基本支撐體系數(shù)學(xué)資料競賽指導(dǎo)初中數(shù)學(xué)競賽與課外活動指導(dǎo)專題優(yōu)質(zhì)課比賽一等獎

三角形一、賽點(diǎn)要求：1．關(guān)于三角形的一些概念2．三角形三條邊的關(guān)系3．三角形的內(nèi)角和重點(diǎn)、難點(diǎn)剖析：一、關(guān)于三角形的一些概念1．三角形的定義：由不在同一條直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形叫做三角形。對于三角形定義應(yīng)從三個(gè)方面來掌握（1）不在同一條直線上；（2）三條線段；（3）首尾相接，其中“首尾相接”是關(guān)鍵詞語，它揭示了三角形三條邊不但不在同一條直線上，而且構(gòu)成了封閉圖形。2．三角形中的重要線段三角形的角平分線、中線、高線是三角形中的三種重要線段。學(xué)習(xí)這三種重要線段，需注意以下一些問題。（1）要注意“三角形的角平分線”與“角的平分線”的區(qū)別，前者是一條線段，可以量得它的長度，后者是一條射線，不能測量其長度，類似地，三角形的中線、高線均是線段。（2）在畫三角形高線時(shí)，要注意銳角三角形的三條高都在三角形的內(nèi)部；鈍角三角形的高線中有兩個(gè)垂足落在邊的延長線上，這兩條高在三角形的外部（如圖1所示）；在直角三角形中，有兩條高恰是三角形的兩條邊。（3）三角形的三條內(nèi)角平分線、三條中線交于一點(diǎn)，銳角三角形或直角三角形的三條高交于一點(diǎn)，鈍角三角形的三條高線的延長線交于一點(diǎn)，作三角形的高線通常需有直角符號且標(biāo)明垂足。（4）三角形三種重要線段，每一種線段的表示方法有下面幾種方式：①AD是ΔABC的角平分線，AD平分∠BAC，交BC于D；∠BAD=∠DAC=∠BAC②AM是ΔABC的中線，AM是ΔABC邊的中線，點(diǎn)cM是BC的中點(diǎn)，BM=MC=BC③AE是ΔABC的高，AE是ΔABC邊BC上的高，AE⊥BC，垂足為E，∠AEB=∠AEC=900二、三角形三條邊的關(guān)系1．三角形的分類三角形有邊和角兩類元素，一般采用按邊的相等關(guān)系或角的大小來分。三角形按邊的相等關(guān)系分類如下：2．三角形三條邊的關(guān)系（1）三角形三邊關(guān)系定理：三角形的兩邊之和大于第三邊。由此得出：三角形任何一邊都小于其它兩邊的和，注意“都”這個(gè)字，實(shí)際應(yīng)用這一定理時(shí)，只要兩條較短邊的長度的和大于第三條線段即可判定這三條線段能夠構(gòu)成一個(gè)三角形，例如：a=3,b=5,c=6，因?yàn)?+5>6，所以，a,b,c三條線段不能構(gòu)成三角形。（2）若線段a,b,c(b>c)，能構(gòu)成三角形，根據(jù)三角形三邊關(guān)系定理知，需滿足：即當(dāng)b-c<a<b+c且（b>c）時(shí)，線段b,c能構(gòu)成三角形，由此可知，不失一般性，若三條線段滿足兩邊之和大于第三邊且這兩邊之差小于第三邊即可構(gòu)成一個(gè)三角形。（3）三角形三條邊的關(guān)系定理及其推論的作用是可以用來證明有關(guān)線段（和）的不等式。三、三角形的內(nèi)角和（1）三角形的內(nèi)角和定理定理：三角三個(gè)內(nèi)角的和等于1800這個(gè)定理給出了關(guān)于三個(gè)內(nèi)角的一個(gè)基本關(guān)系式。