彈性力學(xué)之平面問題的直角坐標(biāo)解答

第三節(jié)位移分量的求出第四節(jié)簡支梁受均布荷載第五節(jié)楔形體受重力和液體壓力例題第一節(jié)逆解法與半逆解法多項(xiàng)式解答第二節(jié)矩形梁的純彎曲第三章平面問題的直角坐標(biāo)解答§3－1逆解法和半逆解法多項(xiàng)式解法當(dāng)體力為常量，按應(yīng)力函數(shù)求解平面應(yīng)力問題時(shí)，應(yīng)滿足

按求解⑶多連體中的位移單值條件。⑵全部應(yīng)力邊界條件,⑴區(qū)域內(nèi)相容方程對于單連體，位移單值條件通常是自然滿足的。只須滿足(2-25),(2-15)。由求應(yīng)力的公式是(2-24)2.逆解法──先滿足(2-25),再滿足(2-15)。步驟:逆解法⑴先找出滿足的解⑶在給定邊界形狀S下，由式(2-15)反推出各邊界上的面力，⑵代入(2-24),求出從而得出，在面力(e)作用下的解答，就是上述和應(yīng)力。逆解法逆解法沒有針對性，但可以積累基本解答。例2二次式，分別表示常量的應(yīng)力和邊界面力。如圖示。例1一次式對應(yīng)于無體力，無面力，無應(yīng)力狀態(tài)。故應(yīng)力函數(shù)加減一次式，不影響應(yīng)力。逆解法2a2aoyxoyxoyxbbbb2c2c⑶代入，解出；3.半逆解法

步驟：半逆解法⑵由應(yīng)力(2-24)式，推測的函數(shù)形式；⑴假設(shè)應(yīng)力的函數(shù)形式（根據(jù)受力情況，邊界條件等）；⑷由式（2-24），求出應(yīng)力；半逆解法⑸校核全部應(yīng)力邊界條件（對于多連體，還須滿足位移單值條件）。如能滿足，則為正確解答；否則修改假設(shè)，重新求解?！?-2矩形梁的純彎曲梁l×h×1，無體力，只受M作用（力矩/單寬，與力的量綱相同）。本題屬于純彎曲問題。問題提出

h/2

h/2lyx(l>>h)oMM⑴由逆解法得出，可取，且滿足⑵求應(yīng)力(a)求解步驟：本題是平面應(yīng)力問題,且為單連體，若按求解，應(yīng)滿足相容方程及上的應(yīng)力邊界條件。⑶檢驗(yàn)應(yīng)力邊界條件，原則是:邊界條件b.后校核次要邊界（小邊界），若不能精確滿足應(yīng)力邊界條件，則應(yīng)用圣維南原理，用積分的應(yīng)力邊界條件代替。a.先校核主要邊界（大邊界），必須精確滿足應(yīng)力邊界條件。主要邊界

從式(a)可見，邊界條件(b)均滿足。滿足。主要邊界次要邊界

x=0,l,(c)的邊界條件無法精確滿足。次要邊界用兩個(gè)積分的條件代替當(dāng)時(shí)，即使在邊界上面力不同于的分布，其誤差僅影響梁的兩端部分上的應(yīng)力。式(d)的第一式自然滿足，由第二式得出最終得應(yīng)力解(e)§3-3位移分量的求出

在按應(yīng)力求解中，若已得出應(yīng)力，如何求出位移？以純彎曲問題為例，已知試求解其位移。問題提出1.由物理方程求形變求形變2.代入幾何方程求位移求位移⑴對式(a)兩邊乘積分,⑵對式(b)兩邊乘積分,求位移⑶再代入(c),并分開變量，上式對任意的x,y

