控制工程基礎(chǔ)第八章部分

8.5二階系統(tǒng)頻域與時域性能指標比較閉環(huán)系統(tǒng)的性能（穩(wěn)定性、快速性和精確性），可用時域性能指標、開環(huán)或閉環(huán)頻域性能指標來描述。對于一般高階系統(tǒng)，比較時域和頻域性能指標非常困難，但對于二階系統(tǒng)這不難做到。二階系統(tǒng)框圖如圖8-5-1所示。其開環(huán)傳遞函數(shù)可表達為或其表達為式中結(jié)構(gòu)參數(shù)換算關(guān)系為閉環(huán)傳遞函數(shù)可表達為二階系統(tǒng)有兩結(jié)構(gòu)參數(shù)：固有頻率和阻尼比（或開環(huán)增益K和時間常數(shù)），其性能完全取決于這兩結(jié)構(gòu)參數(shù)，因此無論時域或頻域性能指標均且僅與這兩參數(shù)有關(guān)。以下將對描述二階系統(tǒng)穩(wěn)定性、快速性、精確性的閉環(huán)頻域性能指標，開環(huán)頻域性能指標，時域性能指標與結(jié)構(gòu)參數(shù)和之間的關(guān)系進行總結(jié)和比較。1.二階系統(tǒng)的閉環(huán)頻域性能指標二階系統(tǒng)的閉環(huán)頻率特性曲線如圖8-5-2所示。（1）諧振峰值——相對穩(wěn)定性指標（阻尼比為的二階欠阻尼系統(tǒng)）。最小閉環(huán)系統(tǒng)，相對穩(wěn)定性好。當二階欠阻尼系統(tǒng)的阻尼比時，系統(tǒng)的諧振峰值為（8.5.1）諧振峰值與反應(yīng)系統(tǒng)相對穩(wěn)定性的阻尼比唯一相關(guān)、一一對應(yīng)，因此兩者均反映閉環(huán)系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性。諧振峰值與阻尼比的關(guān)系如圖8-5-3所示。（2）諧振頻率——快速性指標（阻尼比為的二階欠阻尼系統(tǒng)）。當阻尼比在時，系統(tǒng)的諧振頻率為（8.5.2）當阻尼比肯定時，。反映二階系統(tǒng)的快速性，因此也反映其快速性。(3)幅頻寬即帶寬（）——閉環(huán)頻域快速性指標（適用于任何二階系統(tǒng)）。由式（7.6.1）得（8.5.3）式（8.5.3）對任何阻尼比均適用。由式可知，當時，；當時，；當時，。式（8.5.3）表明，對于肯定的阻尼比。反映二階系統(tǒng)的快速性，故也反映其快速性。式(8.5.3)描述的幅頻寬與阻尼比關(guān)系如圖8-5-4所示。該圖表明，在范圍內(nèi)，與呈近似線性關(guān)系，可近似表達為（8.5.4）閉環(huán)限制系統(tǒng)希望的頻域性能指標是：（1）較小的諧振峰值，例如，以滿意系統(tǒng)相對穩(wěn)定性的要求。（2）足夠的幅頻寬，在阻尼比滿意相對穩(wěn)定性的狀況下，使系統(tǒng)有足夠小的時間常數(shù)，從而保證其快速性要求。2.二階系統(tǒng)的開環(huán)頻域性能指標（1）相位裕度——開環(huán)頻域相對穩(wěn)定性指標（任何二階系統(tǒng)）。按式(8.4.3)，相位裕度與阻尼比的關(guān)系式為（8.5.5）上式對均適用。圖8-4-8描述了兩者的關(guān)系曲線。式（8.4.4）描述了兩者在的線性近似關(guān)系（8.5.6）同理，相位裕度與反映系統(tǒng)相對穩(wěn)定性的阻尼比唯一相關(guān)。一一對應(yīng)，因此兩者均反映二階系統(tǒng)閉環(huán)的相對穩(wěn)定性。（2）幅值穿越頻率——開環(huán)頻域快速性指標（適用于任何二階系統(tǒng)）。按式（8.4.2），二階系統(tǒng)的幅值穿越頻率與阻尼比的關(guān)系式為（8.5.7）上式對均適用。同理，當阻尼比肯定時，，故也反映二階閉環(huán)系統(tǒng)的快速性。（3）開環(huán)增益（速度消差系數(shù)）——精確性指標（任何二階系統(tǒng)）。開環(huán)頻率特性函數(shù)中的增益（8.5.8）是系統(tǒng)閉環(huán)精確性指標，見以下結(jié)論。3.二階系統(tǒng)的時域性能指標二階過阻尼或臨界阻尼系統(tǒng)有由兩個一階環(huán)節(jié)組成，其時域響應(yīng)均無超調(diào)，不存在相對穩(wěn)定性問題。