材料力學講義二八

Chapter13EnergyMethod第十三章能量法1

第十三章能量法

(EnergyMethods)§13-1概述（Introduction)§13-2桿件變形能的計算(Calculationofstrainenergyforvarioustypesofloading)§13-3互等定理（Reciprocal

theorems)§13-4單位荷載法莫爾定理(Unit-loadmethod&mohr’stheorem)§13-5卡氏定理(Castigliano’sTheorem)§13-6計算莫爾積分的圖乘法(Themeth-odofmomentareasformohr’sintegration)2§13-1概述（Introduction）在彈性范圍內(nèi),彈性體在外力作用下發(fā)生變形而在體內(nèi)積蓄的能量,稱為彈性變形能,簡稱變形能.一、能量方法（Energymethods)三、變形能（Strainenergy）二、外力功（Workoftheexternalforce）固體在外力作用下變形,引起力作用點沿力作用方向位移,外力因此而做功,則成為外力功.利用功能原理Vε=W來求解可變形固體的位移,變形和內(nèi)力等的方法.3可變形固體在受外力作用而變形時,外力和內(nèi)力均將作功.對于彈性體,不考慮其他能量的損失,外力在相應位移上作的功,在數(shù)值上就等于積蓄在物體內(nèi)的應變能.

Vε=W四、功能原理（Work-energyprinciple）Theformula:（Work-EnergyPrinciple）Wewillnotconsiderotherformsofenergysuchasthermalenergy,chemicalenergy,andelectromagneticenergy.Therefore,ifthestressesinabodydonotexceedtheelasticlimit,allofworkdoneonabodybyexternalforcesisstoredinthebodyaselasticstrainenergy.

4§13-2桿件變形能的計算(Calculationofstrainenergyforvarioustypesofloading)一、桿件變形能的計算（Calculationofstrainenergyforvarioustypesofloading）1.軸向拉壓的變形能（Strainenergyforaxialloads)此外力功的增量為：當拉力為F1時,桿件的伸長為Δl1當再增加一個dF1時,相應的變形增量為d(Δl1)5FFllFlFOll1dl1dF1F1積分得:6根據(jù)功能原理當軸力或截面發(fā)生變化時:

Vε=W,可得以下變形能表達式7（單位J/m3)比能（strainenergydensity）:單位體積的應變能.記作u當軸力或截面連續(xù)變化時：82.扭轉桿內(nèi)的變形能（Strainenergyfortorsionalloads）或lMeMeMe9純彎曲（purebending)橫力彎曲（nonuniformbending）3.彎曲變形的變形能（Strainenergyforflexuralloads）θMeMeMeMe104.組合變形的變形能（Strainenergyforcombinedloads)截面上存在幾種內(nèi)力,各個內(nèi)力及相應的各個位移相互獨立,力獨立作用原理成立,各個內(nèi)力只對其相應的位移做功.5.純剪切應力狀態(tài)下的比能（Strainenergydensityforpureshearingstateofstresses）假設單元體左側固定,因此變形后右側將向下移動dx.11dxdydzxyzabd因為很小,所以在變形過程中,上下兩面上的外力將不作功.只有右側面的外力（dydz）對相應的位移dx

作了功.dx

當材料在線彈性范圍內(nèi)內(nèi)工作時,上述力與位移成正比,因此,單元體上外力所作的功為比能為12

將=G

代如上式得dxdydzxyzabddx等直圓桿扭轉時應變能的計算13將代入上式得14

二、變形能的普遍表達式（Generalformulaforstrainenergy）F--廣義力(包括力和力偶)δ--廣義位移(包括線位移和角位移)B'C'F3BCF2AF1假設廣義力按某一比例由零增致最后值對應的廣義位移也由零增致最后值.15對于線性結構,位移與荷載之間是線性關系，任一廣義位移,例如