都必須成立，故兩邊都必須為同一常量。求位移由此解出求位移得出位移為3.待定的剛體位移分量，須由邊界約束條件來確定。2.代入樹幾何方程窩，積分求甘；歸納：從應(yīng)力求屈位移步驟桂：3.由架邊界約醫(yī)束條件失確定確拋定剛體遲位移分鳥量由物理方羨程求出形跳變；2.蠻鉛直線膨的轉(zhuǎn)角故在任一咱截面x處，平面藝截面假設(shè)臭成立。純彎曲凱問題的夜討論：1.蘭彎應(yīng)力傾與材好料力學(xué)籠的解相礦同。3.縱向纖綁維的曲率浮同材料力砌學(xué)的結(jié)果。故在純彎曲行情況下，尚彈性力學(xué)獅解與材料福力學(xué)解相同創(chuàng)?！?-4挎簡支始梁受均布沈荷載簡支梁克，受論均布荷擔(dān)載仍及兩鬼端支撐霜反力泡。。問題yxollh/2h/2現(xiàn)采用此員假設(shè)。半逆解跳法按半逆解棒法求解。⑴假薪設(shè)應(yīng)力霧分量。破由材料隆力學(xué)因?yàn)橐驗(yàn)樗?，引可假設(shè)所以，爺可假設(shè)因?yàn)樗?，可況假設(shè)⑵由剖應(yīng)力分眉量推出凱應(yīng)力函鹽數(shù)的形田式。由對x積分，對x再積分，(a)半逆解鹿法⑶將狐代利入相容筐方程，版求解財(cái):相容方?jīng)龀虒τ跉埲魏蜗骶鶓?yīng)中滿足,凝故的系數(shù)均愁應(yīng)等于0鳳，由此得熔三個(gè)常微荷分方程。半逆解法式(b)中已略去常對于愁的一映次式。將式(b)代入式(a)，即得父。(b)半逆解挎法解出:對稱性條踢件─由于建結(jié)構(gòu)和荷迷載對稱于軸，故垂應(yīng)絡(luò)為的士偶函數(shù)，鳳為x的奇函污數(shù)，故顫。⑷由攏求借應(yīng)力。半逆解槳法在無體拆力下，盞應(yīng)力公進(jìn)式如書繼中式(f),(g),(跨h)所示。⑸考款察邊界去條件。由此解腎出系數(shù)A,狹B睡,C汽,靈D。主要邊造界主要邊骨界次要邊濤界次要邊界由此解出H，K威.另一次仇要邊界刊(x=-l)的條件乎，自然滿畏足。應(yīng)用圣維噴南原理，擦列出三個(gè)謹(jǐn)積分條件煤，最后應(yīng)暴力解答青：應(yīng)力應(yīng)力的偶量級當(dāng)?shù)r(shí),x~l同階，y~卸h同階.第一項(xiàng)冊同階繼,（與材瘡料力學(xué)解耀同）;第二項(xiàng)兄同被階,爐（彈性力吩學(xué)的修正鋪項(xiàng)）同階,偉（瘦與材料力肆學(xué)解同）應(yīng)力的狀量級同階,償（典材料力趨學(xué)中不唇計(jì)）當(dāng)開時(shí),凝量疑級的值撥很小,殼可以不說計(jì)。應(yīng)力與材惠料力學(xué)解撐比較:最主要智量級烈,李和次要夕量級庭,在怪材料力號學(xué)中均猾已反映貪，且與坡彈性力菜學(xué)相同數(shù)。最小量赴級~贊,蹲在材料切力學(xué)中握沒有。當(dāng)經(jīng)時(shí),掩僅占主錫項(xiàng)犧的砌1/1臥5腐(6眠%)揪,應(yīng)力比竿較中的彈性洪力學(xué)修正萄項(xiàng)：彈性力憐學(xué)與材擁料力學(xué)塞的解法林比較:應(yīng)力比健較彈性力學(xué)演嚴(yán)格考慮由并滿足了A內(nèi)的平衡思微分方程映,幾何鬧方程和物歪理方程,植以及S上的所春有邊界額條件(在小盤邊界上桌盡管應(yīng)萄用了圣此維南原室理,但姓只影響頸小邊界拋附近的紋局部區(qū)軍域)。材料力學(xué)立在許多方貢面都作了奴近似處理撕,所以得掉出的是近椅似解答。幾何條移件中引用平移截面假定究－－沿懷為直線吉分布；例如：邊界條長件也沒有瞇嚴(yán)格考淹慮；平衡條排件中沒有掃考慮微扶分體的誓平衡，抹只考慮湖的內(nèi)群力平衡凳；材料力學(xué)掀解往往不峰滿足相招容條件它。對于桿捧件，材芹料力學(xué)灶解法及頂解答具六有足夠株的精度拔；對于非星桿件，傻不能用材料力敞學(xué)解法求解訊，應(yīng)采用彈性力向?qū)W解法求長解?！?-管5楔丟形體受股重力及棋液體壓冶力設(shè)有楔形丹體，左面打垂直，頂伏角為α，下端無陡限長，下受重力巴及齊頂幸液體壓廳力。oyxnαα用半逆解凳法求解。因?yàn)閼?yīng)力,而應(yīng)力唯的量綱鹽只比高一次釘（L），所以應(yīng)爛力(x,紐奉y一次式）衰,=即可假設(shè)嚇應(yīng)力為x,憤y的一次式。（1）用量綱禁分析法夕假設(shè)應(yīng)小力:（2）由乖應(yīng)力~關(guān)系式，暈應(yīng)為x,y的三次速式，（3）滿足相容貓方程（4）由崇求應(yīng)量力，（5）餃考察邊循界條件--本題只虛有兩個(gè)大邊界，均應(yīng)嚴(yán)狀格滿足應(yīng)哀力邊界條雄件。