2023屆山東省泰安市泰安實驗中學高二數(shù)學第二學期期末達標檢測模擬試題含解析

2022-2023高二下數(shù)學模擬試卷考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知若存在，使得，則稱與互為“1度零點函數(shù)”，若與互為“1度零點函數(shù)”，則實數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．2．等差數(shù)列的前9項的和等于前4項的和，若，則k=（）A．10 B．7 C．4 D．33．從一批蘋果中抽出5只蘋果，它們的質量分別為125、a、121、b、127(A．4 B．5 C．2 D．54．已知集合，則()A． B．C． D．5．將個不同的小球放入個盒子中，則不同放法種數(shù)有（）A． B． C． D．6．對于命題“正三角形的內切圓切于三邊的中點”，可類比猜想出正四面體的內切球切于四面體（）A．各正三角形內的點B．各正三角形的中心C．各正三角形某高線上的點D．各正三角形各邊的中點7．設是含數(shù)1的有限實數(shù)集，是定義在上的函數(shù)，若的圖像繞原點逆時針旋轉后與原圖像重合，則在以下各項中，的可能值只能是（）．A．0 B． C． D．8．將2名教師和6名學生平均分成2組，各組由1名教師和3名學生組成，分別安排到甲、乙兩地參加社會實踐活動，則不同的安排方案有（）A．40種 B．60種 C．80種 D．120種9．將函數(shù)的圖像向右平移個單位長度，再把圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的倍（縱坐標不變）得到函數(shù)的圖象，則下列說法正確的是（）A．函數(shù)的最大值為 B．函數(shù)的最小正周期為C．函數(shù)的圖象關于直線對稱 D．函數(shù)在區(qū)間上單調遞增10．已知函數(shù)f（x）對任意的實數(shù)x均有f（x+2）+f（x）＝0，f（0）＝3，則f（2022）等于（）A．﹣6 B．﹣3 C．0 D．311．在的展開式中，的冪指數(shù)是整數(shù)的共有A．3項 B．4項 C．5項 D．6項12．已知定義在上的函數(shù)與函數(shù)有相同的奇偶性和單調性，則不等式的解集為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知球O的半徑為R，A,B,C三點在球O的球面上，球心O到平面ABC的距離為12R，AB=AC=BC=3，則球O的表面積為14．已知為等邊三角形，為坐標原點，在拋物線上，則的周長為_____．15．已知函數(shù)的定義域是，關于函數(shù)給出下列命題：①對于任意，函數(shù)是上的減函數(shù)；②對于任意，函數(shù)存在最小值；③存在，使得對于任意的，都有成立；④存在，使得函數(shù)有兩個零點．其中正確命題的序號是________．(寫出所有正確命題的序號)16．參數(shù)方程（為參數(shù)，且）化為普通方程是_________；三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在平面直角坐標系中，以坐標原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為.（1）求曲線的直角坐標方程；（2）求曲線上的直線距離最大的點的直角坐標.18．（12分）已知函數(shù)是奇函數(shù)（）.（1）求實數(shù)的值；（2）試判斷函數(shù)在上的單調性，并證明你的結論；（3）若對任意的，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍.19．（12分）（江蘇省南京師大附中高三高考考前模擬考試數(shù)學試題）已知函數(shù)f(x)＝lnx－ax＋a，a∈R．（1）若a＝1，求函數(shù)f(x)的極值；（2）若函數(shù)f(x)有兩個零點，求a的范圍；（3）對于曲線y＝f(x)上的兩個不同的點P(x1，f(x1))，Q(x2，f(x2))，記直線PQ的斜率為k，若y＝f(x)的導函數(shù)為f′(x)，證明：f′()＜k．20．（12分）某學校高三年級有學生1000名，經調查研究，其中750名同學經常參加體育鍛煉（稱為類同學），另外250名同學不經常參加體育鍛煉（稱為類同學），現(xiàn)用分層抽樣方法（按類、類分二層）從該年級的學生中共抽查100名同學.（1）測得該年級所抽查的100名同學身高（單位：厘米）頻率分布直方圖如圖，按照統(tǒng)計學原理，根據頻率分布直方圖計算這100名學生身高數(shù)據的平均數(shù)和中位數(shù)（單位精確到0.01）；（2）如果以身高達到作為達標的標準，對抽取的100名學生，得到列聯(lián)表：體育鍛煉與身高達標列聯(lián)表身高達標身高不達標合計積極參加體育鍛煉60不積極參加體育鍛煉10合計100①完成上表；②請問有多大的把握認為體育鍛煉與身高達標有關系？參考公式：.參考數(shù)據：0.400.250.150.100.050.0250.0100.0050.0010.7081.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.82821．（12分）已知復數(shù)，為虛數(shù)單位，且復數(shù)為實數(shù)．（1）求復數(shù)；（2）在復平面內，若復數(shù)對應的點在第一象限，求實數(shù)的取值范圍．22．（10分）已知橢圓C：的左、右頂點分別為A，B其離心率，點M為橢圓上的一個動點，面積的最大值是求橢圓C的方程；若過橢圓C右頂點B的直線l與橢圓的另一個交點為D，線段BD的垂直平分線與y軸交于點P，當時，求點P的坐標．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】

