2023屆山西省達(dá)標(biāo)名校數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末經(jīng)典模擬試題含解析

2022-2023高二下數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項(xiàng)1．考生要認(rèn)真填寫(xiě)考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。2．試題所有答案必須填涂或書(shū)寫(xiě)在答題卡上，在試卷上作答無(wú)效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知復(fù)數(shù)z=1+i1-i(i是虛數(shù)單位)，則A．-i B．-1 C．i D．2．函數(shù)的零點(diǎn)所在的大致區(qū)間是（）A． B．C． D．3．在各項(xiàng)都為正數(shù)的等差數(shù)列{an}中，若a1+a2+…+a10=30，則a5?a6的最大值等于（）A．3B．6C．9D．364．設(shè)，則隨機(jī)變量的分布列是：則當(dāng)在內(nèi)增大時(shí)（）A．增大 B．減小C．先增大后減小 D．先減小后增大5．已知集合，則()A． B．C． D．6．《九章算術(shù)》中，將底面是直角三角形的直三棱柱稱(chēng)之為“塹堵”，已知某“塹堵”的三視圖如圖所示，則該“塹堵”的體積為（）A．2 B．4 C． D．7．某同學(xué)將收集到的六組數(shù)據(jù)制作成散點(diǎn)圖如圖所示，并得到其回歸直線的方程為l1:y=0.68x+a，計(jì)算其相關(guān)系數(shù)為r1，相關(guān)指數(shù)為R12.經(jīng)過(guò)分析確定點(diǎn)F為“離群點(diǎn)”，把它去掉后，再利用剩下的5組數(shù)據(jù)計(jì)算得到回歸直線的方程為l2A．r1>0,C．a(chǎn)=0.12 D．8．設(shè)，，，則的值分別為（）A．18， B．36, C．36， D．18，9．在平面直角坐標(biāo)系中,方程表示在x軸、y軸上的截距分別為的直線,類(lèi)比到空間直角坐標(biāo)系中,在軸、軸、軸上的截距分別為的平面方程為()A． B．C． D．10．魏晉時(shí)期數(shù)學(xué)家劉徽首創(chuàng)割圓術(shù)，他在《九章算術(shù)》中指出：“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體，而無(wú)所失矣”．這是一種無(wú)限與有限的轉(zhuǎn)化過(guò)程，比如在正數(shù)中的“…”代表無(wú)限次重復(fù)，設(shè)，則可以利用方程求得，類(lèi)似地可得到正數(shù)=（）A．2 B．3 C．4 D．611．已知函數(shù)，若，，，則的取值范圍是（）A． B． C． D．12．已知，則除以9所得的余數(shù)是A．2 B．3C．5 D．7二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知高為H的正三棱錐P-ABC的每個(gè)頂點(diǎn)都在半徑為R的球O的球面上，若二面角P-AB-C的正切值為4，則HR=14．已知函數(shù)設(shè)函數(shù)有4個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_______.15．函數(shù)與函數(shù)在第一象限的圖象所圍成封閉圖形的面積是_____．16．已知點(diǎn)M拋物線上的一點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)A在圓上，則的最小值________．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為(為參數(shù))．在極坐標(biāo)系(與直角坐標(biāo)系取相同的長(zhǎng)度單位，且以原點(diǎn)為極點(diǎn)，以軸正半軸為極軸)中，圓的極坐標(biāo)方程為．（1）求直線的普通方程和圓的直角坐標(biāo)方程；（2）設(shè)圓與直線交于，兩點(diǎn)，若點(diǎn)的坐標(biāo)為，求．18．（12分）設(shè)函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；（2）當(dāng)時(shí)，恒成立，求的取值范圍；（3）求證：當(dāng)時(shí)，.19．（12分）已知直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，圓C的極坐標(biāo)方程為ρ＝4cosθ，直線l與圓C交于A，B兩點(diǎn)．(1)求圓C的直角坐標(biāo)方程及弦AB的長(zhǎng)；(2)動(dòng)點(diǎn)P在圓C上(不與A，B重合)，試求△ABP的面積的最大值．20．（12分）設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為，上頂點(diǎn)為.已知橢圓的短軸長(zhǎng)為4，離心率為.（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)在橢圓上，且異于橢圓的上、下頂點(diǎn)，點(diǎn)為直線與軸的交點(diǎn)，點(diǎn)在軸的負(fù)半軸上.若（為原點(diǎn)），且，求直線的斜率.21．（12分）選修4-5：不等式選講已知函數(shù).（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求不等式的解集；（Ⅱ）當(dāng)不等式的解集為時(shí)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.22．（10分）的內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，．向量與平行．（Ⅰ）求；（Ⅱ）若，求的面積．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】

