控制工程基礎第三章時域分析法

控制工程基礎第三章時域分析法第1頁，共84頁，2023年，2月20日，星期一控制工程基礎——時域分析方法的實質直接解系統(tǒng)的運動微分方程式時間域的微分方程拉氏變換復數域的代數方程復域解時域解拉氏反變換瞬態(tài)解自由解瞬態(tài)響應穩(wěn)態(tài)解強迫解穩(wěn)態(tài)響應時域問題變換方法復域問題

控制系統(tǒng)的時域分析就是在時間域內，直接求解描述系統(tǒng)性能的運動微分方程或動態(tài)方程，它們的解就是系統(tǒng)的輸出響應，亦稱為時間響應。第2頁，共84頁，2023年，2月20日，星期一3.1控制系統(tǒng)的時間響應

控制工程主要研究系統(tǒng)的零狀態(tài)響應。

一零狀態(tài)響應和零輸入響應控制系統(tǒng)的時間響應零狀態(tài)響應零輸入響應僅有激勵而初始狀態(tài)為零的響應僅有初始狀態(tài)而激勵為零時的響應

若將系統(tǒng)的初始狀態(tài)看成系統(tǒng)的另一種輸人激勵，則對于線性系統(tǒng)，根據系統(tǒng)的線性特性，其輸出總響應必然是每個輸入單獨作用時相應輸出的疊加。第3頁，共84頁，2023年，2月20日，星期一☆系統(tǒng)的零狀態(tài)響應等號右邊的第一項是系統(tǒng)的自然響應，其變化規(guī)律只取決于系統(tǒng)函數G的極點在s平面的位置，體現(xiàn)了系統(tǒng)本身的特點，與激勵函數的形式無關，其中的每一項稱為自然響應模式；第二項是系統(tǒng)的強迫響應，其變化規(guī)律只取決于輸入激勵u的極點在S平面的位置，即輸入信號的性質。但是待定系數與G和u的零極點分布都有關系。零狀態(tài)響應為：設系統(tǒng)輸入為：設系統(tǒng)傳遞函數為：若函數中不含有多重極點，可展成部分分式:取拉氏反變換，得到零狀態(tài)響應:零狀態(tài)響應的模式由系統(tǒng)G（s）和輸入u（s）的極點共同確定。第4頁，共84頁，2023年，2月20日，星期一☆瞬態(tài)響應和穩(wěn)態(tài)響應

若u(s)的極點實部大于或等于零，或者極點在原點，仍假定G(s)具有負實部的極點，在此情況下，自然響應就是瞬態(tài)響應，強迫響應就是穩(wěn)態(tài)響應。

根據微分方程理論，系統(tǒng)的強迫響應的函數結構與微分方程的右函數（自變量）結構相同，即與輸入信號結構相同。二瞬態(tài)響應和穩(wěn)態(tài)響應

系統(tǒng)的完全響應y(t)還可以分為瞬態(tài)響應和穩(wěn)態(tài)響應。隨著時間t的增大而衰減為零的部分為瞬態(tài)響應，其余部分為穩(wěn)態(tài)響應。瞬態(tài)響應與G(s)和u(s)都有關系。

當G(s)和u(s)的極點都在S域左半平面時，瞬態(tài)響應等于自然響應與強制響應之和，穩(wěn)態(tài)響應等于零。第5頁，共84頁，2023年，2月20日，星期一☆系統(tǒng)的時間響應第6頁，共84頁，2023年，2月20日，星期一3.2控制系統(tǒng)時間響應的求解一基于傳遞函數的輸出響應求解實質：用拉普拉斯反變換求解系統(tǒng)運動微分方程求系統(tǒng)的零狀態(tài)響應，可按下列步驟進行：(1)設初始條件為零，對高階微分方程進行拉氏變換；(2)求解關于s的代數方程得輸出響應的拉氏變換Y(s)；(3)對y(s)進行部分分式展開；(4)取反變換后，得到y(tǒng)(t)。例1已知系統(tǒng)的傳遞函數，輸人為單位階躍函數，初始條件均為零。求系統(tǒng)的輸出響應。解：根據傳遞函數定義有：階躍輸入的拉氏變換為：部分分式展開：第7頁，共84頁，2023年，2月20日，星期一基于傳遞函數的輸出響應求解待定系數的求法：用乘上式兩邊，取s→pi的極限。注意：系統(tǒng)傳遞函數的兩個極點在指數上。第一項是穩(wěn)態(tài)響應，是階躍函數；后兩項是瞬態(tài)響應，因系統(tǒng)極點具有負實部，隨著時間的增加將逐漸衰減為零。極點距s平面虛軸越遠衰減越快。結論：系統(tǒng)極點決定了系統(tǒng)瞬態(tài)響應的特性。