通過題意先求出函數(shù)的零點，根據計算出函數(shù)的零點范圍，繼而求出實數(shù)的取值范圍【詳解】令，當時，或，當時，解得，，若存在為“度零點函數(shù)”，不妨令由題意可得：或即或設，當時，，是減函數(shù)當時，，是增函數(shù)，當時，，由題意滿足存在性實數(shù)的取值范圍為故選【點睛】本題給出了新定義，按照新定義內容考查了函數(shù)零點問題，結合零點運用導數(shù)分離參量，求出函數(shù)的單調性，給出參量的取值范圍，本題較為綜合，需要轉化思想和函數(shù)思想，有一定難度。2、A【解析】

由等差數(shù)列的性質可得，然后再次利用等差數(shù)列的性質確定k的值即可.【詳解】由等差數(shù)列的性質可知：,故，則，結合題意可知：.本題選擇A選項.【點睛】本題主要考查等差數(shù)列的性質及其應用，屬于中等題.3、C【解析】

本題由題意可知，首先可以根據a、b中一個是124，得出另一個是：【詳解】從一批蘋果中抽出5只蘋果，它們的質量分別為125、a、該樣本的中位數(shù)和平均值均為124，所以a，b中一個是另一個是：5×124-125-124-121-127=123，所以樣本方差s2所以該樣本的標準差s是2，故選：C?！军c睛】本題考查樣本的標準差的求法，考查平均數(shù)、中位數(shù)、方差、標準差等基礎知識，考查運算求解能力，是基礎題，本題主要是能夠讀懂題目，能從題目所給條件中找出a、4、D【解析】，所以，故選B．5、B【解析】試題分析：采用分步計數(shù)原理來求解：分3步，每一步4種方法，不同方法種數(shù)有種考點：分步計數(shù)原理6、B【解析】四面體的面可以與三角形的邊類比，因此三邊的中點也就類比成各三角形的中心，故選擇B.7、C【解析】

先閱讀理解題意，則問題可轉化為圓上有12個點為一組，每次繞原點逆時針旋轉個單位后與下一個點會重合，再結合函數(shù)的定義逐一檢驗即可.【詳解】解：由題意可得：問題可轉化為圓上有12個點為一組，每次繞原點逆時針旋轉個單位后與下一個點會重合，則通過代入和賦值的方法，當時，此時得到圓心角為，然而此時或時，都有2個與之對應，根據函數(shù)的定義，自變量與應變量只能“一對一”或“多對一”，不能“一對多”，因此，只有當時，此時旋轉，滿足一個對應一個，所以的可能值只能是，故選:C.【點睛】本題考查了函數(shù)的定義，重點考查了函數(shù)的對應關系，屬基礎題.8、A【解析】

根據甲、乙兩地先安排老師，可知，然后安排學生，可得結果.【詳解】第一步，為甲、乙兩地排教師，有種排法；第二步，為甲、乙兩地排學生，有種排法，故不同的安排方案共有種，故選：A【點睛】本題考查排列分組的問題，一般來講先分組后排列，審清題意細心計算，屬基礎題.9、D【解析】

