2019年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試(山東卷)數(shù)學(xué)理

2019年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試(山東卷)

理科數(shù)學(xué)

本試卷分第I卷和第n卷兩部分，共4頁，滿分150分?？荚囉脮r120分鐘，考試結(jié)束后，將

本試卷和答題卡一并交回。

注意事項：

1.答題前，考生務(wù)必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、座號、準(zhǔn)考證證、縣區(qū)和科類填寫

在答題卡和試卷規(guī)定的位置上。

2.第I卷每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑；如需改動，用

橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號，答案不能答在試卷上。

3.第II卷必須用0.5毫米黑色簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)的位置,

不能寫在試卷上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不能使用涂改液、

膠帶紙、修正帶。不按能上能下要求作答的答案無效.

4.填空題請直接填寫答案，解答題應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

參考公式：

柱體的體積公式：V=Sh,其中S是柱體的底面積，h是柱體的高。

圓柱的側(cè)面積公式：S=cl,其中c是圓柱的底面周長，/是圓柱的母線長。

球的體積公式：V=-TVR3,其中R是球的半徑。

3

球的表面積公式：S=4?R2,其中R是球的半徑。

X^y^nxy___

用最小二乘法求線性回歸方程系數(shù)公式：6=號-------,a^y-bx,

L2-2

2^x2-nx

如果事件A、B互斥，那么P(A+B)=P(A)+P(B)

弟I卷(共60分)

一、選擇題：本大題共10小題.每小題5分，共50分在每小題給出的四個選項中，只有一項是滿

足題目要求的.

1.設(shè)集合M={x|x2+x-6<0},N={x|lWxW3},則MCN=

A.[1,2)B.[1,2]C.(2,3]D.[2,3]

9角■粉7-2-'為甫和的待)在宿平面內(nèi)對應(yīng)的占斫在勿隔頭1

2+i

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

3.若點(a,9)在函數(shù)y=3、的圖象上，則tan=(ITT"的值為

6

出

A.0B.—C.1D.百

3

4.不等式|%-5|+|%+3410的解集是

A.[-5,7]B.[-4,6]

C.(―oo,—5][7,~hx))D.(—8,—4][6,~Hx))

5.對于函數(shù)y=/(x),xwRJymf(x)|的圖象關(guān)于y軸對稱”是“y=f(x)是奇函數(shù)”的

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要

6.若函數(shù)/(x)=sin<ux?>0)在區(qū)間0,y上單調(diào)遞增，在區(qū)間-，^上單調(diào)遞減，則(o=

32

A.3B.2C.—D.一

23

7.某產(chǎn)品的廣告費(fèi)用x與銷售額y的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表

廣告費(fèi)用X(萬元)4235

銷售額y(萬元)49263954

根據(jù)上表可得回歸方程$=去+6中的E為9.4,據(jù)此模型預(yù)報廣告費(fèi)用為6萬元時銷售額為

A.63.6萬元B.65.5萬元C.67.7萬元D.72.0萬元

r2v2

8.已知雙曲線r—==l(a>0,b>0)的兩條漸近線均和圓C：x2+y2-6x+5=0相切,且雙曲線

ab

的右焦點為圓C的圓心，則該雙曲線的方程為

10.已知/(%)是R上最小正周期為2的周期函數(shù)，且當(dāng)0?xv2時,/(幻=d一二則函數(shù)y=于(x)

的圖象在區(qū)間[0,6]上與工軸的交點的個數(shù)為

A.6B.7C.8D.9

11.右圖是長和寬分別相等的兩個矩形.給定下列三個命題：①存在三棱柱,

其正（主）視圖、俯視圖如下圖；②存在四棱柱，其正（主）視圖、俯

視圖如右圖；③存在圓柱，其正（主）視圖、俯視圖如右圖.其中真命><<>?■

題的個數(shù)是

A.3B.2

C.1D.0

12.設(shè)A，&，A，是平面直角坐標(biāo)系中兩兩不同的四點，若44=444（入CR），

4A⑺GR），且,+'=2,則稱4，A.調(diào)和分割A(yù)，A2,已知平面上的點c,D

2〃

調(diào)和分割點A,B則下面說法正確的是

A.C可能是線段AB的中點

B.D可能是線段AB的中點

C.C,D可能同時在線段AB上

D.C,D不可能同時在線段AB的延長線上

第n卷（共9。分）

二、填空題：本大題共4小題，每小題4分，共16分.

13.執(zhí)行右圖所示的程序框圖，輸入1=2,m=3,n=5,則輸出的y的值是

若*-在）6展開式的常數(shù)項為60,則常數(shù)。的值為

14.