先利用復(fù)數(shù)的除法將復(fù)數(shù)z表示為一般形式，于是可得出復(fù)數(shù)z的虛部?！驹斀狻俊遺=1+i1-i=1+i21-i1+i【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的概念，解決復(fù)數(shù)問(wèn)題，一般利用復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算律將復(fù)數(shù)表示為一把形式，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題。2、C【解析】

，函數(shù)f(x)在（0，+∞）上單調(diào)遞增，∵f(3)=ln3-1＞0，f(e)=lne-=1-＜0，∴f(3)·f(e)＜0，∴在區(qū)間（e，3）內(nèi)函數(shù)f(x)存在零點(diǎn).故選C.3、C【解析】試題分析：由題設(shè)，所以，又因?yàn)榈炔顢?shù)列各項(xiàng)都為正數(shù)，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以a5·a6的最大值等于9，故選C．考點(diǎn)：1、等差數(shù)列；2、基本不等式．4、D【解析】

研究方差隨變化的增大或減小規(guī)律，常用方法就是將方差用參數(shù)表示，應(yīng)用函數(shù)知識(shí)求解.本題根據(jù)方差與期望的關(guān)系，將方差表示為的二次函數(shù)，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)解題.題目有一定綜合性，注重重要知識(shí)、基礎(chǔ)知識(shí)、運(yùn)算求解能力的考查.【詳解】方法1：由分布列得，則，則當(dāng)在內(nèi)增大時(shí)，先減小后增大.方法2：則故選D.【點(diǎn)睛】易出現(xiàn)的錯(cuò)誤有，一是數(shù)學(xué)期望、方差以及二者之間的關(guān)系掌握不熟，無(wú)從著手；二是計(jì)算能力差，不能正確得到二次函數(shù)表達(dá)式.5、D【解析】，所以，故選B．6、A【解析】

根據(jù)三視圖的特點(diǎn)可以分析該物體是一個(gè)直三棱柱，即可求得體積.【詳解】由三視圖可得該物體是一個(gè)以側(cè)視圖為底面的直三棱柱，所以其體積為.故選：A【點(diǎn)睛】此題考查三視圖的認(rèn)識(shí)，根據(jù)三視圖求幾何體的體積，關(guān)鍵在于準(zhǔn)確識(shí)別三視圖的特征.7、B【解析】

根據(jù)相關(guān)性的正負(fù)判斷r1和r2的正負(fù)，根據(jù)兩個(gè)模型中回歸直線的擬合效果得出R12和R2【詳解】由圖可知兩變量呈現(xiàn)正相關(guān)，故r1>0,r2>0故A正確，B不正確.又回歸直線l1:y=0.68x+a必經(jīng)過(guò)樣本中心點(diǎn)(3.5,2.5)，所以a=2.5-0.68×3.5=0.12回歸直線l2:y=bx+0.68必經(jīng)過(guò)樣本中心點(diǎn)所以b=0.44，也可直接根據(jù)圖象判斷0<b<0.68（比較兩直線的傾斜程度），故D【點(diǎn)睛】本題考查回歸分析，考查回歸直線的性質(zhì)、相關(guān)系數(shù)、相關(guān)指數(shù)的特點(diǎn)，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)點(diǎn)的理解，屬于中等題。8、A【解析】

由ξ～B（n，p），Eξ＝12，Dξ＝4，知np＝12，np（1﹣p）＝4，由此能求出n和p．【詳解】∵Eξ＝12，Dξ＝4，∴np＝12，np（1﹣p）＝4，∴n＝18，p．故選A．【點(diǎn)睛】本題考查離散型隨機(jī)變量的期望和方差，解題時(shí)要注意二項(xiàng)分布的性質(zhì)和應(yīng)用．9、A【解析】

平面上直線方程的截距式推廣到空間中的平面方程的截距式是.【詳解】由類(lèi)比推理得：若平面在軸、軸、軸上的截距分別為，則該平面的方程為：，故選A.【點(diǎn)睛】平面中的定理、公式等類(lèi)比推理到空間中時(shí)，平面中的直線變?yōu)榭臻g中的直線或平面，平面中的面積變?yōu)榭臻g中的體積.類(lèi)比推理得到的結(jié)論不一定正確，必要時(shí)要對(duì)得到的結(jié)論證明.如本題中，可令，看是否為.10、B【解析】

