平面彎曲內(nèi)力

平面彎曲內(nèi)力第1頁(yè)，共38頁(yè)，2023年，2月20日，星期一§7.1

平面彎曲的概念與實(shí)例彎曲是工程實(shí)際中最常見(jiàn)的一種基本變形。

例如：火車輪軸受力后的變形；工廠車間里的行車受力后的變形；還有水泥梁、公路上的橋梁等受力后的變形。7.1.1平面彎曲的概念與實(shí)例

彎曲：構(gòu)件在通過(guò)其軸線的面內(nèi)，受到力偶或垂直于軸線的橫向外力的作用（受力特點(diǎn)），桿的軸線由直線變?yōu)榍€（變形特點(diǎn)）。

第2頁(yè)，共38頁(yè)，2023年，2月20日，星期一平面彎曲：如果梁有一個(gè)或幾個(gè)縱向?qū)ΨQ面（梁的軸線應(yīng)為該縱向?qū)ΨQ面內(nèi)的一條平面直線，且該縱向?qū)ΨQ面與各橫截面的交線也是各橫截面的對(duì)稱軸），當(dāng)作用于梁上的所有外力（包括橫向外力、力偶、支座反力等）都位于梁的某一縱向?qū)ΨQ面內(nèi)時(shí)，使得梁的軸線由直線變?yōu)樵诳v向?qū)ΨQ面內(nèi)的一條平面曲線，這種彎曲變形就稱為平面彎曲。梁：變形為彎曲變形或以彎曲變形為主的桿件，工程上習(xí)慣稱之為梁。

§7.1

平面彎曲的概念與實(shí)例第3頁(yè)，共38頁(yè)，2023年，2月20日，星期一

1.簡(jiǎn)支梁梁的一端為活動(dòng)鉸支座，另一端為固定鉸支座。

2.外伸梁梁的一端或兩端伸出支座之外的簡(jiǎn)支梁。

3.懸臂梁梁的一端為固定端支座、另一端自由。

根據(jù)支座對(duì)梁約束的不同特點(diǎn)（支座可簡(jiǎn)化為三種形式：活動(dòng)鉸支座、固定鉸支座、固定端支座），簡(jiǎn)單的梁有三種類型：

一、梁的計(jì)算簡(jiǎn)圖

簡(jiǎn)化為一直桿并用梁的軸線來(lái)表示。二、梁的分類

7.1.2梁的計(jì)算簡(jiǎn)圖及分類

§7.1

平面彎曲的概念與實(shí)例第4頁(yè)，共38頁(yè)，2023年，2月20日，星期一又如：為了減少懸臂梁的變形和提高其強(qiáng)度，在梁的自由端增設(shè)一活動(dòng)鉸支座后，梁也就成了一次超靜定梁。例如：為了減少簡(jiǎn)支梁的變形和提高其強(qiáng)度，在梁的跨中增設(shè)一活動(dòng)鉸支座后，梁就成了一次超靜定梁。

這三種梁承受載荷后的支座反力都可由靜力平衡方程求得，故一般將它們統(tǒng)稱為靜定梁，如梁的支座反力的數(shù)目多于靜力平衡方程的數(shù)目的梁，用靜力平衡方程無(wú)法求得全部支座反力，這類梁稱為超靜定梁。

§7.1

平面彎曲的概念與實(shí)例第5頁(yè)，共38頁(yè)，2023年，2月20日，星期一§7.2

平面彎曲內(nèi)力—剪力與彎矩

7.2.1截面法求內(nèi)力

問(wèn)題：梁在發(fā)生平面彎曲變形時(shí)，橫截面上會(huì)產(chǎn)生何種內(nèi)力素？在橫截面上會(huì)有幾種內(nèi)力素同時(shí)存在？如何求出這些內(nèi)力素？