根據平移變換和伸縮變換的原則可求得的解析式，依次判斷的最值、最小正周期、對稱軸和單調性，可求得正確結果.【詳解】函數(shù)向右平移個單位長度得：橫坐標伸長到原來的倍得：最大值為，可知錯誤；最小正周期為，可知錯誤；時，，則不是的對稱軸，可知錯誤；當時，，此時單調遞增，可知正確.本題正確選項：【點睛】本題考查三角函數(shù)平移變換和伸縮變換、正弦型函數(shù)的單調性、對稱性、值域和最小正周期的求解問題，關鍵是能夠明確圖象變換的基本原則，同時采用整體對應的方式來判斷正弦型函數(shù)的性質.10、B【解析】

分析可得，即函數(shù)是周期為4的周期函數(shù)，據此可得，即可求解，得到答案．【詳解】根據題意，函數(shù)對任意的實數(shù)均有，即，則有，即函數(shù)是周期為4的周期函數(shù)，則，故選B．【點睛】本題主要考查了函數(shù)的周期的判定及其應用，其中解答中根據題設條件，求得函數(shù)的周期是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題．11、D【解析】

根據題目，寫出二次項展開式的通項公式，即可求出的冪指數(shù)是整數(shù)的項的個數(shù)。【詳解】由題意知，要使的冪指數(shù)是整數(shù)，則必須是的倍數(shù)，故當滿足條件。即的冪指數(shù)是整數(shù)的項共有項，故答案選D?！军c睛】本題主要考查二項式定理的應用，解題關鍵是熟記二項展開式的公式。12、D【解析】

先判斷的奇偶性及單調性，即可由為奇函數(shù)性質及單調性解不等式，結合定義域即可求解.【詳解】函數(shù)，定義域為；則，即為奇函數(shù)，，函數(shù)在內單調遞減，由復合函數(shù)的單調性可知在內單調遞減，由題意可得函數(shù)為在內單調遞減的奇函數(shù)，所以不等式變形可得，即，則，解不等式組可得，即，故選：D.【點睛】本題考查了函數(shù)奇偶性及單調性的判斷，對數(shù)型復合函數(shù)單調性性質應用，由奇偶性及單調性解抽象不等式，注意定義域的要求，屬于中檔題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、16π【解析】試題分析：設平面ABC截球所得球的小圓半徑為,則2r=3sin60°=23,r=3,由考點：球的表面積．【名師點睛】球的截面的性質：用一個平面去截球，截面是一個圓面，如果截面過球心，則截面圓半徑等于球半徑，如果截面圓不過球心，則截面圓半徑小于球半徑，設截面圓半徑為，球半徑為R，球心到截面圓距離為R，則d=R214、【解析】

設，，，，由于，可得．代入化簡可得：．由拋物線對稱性，知點、關于軸對稱．不妨設直線的方程為：，與拋物線方程聯(lián)立解出即可得出．【詳解】解：設，，，，，．又，，，即．又、與同號，．，即．由拋物線對稱性，知點、關于軸對稱．不妨設直線的方程為：，聯(lián)立，解得．的周長．故答案為：．【點睛】本題考查了拋物線的標準方程及其性質、直線與拋物線相交問題、等邊三角形的性質，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎題．15、②④【解析】函數(shù)的定義域是，且，當時，在恒成立，所以函數(shù)在上單調遞增，故①錯誤；對于，存在，使，則在上單調遞減，在上單調遞增，所以對于任意，函數(shù)存在最小值，故②正確；函數(shù)的圖象在有公共點，所以對于任意，有零點，故③錯誤；由②得函數(shù)存在最小值，且存在，使，當時，，當時，，故④正確；故填②④.點睛：本題的易錯點在于正確理解“任意”和“存在”的含義，且正確區(qū)分兩者的不同.16、【解析】

利用消去參數(shù)可得普通方程?！驹斀狻坑深}意，即，又，∴所求普通方程為。故答案為：?！军c睛】本題考查參數(shù)方程化為普通方程，應用消元法可得，但要注意變量的取值范圍，否則會出錯。三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)(2)【解析】分析：（1）利用極坐標與直角坐標互化公式可得曲線的直角坐標方程為.（2）直線方程為，設圓上點的坐標為，結合點到直線距離公式和三角函數(shù)的性質可知滿足題意時點坐標為.詳解：（1）因為，，，所以曲線的直角坐標方程為.（2）直線方程為，圓的標準方程為，所以設圓上點坐標為，則，所以當，即時距離最大，此時點坐標為.點睛：本題主要考查極坐標方程與直角坐標方程的轉化，直線與圓的位置關系，三角函數(shù)的性質及其應用等知識，意在考查學生的轉化能力和計算求解能力.18、（1）（2）單調遞增，見解析（3）【解析】

