《指數(shù)》教案、導(dǎo)學(xué)案與同步練習(xí)

《第四章指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)》

《4.1指數(shù)》教案

4.1.1n次方根與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪

【教材分析】

學(xué)生在初中學(xué)習(xí)了數(shù)的開平方、開立方以及二次根式的概念，又學(xué)習(xí)了正整

數(shù)指數(shù)冪、零指數(shù)冪、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的概念，以及整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算法則。有了

這些知識(shí)作儲(chǔ)備，教科書通過實(shí)際問題引入分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，說明了擴(kuò)張指數(shù)范圍的

必要性。

【教學(xué)目標(biāo)與核心素養(yǎng)】

課程目標(biāo)

1.理解n次方根、根式的概念與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的概念．

2.掌握分?jǐn)?shù)指數(shù)冪和根式之間的互化、化簡(jiǎn)、求值；

3.掌握分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)。

數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)

1.數(shù)學(xué)抽象：n次方根、根式的概念與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的概念；

2.邏輯推理：分?jǐn)?shù)指數(shù)冪和根式之間的互化；

3.數(shù)學(xué)運(yùn)算：利用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)化簡(jiǎn)求值；

4.數(shù)學(xué)建模：通過與初中所學(xué)的知識(shí)進(jìn)行類比，得出分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的概念，和

指數(shù)冪的性質(zhì)。

【教學(xué)重難點(diǎn)】

重點(diǎn)：（1）根式概念的理解；

（2）分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的理解；

（3）掌握并運(yùn)用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì).

難點(diǎn)：根式、分?jǐn)?shù)指數(shù)冪概念的理解．

[教學(xué)方法]：以學(xué)生為主體，采用類比發(fā)現(xiàn)，誘思探究式教學(xué)，精講多練。

【教學(xué)過程】

一、情景導(dǎo)入

111111

,()2,()3,,,,

我們已經(jīng)知道222…是正整數(shù)指數(shù)冪，它們的值分別為248….那

160001100001100000

()5730,()5730,()5730

么，222的意義是什么呢？這正是我們將要學(xué)習(xí)的知識(shí).下面，我

們一起將指數(shù)的取值范圍從整數(shù)推廣到實(shí)數(shù).為此，需要先學(xué)習(xí)根式的知識(shí).

要求：讓學(xué)生自由發(fā)言，教師不做判斷。而是引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步觀察.研探.

二、預(yù)習(xí)課本，引入新課

閱讀課本104-106頁(yè)，思考并完成以下問題

(1)n次方根是怎樣定義的？

(2)根式的定義是什么？它有哪些性質(zhì)？

(3)有理數(shù)指數(shù)冪的含義是什么？怎樣理解分?jǐn)?shù)指數(shù)冪？

(4)根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的互化遵循哪些規(guī)律？

(5)如何利用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行化簡(jiǎn)？

要求：學(xué)生獨(dú)立完成，以小組為單位，組內(nèi)可商量，最終選出代表回答問題。

三、新知探究

1．n次方根

定義一般地，如果xn＝a，那么X叫做a的n次方根，其中n＞1，且n∈N*

a＞0x＞0x僅有一個(gè)值，記

n是奇數(shù)

a＜0x＜0為na

個(gè)數(shù)x有兩個(gè)值，且互為相反數(shù)，

a＞0

n是偶數(shù)記為na

a＜0x不存在

2．根式

(1)定義：式子na叫做根式，這里n叫做根指數(shù)，a叫做被開方數(shù)．

(2)性質(zhì)：(n＞1，且n∈N*)

nna,n為奇數(shù)

①(a)n＝a.②an＝

a,n為偶數(shù).

3．分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義

正分?jǐn)?shù)m

nn

指數(shù)冪規(guī)定：a＝am(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)

1

m

1

負(fù)分?jǐn)?shù)規(guī)定：an＝m＝

分?jǐn)?shù)指ann

指數(shù)冪am

數(shù)冪

(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)

0的分?jǐn)?shù)

0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于0,0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪沒有意義

指數(shù)冪

4．有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)

(1)aras＝ar＋s(a＞0，r，s∈Q)．

(2)(ar)s＝ars(a＞0，r，s∈Q)．

(3)(ab)r＝arbr(a＞0，b＞0，r∈Q)．

四、典例分析、舉一反三

題型一根式的化簡(jiǎn)(求值)

例1求下列各式的值

(1)3(8)3(2)(10)2(3)4(3)4(4)(ab)2

【答案】

解題技巧：（根式求值）

（1）化簡(jiǎn)n√an時(shí),首先明確根指數(shù)n是奇數(shù)還是偶數(shù),然后依據(jù)根式的性質(zhì)

進(jìn)行化簡(jiǎn);化簡(jiǎn)(n√a)n時(shí),

關(guān)鍵是明確n√a是否有意義,只要n√a有意義,則(n√a)n=a.