X

X

15.設(shè)函數(shù)/（%）=——(x>0),觀察:

x+2

x

/(x)=/(x)

%+2,

x

力(x)=f(工(x))=

3x+4'

x

力")=/(加龍))=

7x+8'

x

力(%)=/(力(x))=

15x+16'

根據(jù)以上事實，由歸納推理可得:

當(dāng)〃CN+且〃22時，/(X)=/"T(X))=.

16.已知函數(shù)f(x)=logaX+x—Z?(a>0,且awl).當(dāng)2<a<3<b<4時，函數(shù)f(x)的零點

x0￡(〃,〃+1),nGAT,貝Un二.

三、解答題：本大題共6小題，共74分.

17.(本小題滿分12分)

在△ABC中，內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c.己知竺公也吃￡

cosB

(I)求皿的值；

sinA

(II)若cosB=—,b=2,A43c的面積S。

4

18.(本小題滿分12分)

紅隊隊員甲、乙、丙與藍(lán)隊隊員A、B、C進(jìn)行圍棋比賽，甲對A,乙對B,丙對C各一盤,

已知甲勝A,乙勝B,丙勝C的概率分別為0.6,050.5,假設(shè)各盤比賽結(jié)果相互獨立。

(I)求紅隊至少兩名隊員獲勝的概率；

(II)用J表示紅隊隊員獲勝的總盤數(shù)，求彳的分布列和數(shù)學(xué)期望

19.(本小題滿分12分)

在如圖所示的幾何體中，四邊形ABCD為平行四邊形，ZACB=90°,EA,平面ABC

D,EF//AB,FG〃BC,EG〃AC.AB=2EF.

(I)若M是線段AD的中點，求證：GM〃平面ABFE;

(II)若AC=BC=2AE,求二面角A-BF-C的大小.

BC

20.(本小題滿分12分)

等比數(shù)列｛風(fēng)｝中，4M2,4分別是下表第一、二、三行中的某一個數(shù)，且4，4中的任

何兩個數(shù)不在下表的同一列.

第一列第二列第三列

第一行3210

第二行6414

第三行9818

(I)求數(shù)列｛4｝的通項公式;

(II)若數(shù)列｛4｝滿足:<=a”+(-l)lna”,求數(shù)列｛么｝的前「項和S”.

21.(本小題滿分12分)

某企業(yè)擬建造如圖所示的容器(不計厚度，長度單位：米)，其中容器的中間為圓柱形，左

右兩端均為半球形，按照設(shè)計要求容器的體積為酶立方米，且/22八假設(shè)該容器的建造費(fèi)

3

用僅與其表面積有關(guān).已知圓柱形部分每平方米建造費(fèi)用為3千元，半球形部分每平方米建造

費(fèi)用為c(c>3)千元，設(shè)該容器的建造費(fèi)用為y千元.

(I)寫出y關(guān)于r的函數(shù)表達(dá)式，并求該函數(shù)的定義域;

(II)求該容器的建造費(fèi)用最小時的r.

22.（本小題滿分14分）

已知動直線/與橢圓C:]+]=1交于P&,y）、Q（%,%）兩不同點，且AOPQ的面

積SA°P°=乎,其中°為坐標(biāo)原點?

（I）證明花2+々2和凹2+必2均為定值；

（II）設(shè)線段PQ的中點為M,求|OM|“PQ|的最大值；

（HI）橢圓C上是否存在點D,E,G,使得邑8￡=SA。0G=SAOEG=手？若存在，判斷△DEG

的形狀；若不存在，請說明理由.

參考答案

一、選擇題

ADDDBCBACBAD

二、填空題

13.6814.416.2

(2"-l)x+2"

三、解答題

17.解：

abc

(I)由正弦定理，設(shè)二一=--=--=k,

sinAsinBsinC

2c-a2ZsinC—攵sinA2sinC-sinA

則

b&sinBsinB

cosA-2cosC_2sinC-sinA

所以

cosBsinB

即(cosA-2cosC)sin8=(2sinC-sinA)cosB,

化簡可得sin(A+8)=2sin(B+C).

又A+JB+C*=%,

所以sinC=2sinA

廠,,sinC-

因此-----=2.

sinA

.sinC-c

(zIIx)由-----=2得。=2。.

sinA

由余弦定理

b2=a2+c2-laccosBRCOSB=—,b=2,

4

W4=a2+4a2-4。2x-.

4

解得a=l。

因此c=2

1L

又因為cosB=—，且G<B<TC.