取反變換后，得到y(tǒng)(t)第8頁，共84頁，2023年，2月20日，星期一系統(tǒng)的零點對響應的影響

可見，盡管這兩個系統(tǒng)的極點相同,但由于零點不同,它們的響應截然不同，系統(tǒng)1有超調。例2已知兩個系統(tǒng)的傳遞函數單位階躍響應分別為

系統(tǒng)的零點影響系統(tǒng)響應曲線的形狀。結論第9頁，共84頁，2023年，2月20日，星期一3.3

控制系統(tǒng)動態(tài)性能分析

控制系統(tǒng)必須具有良好的動態(tài)特性，從而使系統(tǒng)能迅速跟蹤參考輸入信號，并且不產生劇烈的振蕩。因此，對系統(tǒng)動態(tài)性能進行分析，改善瞬態(tài)響應是自動控制的核心工作。

為了衡量系統(tǒng)的動態(tài)性能，同時能對不同系統(tǒng)的性能進行比較，通常采用單位階躍函數作為測試信號。相應地，系統(tǒng)的響應稱為單位階躍響應。第10頁，共84頁，2023年，2月20日，星期一任何復雜系統(tǒng)都是由簡單的一階、二階系統(tǒng)組成任何復雜信號都是由簡單信號疊加而成的—傅立葉級數線性穩(wěn)定系統(tǒng)響應輸入的微分(積分)響應的微分(積分)輸入脈沖函數階躍函數加速度函數速度函數積分積分微分一、低階系統(tǒng)的階躍響應分析第11頁，共84頁，2023年，2月20日，星期一（一）一階系統(tǒng)的階躍響應舉例

特點：有一個蓄能元件，含時間常數，具有慣性，輸出滯后輸入。

響應分析：：時間常數第12頁，共84頁，2023年，2月20日，星期一

一階系統(tǒng)的脈沖響應單位脈沖函數的拉氏變換為1，所以記系統(tǒng)的單位脈沖響應函數為g（t），那么00-0.0180.0184T-0.1350.1352T-0.3680.368T0t一階系統(tǒng)時域指標：

一階系統(tǒng)對單位階躍輸入的響應達到穩(wěn)態(tài)值的98%所對應的時間為系統(tǒng)的過渡過程時間，為4T。

一階系統(tǒng)對單位脈沖輸入的響應達到初始值的2%所對應的時間為系統(tǒng)的過渡過程時間，為4T。第13頁，共84頁，2023年，2月20日，星期一一階系統(tǒng)的時間響應分析練習：一階系統(tǒng)的結構下圖所示.試求該系統(tǒng)單位階躍響應的調節(jié)時間。如果要求秒,試求系統(tǒng)的反饋系數應如何取值?圖一階系統(tǒng)結構圖第14頁，共84頁，2023年，2月20日，星期一一階系統(tǒng)的時間響應分析解：（1）寫出閉環(huán)傳遞函數因此調節(jié)時間：(2)現(xiàn)求滿足秒的反饋系數：假設系統(tǒng)的反饋系數為，由結構圖寫出閉環(huán)傳遞函數第15頁，共84頁，2023年，2月20日，星期一一階系統(tǒng)的時間響應分析根據題意：則：第16頁，共84頁，2023年，2月20日，星期一一階系統(tǒng)的時間響應現(xiàn)將一階系統(tǒng)的典型輸入響應歸納成下表：第17頁，共84頁，2023年，2月20日，星期一一階系統(tǒng)示例例：電氣傳感器第18頁，共84頁，2023年，2月20日，星期一一階系統(tǒng)示例例：電氣傳感器第19頁，共84頁，2023年，2月20日，星期一一階系統(tǒng)應用示例例：電氣傳感器傳遞函數模型：第20頁，共84頁，2023年，2月20日，星期一一階系統(tǒng)應用示例電氣傳感器第21頁，共84頁，2023年，2月20日，星期一一階系統(tǒng)應用示例溫度控制系統(tǒng)的方框圖模型第22頁，共84頁，2023年，2月20日，星期一一階系統(tǒng)示例機械系統(tǒng)第23頁，共84頁，2023年，2月20日，星期一一階系統(tǒng)示例機械系統(tǒng)第24頁，共84頁，2023年，2月20日，星期一一階系統(tǒng)示例機械系統(tǒng)第25頁，共84頁，2023年，2月20日，星期一一階系統(tǒng)示例電路系統(tǒng)第26頁，共84頁，2023年，2月20日，星期一一階系統(tǒng)示例電路系統(tǒng)第27頁，共84頁，2023年，2月20日，星期一一階系統(tǒng)示例電路系統(tǒng)第28頁，共84頁，2023年，2月20日，星期一二階系統(tǒng)以二階微分方程描述的控制系統(tǒng)，稱為二階系統(tǒng)。第29頁，共84頁，2023年，2月20日，星期一二階系統(tǒng)第30頁，共84頁，2023年，2月20日，星期一二階系統(tǒng)第31頁，共84頁，2023年，2月20日，星期一(二)二階系統(tǒng)的階躍響應二階系統(tǒng)結構如圖