(2)在對(duì)根式進(jìn)行化簡(jiǎn)時(shí),若被開方數(shù)中含有字母參數(shù),則要注意字母參數(shù)的

取值范圍,即確定中a的正負(fù),再結(jié)合n的奇偶性給出正確結(jié)果.

跟蹤訓(xùn)練一

1.化簡(jiǎn)

n61

(1)x－πn(x＜π，n∈N*)；(2)4a2－4a＋1a≤.

2

【答案】見解析

【解析】(1)∵x＜π，∴x－π＜0.

n

當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，x－πn＝|x－π|＝π－x；

n

當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，x－πn＝x－π.

nπ－x，n為偶數(shù)，n∈N*，

綜上可知，x－πn＝

x－π，n為奇數(shù)，n∈N*.

1

(2)∵a≤，∴1－2a≥0，

2

6663

∴4a2－4a＋1＝2a－12＝1－2a2＝1－2a.

題型二分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的簡(jiǎn)單計(jì)算問題

例2求值

【答案】見解析

33

1624()227

【解析】()4()4()3

81338

2

223

83(23)323224

解題技巧：(分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運(yùn)算技巧)

1.對(duì)于既含有分?jǐn)?shù)指數(shù)冪,又含有根式的式子,一般把根式統(tǒng)一化成分?jǐn)?shù)指

數(shù)冪的形式,以便于計(jì)算.如果根式中的根指數(shù)不同,也應(yīng)化成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形

式.

2.對(duì)于計(jì)算題的結(jié)果,不強(qiáng)求統(tǒng)一用什么形式來表示,但結(jié)果不能同時(shí)含有

根號(hào)和分?jǐn)?shù)指數(shù),也不能既含有分母又含有負(fù)指數(shù).

跟蹤訓(xùn)練二

1.計(jì)算

23-

-2--11

1253-81453

(1)();(2)0.0083;(3)();(4)(2a+1)0;(5)[-()].

27240165

【答案】見解析

22

-3--2

【解析】(1)(125)3=(5)3=52=3=9.

27333-25225

221-2

-3--22

(2)0.0083=(0.2)3=0.2=()=5=25.

5

33

-4--3

(3)(81)4=(3)4=33=7=343.

2401747-33327

1,??≠-1,

(4)(2a+1)0={2

無意義,??=-1.

2

-1-1-1-1

(5)[5-(3)]=(5-5)=(-5)=-6.

656365

題型三根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的互化

例3用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式表或下列各式（a＞0）

【答案】見解析

【解析】

228

2

a23a2a2a3a3a3

14412

a3aaa3a3(a3)2a3

解題技巧：（根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的互化）

（1）根指數(shù)化為分?jǐn)?shù)指數(shù)的分母，被開方數(shù)(式)的指數(shù)化為分?jǐn)?shù)指數(shù)的分

子．

（2）在具體計(jì)算時(shí)，通常會(huì)把根式轉(zhuǎn)化成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式，然后利用有

理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)解題．

跟蹤訓(xùn)練三

1．下列根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的互化正確的是()

161

A．－x＝(－x)(x＞0)B.y2＝y(tǒng)(y＜0)

23

4

3113

C．x－＝3(x＞0)D．x－＝－x(x≠0)

4x3

【答案】C

1

11

66

【解析】－x＝－x2(x＞0)；y2＝[(y)2]＝－y3(y＜0)；

43

11111

3-1

x－＝(x－3)4＝3(x＞0)；x3＝—3＝(x≠0)．

4xxx

題型四利用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)化簡(jiǎn)求值

4

10-1

-733

例4計(jì)算:0.0643?(-)+[(-2)]+16-0.75+|-0.01|2.

8

【答案】143

80

-1-3111143

【解析】原式=(0.43)3-1+(-2)-4+(24)4+(0.12)2=0.4-1-1+++0.1=.