2可表示為F3ABCF1F2B'C1F1,C2F2,C3F3分別表示力F1,F2,F3在C點引起的豎向位移.C1,C2,C3是比例常數(shù).F3/F2在比例加載時也是常數(shù)F1/F2和2與F2之間的關系是線性的.同理,1與F1,3與F3之間的關系也是線性的.16在整個加載過程中結構的變形能等于外力的功iFiF3ABCF1F2B'——克拉貝隆原理（只限于線性結構）Fii17三、變形能的應用（Applicationofstrainenergy）1.計算變形能（Calculatingstrainenergy）2.利用功能原理計算變形（Work-energyprincipleforcalculatingdeflection）例題1試求圖示懸臂梁的變形能,并利用功能原理求自由端B的撓度.ABFlx解：由Vε=W得18例題2試求圖示梁的變形能,并利用功能原理求C截面的撓度.ABCFx1x2abl解：由Vε=W得19例題3試求圖示四分之一圓曲桿的變形能,并利用功能原理求B截面的垂直位移.已知EI為常量.解：ABFORθ由Vε=W得20例題4艷拉桿箭在線彈輛性范圍糾內(nèi)工作磁.抗拉燙剛度EI,受到F1和F2兩個力作波用.若先在B截面加F1,然后在C截面加F2;若先在C截面加F2,然后在B截面加F1.分別計算刷兩種加力馳方法拉桿漫的應變能飽.ABCabF1F221（1）俱先在B截面加F1,然后周在C截面加F2ABCabF1（a）在B截面加F1,B截面的陣位移為外力作狡功為（b）再躲在C上加F2F2C截面的位移為F2作功為22（c）臭在加F2后,B截面又賞有位移在加F2過程中F1作功（常本力作功）所以應變哭能為ABCabF1F223（2）俘若先在C截面加F2,然后B截面加F1.（a）在C截面加F2后,F2作功（b）在B截面加F1后,F1作功ABCabF1F224（c）加F1引起C截面的形位移在加F1過程中F2作功（常姐力作功）ABCabF1F2所以應變鉗能為注意：（1）炮計疏算外力讓作功時稠,注意院變力作燒功與常喊力作功句的區(qū)別農(nóng).（2）寒應變能Vε只與外謀力的最排終值有鐮關,而單與加載增過程和耳加載次雕序無關冊.252解:僅梁止中點的撓鋼度為:梁右端漏的轉角抵為:MeACBFl/2l/2梁的變思形能為博:1例題5以彎曲搞變形為股例證明應變能Vε只與外牧力的最終值有弊關,而雀與加載槍過程和加載崗次序無高關.26先加力F后,再加備力偶Me（1）尖先加力F后,C點的位移力F所作的功積為（2）羅力偶由股零增至賭最后值MeB截面的轉承角為力偶Me所作的功盜為ACBFl/2l/2ACBFl/2l/2Me127先加上的食力F所作的功鐵為C截面的位粉移為3ACBl/2l/2F與力偶Me所作的功犯為ACBFl/2l/21Me28兩力作鼻用點沿貪力作用聚方向的初位移分股別為F1,F2（1）設另在線彈性傾結構上作事用力1,2一、功的爛互等定理（R都eci執(zhí)pro豬cal盈wo騰rk慎the當ore墻m）§13鉛-3互等定能理（Re孩cip努roc蘭al背The求ore地ms騎)12F1F229F1F212F1和F2完成的樹功應為（2）在帖結構上再尊作用有力F3,F4沿F3和F4方向的相棒應位移為3,4F334F4F3和F4完成的功證應為30（3）壤在F3和F4的作用下溪,F1和F2的作用點竹又有位移F1和F2在1′和2′上完成的席功應為F1F212F334F4因此,按鄭先加F1,F2后F3,F4的次序轉加力,狡結構的阿應變能邊為1′和2′31F1F21234F4F3若按先加F3,F4后加F1,F2的次序加飯力,又可西求得結構危的應變能蜘為由于應座變能只盆決定于減力和位滋移的最腹終值,耕與加力毀的次序溫無關,何故32功的互等趨定理（re盞cip燦roc仙al妥wor繡kt趕heo苗rem柔）:第一眾組力在探第二組跳力引起邁的位移株上所作假的功,夸等于第傘二組力靠在第一詠組力引翅起的位渣移上所闖作的功擋.二、位移機互等定理（Rec為ipro尋cal稼disp咽lace努ment邊the犯orem虹)若第一組鎖力F1,第二沙組力只潔有F3,則如果F1=F3,則有33位移互棄等定理（re通cip社roc布al撕wor級kt想heo調(diào)rem認）：F1作用點沿F1方向因作睛用F3而引起洪的位移戒等于F3作用點喉沿F3方向因會作用F1而引起進的位移吊.（The賄de散flec啞tion窗at覽Adu船eto蔑al急oad遵acti拉nga爆tB嗎ise盈qual陶to乒the抄defl扛ecti唉ona逝tB謹due表tot郵hes起ame蠟load羨act延ing橡atA煉)三、注我意（No項tic袍e）（1）們力和位搏移都應責理解為資廣義的茅.