雙邊濾波算法的原理

雙邊濾波算法的原理、流程、實現(xiàn)及效果2013-11-0715:171969人閱讀評論(1)收藏舉報MATALB圖像處理雙邊濾波一、引言雙邊濾波在圖像處理領域中有著廣泛的應用，比如去噪、去馬賽克、光流估計等等，最近，比較流行的Non-Local算法也可以看成是雙邊濾波的一種擴展。自從Tomasietal等人提出該算法那一天起，如何快速的實現(xiàn)他，一直是人們討論和研究的焦點之一，在2011年及2012年KunalN.Chaudhury等人發(fā)表的相關論文中，提出了基于三角函數(shù)關系的值域核算法，能有效而又準確的實現(xiàn)高效雙邊算法。本文主要對此論文提出的方法加以闡述。雙邊濾波的邊緣保持特性主要是通過在卷積的過程中組合空域函數(shù)和值域核函數(shù)來實現(xiàn)的，典型的核函數(shù)為高斯分布函數(shù)，如下所示：(1)其中：〃=}%,3)虹(/Cr)一/(W)中，(2)為歸一化的作用。氣為空域高斯函數(shù)的標準差，Or為值域高斯函數(shù)的標準差，Q表示卷積的定義域。可見，在圖像的平坦區(qū)域，f(y)-f(x)的值變化很小，對應的值域權重接近于1,此時空域權重起主要作用，相當于直接對此區(qū)域進行高斯模糊，在邊緣區(qū)域，f(y)-f(x)會有較大的差異，此時值域系數(shù)會下降，從而導致此處整個核函數(shù)的分布的下降，而保持了邊緣的細節(jié)信息。直接的編碼實現(xiàn)上述過程是相當耗時的，其時間復雜度為O(os2)，因此嚴重的限制住了該算法的推廣和實際使用。不斷有學者提出了解決的辦法，其中Porikli基于一些假定對此過程進行了優(yōu)化，比如我就實現(xiàn)過其中一種：空域函數(shù)為均值函數(shù)，值域為任何其他函數(shù)，此時可以用直方圖技術進行處理，可減少計算量，但我的實踐表明該算法那速度還是慢，并且效果也不好。在2011的論文《FastO(1)bilateralfilteringusingtrigonometricrangekernels》中，作者提出了用Raisedcosines函數(shù)來逼近高斯值域函數(shù)，并利用一些特性把值域函數(shù)分解為一些列函數(shù)的疊加，從而實現(xiàn)函數(shù)的加速。下面我們重點描述下該過程。二、推導1、一些基礎理論和常識。⑴Cos函數(shù)在［-Pi/2,Pi/2］之間為非負、對稱、在半周期內單調遞增以及且有峰值的函數(shù);

歐拉公式：exp(ix)=cos(x)+isin(x);分配律：exp(a+b)=exp(a)*exp(b)；圖像的動態(tài)范圍：［0,T］，比如對于灰度圖像即為［0,255］;2、一些有用的論證(1)對于式子：如⑶其中s是自變量，取值范圍［-T,T］，令y=Pi/2T，則ys的值在［-Pi/2,Pi/2］內。此時，可以證明:(2)當N足夠大時，有下式成立:cxp((4(2)當N足夠大時，有下式成立:cxp(如果令p=yo如果令p=yo，則上式就變?yōu)?(5)p4n2(6)p4n2同樣，上面成立的條件也必須有:當ys的值在［-Pi/2,Pi/2］時，因此只需要?即可，此時要求二二.式6中，最右側部分即為高斯函數(shù)，此時說明，可以用Raisedcosines函數(shù)來近似的模擬高斯函數(shù)，我們用一段matlab函數(shù)來驗證該結果：clc;T=255;

Delta=80;Gamma=pi/(2*T);Rho=Gamma*Delta;Color-[b,g,r,c,m,y,k」；x=-T:T;y1二exp(-x."2/(2*Delta*Delta));plot(x,y1,'--b','LineWidth',2);holdon;fork=2:7y2=cos(Gamma.*x/(Rho*sqrt(k))).”(k);plot(x,y2,Color(k));end從左圖的曲線分布可見，N=2（綠色），N=3（紅色）兩條曲線明顯不符合我們的定義域的要求，分別出現(xiàn)了非單調遞增和負值得情況。之后隨著N的不斷增大，曲線越來越接近高斯分布曲線（藍色曲線）。這從實際的角度證明了公式6的正確性。3、推導將公式（4）帶入公式（6）中，得到:(7)將公式（7）帶入原始的雙邊濾波的公式（1）中，有:(8)其中:同樣，對于〃可以推導得到:式（8）的第三行利用了前面基礎理論中的第三條：分配率。注意式中的積分是對y積分，因此可以把f（x）相關部分提取到積分符號的外圍。"Z2項(fX(g(&)+i血(B))*(j】心)CO&S)誑+ijw(y)sin(/J)dyjM=0Q□(9)fw(y)cos(p)^注意(8)和(9)兩式中后的后半部分，比如'I這個，可以看出這個實際上就是對cos(6)這幅圖像進行高斯模糊，而高斯模糊可以通過FFT或者回溯算法快速0(1)實現(xiàn)，這樣兩式8/9兩式就分別轉換為對f(y)cos(6)、f(y)sin(6)、cos(6)以及sin(6)圖像進行一系列高斯模糊的過程了。至此，所有的推導工作完成，那么我們在理一下算法的執(zhí)行步驟吧：：已知條件：輸入圖像f(x),動態(tài)范圍［-T,T］，空域和值域方差氣、氣。:設定Y=Pi/2T,p=YQr，N=1/(YQr*YQr)；:for(0<n<N),獲取f(y)cos(6)、f(y)sin(6)、cos(6)以及sin(P)所對應的圖像數(shù)據(jù)(浮點類型)；:利用0(1)高斯模糊算法對上述四個圖像數(shù)據(jù)進行標準差為氣的高斯模糊并累計。:對累加后的數(shù)據(jù)進行除法操作，獲得最終的結果圖像。注意：式8和式9中的乘法最后會有虛部的數(shù)據(jù)出現(xiàn)，在處理時可以直接丟棄掉。三、實現(xiàn)及效果以上算法在論文Fast0(1)bilateralfilteringusingtrigonometricrangekernels中有著較為詳細的論述，論文中還給出了JAVA代碼實現(xiàn)的鏈接，但是該鏈接已經(jīng)失效，需要JAVA代碼做參考的可從此處下載：BilateralFilter-src.rar，其中的BilateralFilter_.jar可在ImageJ中作為插件加載，而這篇論文的對應代碼在解壓后的bilateralfilterinstant文件夾中。注意，這個ImageJ的插件寫的似乎有問題，運行時點plugins-->BilateralFilters-->BilateralFilterInstant后彈出的對話框中，不要勾選多線程才能對輸入的任意參數(shù)進行處理，否則圖像無任何反映。在第三步和第四步的處理，N+1次循環(huán)之間時沒有任何關系的，因此，只要內存許可，各循環(huán)之間可以并行的執(zhí)行，這對于現(xiàn)在的2核和4核的CPU的有一定的意義，不過相比GPU來說，可能意義更大吧。按上述過程編制代碼，測試效果測試如下:(1)去除噪音lena圖增加標準差為20的高斯噪音使用氣=20、Qr=4。雙邊濾波后的結果（2）普通圖像的邊緣保持結果