二階系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數為

注意典型環(huán)節(jié)與系統(tǒng)的聯(lián)系與區(qū)別

二階系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數為

1.二階系統(tǒng)的傳遞函數第32頁，共84頁，2023年，2月20日，星期一2.二階系統(tǒng)閉環(huán)極點的分布根據系統(tǒng)阻尼比ζ的值，二階系統(tǒng)有：由圖可知第33頁，共84頁，2023年，2月20日，星期一2.二階系統(tǒng)閉環(huán)極點的分布第34頁，共84頁，2023年，2月20日，星期一3.二階系統(tǒng)的響應曲線⑴系統(tǒng)在s左半平面上有一對共軛復數極點①欠阻尼系統(tǒng)

欠阻尼系統(tǒng)的瞬態(tài)響應是正弦衰減振蕩，衰減的快慢與系統(tǒng)極點的負實部有關，距虛軸越遠，衰減越快；振蕩頻率取決于極點的虛部。阻尼比影響振蕩的程度。注意極點的負實部在指數上，虛部是振蕩頻率。第35頁，共84頁，2023年，2月20日，星期一一般希望二階系統(tǒng)工作在ξ=0.4~0.8的欠阻尼狀態(tài)，因為這個工作狀態(tài)有一個振蕩特性適度而持續(xù)時間較短的響應過程。稱ξ=0.707為最佳阻尼比。決定響應過程的是瞬態(tài)響應部分。選擇合適的響應過程實際上就是選擇合適的瞬態(tài)響應，也就是選擇合適的特征參數ωn與ξ的值。3.二階系統(tǒng)的響應曲線⑴第36頁，共84頁，2023年，2月20日，星期一3.二階系統(tǒng)的響應曲線⑵②無阻尼系統(tǒng)有一對共軛虛極點，響應是等幅振蕩曲線③臨界阻尼系統(tǒng)④過阻尼系統(tǒng)兩個相同的負實數極點，兩個相同的慣性環(huán)節(jié)的串聯(lián)有兩個負實數極點單調上升曲線單調上升但不會超過穩(wěn)態(tài)值，響應是非振蕩的。兩個極點中離s平面原點較遠的極點對應的瞬態(tài)分量幅值較小，衰減較快。隨著阻尼比的增大，其中一個極點將越來越遠離s平面原點，其幅值越來越小，衰減越來越快；而另一個極點越來越靠近原點，其幅值越來越大，衰減越來越慢。當阻尼比ζ》1時，式右邊最后一項可以忽略，二階系統(tǒng)可以用靠近原點的那個極點所表示的一階系統(tǒng)來近似分析。第37頁，共84頁，2023年，2月20日，星期一4.系統(tǒng)階躍響應的特點分析①響應特性與閉環(huán)極點位置有關