4

所以sinB=@5

4

因此S=—^zcsinB=—xlx2x^^-=^^-

2244

18.解：(I)設(shè)甲勝A的事件為D,

乙勝B的事件為E,丙勝C的事件為F,

則。，瓦E分別表示甲不勝A、乙不勝B,丙不勝C的事件。

因為P(D)=0.6,P(E)=0.5,P(F)=0.5,

由對立事件的概率公式知

P(D)=0.4,P(E)=0.5,P(F)=0.5,

紅隊至少兩人獲勝的事件有：

DEF,DEF,DEF,DEF.

由于以上四個事件兩兩互斥且各盤比賽的結(jié)果相互獨立，

因此紅隊至少兩人獲勝的概率為

P=P{DEF)+P(DEF)+P(DEF)+P(DEF)

=0.6x0.5x0.5+0.6x0.5x0.5+0.4x0.5x0.5+0.6x0.5x0.5

=0.55.

(ID由題意知&可能的取值為0,1,2,3。

又由(I)知尸是兩兩互斥事件，

且各盤比賽的結(jié)果相互獨立，

因此P化=0)=P(DEF)=0.4x0.5x0.5=0.1,

=1)=P(DEF)+P(DEF)+P(DEF)

=0.4x0.5x0.5+0.4x0.5x0.5+0.6x0.5x0.5

=0.35

P(&=3)=P(DEF)=0.6x0.5x0.5=0.15.

由對立事件的概率公式得

PC=2)=l_PC=0)_PC=l)_PC_3)=0.4,

所以g的分布列為：

0123

P0.10.350.40.15

因此=0x0.1+1x0.35+2x0.4+3x0.15=1.6.

19.(I)證法一：

因為EF//AB,FG//BC,EG//AC,ZACB=90°,

所以ZEGF=90°,WBCs\EFG.

由于AB=2EF,

因此，BC=2FC,

連接AF,由于FG//BC,FG=-BC,

2

在A3CQ中，M是線段AD的中點，

則AM〃BC,且AM=工BC,

2

因此FG//AM且FG=AM,

所以四邊形AFGM為平行四邊形，

因此GM//FA。

又FAu平面ABFE,平面ABFE,

所以GM//平面AB?

證法二：

因為EF//AB,FG//BC,EG//AC,ZACB=90°,

所以ZEGF=90°,M5C-\EFG.

由于AB=2EF,

因此，BC=2FC,

取BC的中點N,連接GN,

因此四邊形BNGF為平行四邊形，

所以GN〃FB,

在A5CO中，M是線段AD的中點，連接MN,

則MN//AB,

因為MNGN=N,

所以平面GMN//平面ABFE。

又GMu平面GMN,

所以GM//平面ABFE。

(II)解法一：

因為ZACB=90°,所以NCAD=90°,

又E4L平面ABCD,

所以AC,AD,AE兩兩垂直，

分別以AC,AD,AE所在直線為x軸、y軸和z軸，建立如圖所法的空間直角坐標(biāo)系,

不妨設(shè)AC=3C=2AE=2,

則由題意得A(0,0,0,),B(2,-2,0),C(2,0,0,),E(0,0,1),

所以A3=(2,—2,0),BC=(0,2,0),

又

2

所以￡（1,一1,1）,8/=（一1,1,1）.

設(shè)平面BFC的法向量為加=（王，兇，4）,

則m-BC-0,m-BF=0,

y=0

所以1力'取Z1=l彳導(dǎo)X1=l,

k=zP

所以/”=(1,0,1),

設(shè)平面ABF的法向量為〃=(X2，%，Z2)>

則n-AB-0,n-BF=0,

所以<2：2'取以=1,得l2=1，

z,=0,

則〃=（1/,0）,

、m-n1

所以cos（機(jī),〃）=-------=一.

'/\m\-\n\2

因此二面角A—BF—C的大小為60°.

解法二：

由題意知，平面平面ABCD,

取AB的中點H,連接CH,

因為AC=BC,

所以CH_LAB,

則CH_L平面ABFE,

過H向BF引垂線交BF于R,連接CR,

則CR1BF.

所以為二面角A-BF-C的平面角。

由題意，不妨設(shè)AC=BC=2AE=2。

在直角梯形ABFE中，連接FH,

則又=

所以HF=AE=l,BH=g,

因此在即她〃/中，HR=—.

3

由于CH=，AB=&，

2

所以在中，tan/HRC=」==A/3,

76

3

因此二面角A-BF-C的大小為6()。.

20.解：(I)當(dāng)4=3時，不合題意；

當(dāng)4=2時，當(dāng)且僅當(dāng)q=6,4=18時，符合題意；

當(dāng)q=10時，不合題意。

因此4=2,%=6,%=18,

所以公式q=3,

故a“=2-3"i.