例：欲求圖示簡(jiǎn)支梁任意截面1-1上的內(nèi)力。

1.截開(kāi)：

在1-1截面處將梁截分為左、右兩部分，取左半部分為研究對(duì)象。

2.代替：

在左半段的1-1截面處添畫內(nèi)力、，(由平衡解釋)代替右半部分對(duì)其作用。

第6頁(yè)，共38頁(yè)，2023年，2月20日，星期一3.平衡：整個(gè)梁是平衡的，截開(kāi)后的每一部分也應(yīng)平衡。

由

得

由

得

如取右半段為研究對(duì)象，同樣可以求得截面1-1上的內(nèi)力和，但左、右半段求得的及數(shù)值相等，方向（或轉(zhuǎn)向）相反。

7.2.2剪力和彎矩

：是橫截面上切向分布內(nèi)力分量的合力，因與截面1-1相切，故稱為截面1-1的剪力。

：是橫截面上法向分布內(nèi)力分量的合力偶矩，因在縱向?qū)ΨQ面內(nèi)且與截面垂直，故稱為截面1-1的彎矩。

§7.2

平面彎曲內(nèi)力—剪力與彎矩

第7頁(yè)，共38頁(yè)，2023年，2月20日，星期一由于取左半段與取右半段所得剪力和彎矩的方向（或轉(zhuǎn)向）相反，為使無(wú)論取左半段或取右半段所得剪力和彎矩的正負(fù)符號(hào)相同，必須對(duì)剪力和彎矩的正負(fù)符號(hào)做適當(dāng)規(guī)定。

剪力的正負(fù)：

使微段梁產(chǎn)生左側(cè)截面向上、右側(cè)截面向下的剪力為正，反之為負(fù)。

彎矩的正負(fù)：

使微段梁產(chǎn)生上凹下凸彎曲變形的彎矩為正，反之為負(fù)。

歸納剪力和彎矩的計(jì)算公式：

§7.2

平面彎曲內(nèi)力—剪力與彎矩

第8頁(yè)，共38頁(yè)，2023年，2月20日，星期一（截面上的剪力等于截面一側(cè)所有橫向外力的代數(shù)和。）

（截面上的彎矩等于截面一側(cè)所有外力對(duì)截面形心取力矩的代數(shù)和。）

公式中外力和外力矩的正負(fù)規(guī)定：

剪力公式中外力的正負(fù)規(guī)定：截面左段梁上向上作用的橫向外力或右段梁上向下作用的橫向外力在該截面上產(chǎn)生的剪力為正，反之為負(fù)。以上可歸納為一個(gè)簡(jiǎn)單的口訣“左上、右下為正”。

§7.2

平面彎曲內(nèi)力—剪力與彎矩

第9頁(yè)，共38頁(yè)，2023年，2月20日，星期一彎矩公式中外力矩的正負(fù)規(guī)定：截面左段梁上的橫向外力（或外力偶）對(duì)截面形心的力矩為順時(shí)針轉(zhuǎn)向或右段梁上的橫向外力（或外力偶）對(duì)截面形心的力矩為逆時(shí)針轉(zhuǎn)向時(shí)，在該截面上產(chǎn)生的彎矩為正，反之為負(fù)。以上也可歸納為一個(gè)簡(jiǎn)單的口訣“左順、右逆為正”。

例7.1簡(jiǎn)支梁如圖所示。試求圖中各指定截面的剪力和彎矩。解（1）求支反力設(shè)、方向向上。由

及

（2）求指定截面的剪力和彎矩§7.2

平面彎曲內(nèi)力—剪力與彎矩

可求得kNFkNFBA1010==第10頁(yè)，共38頁(yè)，2023年，2月20日，星期一（由1-1截面左側(cè)計(jì)算）

§7.2

平面彎曲內(nèi)力—剪力與彎矩

（由1-1截面左側(cè)計(jì)算）

1011011kN·mFMA=

×=×=（由2-2截面左側(cè)計(jì)算）

212102kNFFFAS-=-=-=（由2-2截面左側(cè)計(jì)算）

100110012kN·mFFMA=-×=×-×=×（由3-3截面右側(cè)計(jì)算）

2102423kNFqFBS-=-×=-+=（由3-3截面右側(cè)計(jì)算）

821012442123kN·mFqMMBe××××××=+--=+--=（由4-4截面右側(cè)計(jì)算）

2102424kNFqFBS-=-×=-×+=（由4-4截面右側(cè)計(jì)算）

122101242124kN·mFqMB=×+××-=×+××-=第11頁(yè)，共38頁(yè)，2023年，2月20日，星期一從以上1-1、2-2截面的剪力值可以看出，在集中力作用處的兩側(cè)截面的剪力值將發(fā)生突變，突變值就等于該集中力的大?。欢鴱?-3、4-4截面的彎矩值可以看出，在集中力偶作用處的兩側(cè)截面的彎矩值將發(fā)生突變，突變值就等于該集中力偶矩的大小?！?.2