②響應的快慢與極點距離虛軸的遠近有關

③阻尼比ζ和無阻尼自然頻率ωn確定了系統(tǒng)動態(tài)特性

閉環(huán)極點具有負實部，時間趨向無窮大時，瞬態(tài)響應趨于零，系統(tǒng)穩(wěn)定。極點距離虛軸近，對應的響應模式衰減慢；距離越遠衰減越快。阻尼比ζ確定了系統(tǒng)響應振蕩特性—響應平穩(wěn)性。ζ越小，響應振蕩越劇烈；ζ越大，響應越緩慢呆滯。無阻尼自然頻率ωn確定了系統(tǒng)瞬態(tài)響應過程時間的長短—響應快速性。ωn越小，即時間常數T越大，響應就慢，反之，ωn越大，即時間常數T越小，響應就越快。響應快速性與響應平穩(wěn)性是相互矛盾的。共軛復數極點：衰減正弦振蕩曲線，系統(tǒng)穩(wěn)定。負實數極點：響應是單調上升曲線，系統(tǒng)穩(wěn)定。共軛虛極點：等幅振蕩曲線，系統(tǒng)臨界穩(wěn)定。

第38頁，共84頁，2023年，2月20日，星期一二、高階系統(tǒng)的時域響應

不失一般性，高階系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數可表示為：

當輸入為階躍函數時，輸出可表示為：

通過拉氏反變換，輸出響應可表示為：第39頁，共84頁，2023年，2月20日，星期一閉環(huán)主導極點

當某極點（一對共軛極點）離虛軸很近，其余極點實部之模大于該極點（該對共軛極點）實部模的5倍以上時，則其他極點對應的響應持續(xù)時間很短，系統(tǒng)輸出響應可以近似地視為該極點（該對共軛極點）所產生，其余極點對應的響應可以忽略不計。該極點（該對共軛極點）稱為系統(tǒng)的閉環(huán)主導極點。據此，假如閉環(huán)主導極點附近沒有閉環(huán)零點時，可以消去其他遠極點而實現(xiàn)對系統(tǒng)的降階。

須注意保持系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)增益不變。第40頁，共84頁，2023年，2月20日，星期一2.偶極子

假如某極點與某零點很近，那么由該極點產生的響應的將很小，因而該響應分量在全部響應中所占的“權重”也必然很小，可以忽略不計。這對零點和極點稱為偶極子。高階系統(tǒng)降階時可以同時取消偶極子，但須注意保持系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)增益不變。第41頁，共84頁，2023年，2月20日，星期一3.高階系統(tǒng)降階舉例

已知系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數為：四個閉環(huán)極點為：單個閉環(huán)零點為：消去偶極子和遠極點后得到：第42頁，共84頁，2023年，2月20日，星期一三、用Matlab求系統(tǒng)響應步驟1：啟動Matlab第43頁，共84頁，2023年，2月20日，星期一步驟2：設置工作文件路徑第44頁，共84頁，2023年，2月20日，星期一步驟3：打開文件編輯窗口，輸入、編輯文件并存盤。下圖示例中傳遞函數為：第45頁，共84頁，2023年，2月20日，星期一步驟4：運行文件，顯示結果。第46頁，共84頁，2023年，2月20日，星期一第47頁，共84頁，2023年，2月20日，星期一例2降階前后階躍響應對比。第48頁，共84頁，2023年，2月20日，星期一四、控制系統(tǒng)時域動態(tài)性能指標最大超調量:相對穩(wěn)定性,響應平穩(wěn)性,阻尼程度時間指標：響應的快速性。注意：響應的平穩(wěn)性與快速性是相互矛盾的。第49頁，共84頁，2023年，2月20日，星期一時域動態(tài)性能指標概念與定義線性控制系統(tǒng)典型的單位階躍響應曲線延遲時間td：系統(tǒng)階躍響應達到穩(wěn)態(tài)值50%所需的時間。上升時間tr：系統(tǒng)階躍響應從穩(wěn)態(tài)值的10%第一次達到穩(wěn)態(tài)值的90%所需的時間。第50頁，共84頁，2023年，2月20日，星期一時域動態(tài)性能指標概念與定義