(II)因為=a”+(-1)"Ina,,

=2-3,,_|+(-ir(2-3n-')

=2-3"-+(-l)"[ln2+(〃-l)In3]

=2.3"T+(-1)"(In2-ln3)+(-1)"“In3,

所以

2,,-I2,,

S2?=2(1+3++3)+[-1+1-1++(-l)](ln2-In3)+[-1+2-5++(-l)"n]ln3,

所以

1-3"n

當(dāng)n為偶數(shù)時，S“=2xL」+Nln3

“1-32

n

=3"+-ln3-l;

2

1—3〃n-\

當(dāng)n為奇數(shù)時，=2x-p^--(ln2-ln3)+(—--〃)ln3

Yl—\

=3"-----In3-ln2-l.

2

綜上所述，

3z,+-ln3-l,〃為偶數(shù)

S=12

“〃一]

3"_ZL」in3Tn2T,n為奇數(shù)

I2

21.解：(D設(shè)容器的容積為V,

由題意知V=萬//+芻》/,又丫=空工，

33

V—d乃「3

y38044,20.

故/=______—_______一_____________，（廠）

rcr2

由于/22〃

因止匕（）<〃<2.

所以建造費(fèi)用y=2%力x3+4"/c=rx—（-^-r）x3+4^r2c,

3r

因此y=41（c-2）/+1°",0<rK2.

r

（ID由（I）得y'=8乃（c—2?—二8乃9一2）（/_區(qū)）,0<廠v2.

廣rc-2

由于。>3,所以c—2>0,

當(dāng)，__絲_=0B寸/=

c-2s

令J2。=m,貝!Jm>0

Vc-2

所以y'=8"（：2）（一m）（r2+rm+m2）.

r'

9

(1)當(dāng)0<〃?<2即c>一時，

2

當(dāng)r=m時,y'=0;

當(dāng)re(0,m)時,y'<0;

當(dāng)re(m,2)時,y>>0.

所以r=w是函數(shù)y的極小值點，也是最小值點。

9

(2)當(dāng)加22即3<c?一時，

2

當(dāng)re(0,2)時,y<0,函數(shù)單調(diào)遞減,

所以r=2是函數(shù)y的最小值點，

9

綜上所述，當(dāng)3<c4二時，建造費(fèi)用最小時/*=2;

2

920

當(dāng)c〉2時，建造費(fèi)用最小時r=：產(chǎn)-

2Vc-2

22.(I)解：(1)當(dāng)直線/的斜率不存在時，P,Q兩點關(guān)于x軸對稱,

所以%=看,％=一升

因為P(x”yJ在橢圓上,

因此±+&=1

32

又因為SA”O(jiān)=乎，

所以1%卜卬=當(dāng)②

由①、②得|不|=乎,|凹1=1.

此時才+宕=3,y；+￡=2,

(2)當(dāng)直線/的斜率存在時，設(shè)直線/的方程為丁=去+加，

X2丫2

由題意知mH0,將其代入二+乙=1,得

32

(2+3左2)爐+6kmx+3(nr—2)-0,

2

其中△=36公加—12(2+3左2)(m-2)>0,

即3公+2>加2......(*)

b6km3(m2-2)

又Xi+X,=------7,X.X=---------廠，

1-2+3/1-22+3二

2

所以|PQ|=V1+F-+X2)-4X]X2=Jl+公.2M3,

因為點O到直線/的距離為d=-,|/?z|■■

Vi+F,

所以％及=卜。區(qū)

2瓜/3公+2-/。2|刈

=32^3p717^

_V6Im\+2-/

―2+3〃

又S一

人DAOPQ_2，

整理得女2+2=2加2,且符合(*)式,

3(根2—2)

此時Xj2+%2-(玉+/另-2內(nèi)尤2=(——6歷〃J2一2X=3,

2+3k2+3嚴(yán)

272

=§(3_x；)+§(3_x；)=4_§a2+x；)=2.

綜上所述，片+尤=3;弁+￡=2,結(jié)論成立。

(II)解法一：

(1)當(dāng)直線/的斜率存在時，

由⑴知|0M|=|x|=^,|PQ|=2|x|=2,

因止匕|0M|"PQ|="x2=?.

2

(2)當(dāng)直線/的斜率存在時，由(D知

x,+x,_3k

2—茄'

22

X+必“玉+工2、3k之-3k+2m_1

———=k(———-)+m=------+m=

222m2mm'

|。吸(等)*券?9k216m2-2J1、

+-2=~；~~2-=7(3----T)，