在3.9節(jié)中已給出二階欠阻尼系統(tǒng)的時域性能指標，現(xiàn)歸納如下：（1）百分比超調(diào)量——時域相對穩(wěn)定性指標（二階欠阻尼系統(tǒng)）。（8.5.9）（2）——時域快速性指標（二階欠阻尼系統(tǒng)）。在3.9節(jié)中已推得二階欠阻尼系統(tǒng)的上升時間、峰值時間、調(diào)整時間分別為（8.5.10）(8.5.11)(8.5.12)當阻尼比肯定時，二階欠阻尼系統(tǒng)的均與固有頻率的成反比，描述系統(tǒng)的快速性。（3）開環(huán)增益（速度消差系數(shù)）——精確性指標（任何二階系統(tǒng)）。二階系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)中的增益為（8.5.13）這是系統(tǒng)閉環(huán)的精確性指標。系統(tǒng)閉環(huán)在不同輸入信號時的穩(wěn)態(tài)作用誤差（輸入端）和穩(wěn)態(tài)期望誤差（輸出端）為：階躍輸入，斜坡輸入，拋物線輸入，。二階系統(tǒng)頻域性能指標與時域性能指標的比較歸納在表8-5-1中。應(yīng)用時必需留意，上述二階系統(tǒng)的開環(huán)頻域、閉環(huán)頻域和時域性能指標，并不是對全部的二階（欠阻尼、臨界阻尼和過阻尼）系統(tǒng)均適用的。某些性能指標僅適用于阻尼比為為的二階欠阻尼系統(tǒng)，如閉環(huán)頻域相對穩(wěn)定性能指標——諧振峰值、閉環(huán)頻域快速性指標——諧振頻率；某些指標適用于二階欠阻尼系統(tǒng)，如時域性對穩(wěn)定性指標——百分比超調(diào)量、時域快速性指標——上升時間、峰值時間；某些性能指標則對任何二階系統(tǒng)均適用，如時域快速性指標——調(diào)整時間、閉環(huán)快速性指標——幅頻寬（帶寬）、開環(huán)頻域相對穩(wěn)定性指標——相位裕度、開環(huán)頻域快速性指標——幅值穿越頻率、精確性指標——開環(huán)增益（速度消差系數(shù)）。當然，二階系統(tǒng)的性能，根本上取決于其結(jié)構(gòu)參數(shù)——固有頻率和阻尼比（或開環(huán)增益K和時間常數(shù)）。表8-5-1二階系統(tǒng)頻域性能指標與時域性能指標的比較特性相關(guān)結(jié)構(gòu)參數(shù)時域性能指標閉環(huán)頻域性能指標開環(huán)頻域性能指標相對穩(wěn)定性快速性精確性8.6時滯系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析迄今為止，在應(yīng)用奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)對限制系統(tǒng)進行穩(wěn)定性分析時，所涉及的頻率特性函數(shù)均為jw的有理分式，但在工程中會遇到具有時滯（或稱延時、時延、延遲等）環(huán)節(jié)的限制系統(tǒng)。本節(jié)介紹應(yīng)用奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)對時滯系統(tǒng)進行穩(wěn)定性分析，并探討時滯環(huán)節(jié)對系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定性帶來的不利影響。8.6.1時滯系統(tǒng)系統(tǒng)中信號傳遞有時間延遲的環(huán)節(jié)稱為時滯環(huán)節(jié)，包含時滯環(huán)節(jié)的系統(tǒng)稱為時滯系統(tǒng)。時滯環(huán)節(jié)的特點是她它的輸出變量相對于輸入變量存在時間上的滯后。流體在長管道中的流淌、物料輸送、電信號在長導(dǎo)線中的傳遞等，都有時間延遲。含有這類元件的系統(tǒng)都是時滯系統(tǒng)。對于一個具有限制系統(tǒng)，時滯可能由檢測系統(tǒng)造成，也可能由限制元件、執(zhí)行元件在造成，或者由他們共同造成。嚴格地說，限制系統(tǒng)中時滯是普遍存在的，只有大小的不同。時滯系統(tǒng)是時滯不能忽視的系統(tǒng)。