峰值時間tp：響應第一次到達最大峰值所需時間。調節(jié)時間ts：系統(tǒng)階躍響應曲線進入并保持在穩(wěn)態(tài)值±Δ%允許誤差范圍內的最小時間?！捆?取穩(wěn)態(tài)值的±2%或±5%，根據系統(tǒng)所完成的任務而定。調節(jié)時間又稱調整時間、過渡過程時間。

超調量σ：又稱最大超調量，反映系統(tǒng)響應振蕩的劇烈程度。

振蕩次數N：在調節(jié)時間ts內，響應曲線振蕩的次數。

在上述指標中，調節(jié)時間和超調量反映了對系統(tǒng)動態(tài)性能最重要的要求：響應快速性和相對穩(wěn)定性。第51頁，共84頁，2023年，2月20日，星期一2.欠阻尼二階系統(tǒng)時域性能指標計算

只有二階系統(tǒng)可以推導出上述性能指標的解析式，其他系統(tǒng)只能從響應曲線、仿真結果中獲取相應指標數值。

延遲時間、上升時間、峰值時間和調節(jié)時間都是系統(tǒng)無阻尼自然頻率和阻尼比的函數，當阻尼比給定時，系統(tǒng)自然頻率越高，這些時間指標越短，系統(tǒng)響應越快。

超調量僅僅是阻尼比的函數。進一步思考的問題：①綜合性能指標；②高階系統(tǒng)的降階處理；③速度反饋的作用；④傳遞函數零點的影響；⑤系統(tǒng)對輸入信號的微分（積分）的響應，等于系統(tǒng)對輸入信號響應的微分（積分）。第52頁，共84頁，2023年，2月20日，星期一☆自然響應模式的概念⑴若輸出函數中不含有多重極點，可展成部分分式:

取拉氏反變換，得到零狀態(tài)響應:

零狀態(tài)響應的模式由系統(tǒng)G(s)和輸入R(s)的極點共同確定。式中，等號右邊的第一項和式是系統(tǒng)的自然響應，其變化規(guī)律只取決于系統(tǒng)函數G(s)的極點在S平面的位置，體現(xiàn)了系統(tǒng)本身的特點，與激勵函數的形式無關，其中的每一項稱為自然響應模式，亦稱為主振型、主模態(tài)；第二項和式是系統(tǒng)的強迫響應，其變化規(guī)律只取決于輸入激勵R(s)的極點在S平面的位置。但是待定系數Ck（留數）與G(s）和R(s）的零點、極點分布都有關系。第53頁，共84頁，2023年，2月20日，星期一☆自然響應模式的概念⑵單重實數極點p單重共軛復數極點α±jβ

r重實數極點pr重共軛復數極點α±jβ

第54頁，共84頁，2023年，2月20日，星期一☆自然響應模式的概念⑶

當G(s)的極點與R(s)的零點或G(s)的零點和R(s)的極點相消時，就會使G(s)的極點所對應的自然響應模式或R(s)的極點所對應的強迫響應模式消失。若將系統(tǒng)的初始狀態(tài)看成系統(tǒng)的另一種輸人激勵，一般它相當于脈沖信號，可以證明零輸入響應(自然響應)的模式由D(s)＝0的根確定，它的幅度和相位則與初始狀態(tài)有關。這里D(s)=0稱為系統(tǒng)的特征方程，其根稱為特征根或系統(tǒng)的固有頻率?？梢哉f零輸入響應的模式由系統(tǒng)的固有頻率確定。如果G(s)沒有零、極點相消，則特征方程D(s)=0的根也就是G(s)的極點，則零輸入響應的模式由G(s)的極點確定。但是，當G(s)有零極點相消時，系統(tǒng)的某些固有頻率在G(s)的極點中將不再出現(xiàn)，這時零輸入響應的模式不再由G(s)的極點確定，但G(s)的零極點是否相消，并不影響零狀態(tài)響應的模式。這一現(xiàn)象說明，系統(tǒng)傳遞函數G(s)一般只用于研究系統(tǒng)的零狀態(tài)響應。第55頁，共84頁，2023年，2月20日，星期一☆學習中應思考的問題