（1）根據函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，由求得的值.（2）由（1）求得的解析式，利用單調性的定義，任取，計算，由此證得在上遞增.（3）根據的單調性和奇偶性化簡不等式，得到對任意恒成立，利用一元二次不等式恒成立則其判別式為負數(shù)列不等式，解不等式求得的取值范圍.【詳解】（1）∵是奇函數(shù)在原點有定義：∴，∴；經驗證滿足題意（2）在上單調遞增，證明如下：設，則：；∵，∴，；∴；∴是上的增函數(shù)；（3）由（1）、（2）知，是上的增函數(shù)，且是奇函數(shù)；∵，∴；∴；即對任意恒成立；只需；解之得；∴實數(shù)的取值范圍為.【點睛】本小題主要考查根據函數(shù)的奇偶性求參數(shù)，考查利用函數(shù)單調性的定義證明函數(shù)的單調性，考查利用函數(shù)的奇偶性和單調性解不等式，考查一元二次不等式恒成立問題的求解，屬于中檔題.19、（1）見解析（2）（3）見解析【解析】分析：（1）求極值可先求導分析函數(shù)的單調區(qū)間從而確定極值點求極值；（2）由（1）可知當a≤0時，f(x)在(0，＋∞)上單調增，不可能有兩個零點；故只需討論當a＞0時的零點情況，當a＞0時，函數(shù)有極大值，令（x＞0），求導分析單調性結合零點定理進行證明即可；（3）由斜率計算公式得，而，將看成一個整體構造函數(shù)（），分析其最大值即可.解：（1），，當時，，在上單調遞增，無極值；當時，，在上單調遞增；，在上單調遞減，函數(shù)有極大值，無極小值．（2）由（1）可知當a≤0時，f(x)在(0，＋∞)上單調增，不可能有兩個零點；當a＞0時，函數(shù)有極大值，令（x＞0），，，，在(0，1)上單調遞減；，，在(1，＋∞)上單調遞增，函數(shù)有最小值．要使若函數(shù)有兩個零點時，必須滿足，下面證明時，函數(shù)有兩個零點．因為，所以下面證明還有另一個零點．①當時，，，令()，，在上單調遞減，，則，所以在上有零點，又在上單調遞減，所以在上有惟一零點，從而有兩個零點．②當時，，，易證，可得，所以在上有零點，又在上單調遞減，所以在上有惟一零點，從而有兩個零點．綜上，的范圍是．（3）證明：，，又，，不妨設0＜x2＜x1，t＝，則t＞1，則．令（），則，因此h(t)在(1，＋∞)上單調遞減，所以h(t)＜h(1)＝0.又0＜x2＜x1，所以x1－x2＞0，所以f′()－k＜0，即f′()＜k．點睛：考查導數(shù)在函數(shù)的應用、零點定理、導數(shù)證明不等式，對復雜函數(shù)的正確求導和靈活轉化為熟悉的語言理解是解導數(shù)難題的關鍵，屬于難題.20、（1）174，174.55；（2）①列聯(lián)表見解析；②.【解析】

（1）根據頻率分布直方圖的平均數(shù)與中位數(shù)的公式即可求解；（2）①根據頻率分布直方圖求出身高達標與不達標的比例，結合積極參加體育鍛煉和不積極參加體育鍛煉的比例，完成表格；②根據公式計算出即可下結論.【詳解】（1）平均數(shù)，前兩組頻率之和為0.25，前三組頻率之和為0.8，所以中位數(shù)在第三組中位數(shù)為.（2）根據頻率分布直方圖可得身高不達標所占頻率為0.25，達標所占頻率為0.75，所以身高不達標25人，達標75人，根據分層抽樣抽取的積極參加體育鍛煉75人，不積