16880

解題技巧：（利用指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)化簡(jiǎn)求值的方法）

(1)進(jìn)行指數(shù)冪的運(yùn)算時(shí)，一般化負(fù)指數(shù)為正指數(shù)，化根式為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，

化小數(shù)為分?jǐn)?shù)，同時(shí)兼顧運(yùn)算的順序．

(2)在明確根指數(shù)的奇偶(或具體次數(shù))時(shí)，若能明確被開方數(shù)的符號(hào)，則可

以對(duì)根式進(jìn)行化簡(jiǎn)運(yùn)算．

(3)對(duì)于含有字母的化簡(jiǎn)求值的結(jié)果，一般用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式表示．

跟蹤訓(xùn)練四

1

301-

1.計(jì)算:(2)+2-2×(2)2-(0.01)0.5;

54

37

√√333√

2.化簡(jiǎn):??2√??-3÷√??-8·√??15÷√??-3·√??-1(a>0).

【答案】見解析

11

【解析】(1)原式=1+1×(4)2?(1)2

49100

=1+1?1=16.

61015

33

√7-3√-815√-3-1

(2)原式=a2·a2÷a3·a3÷a2·a2

1

7272

3√32-

=√a2÷a3÷√a-2=a3÷(a3)÷a3

2722721

--+6

=a3÷a6÷a3=a363=a6=√a.

五、課堂小結(jié)

讓學(xué)生總結(jié)本節(jié)課所學(xué)主要知識(shí)及解題技巧

六、板書設(shè)計(jì)

4.1.1n次方根與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪

1.n次方根與根式定義例1例2

2.分?jǐn)?shù)指數(shù)冪

七、作業(yè)

課本109頁(yè)習(xí)題4.1

【教學(xué)反思】

本節(jié)課主要采用講練結(jié)合與分組探究的教學(xué)方法，堅(jiān)持“以學(xué)生為主體，以

教師為主導(dǎo)”的原則，通過類比的思想使學(xué)生逐步掌握根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪性質(zhì)及

其應(yīng)用，為后面學(xué)習(xí)無理數(shù)指數(shù)冪性質(zhì)及其應(yīng)用打下理論基礎(chǔ).

《4.1.1n次方根與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪》學(xué)案

【學(xué)習(xí)目標(biāo)】

知識(shí)目標(biāo)

1.理解n次方根、根式的概念與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的概念．

2.掌握分?jǐn)?shù)指數(shù)冪和根式之間的互化、化簡(jiǎn)、求值；

3.掌握分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)。

核心素養(yǎng)

1.數(shù)學(xué)抽象：n次方根、根式的概念與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的概念；

2.邏輯推理：分?jǐn)?shù)指數(shù)冪和根式之間的互化；

3.數(shù)學(xué)運(yùn)算：利用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)化簡(jiǎn)求值；

4.數(shù)學(xué)建模：通過與初中所學(xué)的知識(shí)進(jìn)行類比，得出分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的概念，和

指數(shù)冪的性質(zhì)。

【重點(diǎn)與難點(diǎn)】

重點(diǎn)：（1）根式概念的理解；

（4）分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的理解；

（5）掌握并運(yùn)用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì).

難點(diǎn)：根式、分?jǐn)?shù)指數(shù)冪概念的理解．

【學(xué)習(xí)過程】

一、預(yù)習(xí)導(dǎo)入

閱讀課本104-106頁(yè)，填寫。

1．n次方根

定

一般地，如果xn＝a，那么X叫做a的n次方根，其中n＞1，且n∈N*

義

a＞0x＞0x僅有一個(gè)值，記

n是奇數(shù)

a＜0x＜0為

個(gè)

x有兩個(gè)值，且互為相反數(shù)，

數(shù)a＞0

n是偶數(shù)記為

a＜0x不存在

2．根式

(1)定義：式子叫做根式，這里n叫做，a叫做．

(2)性質(zhì)：(n＞1，且n∈N*)

nn，n為奇數(shù)，

①(a)n＝.②an＝

，n為偶數(shù).

3．分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義

正分?jǐn)?shù)m

nn

指數(shù)冪規(guī)定：a＝am(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)

m1

n1

分?jǐn)?shù)負(fù)分?jǐn)?shù)規(guī)定：a＝m＝

ann

指指數(shù)冪am

數(shù)冪(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)

0的分?jǐn)?shù)

0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于,0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪

指數(shù)冪

4．有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)

(1)aras＝ar＋s(a＞0，r，s∈Q)．

(2)(ar)s＝(a＞0，r，s∈Q)．

(3)(ab)r＝(a＞0，b＞0，r∈Q)．

【小試牛刀】

1．判斷(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)

(1)任意實(shí)數(shù)的奇次方根只有一個(gè)．()

(2)正數(shù)的偶次方根有兩個(gè)且互為相反數(shù)．()

(3)π－42＝4－π.()

m

nm

aa

(4)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪可以理解為n個(gè)相乘．()

(5)0的任何指數(shù)冪都等于0.()

5a-2

2.可化為()

2525

-

5252

A．a(chǎn)B．a(chǎn)C．a(chǎn)D．－a

3

2

3．化簡(jiǎn)25的結(jié)果是()

A．5B．15C．25D．125

1

12

4．計(jì)算：022×2＝________.