帶有噪音的美女圖1使用氣=10、or=35雙邊濾波后的結果帶有噪音的美女圖2使用『5、?！?25雙邊濾波后的結果使用『。、Q「=35雙邊濾波后的結果美女1細膩的頭發(fā)在濾波后依然有著飄然的感覺，而面部的斑點也已經(jīng)悄然消失。美女2的面部也得到了恰當?shù)淖o理，而其湛藍的雙眼依舊是那么有神。四、效率分析及進一步優(yōu)化很明顯，上述算法的執(zhí)行時間直接依賴于N的大小，而從相關推導公式中看，N的值直接取決于T和or的大小，T越大,N越大，or越大，N越小。當T固定時，比如為255時，取不同的pr對應的n值如下表所示：，，，,,,—ror51020304060801000N1053263662916743上表中，可以發(fā)現(xiàn)，當?！感∮?0時，所需要的循環(huán)次數(shù)N極具增加，當N超過100時，可以認為這個算法已經(jīng)不再具有優(yōu)化的意義了，可能比原始的算法還慢。這個從原理上也很好解釋。當o比較小時，高斯函數(shù)的曲線在中心線附近急劇下降，從而需要更多的三角函數(shù)來逼近他。r因此，進一步的優(yōu)化需要從T的取值以及N的方面予以考慮。

我們觀察到，在對值域高斯核函數(shù)進行計算時，使用的是f(y)-f(x),而不是f(y),通常情況下，一副圖像的f(y)中所有值的最大值可能為255,但是某個區(qū)域內的f(y)-f(x)在全圖中的值卻不一定為255,如果這個值小于255,那么在上述算法中使用的T值就可以縮小，從而減少N的大小，比如當氣為10時，T取255，由上表可知N=263，而如果T為210，則大約只需要263*(210/255)A2=178次循環(huán)，幾乎減少了100次。那么一副圖像的實際的T值打開是什么個范疇呢，使用標準的Lena圖做了個測試，在不同的取樣半徑下獲得的結果如下表:153205208210211215215這說明在很多情況下T值確實小于255,即使取樣半徑比較大。這里則涉及到一個平衡問題。計算實際的T值一般情況下會獲得小于255的結果，這有利于減小N，從而降低程序的執(zhí)行時間，但是這個計算的過程本身也需要時間，如果這個時間大于其帶來的好處，則這個改進就是退步。幸好，在很久以前，關于指定半徑內的最大值算法就已經(jīng)有了O(1)的快速算法，其執(zhí)行時間一般要小于進行一次本例中這種循環(huán)的時間。所以這個改進是值得的。那么我在看看小。「時大N的問題，當?！副容^小時，我們觀察其分布曲線，如下圖：?！?[1351015]時的曲線由上圖可以看出小氣時，曲線在中心線附近迅速衰減，理論表明這個距離為［-3氣,3?！福?在此之外的值可以忽略不計，因此，那些對最終結果沒有什么貢獻的循環(huán)就完全可以舍棄，這部分的理論推導可以詳見論文AccelerationoftheshiftableO(1)algorithmforbilateralfilteringandnon-localmeans我們知道，Non-Local算法在很大程度是雙邊模糊的擴展，只是其值域的相似度函數(shù)更加復雜，不是簡單的f(y)-(f(x)那么簡單了，而是和f(y)和f(x)的領域有關，因此直接的Non-Local實現(xiàn)理論上比雙邊濾波還要耗時，上面介紹的這種優(yōu)化方式在后面這篇論文里提到也是可以用于Non-Local的，有興趣的朋友可以自己去研究下。五：小結和展望可以看到，本文的這種優(yōu)化方式實際上是利用Cos函數(shù)去畢竟高斯函數(shù)，在代碼層次上，需要(N+1)*4此高斯模糊，而由上面相關表格可以看到，N的數(shù)值一般都在10以上，因此，至少要執(zhí)行44次高斯模糊，這還不包括獲取需要高斯模糊的數(shù)據(jù)部分以及最后的濾波結果獲取。即使高斯模糊在高效，比如對于600*400的彩色圖，5ms