排列組合公式和乘法原理即可求得恰有兩球與盒子號碼相同的種數(shù)；(2)利用全錯位排列的遞推關(guān)系式可得球、盒號碼都不相同的方法種數(shù).【詳解】(1)易知3個球、盒號碼都不相同共有2種情況，則恰有兩球與盒子號碼相同的排列方法種數(shù)為：種；(2)利用全錯位排列的遞推關(guān)系式：可得：，即球、盒號碼都不相同共有44種方法.【點(diǎn)睛】本題主要考查排列組合公式的應(yīng)用，全錯位排列的遞推關(guān)系式等知識，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.18、（I）；（II）【解析】

（I）求出的定義域以及導(dǎo)數(shù)，討論的范圍，求出單調(diào)區(qū)間，再結(jié)合的極小值為1，即可求得實(shí)數(shù)的值；（II）求出的定義域以及導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究最小值的范圍，即可求出?！驹斀狻浚↖）①時，，故在上單增，故無極小值。②時，故在上單減，在上單增，故.故（II）當(dāng)時，由于在上單增，且故唯一存在使得，即故在上單減，在上單增，故又且在上單增，故，即依題意：有解，故，又，故【點(diǎn)睛】本題考查已知極值求參數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)區(qū)間以及最值，綜合性強(qiáng)，屬于中檔題。19、（1）；（2）.【解析】

（1）根據(jù)待定系數(shù)法求解，設(shè)，由題意得到關(guān)于的方程組求解即可．（2）根據(jù)純虛數(shù)的定義求解．【詳解】(1)設(shè)，由，得又復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在第一、三象限的角平分線上，則，即．由，解得或（舍去），∴．（2）由題意得，∵復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，∴解得∴實(shí)數(shù)的值為．【點(diǎn)睛】處理有關(guān)復(fù)數(shù)的基本概念問題，關(guān)鍵是找準(zhǔn)復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部，從定義出發(fā)，把復(fù)數(shù)問題轉(zhuǎn)化成實(shí)數(shù)問題來處理，求解過程中常常涉及到方程思想的運(yùn)用．20、(1)；(2)；(3).【解析】

(1)利用復(fù)數(shù)除法的運(yùn)算法則化簡,再根據(jù)實(shí)系數(shù)一元二次方程的性質(zhì)和根與系數(shù)關(guān)系可以求出和的值；(2)設(shè)出復(fù)數(shù)的代數(shù)形式,利用復(fù)數(shù)的除法法則和是純虛數(shù),可得出復(fù)數(shù)的實(shí)問部和虛部之間的關(guān)系,再由時,取得最大值,這樣可以求出；(3)求出該題不能被正確解答的概率,然后運(yùn)用對立事件概率公式求出該題能被正確解答的概率.【詳解】(1).因?yàn)槭菍?shí)系數(shù)一元二次方程的一根,所以也是實(shí)系數(shù)一元二次方程的一根,因此由根與系數(shù)關(guān)系可知：,所以和的值分別為；(2)設(shè).是純虛數(shù),所以有,它表示以為圓心，2為半徑的圓,的幾何意義是圓上的點(diǎn)到點(diǎn)是距離.在同一條直線上且同向時,取得最大值,因?yàn)?所以所以,因此所以(3)該題不能被正確解答的概率為,因此能被正確解答的概率為：.【點(diǎn)睛】本題考查了實(shí)系數(shù)一元二次方程的根的性質(zhì)和根與系數(shù)關(guān)系,考查了根據(jù)復(fù)數(shù)的類別求軌跡問題,考查了對立事件的計(jì)算公式.21、（1）；；；，或（2），【解析】

（1）設(shè)弧上任意一點(diǎn)根據(jù)ABCD是邊長為2的正方形，AB所在的圓與原點(diǎn)相切，其半徑為1，求得，同理求得其他弧所對應(yīng)的極坐標(biāo)方程.（2）把直線的參數(shù)方程和的極坐標(biāo)方程都化為直角坐標(biāo)方程，利用數(shù)形結(jié)合求解，把直線的參數(shù)方程化為直線的標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)方程，直角坐標(biāo)方程聯(lián)立，再利用參數(shù)的幾何意義求解.【詳解】（1）如圖所示：設(shè)弧上任意一點(diǎn)因?yàn)锳BCD是邊長為2的正方形，AB所在的圓與原點(diǎn)相切，其半徑為1，所以所以的極坐標(biāo)方程為；同理可得：的極坐標(biāo)方程為；的極坐標(biāo)方程為；的極坐標(biāo)方程為，或（2）因?yàn)橹本€的參數(shù)方程為所以消去t得，過定點(diǎn)，直角坐標(biāo)方程為如圖所示：因?yàn)橹本€與曲線有兩個不同交點(diǎn)，所以因?yàn)橹本€的標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)方程為，代入直角坐標(biāo)方程得令