高中數(shù)學(xué)競賽平面幾何講座第四講 四點共圓問題

高中數(shù)學(xué)競賽平面幾何講座第四講四點共圓問題“四點共圓”問題在數(shù)學(xué)競賽中經(jīng)常出現(xiàn)，這類問題一般有兩種形式：一是以“四點共圓”作為證題的目的，二是以“四點共圓”作為解題的手段，為解決其他問題鋪平道路.判定“四點共圓”的方法，用得最多的是統(tǒng)編教材《幾何》二冊所介紹的兩種（即P89定理和P93例3），由這兩種基本方法推導(dǎo)出來的其他判別方法也可相機采用.1“四點共圓”作為證題目的例1．給出銳角△ABC，以AB為直徑的圓與AB邊的高CC′及其延長線交于M，N.以AC為直徑的圓與AC邊的高BB′及其延長線將于P，Q.求證：M，N，P，Q四點共圓.(第19屆美國數(shù)學(xué)奧林匹克)分析：設(shè)PQ，MN交于K點，連接AP，AM.欲證M，N，P，Q四點共圓，須證MK?KN＝PK?KQ，即證(MC′-KC′)(MC′+KC′)＝(PB′-KB′)?(PB′+KB′)或MC′2-KC′2=PB′2-KB′2.①不難證明AP=AM，從而有AB′2+PB′2=AC′2+MC′2.故MC′2-PB′2=AB′2-AC′2=(AK2-KB′2)-(AK2-KC′2)=KC′2-KB′2.②由②即得①，命題得證.例2．A、B、C三點共線，O點在直線外，O1，O2，O3分別為△OAB，△OBC，△OCA的外心.求證：O，O1，O2，O3四點共圓.(第27屆莫斯科數(shù)學(xué)奧林匹克)分析：作出圖中各輔助線.易證O1O2垂直平分OB，O1O3垂直平分OA.觀察△OBC及其外接圓，立得∠OO2O1=∠OO2B=∠OCB.觀察△OCA及其外接圓，立得∠OO3O1=∠OO3A=∠OCA.由∠OO2O1=∠OO3O1O，O1，O2，O3共圓.利用對角互補，也可證明O，O1，O2，O3四點共圓，請同學(xué)自證.2以“四點共圓”作為解題手段這種情況不僅題目多，而且結(jié)論變幻莫測，可大體上歸納為如下幾個方面.(1)證角相等例3．在梯形ABCD中，AB∥DC，AB＞CD，K，M分別在AD，BC上，∠DAM＝∠CBK.求證：∠DMA＝∠CKB.（第二屆??沖之杯初中競賽）分析：易知A，B，M，K四點共圓.連接KM，有∠DAB＝∠CMK.∵∠DAB+∠ADC＝180°，∴∠CMK+∠KDC＝180°.故C，D，K，M四點共圓∠CMD＝∠DKC.但已證∠AMB＝∠BKA，∴∠DMA＝∠CKB.(2)證線垂直例4．⊙O過△ABC頂點A，C，且與AB，BC交于K，N(K與N不同).△ABC外接圓和△BKN外接圓相交于B和M.求證：∠BMO=90°.(第26屆IMO第五題)分析：這道國際數(shù)學(xué)競賽題，曾使許多選手望而卻步.其實，只要把握已知條件和圖形特點，借助“四點共圓”，問題是不難解決的.連接OC，OK，MC，MK，延長BM到G.易得∠GMC=∠BAC=∠BNK=∠BMK.而∠COK=2?∠BAC=∠GMC+∠BMK=180°-∠CMK，∴∠COK+∠CMK=180°C，O，K，M四點共圓.在這個圓中，由OC=OKOC=OK∠OMC=∠OMK.但∠GMC=∠BMK，故∠BMO=90°.(3)判斷圖形形狀例5．四邊形ABCD內(nèi)接于圓，△BCD，△ACD，△ABD，△ABC的內(nèi)心依次記為IA，IB，IC，ID.試證：IAIBICID是矩形.