時滯系統(tǒng)屬于非最小相位系統(tǒng)。圖8-6-1所示為軋鋼板機鋼板厚度限制系統(tǒng)。電動機軸的旋轉(zhuǎn)使軋車昆帶動鋼板以速度v運動，限制系統(tǒng)限制電動機的上下位移，從而限制兩軋輥的間距，變更軋制的鋼板的厚度。系統(tǒng)通過厚度檢測進行反饋，形成閉環(huán)限制，從而削減鋼板厚度誤差。因軋輥間鋼板厚度無法干脆測量，因而造成測試信號與被控信號——即軋輥間距或鋼板厚度有T=d/v的時滯。時滯環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為式中T——時滯時間，T=d/v。系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為式中——軋輥限制系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)，即鋼板厚度檢測信號與鋼板厚度輸入信號間的傳遞函數(shù)；——限制器傳遞函數(shù)；——軋輥間距（鋼板厚度）與限制器輸出信號間的傳遞函數(shù)；——時滯環(huán)節(jié)，即鋼板厚度檢測信號與軋輥間距（鋼板厚度）間傳遞函數(shù)。系統(tǒng)開環(huán)頻率特性函數(shù)為（8.6.1）具有時滯環(huán)節(jié)的系統(tǒng)頻率特性函數(shù)式（8.6.1），與假設(shè)無時滯環(huán)節(jié)的頻率特性函數(shù)的幅頻特性相同，但相頻特性增加了相角滯后亦即，兩者開環(huán)頻率特性伯德圖的幅頻特性曲線相同，但有時滯環(huán)節(jié)時系統(tǒng)的相頻特性曲線，較無時滯環(huán)節(jié)系統(tǒng)的下移wTrad/s，這將較少系統(tǒng)閉環(huán)的相位裕度和幅值裕度，給穩(wěn)定性帶來不利影響。8.6.2應(yīng)用奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)分析時滯系統(tǒng)的穩(wěn)定性以下通過實例，介紹奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)分析時滯系統(tǒng)穩(wěn)定性的方法，以剛好滯系統(tǒng)對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響。已知具有時滯環(huán)節(jié)的液面限制系統(tǒng)框圖如圖8-6-2所示。設(shè)時滯時間。分析系統(tǒng)穩(wěn)定性。解系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為系統(tǒng)開環(huán)伯德圖如圖8-6-3所示。圖（a）為MATLAB得到，無時滯環(huán)節(jié)；圖（b）中同時給出有和無時滯環(huán)節(jié)的相頻特性曲線，兩者幅頻特性曲線相同。如圖8-6-3（a）所示，無時滯時，系統(tǒng)的幅值交界（穿越）頻率，即幅值特性曲線與0dB線相交時的頻率為，系統(tǒng)的相位裕度為，系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定。如圖8-3-6（b）所示，有時滯時，在處，相位角滯后。因此有時滯系統(tǒng)的相位裕度系統(tǒng)因時滯而變得不穩(wěn)定。為使系統(tǒng)穩(wěn)定，保證必要的相位裕度。必需較少開環(huán)增益。但這將增加穩(wěn)態(tài)誤差，降低系統(tǒng)的限制精度。因此時滯環(huán)節(jié)會使系統(tǒng)開環(huán)伯德圖的相頻特性曲線，較無時滯時隨頻率下移wT。這將削減系統(tǒng)閉環(huán)的相位裕量和幅值裕量，從而降低系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性，甚至可能使系統(tǒng)變得不穩(wěn)定。為滿意穩(wěn)定性的要求，不得不削減系統(tǒng)開環(huán)增益，付出了增加穩(wěn)態(tài)誤差，降低限制精度的代價。