綜合性能指標高階系統(tǒng)的降階處理速度反饋的作用傳遞函數零點的影響系統(tǒng)對輸入信號的微分（積分）的響應，等于系統(tǒng)對輸入信號響應的微分（積分）。系統(tǒng)結構及其結構參數系統(tǒng)的零點和極點系統(tǒng)的瞬態(tài)、穩(wěn)態(tài)特性即系統(tǒng)性能瞬態(tài)性能指標響應的快速性響應的平穩(wěn)性無阻尼自然振動頻率ωn系統(tǒng)阻尼比ζ第56頁，共84頁，2023年，2月20日，星期一3.4線性控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析

穩(wěn)定性的概念穩(wěn)定性的物理意義系統(tǒng)穩(wěn)定的必要充分條件穩(wěn)定性判據系統(tǒng)穩(wěn)定性分析第57頁，共84頁，2023年，2月20日，星期一一穩(wěn)定性概念與物理意義⒈系統(tǒng)穩(wěn)定與不穩(wěn)定舉例

穩(wěn)定不穩(wěn)定c點穩(wěn)定，a、e點不穩(wěn)定

當系統(tǒng)受到外界干擾后，顯然它的平衡狀態(tài)被破壞，但它仍能恢復到原有平衡狀態(tài)下繼續(xù)工作，系統(tǒng)的這種性能，通常稱為穩(wěn)定性。穩(wěn)定性是系統(tǒng)的一個動態(tài)屬性。穩(wěn)定是系統(tǒng)能夠工作的首要條件！第58頁，共84頁，2023年，2月20日，星期一一、穩(wěn)定性概念與物理意義

系統(tǒng)處于偏離平衡位置的初始狀態(tài)，且不存在輸入作用，若在初始狀態(tài)的影響下，系統(tǒng)的時間響應隨著時間的推移，逐漸衰減并趨向于零，即回到平衡狀態(tài)，則稱該系統(tǒng)是穩(wěn)定的；反之，若在初始狀態(tài)影響下,系統(tǒng)的時間響應隨時間的推移發(fā)散(即偏離平衡位置來越遠)，則稱該系統(tǒng)不穩(wěn)定。——小偏差穩(wěn)定⒉穩(wěn)定性定義穩(wěn)定性概念

系統(tǒng)的由初始狀態(tài)所引起的時間響應隨著時間的推移，逐漸衰減并趨向于零，即回到平衡位置的性質。

系統(tǒng)在受到擾動作用后，隨著時間的推移，系統(tǒng)能恢復到原有平衡工作點的性質。數學實質：系統(tǒng)齊次微分方程的解是收斂的?！蠓秶€(wěn)定第59頁，共84頁，2023年，2月20日，星期一※穩(wěn)定性的物理意義

響應是有界的；系統(tǒng)能夠消耗初始狀態(tài)提供給系統(tǒng)的能量。

系統(tǒng)的初始狀態(tài)就是系統(tǒng)的蓄能狀態(tài)，研究系統(tǒng)穩(wěn)定性就是研究系統(tǒng)零輸入響應的情況。如果零輸入響應逐漸衰減并趨向于零，則系統(tǒng)是穩(wěn)定的，即系統(tǒng)能夠消耗系統(tǒng)初始蓄存的能量?；蛘哒f，系統(tǒng)的響應是能量有界的。（BIBO穩(wěn)定）⒊穩(wěn)定性的物理意義第60頁，共84頁，2023年，2月20日，星期一☆穩(wěn)定程度——相對穩(wěn)定性⒋穩(wěn)定程度——相對穩(wěn)定性

系統(tǒng)的零輸入響應逐漸衰減并趨于零，則系統(tǒng)穩(wěn)定；如果系統(tǒng)的零輸入響應是發(fā)散的，則系統(tǒng)不穩(wěn)定。而如果系統(tǒng)的零輸入響應趨于某一恒定值或成為等幅振蕩，則系統(tǒng)處于穩(wěn)定的邊緣，即處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)。顯然，對于實際的系統(tǒng)，臨界穩(wěn)定狀態(tài)一般是不能工作的。而且即使沒有超出臨界穩(wěn)定狀態(tài)，只要與臨界穩(wěn)定狀態(tài)接近到某一程度，系統(tǒng)在實際工作中就可能變成不穩(wěn)定。