先閱讀理解題意，再結(jié)合題意類(lèi)比推理可得：設(shè)，解得，得解．【詳解】解：依題意可設(shè)，解得，故選：．【點(diǎn)睛】本題考查類(lèi)比推理，屬于基礎(chǔ)題．11、D【解析】

根據(jù)題意將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為，記，從而在上單調(diào)遞增，從而在上恒成立，利用分離參數(shù)法可得，結(jié)合題意可得即可.【詳解】設(shè)，因?yàn)?，所?記，則在上單調(diào)遞增，故在上恒成立，即在上恒成立，整理得在上恒成立.因?yàn)椋院瘮?shù)在上單調(diào)遞增，故有.因?yàn)?，所以，?故選：D【點(diǎn)睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)在不等式恒成立中的應(yīng)用、函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，屬于中檔題.12、D【解析】

根據(jù)組合數(shù)的性質(zhì)，將化簡(jiǎn)為，再展開(kāi)即可得出結(jié)果.【詳解】，所以除以9的余數(shù)為1．選D.【點(diǎn)睛】本題考查組合數(shù)的性質(zhì)，考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、8【解析】

取線段AB的中點(diǎn)D，點(diǎn)P在平面ABC的射影點(diǎn)M，利用二面角的定義得出∠PDC為二面角P-AB-C的平面角，于此得出PMDM=4，并在RtΔOMC中，由勾股定理OM2+C【詳解】取線段AB的中點(diǎn)D，設(shè)P在底面ABC的射影為M，則H=PM，連接CD，PD（圖略）.設(shè)PM=4k，易證PD⊥AB，CD⊥AB，則∠PDC為二面角P-AB-C的平面角，從而tan∠PDC=PMDM=4k在RtΔOMC中，OM2+CM2=OC故答案為：85【點(diǎn)睛】本題考查二面角的定義，考查多面體的外接球，在處理多面體的外接球時(shí)，要確定球心的位置，同時(shí)在求解時(shí)可引入一些參數(shù)去表示相關(guān)邊長(zhǎng)，可簡(jiǎn)化計(jì)算，考查邏輯推理能力，屬于中等題。14、，【解析】

由題意可得有4個(gè)不等實(shí)根，作出的圖象，通過(guò)圖象即可得到所求范圍．【詳解】函數(shù)有4個(gè)不同的零點(diǎn)，即為有4個(gè)不等實(shí)根，作出的圖象，可得時(shí)，與的圖象有4個(gè)交點(diǎn)，故答案為：，．【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，考查函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想，考查邏輯推理能力，求解時(shí)注意準(zhǔn)確畫(huà)出函數(shù)的圖象是關(guān)鍵.15、【解析】

先求出直線與曲線的交點(diǎn)坐標(biāo)，封閉圖形的面積是函數(shù)y＝x與y＝在x∈[0，1]上的積分．【詳解】解：聯(lián)立方程組可知，直線y＝x與曲線y＝的交點(diǎn)為（0，0）（1，1）；∴所圍成的面積為S＝.故答案為．【點(diǎn)睛】本題考查了定積分，找到積分區(qū)間和被積函數(shù)是解題關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．16、3【解析】

由題得拋物線的準(zhǔn)線方程為，過(guò)點(diǎn)作于，根據(jù)拋物線的定義將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為的最小值，根據(jù)點(diǎn)在圓上，判斷出當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，有最小值，進(jìn)而求得答案.【詳解】由題得拋物線的準(zhǔn)線方程為，過(guò)點(diǎn)作于，又，所以，因?yàn)辄c(diǎn)在圓上，且，半徑為，故當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，，所以的最小值為3.故答案為：3【點(diǎn)睛】本題主要考查了拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與定義，與圓有關(guān)的最值問(wèn)題，考查了學(xué)生的轉(zhuǎn)化與化歸的思想.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）直線l的普通方程為；圓C的直角坐標(biāo)方程為；（2）.【解析】