8.7小結(jié)本章介紹了基于復(fù)變函數(shù)俯角原理的奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)，奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)依據(jù)反饋限制系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性曲線，來判定系統(tǒng)閉環(huán)的肯定穩(wěn)定性。并且依據(jù)反饋系統(tǒng)開環(huán)頻率特性，引入了反饋限制系統(tǒng)的兩種相對穩(wěn)定性指標——幅值裕量和相位裕量。本章還對二階系統(tǒng)的頻域性能指標剛好域性能指標：超調(diào)量、上升時間、峰值時間、調(diào)整時間進行探討，對三類性能指標之間及其與系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)之間的關(guān)系進行比較。本章最終總結(jié)探討了具有時滯環(huán)節(jié)的限制系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題。作為總結(jié)，表8-7-1列出了15種典型傳遞函數(shù)的伯德圖、這時限制系統(tǒng)的分析和設(shè)計來說是沒用的。在進行反饋限制系統(tǒng)校正設(shè)計時（第9章），駕馭受控對象G(s)和限制器表8-7-1典型傳遞函數(shù)的伯德圖序號伯德圖序號伯德圖142536序號伯德圖序號伯德圖710811912序號伯德圖序號伯德圖131514模型后，就可以依據(jù)查閱表8-7-1，利用表中的信息確定或預(yù)料系統(tǒng)的性能，從而確定接受或更改限制器的設(shè)計。習(xí)題8-1復(fù)變函數(shù)的零——極點分布如圖題8-1(a)和(b)所示。假設(shè)s平面內(nèi)的封閉曲線如圖題8-1(a)和(b)所示。試定性地畫出內(nèi)相應(yīng)的封閉曲線。8-2設(shè)系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)的奈奎斯特圖分別如題圖8-2(a)和（b）所示，試確定系統(tǒng)的閉環(huán)穩(wěn)定性。8-3系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)如下，試繪制開環(huán)極坐標圖，并利用奈奎斯特判據(jù)推斷系統(tǒng)的閉環(huán)穩(wěn)定性：單位反饋系統(tǒng)的受控對象為。試利用極坐標圖確定使系統(tǒng)穩(wěn)定的K的取值范圍。對下列系統(tǒng)，試繪制其伯德圖，求出相位裕量和幅值裕量，并推斷系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定性。8-6系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為請在0.1到10的頻率范圍內(nèi)，繪制開環(huán)伯德圖，并驗證增益裕量和相位裕量分別為16dB和30°。8-7單位反饋系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為當K=4時，驗證系統(tǒng)的增益裕量為3.5dB；假如希望增益裕量為16dB，懇求出對應(yīng)的K值。8-8系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)如下。試繪制其極坐標圖，并用奈奎斯特判據(jù)推斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。對于穩(wěn)定的系統(tǒng)，通過考察極坐標圖與實軸的交點，確定K的最大取值。8-9對將來的空間探究和空間利用而言，一項關(guān)鍵的技術(shù)就是開發(fā)能重復(fù)運用的(a)所示的是哥倫比亞航天飛機的照片，它可以想向太空運輸大量的有效載荷，返回地球后還可以重發(fā)運用，它的大小與DC-9型運輸機相像，凈重為75000Kg。該航天飛機在機翼后沿裝有升降副翼，在尾部裝有特制的制動裝置，它利用這些裝置來限制飛機的飛行。圖題8-9（b）給出了它的俯仰角限制系統(tǒng)的框圖，其中H