（2）三角形的分類由三角形內(nèi)角和定理可知，一個(gè)三角形或者三個(gè)內(nèi)角都是銳角，或者有一個(gè)角是直角，或者有一個(gè)角是鈍角，沒有其它情況。按照三個(gè)內(nèi)角中有無直角，可將三角形分成直角三角形和斜三角形兩類，在斜三角形中按是否有大于900的角可進(jìn)一步分為另兩類。三角形按角分類：二、類型分解：例1．如圖2，圖中共有（）個(gè)三角形（A）4（B）5（C）6（D）8分析：根據(jù)三角形的概念，不重復(fù)、無遺漏地找出所有的三角形，為此應(yīng)按照某種順序去找。解：（1）以BC為邊的三角形有ΔABC、ΔBEC、ΔBFC、ΔBDC共4個(gè)。（2）以AC為邊的三角形有ΔAEC、ΔABC兩個(gè)，但ΔABC已計(jì)入（1）中，所以，只能算1個(gè)。（3）以AB為邊的三角形有ΔABD、ΔABC不計(jì)重復(fù)只能算1個(gè)。（4）以CD為邊且與以前不重復(fù)的三角形是ΔDFC，共1個(gè)。（5）以AD為邊的三角形ΔABD已計(jì)。（6）以AE為邊的三角形ΔAEC已計(jì)。（7）以BE為邊的三角形ΔBEF有1個(gè)。所以圖中共有三角形4+1+1+1+1=8個(gè)故應(yīng)選（D）例2．在圖3中，用式子把下列條件表示出來（1）AD是ΔABC的高（2）BE是ΔABC的角平分線（3）CF是ΔABC的中線解：（1）AD是ΔABC的高，可以表示為，或∠ADB=900，或∠ADC=900，或∠ADB=∠ADC（2）BE是ΔABC的角平分線，可表示為∠ABE=∠EBC，或∠ABE=∠ABC，∠EBC=∠ABC（3）CF是ΔABC的中線，可表示為AF=BF，或AF=，BF=例3．下列命題中，真命題是（）（1）首尾相連的三條線段組成的圖形是三角形（2）有三個(gè)角的平面圖形是三角形（3）三角形的頂點(diǎn)到對邊的距離是三角形的高（4）三角形的高所在直線交于一點(diǎn)，這點(diǎn)不在三角形內(nèi)就在三角形外（5）三角形的角平分線是射線（6）任何一個(gè)三角形都有三條高、三條中線、三條角平分線分析：解答本題關(guān)鍵是要準(zhǔn)確把握有關(guān)三角形的概念，三角形的角平分線、中線、高的概念，注意三角形的高與一般意義的“高”及“距離”之間意義上的區(qū)別。注意鈍角三角形、直角三角形高的特點(diǎn)。解：真命題是（6）例4．一個(gè)三角形的三條邊長分別為8cm、10cm和xcm，那么x的取值范圍是（）（A）x>8cm(B)x>10cm(C)8cm<x<10cm(D)2cm<x<18cm解：x是三角形第三邊，它必須大于兩邊的10cm-8cm=2cm,小于兩邊的和10cm+8cm=18cm例5．已知，如圖4，在ΔABC中，AB=AC，D是ΔABC內(nèi)一點(diǎn)求證：分析：證線段的不等量關(guān)系，有三角形兩邊的和大于第三邊，兩邊的差小于第三邊，關(guān)鍵是設(shè)法轉(zhuǎn)移到有關(guān)三角形中去，為此需添加有關(guān)的輔助線。證明：延長BD交AC于E，在ΔAEB中AE+AB>EB（三角形兩邊的和大于第三邊）（1）同理CE+ED>CD（2）(1)+(2)得AE+CE+AB+ED>ED+DB+CD∴AE+CE+AB>DB+CD又∵AE+CE==AC∴2AB>DB+CD即例6．在ΔABC中，∠A+∠B=1000，∠C=2∠B；求∠A、∠B、∠C的度數(shù)分析：本題除了普遍成立的條件：“∠A+∠B+∠C=1800解：根據(jù)題意，得解此關(guān)于∠A、∠B、∠C的三元一次方程組得例7．