（2）儀這里是搶指結構云不可能抗發(fā)生剛欲性位移豆的情況駱下,只候是由變內(nèi)形引起絹的位移蜓.34§13扒-4單位荷悶載法莫爾定理（Uni惰t-lo魄adm足etho預d&辭mohr各’st附heor利em）一、莫爾腿定理的推跳導（Der頑ivat窗ion乏ofm急ohr’放sth置eore覺m）求任意炕點A的位移wAF1F2A35A圖b變形能控為aA圖F1F2=1F0AF1F2圖cwAF0=1（1）先俗在A點作用單倘位力F0,再作用F1、F2力36（2）三納個力同時啄作用時任意截面漫的彎矩:變形能:37（Mo宵hr’處sT訓heo供rem成）桁架：二、普遍妨形式的莫態(tài)爾定理（Ge畜ner莊al析for為mul妻af埋or桃moh屢r’s節(jié)th近eor錯em）注意:上禮式中Δ應看成申廣義位濃移,把險單位力南看成與瞇廣義位駱移相對雙應的廣體義力.38三、使弱用莫爾指定理的悲注意事縱項（5）做莫爾積耳分必須熟遍及整援個結構件.（1）M（x）：結布構在原谷載荷下養(yǎng)的內(nèi)力嗎;（3）所寶加廣義單湖位力與所按求廣義位南移之積,象必須為功踢的量綱;（2）——去掉主動力,在所求廣義位移點,沿所求廣義位移的方向加廣義單位力時,結構產(chǎn)生的內(nèi)力;M（4）與M（x）的坐標系必須一致,每段桿的坐標系可自由建立;M（x）39A例題5探抗仆彎剛度為EI的等截面盯簡支梁受腳均布荷載仗作用,用針單位載荷鐵法求梁中回點的撓度wC和支座A截面的理轉角.盡剪力對釣彎曲的胃影響不狐計.qBCll/2ql/2ql/2解:在實際荷借載作用下科,任一x截面的彎擔矩為40AAB11/21/2C（1）桶求C截面的糾撓度在C點加一向蒜下的單位務力,任一x截面的彎慎矩為xqBCll/2ql/2ql/241ql/2AAB11/l1/lx（2）罷求A截面的雖轉角在A截面加一綢單位力偶引起的x截面的寬彎矩為qCll/2（順時針泊）ql/242B例題6杯圖揉示外伸梁嫌,其抗彎當剛度為EI.用單舉位載荷法坐求C點的撓度宣和轉角.ACqF=q疤aa2a43BAABCa2a1解：xAB:（1）巖求截面框的撓度諒（在C處加一單條位力“1烘”）CqF=q靠aa2aFRAx1/244BC:BAABCa2aCqF=q廊aa2aFRA1/2xx145BABC:AB:（2）歷求C截面的請轉角（王在C處加一單誘位力偶）1xxABCa2axCqF=qaa2ax1/2a（）FRA46例題7雪剛寬架的自由洪端A作用集稍中力F.剛架驅各段的阿抗彎剛若度已于勺圖中標胃出.愁不半計剪力配和軸力枝對位移償?shù)挠绊懜?計幸算A點的垂直校位移及B截面的轉緞角.aABCFlEI1EI2解:（1）計算A點的垂直景位移,在A點加垂直支向下的單素位力BClEI1EI2a147AB:BC:aABCFlEI1EI2xxABC1lEI1EI2xxa48（2）計伐算B截面的廊轉角,炸在B上加一況個單位朗力偶矩AB:BC:ABCFlEI1EI2xxaABClEI1EI2xxa（）149例題8繞圖性示剛架,倚兩桿的EI和EA分別相同甲,試求C點的水石平位移者.CFabAB解:在C點加一水弱平單位力1abBAC50Fab1abxxABBACCCB:xxAB:51Fab1abxxABBACCxx52例題9倉圖脂示為一水燈平面內(nèi)的絹曲桿，B處為一度剛性節(jié)腦點，ABC=90消°在C處承受豎英直力F，設兩嘴桿的抗祥彎剛度刊和抗扭斗剛度分既別是EI和GIp，求C點豎向其的位移獨.ABCFab53xx解:在C點加豎肅向單位幅力BC:ABCFabABC1abxxAB:54xxABCFabABC1abxx55例題10接由三桿組慘成的剛架彎,B,C為剛性節(jié)套點,三桿止的抗彎剛滾度都是EI,試用香單位載呼荷法求A1,A2兩點的獨相對位賀移.A1A2BCllFF56x解：在A1,A2處加一愧對水平偽單位力陡.B,C兩支座的灶反力均為墾零.A1B：BC：CA2：xxA1A2BCllFFxxxA1A2BCll1157例題11珍剛竄架受力如初圖,求A截面的垂淘直位移,亭水平位移社及轉角.ABCllq58AB：BC：解:求A點鉛垂位核移（在A點加豎讀向單位晉力）xxxxABCllqABCllq159求A點水平碎位移（穩(wěn)在A點加水平幅單位力）AB：BC：xxxxABCllqABCllq160xx求A點的轉角賀（在A點加一萍單位力苦偶）AB:BC：xxABCllqABCllq1（）61例題1課2屑圖本示為一騎簡單桁跟架,其扁各桿的EA相等.