傅里葉變換經(jīng)典

優(yōu)選傅里葉變換經(jīng)典ppt目前一頁\總數(shù)五十六頁\編于一點2§1Fourier積分公式1.1Recall:在工程計算中,無論是電學(xué)還是力學(xué),經(jīng)常要和隨時間變化的周期函數(shù)fT(t)打交道.例如:具有性質(zhì)fT(t+T)=fT(t),

其中T稱作周期,而1/T代表單位時間振動的次數(shù),單位時間通常取秒,即每秒重復(fù)多少次,單位是赫茲(Herz,或Hz).t目前二頁\總數(shù)五十六頁\編于一點3

最常用的一種周期函數(shù)是三角函數(shù)。人們發(fā)現(xiàn),所有的工程中使用的周期函數(shù)都可以用一系列的三角函數(shù)的線性組合來逼近.——

Fourier級數(shù)方波4個正弦波的逼近100個正弦波的逼近目前三頁\總數(shù)五十六頁\編于一點4

研究周期函數(shù)實際上只須研究其中的一個周期內(nèi)的情況即可,通常研究在閉區(qū)間[-T/2,T/2]內(nèi)函數(shù)變化的情況.是以T為周期的函數(shù)，在上滿足Dirichlet條件：連續(xù)或只有有限個第一類間斷點；只有有限個極值點；可展開成Fourier級數(shù)，且在連續(xù)點t處成立：目前四頁\總數(shù)五十六頁\編于一點5引進(jìn)復(fù)數(shù)形式：目前五頁\總數(shù)五十六頁\編于一點6級數(shù)化為：目前六頁\總數(shù)五十六頁\編于一點7合并為：級數(shù)化為：若以描述某種信號，則可以刻畫的特征頻率。目前七頁\總數(shù)五十六頁\編于一點8

對任何一個非周期函數(shù)f

(t)都可以看成是由某個周期函數(shù)fT(t)當(dāng)T時轉(zhuǎn)化而來的.

作周期為T的函數(shù)fT(t),

使其在[-T/2,T/2]之內(nèi)等于f

(t),

在[-T/2,T/2]之外按周期T延拓到整個數(shù)軸上,則T越大,fT(t)與f

(t)相等的范圍也越大,這就說明當(dāng)T時,周期函數(shù)fT(t)便可轉(zhuǎn)化為f

(t),

即有

目前八頁\總數(shù)五十六頁\編于一點9例矩形脈沖函數(shù)為如圖所示:1-1Otf

(t)1目前九頁\總數(shù)五十六頁\編于一點101-13T=4f4(t)t

現(xiàn)以f(t)為基礎(chǔ)構(gòu)造一周期為T的周期函數(shù)fT(t),

令T=4,則

目前十頁\總數(shù)五十六頁\編于一點11則目前十一頁\總數(shù)五十六頁\編于一點12sinc(x)xsinc函數(shù)介紹目前十二頁\總數(shù)五十六頁\編于一點13前面計算出w可將以豎線標(biāo)在頻率圖上目前十三頁\總數(shù)五十六頁\編于一點141-17T=8f8(t)t

現(xiàn)在將周期擴(kuò)大一倍,令T=8,以f

(t)為基礎(chǔ)構(gòu)造一周期為8的周期函數(shù)f8(t)目前十四頁\總數(shù)五十六頁\編于一點15則目前十五頁\總數(shù)五十六頁\編于一點16則在T=8時,w再將以豎線標(biāo)在頻率圖上目前十六頁\總數(shù)五十六頁\編于一點17如果再將周期增加一倍,令T=16,可計算出w再將以豎線標(biāo)在頻率圖上目前十七頁\總數(shù)五十六頁\編于一點18一般地,對于周期T目前十八頁\總數(shù)五十六頁\編于一點19

當(dāng)周期T越來越大時,各個頻率的正弦波的頻率間隔越來越小,而它們的強(qiáng)度在各個頻率的輪廓則總是sinc函數(shù)的形狀,因此,如果將方波函數(shù)f

(t)看作是周期無窮大的周期函數(shù),則它也可以看作是由無窮多個無窮小的正弦波構(gòu)成,將那個頻率上的輪廓即sinc函數(shù)的形狀看作是方波函數(shù)f

(t)的各個頻率成份上的分布,稱作方波函數(shù)f

(t)的傅里葉變換.目前十九頁\總數(shù)五十六頁\編于一點201.2

Fourier積分公式與Fourier積分存在定理目前二十頁\總數(shù)五十六頁\編于一點21{O

w1

w2

w3

wn-1wn{w目前二十一頁\總數(shù)五十六頁\編于一點22目前二十二頁\總數(shù)五十六頁\編于一點23目前二十三頁\總數(shù)五十六頁\編于一點24付氏積分公式也可以轉(zhuǎn)化為三角形式目前二十四頁\總數(shù)五十六頁\編于一點25又考慮到積分目前二十五頁\總數(shù)五十六頁\編于一點26§2Fourier變換2.1Fourier變換的定義目前二十六頁\總數(shù)五十六頁\編于一點27

Fourier積分存在定理的條件是Fourier變換存在的一種充分條件.目前二十七頁\總數(shù)五十六頁\編于一點28

在頻譜分析中,傅氏變換F()又稱為f(t)的頻譜函數(shù),而它的模|F()|稱為f

(t)的振幅頻譜(亦簡稱為頻譜).由于是連續(xù)變化的,我們稱之為連續(xù)頻譜,對一個時間函數(shù)f(t)作傅氏變換,就是求這個時間函數(shù)f(t)的頻譜.目前二十八頁\總數(shù)五十六頁\編于一點29例1求矩形脈沖函數(shù)的付氏變換及其積分表達(dá)式。目前二十九頁\總數(shù)五十六頁\編于一點30目前三十頁\總數(shù)五十六頁\編于一點31tf