因此，對一個實際系統(tǒng)，只知道系統(tǒng)穩(wěn)定還是不穩(wěn)定是不夠的，還要了解系統(tǒng)的穩(wěn)定程度，即系統(tǒng)必須具有穩(wěn)定性儲備。系統(tǒng)離開臨界穩(wěn)定狀態(tài)的程度，反映了系統(tǒng)穩(wěn)定的程度，稱為相對穩(wěn)定性。

第61頁，共84頁，2023年，2月20日，星期一二線性系統(tǒng)穩(wěn)定的必要充分條件

系統(tǒng)的全部特征根都必須具有負實部；反之，若特征根中只要有一個具有正實部，則系統(tǒng)必不穩(wěn)定。也可以表述為：系統(tǒng)傳遞函數G(s)的全部極點均位于[s]平面的左半開平面，則系統(tǒng)穩(wěn)定,反之，只要有一個極點位于[s]平面的右半平面，則系統(tǒng)不穩(wěn)定。

注意：系統(tǒng)運動微分方程右端各項系數，對系統(tǒng)穩(wěn)定性沒有影響，這相當于系統(tǒng)傳遞函數的各零點對穩(wěn)定性沒有影響，因為這些系數僅反映系統(tǒng)與外界作用的關系，與系統(tǒng)穩(wěn)定與否無關。線性系統(tǒng)是否穩(wěn)定，完全取決于系統(tǒng)的特征根，即取決于系統(tǒng)本身的固有特性。第62頁，共84頁，2023年，2月20日，星期一三穩(wěn)定性時域判據——Routh判據

線性定常系統(tǒng)穩(wěn)定的條件是其特征根均具有負實部。因此，要判別某系統(tǒng)的穩(wěn)定性，只要解得系統(tǒng)特征根即可。但實際控制系統(tǒng)的特征方程往往是高階的，求解困難。如果不去直接求解特征方程，就能判定系統(tǒng)的穩(wěn)定性，那么在工程上就有現(xiàn)實意義。為此形成了一系列穩(wěn)定性判據，其中最重要的是(1884年)勞斯(Routh)判據。勞斯判據是基于方程式的根和系數的關系建立起來的，它是判別系統(tǒng)穩(wěn)定性的充分必要條件。第63頁，共84頁，2023年，2月20日，星期一1.應用勞斯判據的步驟下面以六階系統(tǒng)為例說明勞斯判據的用法。步驟判據⒈列寫閉環(huán)系統(tǒng)特征方程（特征多項式）⒉列出勞斯表⒊考查勞斯表第一列元素的符號，進行判別。符號相同則系統(tǒng)穩(wěn)定，符號不同則系統(tǒng)不穩(wěn)定；符號改變的次數是正實部根的數目。第64頁，共84頁，2023年，2月20日，星期一2.勞斯判據應用舉例⒉列出勞斯表，勞斯表將有n+1行；此例有7行。⒈已知六階系統(tǒng)的特征方程為第65頁，共84頁，2023年，2月20日，星期一◎勞斯表的排列與計算第66頁，共84頁，2023年，2月20日，星期一◎勞斯判據的用法

⒊判據：當勞斯表中第一列的全部元素具有相同的符號時，系統(tǒng)的特征根全部位于s平面的左半部，而其符號改變次數恰恰就是具有正實部或位于s平面右半部的根的個數。

4.勞斯判據的其它應用計算使系統(tǒng)穩(wěn)定的某個參數的取值范圍。估計系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性。確定自激震蕩頻率。

5.兩種特殊情況的處理第一列出現(xiàn)零元素——用任意小的正數替代；出現(xiàn)全行元素都為零——用該行構造輔助方程。第67頁，共84頁，2023年，2月20日，星期一舉例1

Considerthestabilityofasystemhavingthecharacteristicequationof

Thecharacteristicequationhastworootswithpositiverealparts.Hence,thesystemisunstable.

ThecompleteRoutharrayis第68頁，共84頁，2023年，2月20日，星期一舉例2Ifafeedbackcontrolsystemhasopenlooptransferfunctionas

FindoutthevalueofKtoenabletheclosed-loopsystemtobestable.closed-loopcharacteristicequation

Routh'sarraySothatthevalueofKisas第69頁，共84頁，2023年，2月20日，星期一舉例3

FormtheRoutharray,

replacethezerobyanepsilon,ε,andcompletethearray.