4

【自主探究】

題型一根式的化簡(jiǎn)(求值)

例1求下列各式的值

(1)3(8)3(2)(10)2(3)4(3)4(4)(ab)2

跟蹤訓(xùn)練一

1.化簡(jiǎn)

n61

(1)x－πn(x＜π，n∈N*)；(2)4a2－4a＋1a≤.

2

題型二分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的簡(jiǎn)單計(jì)算問題

例2求值

跟蹤訓(xùn)練二

1.計(jì)算

23-

-2--11

1253-81453

(1)();(2)0.0083;(3)();(4)(2a+1)0;(5)[-()].

27240165

題型三根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的互化

例3用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式表或下列各式（a＞0）

跟蹤訓(xùn)練三

1．下列根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的互化正確的是()

1

261

A．－x＝(－x)(x＞0)B.y2＝y(tǒng)(y＜0)

3

4

3113

C．x－＝3(x＞0)D．x－＝－x(x≠0)

4x3

題型四利用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)化簡(jiǎn)求值

4

10-1

-733

例4計(jì)算:0.0643?(-)+[(-2)]+16-0.75+|-0.01|2.

8

跟蹤訓(xùn)練四

1

301-

1.計(jì)算:(2)+2-2×(2)2-(0.01)0.5;

54

37

√√333√

2.化簡(jiǎn):??2√??-3÷√??-8·√??15÷√??-3·√??-1(a>0).

【課堂檢測(cè)】

1

1．計(jì)算(9)2=（）

4

A.81B.3C.9D.2

16283

2．若xy，則x22xyy2的值為()

A．xyB．yxC．yxD．xy

3．下列各式正確的是

A．4a4aB．6(2)232

C．a(chǎn)01D．10(21)521

4．已知a0，則11化為（）

a3a2a

A．7B．5C．5D．1

a12a12a6a3

5．計(jì)算4163______．

5

5

6．計(jì)算：化簡(jiǎn)12的結(jié)果是____________。

a23a5a6

a

1

30?21?0.5

7．(2)+2?(2)2?(0.01)

54

12?2

8．計(jì)算：(21)2?(?9.6)0?(8)3+(3)．

4272

答案

小試牛刀

1．（1）√（2）√（3）√（4）×（5）×

2．A

3．D

11

4.

8

自主探究

例1【答案】

跟蹤訓(xùn)練一

【答案】見解析

【解析】(1)∵x＜π，∴x－π＜0.

n

當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，x－πn＝|x－π|＝π－x；

n

當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，x－πn＝x－π.

nπ－x，n為偶數(shù)，n∈N*，

綜上可知，x－πn＝

x－π，n為奇數(shù)，n∈N*.

1

(2)∵a≤，∴1－2a≥0，

2

6663

∴4a2－4a＋1＝2a－12＝1－2a2＝1－2a.

例2求值

跟蹤訓(xùn)練二

1.【答案】見解析

22

-3--2

【解析】(1)(125)3=(5)3=52=3=9.

27333-25225

221-2

-3--22

(2)0.0083=(0.2)3=0.2=()=5=25.

5

33

-4--3

(3)(81)4=(3)4=33=7=343.

2401747-33327

1,??≠-1,

(4)(2a+1)0={2

無意義,??=-1.

2

-1-1-1-1

(5)[5-(3)]=(5-5)=(-5)=-6.

656365

例3【答案】見解析

【解析】

228

2

a23a2a2a3a3a3

14412

a3aaa3a3(a3)2a3

跟蹤訓(xùn)練三

1．【答案】C

1

11

6

263

【解析】－x＝－x(x＞0)；y2＝[(y)2]＝－y(y＜0)；

11

413

341-1—31

x－＝(x－3)＝3(x＞0)；x3＝＝(x≠0)．

4xxx

例4【答案】143

80

-1-3111143

【解析】原式=(0.43)3-1+(-2)-4+(24)4+(0.12)2=0.4-1-1+++0.1=.