好在圖勸示荷載板作用下A、C兩節(jié)點間柳的相對位黎移.FaaFABCDE132456789a62FaaABCDE132456789aFaaFABCDE132456789a桁架求沖位移的還單位荷輝載法為116312345678桿件編號90-F-F-FF-2F010000aaaaaaa02Fa0000A,C兩點間的萌距離縮短叉.64例題13班計昏算圖（a）所示開黃口圓環(huán)在F力作用汗下切口拳的張開虹量ΔAB.EI=常數(shù).BAORFF(a)65BARPF(b)BARP1(c)解：OO66213設彈性結題構在支座否的約束下凍無任何剛問性位移.作用有謠外力:F1,F2,,Fi,相應的位哀移為：1,2,,i,§13即-5卡氏定理(Ca腳sti威gli粗ano咱’s初Th蕩eor座em)F1F2F3結構的變?nèi)f形能67只給Fi一個增館量Fi.引起所有費力的作用錘點沿力方喉向的位移堵增量為213F1F2F3在作用Fi的過程中阿,Fi完成的功菌為原有的點所有力鳳完成的中功為結構應變延能的增量環(huán)為68如果把原僻來的力看寶作第一組劉力,而把Fi看作第萄二組力埋.根椐互等律定理略去高階微量或者當Fi趨于零時,上式黨為這就是卡氏第諷二定理（Ca管sti組gli材ano偵’s往Sec構ond哀Th廁eor畏em）（卡氏青定理）（Cast顏igli恰ano’楚sT釀heor壘em）69（1）鼓卡氏第膀二定理鋸只適用視于線性詠彈性體說明（Dir桃ecti房誠ons）：（2）Fi為廣義力耕，i為相應的掙位移一個力一個力偶一對力一對力偶一個線位移一個角位移相對線位移相對角位移70（3）卡映氏第二定掩理的應用（a）軸向拉瞞伸與壓蒸縮（b）扭轉（c）彎曲71（4）平面桁載架（5）佛組合變僵形72例題1椒4元外膊伸梁受傻力如圖墻所示,斧已知彈扮性模量EI.梁材毛料為線某彈性體百.求梁C截面的婦撓度和A截面的轉領角.FABCMelaFRA73AB:BC:ABClaFRAFx1x2解:Me74ABClaFRAFx1x2Me（）75例題15械剛架結構紛如圖所示墊.彈性稠模量EI已知。塔材料為抄線彈性追.不船考慮軸變力和剪普力的影灑響，計須算C截面的轉乞角和D截面的模水平位秩移.ABCDaa2aMe解:竟在C截面虛壘設一力紀偶Ma,在D截面虛設妹一水平力F.FRDFRAxFRAyMaF76CD:CB:AB:xxABCDaa2aMexFRDFRAxFRAyMaF772axxABCDaaMeFRDFRAxFRAy（）McF78例題16隆圓捕截面桿ABC,（ABC=90°軌）位于水耕平平面內(nèi)敲,已知桿陸截面直徑d及材料洪的彈性壩常數(shù)E,G.求C截面處伸的鉛垂蠶位移.茫不計剪壁力的影營響.ABCllq79BC:彎曲變窩形ABlQMBxABCllqFxxAB:彎曲與蜻扭轉的誼組合變?nèi)危ㄅまD牲變形）（彎曲變焰形）8081例題17舊圖示剛架漫各段的抗干彎剛度均紐奉為EI.不計軸潮力和剪力影的影響.襲用卡氏君第二定理談求截面D的水平位祥移D和轉角D.MaxF1FABCDll2l解:在D點虛設一刪力偶矩MaCD:彎曲拴變形82但是軸皇力不計柱,因此牙橫截面似上的內(nèi)力只釀計彎矩.F1ABCF2FlMa將力F向C簡化得系：力F（產(chǎn)生拉滴伸變形）力偶矩敗2Fl（產(chǎn)生瓜彎曲變慰形）Ma（產(chǎn)生衣彎曲變桑形）AC產(chǎn)生拉爬伸與彎痛曲的組育合變形產(chǎn).橫總截面上擋的內(nèi)力戚有軸力呀和彎矩陸.F1xFABCDll2lMa將Ma向C簡化得:83xBC段：BA段：F1FABCDll2lxF2FlxMaMa84§13屋-6計算莫羨爾積分指的圖乘絕法(The拋met章hod德ofm隊omen剝tar技eas杠for貝the屢mohr糊’si騙nteg欲rati壇on)等直桿暴的情況賴下,莫膚爾積分腰中的EI為常量魂,可提滅到積分薪號外面只需計繁算:85因為是由單位力或單位力偶引起的彎矩,故沿桿長方向的圖一般是由直線或折線組成.M(x)圖一般是曲線.M(x)M(x)ldxxCxCM(x)M(x)MCMM86ωxCCM(x)xxl設在桿駝長為l的一段內(nèi)M（x）圖是芬曲線設直線塑方程是M(x)是直線,為l段內(nèi)圖M(x)的面積ω87M(x)xlxωxCCC為圖M(x)的形心磚,xC為其坐標為圖M(x)對y軸坐標的靜矩是和M(x)圖的形心對應處的M(x)的值.88M(x)xlxωxcC對于等烘直桿有即積分可用M(x)圖的面積w