Ifεischosenpositive,thesystemisunstableandhastwopolesintherighthalf-plane.Ifεischosennegative,theresultisexactlythesameasthatforapositivechoiceforε.

Thus,thesystemisunstable.第70頁，共84頁，2023年，2月20日，星期一舉例4

Determinethenumberofrighthalf-planepolesintheclosed-looptransferfunction,ifitscharacteristicequationis

Westopatthefourthrow,sincetheentirerowconsistsofzeros.Wehavetousethefollowing

procedure.

Returntotherowimmediatelyabovetherowofzerosandformanauxiliarypolynomial,usingtheentriesinthatrowascoefficients.第71頁，共84頁，2023年，2月20日，星期一舉例4(續(xù)）

DifferentiatethepolynomialwithrespecttosandobtainUsethecoefficientsoftheequationtoreplacetherowofzeros.ThustheentireRoutharraybecomes:

Allelementsinthe1stcolumnarepositive,hencethesystemisstable.？第72頁，共84頁，2023年，2月20日，星期一舉例4(續(xù)）Whenarowofzerosoccurs,thereexistsanevenoroddpolynomialdivisoroftheoriginalpolynomial.Thecoefficientsofthisdivisorpolynomialaregivenbythepreviousnonzorerowofthearray.ForthisExamplepolynomial,thedivisorisDividingtheoriginalpolynomialbythisevendivisorgives第73頁，共84頁，2023年，2月20日，星期一舉例4(續(xù)）Evenlydividingimplysthatthedivisorpolynomialisafactoroftheoriginalpolynomial.Hencetherootsofthedivisorpolynomialalsoaretherootsoftheoriginalpolynomial.Therootsare:Whichindicatesthatthedivisorrepresentstwoconjugatepairsofimaginaryaxisroots,andacturelythesystemiscriticallystable.Bythemean,theoscillationfrequenciescanbedetermined.第74頁，共84頁，2023年，2月20日，星期一3.5控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差分析控制系統(tǒng)的控制精度用穩(wěn)態(tài)誤差來表征，穩(wěn)態(tài)誤差越小控制精度越高。穩(wěn)態(tài)時系統(tǒng)的誤差分為原理性誤差和結構性誤差：與系統(tǒng)型號、輸入信號性質有關的誤差稱為原理性誤差，而因制造、間隙、死區(qū)等造成的誤差是結構性誤差。這里僅僅討論原理性誤差。

誤差與偏差的定義、關系決定系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差的因素穩(wěn)態(tài)誤差的計算方法第75頁，共84頁，2023年，2月20日，星期一一誤差與偏差的概念與關系偏差：在輸入端定義的誤差，它是輸入信號與反饋信號之差，亦稱偏差。既可計算，也可量測。誤差：在輸出端定義的誤差，它是期望輸出與實際輸出之差。只能計算，不能量測。當偏差為零時，系統(tǒng)的輸出定義為系統(tǒng)的期望輸出誤差與偏差的關系G(s)H(s)R(s)E(s)C(s)B(s)+－1/H(s)E’(s)Cd(s)+－第76頁，共84頁，2023年，2月20日，星期一二瞬態(tài)誤差和穩(wěn)態(tài)誤差

第77頁，共84頁，2023年，2月20日，星期一三主令輸入下的穩(wěn)態(tài)誤差的計算

穩(wěn)態(tài)誤差的終值與系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(即系統(tǒng)結構)和輸入信號的性質有關?、庇媒K值定理計算結論設一單位反饋控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數為

試分別求出系統(tǒng)在單位階躍、速度、加速度輸入時的穩(wěn)態(tài)誤差。⒈單位階躍輸入時：⒉單位速度輸入時：⒊單位加速度輸入時：穩(wěn)態(tài)誤差為∞。結論：0型系統(tǒng)不能跟蹤速度和加速度信號。第78頁，共84頁，2023年，2月20日，星期一⒉用靜態(tài)誤差系數計算階躍信號輸入引入位置誤差系數0型系統(tǒng)kp=K0，Ⅰ型以上系統(tǒng)kp=∞

引入速度誤差系數0型系統(tǒng)kv=∞，Ⅰ型系統(tǒng)kv=K0，Ⅱ型系統(tǒng)kp=0斜坡信號輸入加