(第一屆數(shù)學(xué)奧林匹克國家集訓(xùn)選拔試題)分析：連接AIC，AID，BIC，BID和DIB.易得∠AICB=90°+∠ADB=90°+∠ACB=∠AIDBA，B，ID，IC四點共圓.同理，A，D，IB，IC四點共圓.此時∠AICID=180°-∠ABID=180°-∠ABC，∠AICIB=180°-∠ADIB=180°-∠ADC，∴∠AICID+∠AICIB=360°-(∠ABC+∠ADC)=360°-×180°=270°.故∠IBICID=90°.同樣可證IAIBICID其它三個內(nèi)角皆為90°.該四邊形必為矩形.(4)計算例6．正方形ABCD的中心為O，面積為1989?M2.P為正方形內(nèi)一點，且∠OPB=45°，PA:PB=5:14.則PB=__________(1989，全國初中聯(lián)賽)分析：答案是PB=42?M.怎樣得到的呢？連接OA，OB.易知O，P，A，B四點共圓，有∠APB=∠AOB=90°.故PA2+PB2=AB2=1989.由于PA:PB=5:14，可求PB.(5)其他例7．設(shè)有邊長為1的正方形，試在這個正方形的內(nèi)接正三角形中找出面積最大的和一個面積最小的，并求出這兩個面積(須證明你的論斷).(1978，全國高中聯(lián)賽)分析：設(shè)△EFG為正方形ABCD的一個內(nèi)接正三角形，由于正三角形的三個頂點至少必落在正方形的三條邊上，所以不妨令F，G兩點在正方形的一組對邊上.作正△EFG的高EK，易知E，K，G，D四點共圓∠KDE=∠KGE=60°.同理，∠KAE=60°.故△KAD也是一個正三角形，K必為一個定點.又正三角形面積取決于它的邊長，當(dāng)KF?AAB時，邊長為1，這時邊長最小，而面積S=通過B點時，邊長為2?也最小.當(dāng)KF，這時邊長最大，面積S=2-3也最大.例8．NS是⊙O的直徑，弦AB?ANS于M，P為ANB上異于N的任一點，PS交AB于R，PM的延長線交⊙O于Q.求證：RS＞MQ.(1991，江蘇省初中競賽)分析：連接NP，NQ，NR，NR的延長線交⊙O于Q′.連接MQ′，SQ′.易證N，M，R，P四點共圓，從而，∠SNQ′=∠MNR=∠MPR=∠SPQ=∠SNQ.根據(jù)圓的軸對稱性質(zhì)可知Q與Q′關(guān)于NS成軸對稱MQ′=MQ.又易證M，S，Q′，R四點共圓，且RS是這個圓的直徑(∠RMS=90°)，MQ′是一條弦(∠MSQ′＜90°)，故RS＞MQ′.但MQ=MQ′，所以，RS＞MQ.練習(xí)題1.⊙O1交⊙O2于A，B兩點，射線O1A交⊙O2于C點，射線O2A交⊙O1于D點.求證：點A是△BCD的內(nèi)心.(提示：設(shè)法證明C，D，O1，B四點共圓，再證C，D，B，O2四點共圓，從而知C，D，O1，B，O2五點共圓.)2.△ABC為不等邊三角形.∠A及其外角平分線分別交對邊中垂線于A1，A2；同樣得到B1，B2，C1，C2.求證：A1A2=B1B2=C1C2.(提示：設(shè)法證∠ABA1與∠ACA1互補造成A，B，A1，C四點共圓；再證A，A2，B，C四點共圓，從而知A1，A2都是△ABC的外接圓上，并注意∠A1AA2=90°.)3.設(shè)點M在正三角形三條高線上的射影分別是M1，M2，M3(互不重合).求證：△M1M2M3也是正三角形.4.在Rt△ABC中，AD為斜邊BC上的高，P是AB上的點，過A點作PC的垂線交過B所作