平面彎曲內(nèi)力—剪力與彎矩

第12頁(yè)，共38頁(yè)，2023年，2月20日，星期一7.3.1剪力方程與彎矩方程

梁橫截面上的剪力與彎矩是隨著截面的位置而發(fā)生變化的，以橫坐標(biāo)表示橫截面的位置，則其剪力和彎矩都可以表示為的函數(shù)。

即：

將其稱為梁的剪力方程與彎矩方程。

§7.3

剪力圖與彎矩圖列內(nèi)力方程時(shí)應(yīng)根據(jù)梁上載荷的分布情況分段進(jìn)行，集中力（包括支座反力）、集中力偶的作用點(diǎn)和分布載荷的起、止點(diǎn)均為分段點(diǎn)。

7.3.2剪力圖與彎矩圖

為了一目了然地表示出梁的各橫截面上剪力與彎矩沿梁軸線的分布第13頁(yè)，共38頁(yè)，2023年，2月20日，星期一情況，通?？梢詾闄M坐標(biāo)，以各內(nèi)力為縱坐標(biāo)，繪出和的函數(shù)圖象，將其稱為剪力圖與彎矩圖。從剪力圖與彎矩圖上可以很方便地確定梁的最大剪力和最大彎矩，從而迅速確定梁危險(xiǎn)截面的位置。

繪制剪力圖與彎矩圖的最基本方法是列剪力方程與彎矩方程繪制內(nèi)力圖。

例7.2如圖所示簡(jiǎn)支梁AB

，受向下均布載荷作用。試列出梁的剪力方程與彎矩方程。并畫出剪力圖與彎矩圖。

§7.3剪力圖與彎矩圖第14頁(yè)，共38頁(yè)，2023年，2月20日，星期一§7.3剪力圖與彎矩圖解：1）求支反力由對(duì)稱關(guān)系，。

2）列剪力方程和彎矩方程

（a）

（b）

3）繪制剪力圖與彎矩圖

第15頁(yè)，共38頁(yè)，2023年，2月20日，星期一§7.3剪力圖與彎矩圖由式（a）可知剪力圖為一條斜直線，斜率為，向下傾斜（即左高右低）。

由式（b）可知彎矩圖為一條開(kāi)口向下的拋物線。可采用三點(diǎn)繪圖法繪制其彎矩圖。

(1)起點(diǎn)

(2)終點(diǎn)

根據(jù)時(shí)，；時(shí)，。

即可繪出剪力圖。（a）

（b）

第16頁(yè)，共38頁(yè)，2023年，2月20日，星期一（3）極值點(diǎn)（拋物線的最高點(diǎn)或最低點(diǎn)）

令可得（從而確定了極值截面的位置）

將代入彎矩計(jì)算公式得（此即拋物線頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)，即可繪出拋物線，也就是梁的彎矩圖。