16880

跟蹤訓(xùn)練四

16

【答案】1.2.6a.

15

11

【解析】1.原式=1+1×(4)2?(1)2

49100

=1+1?1=16.

61015

33

√7-3√-815√-3-1

2.原式=a2·a2÷a3·a3÷a2·a2

1

7272

3√32-

=√a2÷a3÷√a-2=a3÷(a3)÷a3

2722721

--+6

=a3÷a6÷a3=a363=a6=√a.

當(dāng)堂檢測(cè)

1-4．BBDB

5．8

6．a(chǎn)2

7．【答案】16

15

30?21?1051112

(2)+2?(2)2?(0.01).=1+×?√0.01=1+×?

【解析】54243

2√9

4

1=16

1015

8.【答案】1

2

1212

?23×2

【解析】(21)2?(?9.6)0?(8)3+(3)=(9)2?1?(2)3+(2)=3?1=

42724332

1．

2

《4.1.2無理數(shù)指數(shù)冪及其運(yùn)算性質(zhì)》教案

【教材分析】

學(xué)生在初中學(xué)習(xí)了數(shù)的開平方、開立方以及二次根式的概念，又學(xué)習(xí)了分?jǐn)?shù)

指數(shù)冪的概念，以及整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算法則.有了這些知識(shí)作儲(chǔ)備，教科書通過

實(shí)際問題引入無理數(shù)指數(shù)冪，說明了擴(kuò)張指數(shù)范圍的必要性.

【教學(xué)目標(biāo)與核心素養(yǎng)】

課程目標(biāo)

1.理解無理數(shù)指數(shù)冪的概念;

2.掌握實(shí)數(shù)指數(shù)冪和根式之間的互化、化簡(jiǎn)、求值；

3.掌握實(shí)數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)；

4.能利用已知條件求值.

數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)

1.數(shù)學(xué)抽象：無理數(shù)指數(shù)冪的概念；

2.邏輯推理：實(shí)數(shù)指數(shù)冪和根式之間的互化；

3.數(shù)學(xué)運(yùn)算：利用實(shí)數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)化簡(jiǎn)求值；

4.數(shù)據(jù)分析：分析已知條件與所求式子之間的聯(lián)系；

5.數(shù)學(xué)建模：通過與有理數(shù)指數(shù)冪性質(zhì)進(jìn)行類比，得出無理數(shù)指數(shù)冪的概念

和性質(zhì)。

【教學(xué)重難點(diǎn)】

重點(diǎn)：①掌握并運(yùn)用實(shí)數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)；②能利用已知條件求值．

難點(diǎn)：能利用已知條件求值．

【教學(xué)方法】：以學(xué)生為主體，采用類比發(fā)現(xiàn)，誘思探究式教學(xué)，精講多練。

【教學(xué)過程】

一、情景導(dǎo)入

規(guī)定了分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義后,指數(shù)的概念就從整數(shù)指數(shù)推廣到了有理數(shù)指數(shù),

那么整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)對(duì)于無理數(shù)指數(shù)冪是否還適用?

要求：讓學(xué)生自由發(fā)言，教師不做判斷。而是引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步觀察.研探.

二、預(yù)習(xí)課本，引入新課

閱讀課本107-108頁(yè)，思考并完成以下問題

(1)無理數(shù)指數(shù)冪的含義是什么？

(2)如何利用實(shí)數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行化簡(jiǎn)？

要求：學(xué)生獨(dú)立完成，以小組為單位，組內(nèi)可商量，最終選出代表回答問題。

三、新知探究

1．無理數(shù)指數(shù)冪

一般地，無理數(shù)指數(shù)冪aα(a＞0，α是無理數(shù))是一個(gè)確定的實(shí)數(shù)．有理數(shù)

指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)同樣適用于無理數(shù)指數(shù)冪．

2．實(shí)數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)

(1)aras＝ar＋s(a＞0，r，s∈R)．

(2)(ar)s＝ars(a＞0，r，s∈R．

(3)(ab)r＝arbr(a＞0，b＞0，r∈R)．

四、典例分析、舉一反三

題型一指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)化簡(jiǎn)求值

例1化簡(jiǎn)求值

11132

(1)0.0273(6)22564(22)3310

4

(2)(a－2b－3)·(－4a－1b)÷(12a－4b－2c)

(3)23a46ab3b3.