x=0鉛直面，解出解出斜邊界上巨，須按一般士的應(yīng)力邊枝界條件來橋表示，有其中由式（b)解出a、b,最后的應(yīng)力解答殊,應(yīng)力水平截面蠢上的應(yīng)力刪分布如圖井所示。楔形體解圾答的應(yīng)用乞:作為重藏力壩的革參考解犬答；分逢重路力壩接渣近平面濟(jì)應(yīng)力問綁題；在壩體丙中部的五應(yīng)力，夫接近楔剪形體的蒜解答。重力壩隙規(guī)范規(guī)弓定的解皮法——材邀料力學(xué)煮解法（婦重力法獻(xiàn)）.重力壩的竄精確分析盟，可按有帶限單元法嶼進(jìn)行。第三章例伯題例題1例題2例題3例題4例題8例題7例題6例題5例題1設(shè)單位娛厚度的貧懸臂梁唱在左端抖受到集致中力和呢力矩的尿作用，甚體力可齊以不計(jì)蠅，錦圖3-碗5，試京用應(yīng)力爺函數(shù)度求解應(yīng)力分社量。圖3-5ydyyxlh/2h/2o解：本題是雨較典型懇的例題債，已經(jīng)訓(xùn)給出了衰應(yīng)力函嬌數(shù)五，可按雹下列步丈驟求解躍。1.代將狡代入相斑容方程，疲顯然是滿蓮足的。2.刻將肅代入式憐(2-柜24)妹，求出捎應(yīng)力分勞量?？疾爝吔缬罈l件：主要邊呼界唇上應(yīng)精通確滿足壯式(2喪-15去),在次要蝕邊界x=0上，只嫁給出了淘面力的斑主矢量喬和主矩蹦，應(yīng)用歇圣維南糟原理，子用三個(gè)杠積分的示邊界條洞件代替包。注意x=0是負(fù)x面，圖3薯-5中表館示了負(fù)x面上的尸的正方界向，由此避得：由(a),(瞇b)解出最后一嗓個(gè)次要栽邊界條盜件(x=l上)，在平衡微竟分方程和忍上述邊界隊(duì)條件均已第滿足的條餡件下，是抬必然滿足掀的，故不宏必再校核牧。代入應(yīng)論力公式蔽，得例題2擋水墻的輛密度為農(nóng)，厚度鍬為b,圖示,險(xiǎn)水的密舟度為饞，試求掉應(yīng)力分擦量。yox解：用半逆解法求解。假設(shè)應(yīng)力偽分量的函專數(shù)形式。因?yàn)樵趛=-蝴b/2邊界上業(yè)，y=b話/2邊界上，柄，恨所以可假妹設(shè)在區(qū)域?qū)?nèi)沿x向也嫂是一次貨式變化簽，即2.洪按應(yīng)鉆力函數(shù)康的形式昌，由圖推賠測候的形抓式，所以3.哥由相左容方程腐求應(yīng)力襲函數(shù)。睜代入仁得要使上明式在任立意的x處都成立知，必須代入席，所即得應(yīng)歇力函數(shù)噸的解答叫，其中贏已略去滿了與應(yīng)日力無關(guān)割的一次杜式。4.杰由應(yīng)力穩(wěn)函數(shù)求分解應(yīng)力碰分量。射將身代入村式(2鈴-24秧),注意，體糖力求得利應(yīng)力分湖量為考察邊塞界條件宴：主要邊應(yīng)界上,有得得得由上式陰得到求解各輸系數(shù)，渾由得得得得由此得又有代入A,得在次要邊界（小邊界攪）x=0上，列膠出三個(gè)應(yīng)積分的征邊界條萍件：由式(g),(h)解出代入應(yīng)力柳分量的表游達(dá)式得最商后的應(yīng)力東解答：例題3已知試問它輛們能否煮作為平攪面問題哨的應(yīng)力價(jià)函數(shù)？解：作為應(yīng)力燥函數(shù)，必枝須首先滿越足相容方揮程，將澇代入辜，(a)其中A=0，才可能靠成為應(yīng)童力函數(shù)豆；(b)必須滿足伴3(A+E)+C=0,才可能成估為應(yīng)力函魂數(shù)。例題4圖中所示辦的矩形截獸面柱體，眠在頂部受懇有集中力F和力矩者的作用盆，試用應(yīng)絨力函數(shù)求解圖示肥問題的應(yīng)平力及位移客，設(shè)在A點(diǎn)的位判移和轉(zhuǎn)假角均為繩零。bbAyxhOFFb/2解：應(yīng)用應(yīng)力隊(duì)函數(shù)求解舒：(1)園校核容相容方程您，滿足.(2)砌求巖應(yīng)力分卵量，渴在無體誤力時(shí)，曬得(3)孩考淺察主要邊界接條件，均已滿足考察次要邊罵界條件，在y=0上，滿足。得得上述應(yīng)力慌已滿足了敏和全鼓部邊界條搶件，因而香是上述問圾題的解。代入，面得應(yīng)力救的解答袋，(4)烤求應(yīng)鞭變分量，(5)濟(jì)求位移刷分量，將u,v代入幾王何方程捆的第三默式，兩邊分掃離變量林，并全唯都等于常數(shù)，即從上式分胞別積分，勻求出代入u,v,得再由剛鼓體約束槐條件，得得得代入u,v,得到位移汪分量的解噴答在頂點(diǎn)x=y=0，例題5圖中矩略形截面擠的簡支薦梁上，孕作用有