由剪力圖與彎矩圖可以很方便地看出：

最大剪力發(fā)生在兩端截面的內(nèi)側(cè)，其絕對(duì)值為；

最大彎矩發(fā)生在中截面，。

§7.3剪力圖與彎矩圖第17頁(yè)，共38頁(yè)，2023年，2月20日，星期一

例7.3

圖7.14a所示簡(jiǎn)支梁AB，在C點(diǎn)受集中力F作用，試列出梁的剪力方程和彎矩方程，并畫出剪力圖和彎矩圖。

解1）求支反力由平衡方程得

內(nèi)力，即可得AC的剪力方程和彎矩方程：

2）分段列剪力方程和彎矩方程

對(duì)AC段，在段內(nèi)取坐標(biāo)為的截面計(jì)算

§7.3

剪力圖與彎矩圖

(a)(b)第18頁(yè)，共38頁(yè)，2023年，2月20日，星期一

3）繪制剪力圖和彎矩圖§7.3剪力圖與彎矩圖同理可得CB段的剪力方程和彎矩方程：

(d)(c)第19頁(yè)，共38頁(yè)，2023年，2月20日，星期一式（b）表示在AC段內(nèi)的彎矩圖是一條向右上方傾斜的斜直線，

由

決定。

而式（d）表示在BC段內(nèi)的彎矩圖是一條向右下方傾斜的斜直線，

由

決定整個(gè)梁的彎矩圖在集中力F作用處形成一折角。由圖和圖可知，當(dāng)時(shí)，CB

段內(nèi)任意截面上的剪力值為最大，；當(dāng)時(shí)，AC

段內(nèi)任意截面上的剪力值為最大，

§7.3剪力圖與彎矩圖第20頁(yè)，共38頁(yè)，2023年，2月20日，星期一從圖上可以看出，在集中力F作用的C

截面處，剪力值發(fā)生了突變，突變值就等于該集中力的大小。

例7.4圖示簡(jiǎn)支梁AB

，在C

截面處受集中力偶作用。試列出梁的剪力方程和彎矩方程，并畫出剪力圖和彎矩圖。

解1）求支反力

§7.3剪力圖與彎矩圖。梁上的最大彎矩值發(fā)生在集中力F作用的C

截面上，其值為：。第21頁(yè)，共38頁(yè)，2023年，2月20日，星期一同理，可得CB

段的剪力方程和彎矩方程：

§7.3剪力圖與彎矩圖2）分段列剪力方程和彎矩方程

對(duì)AC段，在段內(nèi)取坐標(biāo)為的截面計(jì)算內(nèi)力，即可得AC的剪力方程和彎矩方程：第22頁(yè)，共38頁(yè)，2023年，2月20日，星期一

由式（a）和（c），圖為一條平行于軸的水平線。由此可見(jiàn)，集中力偶對(duì)圖無(wú)影響，梁上任一截面的剪力均為最大值。

由式（b）和（d）可知，在AC

和CB

段內(nèi)，彎矩圖均為斜率為的斜直線，相互平行，但在集中力偶作用的C

截面處，圖發(fā)生突變，突變的絕對(duì)值等于集中力偶的大小。若，則在C

點(diǎn)的左側(cè)截面上有最大彎矩；若，則在C

點(diǎn)的右側(cè)截面上有最大彎§7.3剪力圖與彎矩圖矩。

第23頁(yè)，共38頁(yè)，2023年，2月20日，星期一如何能比較簡(jiǎn)單、方便地繪制梁的剪力圖與彎矩圖呢？

下面我們來(lái)看一下前面學(xué)習(xí)過(guò)的例7.2，梁的剪力方程與彎矩方程分別為：

§7.4

彎矩、剪力和載荷集度間的關(guān)系

如果將彎矩方程和剪力方程分別對(duì)求導(dǎo)數(shù)，求導(dǎo)的結(jié)果恰好是剪力方程和載荷集度（設(shè)q以向上時(shí)為正）。即：

（7.3）

第24頁(yè)，共38頁(yè)，2023年，2月20日，星期一§7.4彎矩、剪力和載荷集度間的關(guān)系設(shè)圖示簡(jiǎn)支梁AB

上作用有任意載荷，作用于微段梁上的載荷集度可以認(rèn)為是均布的。建立直角坐標(biāo)系（一般以左端面的形心A

為坐標(biāo)原點(diǎn)，規(guī)定分布載荷向上時(shí)為正。

在這些力作用下，由于整個(gè)梁原本是平衡的，所以微段梁也處于平衡狀態(tài)。取微段梁為研究對(duì)象，設(shè)其左側(cè)截面上的剪力與彎矩分別為和；右側(cè)截面上的剪力與彎矩分別為和。

第25頁(yè)，共38頁(yè)，2023年，2月20日，星期一由

（a）

由

（b）

由（a）可得：

（7.3a）

由（b）略去二階微量

整理后可得：

（7.3b）

將（7.3b）代入（7.3a）可得：

（7.3c）

綜合以上三式，可寫為：

式（7.3a）表示：剪力圖中曲線上某點(diǎn)的斜率等于梁上對(duì)應(yīng)點(diǎn)處的載荷集度；式（7.3b）表示：彎矩圖中曲線上某點(diǎn)的斜率等于梁上對(duì)應(yīng)截面上的剪力?！?.4彎矩、剪力和載荷集度間的關(guān)系第26頁(yè)，共38頁(yè)，2023年，2月20日，星期一§7.4彎矩、剪力和載荷集度間的關(guān)系式（7.3b）可改寫為積分形式，即