和與M(x)圖形心C對應的的乘積來代替MC當M圖為正彎盈矩時,w應代以正傲號.當M圖為負彎矮矩時,w應代以負恐號.也應按彎矩符號給以正負號.MC注意有時M(x)圖為連續(xù)光滑曲線,而為折線,則應以折線的轉折點為界,把積分分成幾段,逐段使用圖乘法,然后求其和.M(x)89b幾中常爪見圖形竭的面積因和形心略的計算配公式alh三角形CClh頂點二次拋物撕線90lh頂點cN次拋物宰線lh頂點c二次拋物務線3l/4l/491例題1級8膨均森布荷載鄉(xiāng)豐作用下份的簡支乎梁,其EI為常數(shù).育求跨中漆點的撓度場.ABCql/2l/2FABCl/2l/2以圖的轉折點為界,分兩段使用圖乘法.M(x)C1C292ABCql/2l/2ABCFl/2l/2C1C293例題19甲圖墊示梁,抗巴彎剛度為EI,承受均浸布載荷q及集中樣力F作用.股用圖盞乘法求獻:（1）集陽中力作用俯端撓度為厘零時的F值；（2）集薪中力作用舅端轉角為涼零時的F值.FCABalq94FCAB解：aalqMql2/8Fa1ABalCM95例題20營圖示開口宏剛架,EI為常數(shù)想.求A和B兩截面的汪相對角位逼移qAB和沿F力作用誘線方向匠的相對喝線位移ΔAB.aaa/2a/2ABFF96解：Fa/2a/2FFFa/2Fa/2a/2a/21a/2Baaa/2AA97例題21圖示剛架黃,EI為常數(shù)袋.求A截面的水憤平位移ΔAH和轉角qA.BAaaq98aqa/2qa2/2解：BAaaaBAaaBaBAaaqqa/2qa11111a111qa2/299C例題22拐桿如圖促,A處為一軸欣承,允許釘桿在軸承埋內(nèi)自由轉腰動,但不舌能上下移務動,已知蟻:E=21宋0GP喘a,G=0.4E,求B點的垂直刪位移.5A300B500=1F01020