7a314

【答案】(1)64(2)－(3)a6b3

153c2

517

【解析】(1)原式＝0.3－＋43＋2－＋1＝64.

2315

(2)原式＝－4a－2－1b－3＋1÷(12a－4b－2c)

1

＝－a－3－(－4)b－2－(－2)c－1

3

1a

＝－ac－1＝－.

33c

1113314

(3)原式＝2a3(4a6b6)(3b2)a6b3.

2

解題技巧：（利用指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)化簡(jiǎn)求值的方法）

(1)進(jìn)行指數(shù)冪的運(yùn)算時(shí)，一般化負(fù)指數(shù)為正指數(shù)，化根式為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，

化小數(shù)為分?jǐn)?shù)，同時(shí)兼顧運(yùn)算的順序．

(2)在明確根指數(shù)的奇偶(或具體次數(shù))時(shí)，若能明確被開方數(shù)的符號(hào)，則可

以對(duì)根式進(jìn)行化簡(jiǎn)運(yùn)算．

(3)對(duì)于含有字母的化簡(jiǎn)求值的結(jié)果，一般用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式表示．

跟蹤訓(xùn)練一

1、化簡(jiǎn)求值

1

16

6024

（1）3232018443

49

39

√√3??3

（2）??2√??-3÷√-7·√??13(a>0).

【答案】（1）99（2）1

【解析】（1）原式=

1

162

(323)6(2018)44(3)410817399

49

19131711393713

×??×(-)×(-)??×-+-0

(2)原式=[??32·32]÷[??23·23]=??6666=a=1.

題型二條件求值

1-1

例2已知a2+a2=√5(a>0),求下列各式的值:

(1)a+a-1;(2)a2+a-2;(3)a2-a-2.

【答案】（1）3（2）7（3）35

11

-a+a-1-1

【解析】(1)將a2+a2=√5的兩邊平方,得+2=5,即a+a=3.

(2)由a+a-1=3,兩邊平方,得a2+a-2+2=9,即a2+a-2=7.

(3)設(shè)y=a2-a-2,兩邊平方,得y2=a4+a-4-2=(a2+a-2)2-4=72-4=45.

所以y=±3√5,即a2-a-2=±3√5.

解題技巧：(已知某些代數(shù)式的值,求另外代數(shù)式的值)

已知某些代數(shù)式的值,求另外代數(shù)式的值是代數(shù)式求值中的常見題型.解答

這類題目時(shí),可先分析條件式與所求式的區(qū)別與聯(lián)系,有時(shí)通過化簡(jiǎn)變形把已知

條件整體代入,有時(shí)需要根據(jù)已知條件求出某些字母參數(shù)的值再代入.另外還要

注意隱含條件的挖掘與應(yīng)用.

跟蹤訓(xùn)練二

11

a2b2

1.已知a，b分別為x2－12x＋9＝0的兩根，且a＜b，求．

11

a2b2

3

【答案】－

3

11111

a2b2(a2b2)2(ab)2(ab)2

【解析】=①

111111ab

a2b2(a2b2)(a2b2)

∵a＋b＝12，ab＝9，②

∴(a－b)2＝(a＋b)2－4ab＝122－4×9＝108.

∵a＜b，∴a－b＝－63.③

111

a2b2122923

將②③代入①，得＝－.

11633

a2b2

五、課堂小結(jié)

讓學(xué)生總結(jié)本節(jié)課所學(xué)主要知識(shí)及解題技巧

六、板書設(shè)計(jì)

4.1.2無理數(shù)指數(shù)冪及其運(yùn)算性質(zhì)

1.無理數(shù)指數(shù)冪及其運(yùn)算性質(zhì)例1例2

2.條件求值

七、作業(yè)

課本109頁(yè)習(xí)題4.1

【教學(xué)反思】

本節(jié)課主要采用講練結(jié)合與分組探究的教學(xué)方法，堅(jiān)持“以學(xué)生為主體，以

教師為主導(dǎo)”的原則，通過類比的思想使學(xué)生逐步掌握無理數(shù)指數(shù)冪性質(zhì)及其應(yīng)

用.

《4.1.2無理數(shù)指數(shù)冪及其運(yùn)算性質(zhì)》導(dǎo)學(xué)案

【學(xué)習(xí)目標(biāo)】

知識(shí)目標(biāo)

1.理解無理數(shù)指數(shù)冪的概念;

2.掌握實(shí)數(shù)指數(shù)冪和根式之間的互化、化簡(jiǎn)、求值；

3.掌握實(shí)數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)；

4.能利用已知條件求值.