如圖5，在ΔABC中，∠ABC、∠ACB的平分線相交于O點(diǎn)求證：∠BOC=900+證明：∵BO平分∠ABC，OC平分∠ACB∴∠A+2∠1+2∠2=1800∴∠A∴例8．如圖6，在△ABC中，O是高AD和BE的交點(diǎn)，則∠C與∠DOE之間具有怎樣的數(shù)量關(guān)系？證明你的結(jié)論。分析：∠C與∠EOD兩個(gè)角不在同一三角形內(nèi)，CEOD是一個(gè)四邊形，可以通過添加輔助線，將此四邊形劃分成兩個(gè)三角形，以利用三角形內(nèi)角和，間接可得∠C與∠DOE的關(guān)系。證明：連結(jié)CO，在△CEO和△COD中，有∠BEC+∠EOC+∠ACO=1800（1）∠ADC+∠DOC+∠DCO=1800（2）（1）+（2）∠BEC+∠ADC+∠EOC+∠DOC+∠ECO+∠OCD=3600（3）由題意，BE⊥AC，AD⊥BC∴∠BEC=∠ADC=900代入（3）得∠ACB+∠EOD=1800三、專題訓(xùn)練：判斷題1．過三角形的一個(gè)頂點(diǎn)且平分這個(gè)角的射線稱為三角形的角平分線（）2．平分三角形一邊的線段叫做三角形的中線（）3．三角形的三條高中，至少有一條高在三角形的內(nèi)部（）4．如下中圖，圖中有_____個(gè)三角形，它們分別是_____；其中△ADC的三個(gè)頂點(diǎn)是_____，三個(gè)內(nèi)角是_____，∠C的對邊是_____5．如下右圖，D為△ABC的一邊BC上的一點(diǎn)，則CA+AB+BC2AD6．△ABC中，∠A是∠B的2倍，∠C比∠A+∠B還大120，則這個(gè)三角形是_________角三角形7．以下列各組線段為邊能構(gòu)成三角形的是（）（A）6、10、3（B）6、9、3（C）6、2、3（D）6、8、38．如上左圖，D、E分別為AB、AC上的點(diǎn)，DB、EC相交于F，則∠A+∠B+∠C+∠EFB()（A）等于3600（B）等于1800（C）小于1800（D）大于18009．已知等腰三角形的兩邊長分別為4cm，7cm，則這三角形的周長為（）（A）15cm（B）18cm（C）15cm或18cm（D）不確定10．如下左圖，AB∥CD，CB⊥AB，若AB=4cm，△ABC的面積＝12cm2,求△ABD中AB上的高。11．已知：如下中圖，O是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且AB=AC，OB=OC，求證AB>OB12．如下右圖，在△ABC中，∠B>∠C,AD是BC邊上的高，AE是∠BAC的平分線，求證：∠DAE=（∠B-∠C）專題訓(xùn)練答案：1．×2．×3．√4．4，△BAE、△DEF、△CBF、△CAD，A，D，C，∠A、∠ADC、∠C，AD；5．>6．鈍；7．D；8．B；9．C10．6厘米；11．提示：延長CO交AB于D12．提示∠∠四、同步測試：1．三角形中有一條邊比第二條邊長3cm，這條邊又比第三條邊短4cm，這個(gè)三角形的周長為28cm，則這個(gè)三角形最短邊的長為_______cm2．如果三角形的三邊長分別為m-1,m,m+1(m為正數(shù))，m的取值范圍為___________3．已知下列各組數(shù)據(jù),可以構(gòu)成等腰三角形的是()（A）1、2、1（B）2、2、1（C）1、3、1（D）2、2、54．三角形的三條高相交于一點(diǎn)，這個(gè)交點(diǎn)的位置在（）（A）三角形內(nèi)（B）三角形外（C