(t)目前三十一頁\總數(shù)五十六頁\編于一點322.2

單位脈沖函數(shù)及其傅氏變換

在物理和工程技術(shù)中,常常會碰到單位脈沖函數(shù).因為有許多物理現(xiàn)象具有脈沖性質(zhì),如在電學(xué)中,要研究線性電路受具有脈沖性質(zhì)的電勢作用后產(chǎn)生的電流;在力學(xué)中,要研究機(jī)械系統(tǒng)受沖擊力作用后的運動情況等.研究此類問題就會產(chǎn)生我們要介紹的單位脈沖函數(shù).目前三十二頁\總數(shù)五十六頁\編于一點33

在原來電流為零的電路中,某一瞬時(設(shè)為t=0)進(jìn)入一單位電量的脈沖,現(xiàn)在要確定電路上的電流i(t).以q(t)表示上述電路中的電荷函數(shù),則

當(dāng)t0時,i(t)=0,由于q(t)是不連續(xù)的,從而在普通導(dǎo)數(shù)意義下,q(t)在這一點是不能求導(dǎo)數(shù)的.目前三十三頁\總數(shù)五十六頁\編于一點34如果我們形式地計算這個導(dǎo)數(shù),則得

這表明在通常意義下的函數(shù)類中找不到一個函數(shù)能夠表示這樣的電流強(qiáng)度.為了確定這樣的電流強(qiáng)度,引進(jìn)一個稱為狄拉克(Dirac)函數(shù),簡單記成d-函數(shù):有了這種函數(shù),對于許多集中于一點或一瞬時的量,例如點電荷,點熱源,集中于一點的質(zhì)量及脈沖技術(shù)中的非常窄的脈沖等,就能夠象處理連續(xù)分布的量那樣,以統(tǒng)一的方式加以解決.目前三十四頁\總數(shù)五十六頁\編于一點35de(t)1/eeO（在極限與積分可交換意義下）工程上將d-函數(shù)稱為單位脈沖函數(shù)。目前三十五頁\總數(shù)五十六頁\編于一點36

可將d-函數(shù)用一個長度等于1的有向線段表示,這個線段的長度表示d-函數(shù)的積分值,稱為d-函數(shù)的強(qiáng)度.tOd(t)1d-函數(shù)有性質(zhì)：可見d-函數(shù)和任何連續(xù)函數(shù)的乘積在實軸上的積分都有明確意義。目前三十六頁\總數(shù)五十六頁\編于一點37d-函數(shù)的傅氏變換為:于是d(t)與常數(shù)1構(gòu)成了一傅氏變換對.證法2：若F(w)=2pd

(w),

由傅氏逆變換可得例1證明：1和2pd(w)構(gòu)成傅氏變換對.證法1：目前三十七頁\總數(shù)五十六頁\編于一點38由上面兩個函數(shù)的變換可得目前三十八頁\總數(shù)五十六頁\編于一點39例如常數(shù),符號函數(shù),單位階躍函數(shù)以及正,余弦函數(shù)等,然而它們的廣義傅氏變換也是存在的,利用單位脈沖函數(shù)及其傅氏變換就可以求出它們的傅氏變換.所謂廣義是相對于古典意義而言的,在廣義意義下,同樣可以說,象原函數(shù)f(t)和象函數(shù)F(w)構(gòu)成一個傅氏變換對.

在物理學(xué)和工程技術(shù)中,有許多重要函數(shù)不滿足傅氏積分定理中的絕對可積條件,即不滿足條件目前三十九頁\總數(shù)五十六頁\編于一點40例4

求正弦函數(shù)f(t)=sinw0t的傅氏變換。pp-w0w0Ow|F(w)|t目前四十頁\總數(shù)五十六頁\編于一點41例

5證明：證：目前四十一頁\總數(shù)五十六頁\編于一點42目前四十二頁\總數(shù)五十六頁\編于一點43§3Fourier變換與逆變換的性質(zhì)

這一講介紹傅氏變換的幾個重要性質(zhì),為了敘述方便起見,假定在這些性質(zhì)中,凡是需要求傅氏變換的函數(shù)都滿足傅氏積分定理中的條件,在證明這些性質(zhì)時,不再重述這些條件.1.線性性質(zhì):目前四十三頁\總數(shù)五十六頁\編于一點442.位移性質(zhì):證明：為實常數(shù)，則目前四十四頁\總數(shù)五十六頁\編于一點453.相似性質(zhì)：證明：目前四十五頁\總數(shù)五十六頁\編于一點46例1計算。

方法1：（先用相似性質(zhì)，再用平移性質(zhì)）目前四十六頁\總數(shù)五十六頁\編于一點47方法2：（先用平移性質(zhì)，再用相似性質(zhì)）目前四十七頁\總數(shù)五十六頁\編于一點484.微分性質(zhì)：

像原函數(shù)的微分性質(zhì)：則目前四十八頁\總數(shù)五十六頁\編于一點495.積分性質(zhì)：

6.帕塞瓦爾(Parserval)等式目前四十九頁\總數(shù)五十六頁\編于一點50

實際上,只要記住下面五個傅里葉變換,則所有的傅里葉變換都無須用公式直接計算而可由傅里葉變換的性質(zhì)導(dǎo)出.目前五十頁\總數(shù)五十六頁\編于一點51例2

利用傅氏變換的性質(zhì)求d(t-t0),性質(zhì)性質(zhì)目前五十一頁\總數(shù)五十六頁\編于一點52例3

若