核心素養(yǎng)

1.數(shù)學(xué)抽象：無理數(shù)指數(shù)冪的概念；

2.邏輯推理：實(shí)數(shù)指數(shù)冪和根式之間的互化；

3.數(shù)學(xué)運(yùn)算：利用實(shí)數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)化簡(jiǎn)求值；

4.數(shù)據(jù)分析：分析已知條件與所求式子之間的聯(lián)系；

5.數(shù)學(xué)建模：通過與有理數(shù)指數(shù)冪性質(zhì)進(jìn)行類比，得出無理數(shù)指數(shù)冪的概念

和性質(zhì)。

【重點(diǎn)與難點(diǎn)】

重點(diǎn)：①掌握并運(yùn)用實(shí)數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)；②能利用已知條件求值．

難點(diǎn)：能利用已知條件求值．

【學(xué)習(xí)過程】

一、預(yù)習(xí)導(dǎo)入

閱讀課本107-108頁(yè)，填寫。

1．無理數(shù)指數(shù)冪

一般地，無理數(shù)指數(shù)冪aα(a＞0，α是無理數(shù))是一個(gè)確定的．有理數(shù)指數(shù)

冪的運(yùn)算性質(zhì)同樣適用于無理數(shù)指數(shù)冪．

2．實(shí)數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)

(1)aras＝ar＋s(a＞0，r，s∈R)．

(2)(ar)s＝_________(a＞0，r，s∈R．

(3)(ab)r＝_________(a＞0，b＞0，r∈R)．

【小試牛刀】

1.計(jì)算-0.01-0.5+0.2-2-(2-3)-1+(10-3)0的結(jié)果為()

A.15B.17C.35D.37

2.若√4a?2+(a-4)0有意義,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.

133

3.計(jì)算√6?√3+√40.0625-(√7)0.

48

【自主探究】

題型一實(shí)數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)化簡(jiǎn)求值

例1化簡(jiǎn)求值

11132

(1)0.0273(6)22564(22)3310

4

(2)(a－2b－3)·(－4a－1b)÷(12a－4b－2c)

(3)23a46ab3b3.

跟蹤訓(xùn)練一

1、化簡(jiǎn)求值

1

16

6024

（1）3232018443

49

39

√√3??3

（2）??2√??-3÷√-7·√??13(a>0).

題型二條件求值

1-1

例2已知a2+a2=√5(a>0),求下列各式的值:

(1)a+a-1;(2)a2+a-2;(3)a2-a-2.

跟蹤訓(xùn)練二

11

a2b2

1.已知a，b分別為x2－12x＋9＝0的兩根，且a＜b，求．

11

a2b2

【課堂檢測(cè)】

-1

1.若(a-2)4有意義,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()

A.a≥2B.a≤2C.a>2D.a<2

2.已知x2+x-2=2√2,且x>1,則x2-x-2的值為()

A.2或-2B.-2C.√6D.2

3.若√4a2-4a+1=1-2a,則a的取值范圍是.

4.若5x=4,5y=2,則52x-y=.

5.若α,β是方程5x2+10x+1=0的兩個(gè)根,則

2α·2β=,(2α)β=.

6．化簡(jiǎn)求值：

710237

(1)290.5＋0.1－2＋227－－3π0＋；

348

2

1813

3-

(2)8－(0.5)－3＋－6×4；

316

321

(3)38－＋(0.002)－－10(5－2)－1＋(2－3)0.

32

11

7.已知x+y=12,xy=9,且x>y,求x2-y2的值.

11

x2+y2

答案

小試牛刀

1．B

2．[2,4)∪(4,+∞)

1

3．

2

自主探究

7a314

例1【答案】(1)64(2)－(3)a6b3

153c2

517

【解析】(1)原式＝0.3－＋43＋2－＋1＝64.

2315

(2)原式＝－4a－2－1b－3＋1÷(12a－4b－2c)

1

＝－a－3－(－4)b－2－(－2)c－1

3

1a

＝－ac－1＝－.

33c

1113314

(3)原式＝2a3(4a6b6)(3b2)a6b3.

2

跟蹤訓(xùn)練一

1、【答案】（1）99（2）1

【解析】（1）原式=

1

162

(323)6(2018)44(3)410817399

49

19131711393713

×??×(-)×(-)??×-+-0

(2)原式=[??32·32]÷[??23·23]=??6666=a=1.