（7.4b）

式（7.4b）表示：梁上截面上的彎矩等于截面上的彎矩與對(duì)應(yīng)截面之間剪力圖曲線與

x

軸所圍幾何圖形面積的代數(shù)和。

但要注意的一點(diǎn)是：當(dāng)梁上有集中力作用時(shí)，該力作用的截面處式（7.3a）不適用；而在梁上有集中力偶作用的截面處式（7.3b）和式

（7.4b）不適用。

掌握了彎矩、剪力和載荷集度之間的關(guān)系，有助于正確、簡(jiǎn)捷地繪制剪力圖與彎矩圖。同時(shí)，也可使用其檢查已繪制好的剪力圖與彎矩圖是否有錯(cuò)誤。

第27頁(yè)，共38頁(yè)，2023年，2月20日，星期一§7.4彎矩、剪力和載荷集度間的關(guān)系根據(jù)式（7.3）和集中力、集中力偶作用的截面處內(nèi)力圖的變化規(guī)律，可以將剪力圖、彎矩圖和梁上載荷三者之間的規(guī)律小結(jié)見(jiàn)表7.1。

第28頁(yè)，共38頁(yè)，2023年，2月20日，星期一§7.4彎矩、剪力和載荷集度間的關(guān)系利用表7.1所歸納的規(guī)律，只需要計(jì)算梁上某些特殊截面的內(nèi)力值，就可以直接繪制出剪力圖與彎矩圖，而不必列出彎矩方程和剪力方程，我們將這種繪制內(nèi)力圖的方法簡(jiǎn)稱為“控制點(diǎn)作圖法”。

例7.5利用之間的關(guān)系，畫出圖示梁的內(nèi)力圖。

解1）求支反力

以梁AB

為研究對(duì)象

由

得

第29頁(yè)，共38頁(yè)，2023年，2月20日，星期一§7.4彎矩、剪力和載荷集度間的關(guān)系由

得

2）利用之間的關(guān)系，畫圖示梁的內(nèi)力計(jì)算各段起、止截面的剪力值，畫內(nèi)力圖。

a）從各截面左邊的橫向外力計(jì)算各截面剪力畫剪力圖。

第30頁(yè)，共38頁(yè)，2023年，2月20日，星期一對(duì)于右端面B

的左側(cè)面剪力，從右邊計(jì)算顯然很簡(jiǎn)捷。

注意：各剪力符號(hào)右上角的+、-號(hào)表示該截面的右截面或左截面。

由表7.1所歸納的作圖規(guī)律可知：剪力圖在AC

段為向右下傾斜的直線，在CD、DB

段內(nèi)為水平線。根據(jù)數(shù)據(jù)作圖。

b）從各截面左邊的外力（包括力偶）計(jì)算各截面彎矩，畫彎矩圖。§7.4彎矩、剪力和載荷集度間的關(guān)系第31頁(yè)，共38頁(yè)，2023年，2月20日，星期一§7.4彎矩、剪力和載荷集度間的關(guān)系對(duì)于截面D及右端面B剪力，從右邊計(jì)算顯然很簡(jiǎn)捷。

由表7.1所歸納的作圖規(guī)律可知：彎矩圖在AC

段內(nèi)為上凸的拋物線，在CD、DB

段內(nèi)為向右下傾斜的直線。根據(jù)數(shù)據(jù)作圖。

注意：關(guān)于AC

段拋物線頂點(diǎn)的坐標(biāo)確定：

首先要確定位置坐標(biāo)，其方法有兩種：

第32頁(yè)，共38頁(yè)，2023年，2月20日，星期一

(2)可由已繪制的剪力圖中，用相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例來(lái)求。

§7.4彎矩、剪力和載荷集度間的關(guān)系求出了位置坐標(biāo)，就可代入彎矩計(jì)算公式計(jì)算拋物線頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)（即彎矩的極值）。

同樣求得。由

m34=Ex

(1)據(jù)式（7.3b）可知，函數(shù)一階導(dǎo)數(shù)為零時(shí)，函數(shù)有極值，剪力為零的截面上，彎矩有極值。我們可以設(shè)此截面橫坐標(biāo)為，由求得。

m34=Ex第33頁(yè)，共38頁(yè)，2023年，2月20日，星期一§7.4彎矩、剪力和載荷集度間的關(guān)系此外，繪制完剪力圖后，也可根據(jù)剪力與彎矩間的導(dǎo)數(shù)關(guān)系，以及集中力偶作用處彎矩圖有突變的特點(diǎn)，繪制彎矩圖。

根據(jù)上面的數(shù)據(jù)同樣可以繪制彎矩圖，并可通過(guò)B、D

兩截面的彎矩值進(jìn)行校核：同理可得：

3,5,2kN