（1）由直線的參數(shù)方程消去參數(shù)可直接得到普通方程；由極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式，可直接得到圓的直角坐標(biāo)方程；（2）將直線參數(shù)方程代入圓的直角坐標(biāo)方程，結(jié)合韋達(dá)定理，根據(jù)參數(shù)的方法，即可求出結(jié)果.【詳解】(1)由直線的參數(shù)方程(為參數(shù))得直線的普通方程為由,得,即圓的直角坐標(biāo)方程為．(2)將直線的參數(shù)方程代入圓的直角坐標(biāo)方程，得，即，由于>0,故可設(shè)，是上述方程的兩個(gè)實(shí)根，所以又直線過(guò)點(diǎn)P(3,)，故．【點(diǎn)睛】本題主要考查參數(shù)方程與普通方程的互化，以及極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互化，熟記公式即可，屬于常考題型.18、（1）的單調(diào)遞減區(qū)間為；的單調(diào)遞增區(qū)間為；（2）；（3）見(jiàn)解析．【解析】【試題分析】（1）直接對(duì)函數(shù)求導(dǎo)得，借助導(dǎo)函數(shù)值的符號(hào)與函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系求出其單調(diào)區(qū)間；（2）先將不等式中參數(shù)分離分離出來(lái)可得：，再構(gòu)造函數(shù)，，求導(dǎo)得，借助，推得，從而在上單調(diào)遞減，，進(jìn)而求得；（3）先將不等式等價(jià)轉(zhuǎn)化為，再構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)可得，由（2）知時(shí)，恒成立，所以，即恒成立，故在上單調(diào)遞增，所以，因此時(shí)，有：解：（1））當(dāng)時(shí)，則，令得，所以有即時(shí)，的單調(diào)遞減區(qū)間為；的單調(diào)遞增區(qū)間為.（2）由，分離參數(shù)可得：，設(shè)，，∴，又∵，∴，則在上單調(diào)遞減，∴，∴即的取值范圍為.（3）證明：等價(jià)于設(shè)，∴，由（2）知時(shí)，恒成立，所以，∴恒成立∴在上單調(diào)遞增，∴，因此時(shí)，有.點(diǎn)睛：解答本題的第一問(wèn)時(shí)，先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)得，借助導(dǎo)函數(shù)值的符號(hào)與函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系求出其單調(diào)區(qū)間；求解第二問(wèn)時(shí)，先將不等式中參數(shù)分離出來(lái)可得，再構(gòu)造函數(shù)，，求導(dǎo)得，借助，推得，從而在上單調(diào)遞減，，進(jìn)而求得；第三問(wèn)的證明過(guò)程中，先將不等式等價(jià)轉(zhuǎn)化為，再構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)可得，由（2）知時(shí)，恒成立，所以，即恒成立，故在上單調(diào)遞增，所以，因此證得當(dāng)時(shí)，不等式成立。19、（1）(x－2)2＋y2＝4；；（2）2＋.【解析】

（1）圓C的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，直線l的參數(shù)方程代入圓C的的直角坐標(biāo)方程，利用直線參數(shù)方程的幾何意義，即可求解；（2）要求△ABP的面積的最大值，只需求出點(diǎn)P到直線l距離的最大值，將點(diǎn)P坐標(biāo)設(shè)為圓方程的參數(shù)形式，利用點(diǎn)到直線的距離公式以及三角函數(shù)的有界性，即可求解.【詳解】(1)由ρ＝4cosθ得ρ2＝4ρcosθ，所以x2＋y2－4x＝0，所以圓C的直角坐標(biāo)方程為(x－2)2＋y2＝4.設(shè)A，B對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為t1，t2.將直線l的參數(shù)方程代入圓C：(x－2)2＋y2＝4，并整理得t2＋t＝0，解得t1＝0，t2＝－.所以直線l被圓C截得的弦AB的長(zhǎng)為|t1－t2|＝.(2)由題意得，直線l的普通方程為x－y－4＝0.圓C的參數(shù)方程為(θ為參數(shù))，可設(shè)圓C上的動(dòng)點(diǎn)P(2＋2cosθ，2sinθ)，則點(diǎn)P到直線l的距離d＝，當(dāng)＝－1時(shí)，d取得最大值，且d的最大值為2＋.所以S△ABP＝××(2＋)＝2＋，即△ABP的面積的最大值為2＋.【點(diǎn)睛】本題考查極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程互化，考查直線參數(shù)方程幾何意義的應(yīng)用，以及利用圓的參數(shù)方程求最值，屬于中檔題.20、（Ⅰ）（Ⅱ）或.【解析】

(Ⅰ)由題意得到關(guān)于a,b,c的方程，解方程可得橢圓方程；(Ⅱ)聯(lián)立直線方程與橢圓方程確定點(diǎn)P的坐標(biāo)，從而可得OP的斜率，然后利用斜率公式可得MN的斜率表達(dá)式，最后利用直線垂直的充分必要條件得到關(guān)于斜率的方程，解方程可得直線的斜率.【詳解】(Ⅰ)設(shè)橢圓的半焦距為，依題意，，又，可得，b=2，c=1.所以，橢圓方程為.(Ⅱ)由題意，設(shè).設(shè)直線