例2【答案】（1）3（2）7（3）35

11

-a+a-1-1

【解析】(1)將a2+a2=√5的兩邊平方,得+2=5,即a+a=3.

(2)由a+a-1=3,兩邊平方,得a2+a-2+2=9,即a2+a-2=7.

(3)設(shè)y=a2-a-2,兩邊平方,得y2=a4+a-4-2=(a2+a-2)2-4=72-4=45.

所以y=±3√5,即a2-a-2=±3√5.

跟蹤訓(xùn)練二

3

1.【答案】－

3

11111

a2b2(a2b2)2(ab)2(ab)2

【解析】=①

111111ab

a2b2(a2b2)(a2b2)

∵a＋b＝12，ab＝9，②

∴(a－b)2＝(a＋b)2－4ab＝122－4×9＝108.

∵a＜b，∴a－b＝－63.③

111

a2b2122923

將②③代入①，得＝－.

11633

a2b2

當(dāng)堂檢測(cè)

1-2．CD

3．(-∞,1]

2

4．8

11

5.25

4

6．【答案】見解析

1

25642

21-375937

【解析】(1)原式＝＋＋3－3＋＝＋100＋－3＋＝

90.12274831648

100.

2

181333

3-21-

(2)8－(0.5)－3＋－6×4＝(23)－(2－1)－3＋(3－)－6×44＝22

316322

38

－23＋33×－3＝4－8＋27×＝4.

227

2321110

(3)原式＝(－1)－×38－＋－－＋1

3350025－2

2721

＝－＋(500)2－10(5＋2)＋1

83

4167

＝＋105－105－20＋1＝－.

99

7.【答案】見解析

【解析】∵x+y=12,xy=9,∴(x-y)2=(x+y)2-4xy=108.

∵x>y,∴x-y=6√3,

111111

2

∴x2-y2=(x2-y2)=x+y?2x2y2

111111x?y

x2+y2(x2+y2)(x2-y2)

11

=x+y?2(xy)2=12?2×92=6=√3.

x?y6√36√33

《4.1指數(shù)》同步練習(xí)一

鞏固基礎(chǔ)

1．下列各式中正確的個(gè)數(shù)是()

nn

①an＝(a)n＝a(n是奇數(shù)且n>1，a為實(shí)數(shù))；

nn

②an＝(a)n＝a(n是正偶數(shù)，a是實(shí)數(shù))；

3

③a3＋b2＝a＋b(a，b是實(shí)數(shù))．

A．0B．1C．2D．3

3

2．化簡(jiǎn)aa的結(jié)果是()

11

A．a(chǎn)B．a(chǎn)2C．a(chǎn)2D．a(chǎn)3

4

3.－24運(yùn)算的結(jié)果是()

A．2B．－2C．±2D．不確定

1333

4.6－3＋0.125的值為________．

48

3

5．化簡(jiǎn)π－42＋π－43的結(jié)果為________．

x2

6．若x<0，則|x|－x2＋＝________.

|x|

7．寫出使下列各式成立的x的取值范圍：

3

11

(1)3＝；(2)x－5x2－25＝(5－x)x＋5.

x－3x－3

3

8．(1)化簡(jiǎn)：xy2·xy－1·xy·(xy)－1(xy≠0)；

102

－41

(2)計(jì)算：22＋＋－1－50·83.

22－1

綜合應(yīng)用

9．下列各式成立的是()

32b11

m2n2mn2ab

A.＋＝(＋)3B．(a)＝22

6131

C.－32＝(－3)3D.4＝23

10．x－2＋x2＝22且x>1，則x2－x－2的值為()

A．2或－2B．－2C.6D．2

11a2＋1

aam

11.設(shè)2－2＝，則a等于()

A．m2－2B．2－m2C．m2＋2D．m2

12．如果x＝1＋2b，y＝1＋2－b，那么用x表示y等于()

x＋1x＋1x－1x

A.B.C.D.

x－1xx＋1x－1

y

2x

13．若a>0，且ax＝3，ay＝5，則a2＝________.

656

14．已知a∈R，n∈N*，給出四個(gè)式子：①－22n；②a2；③－32n＋1；

9

④－a4，其中沒有意義的是________．(只填式子的序號(hào)即可)

4

15．若代數(shù)式2x－1＋2－x有意義，化簡(jiǎn)4x2－4x＋1＋2x－24.

16．根據(jù)已知條件求下列值：

12x＋yx－y

(1)已知x＝，y＝，求－的值；

23x－yx＋y

a－b

(2)已知a，b