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文檔簡介
2019年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試(山東卷)
理科數(shù)學(xué)
本試卷分第I卷和第n卷兩部分,共4頁,滿分150分??荚囉脮r120分鐘,考試結(jié)束后,將
本試卷和答題卡一并交回。
注意事項:
1.答題前,考生務(wù)必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、座號、準(zhǔn)考證證、縣區(qū)和科類填寫
在答題卡和試卷規(guī)定的位置上。
2.第I卷每小題選出答案后,用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑;如需改動,用
橡皮擦干凈后,再選涂其他答案標(biāo)號,答案不能答在試卷上。
3.第II卷必須用0.5毫米黑色簽字筆作答,答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)的位置,
不能寫在試卷上;如需改動,先劃掉原來的答案,然后再寫上新的答案;不能使用涂改液、
膠帶紙、修正帶。不按能上能下要求作答的答案無效.
4.填空題請直接填寫答案,解答題應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。
參考公式:
柱體的體積公式:V=Sh,其中S是柱體的底面積,h是柱體的高。
圓柱的側(cè)面積公式:S=cl,其中c是圓柱的底面周長,/是圓柱的母線長。
球的體積公式:V=-TVR3,其中R是球的半徑。
3
球的表面積公式:S=4?R2,其中R是球的半徑。
X^y^nxy___
用最小二乘法求線性回歸方程系數(shù)公式:6=號-------,a^y-bx,
L2-2
2^x2-nx
如果事件A、B互斥,那么P(A+B)=P(A)+P(B)
弟I卷(共60分)
一、選擇題:本大題共10小題.每小題5分,共50分在每小題給出的四個選項中,只有一項是滿
足題目要求的.
1.設(shè)集合M={x|x2+x-6<0},N={x|lWxW3},則MCN=
A.[1,2)B.[1,2]C.(2,3]D.[2,3]
9角■粉7-2-'為甫和的待)在宿平面內(nèi)對應(yīng)的占斫在勿隔頭1
2+i
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限
3.若點(a,9)在函數(shù)y=3、的圖象上,則tan=(ITT"的值為
6
出
A.0B.—C.1D.百
3
4.不等式|%-5|+|%+3410的解集是
A.[-5,7]B.[-4,6]
C.(―oo,—5][7,~hx))D.(—8,—4][6,~Hx))
5.對于函數(shù)y=/(x),xwRJymf(x)|的圖象關(guān)于y軸對稱”是“y=f(x)是奇函數(shù)”的
A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件
C.充要條件D.既不充分也不必要
6.若函數(shù)/(x)=sin<ux?>0)在區(qū)間0,y上單調(diào)遞增,在區(qū)間-,^上單調(diào)遞減,則(o=
32
A.3B.2C.—D.一
23
7.某產(chǎn)品的廣告費(fèi)用x與銷售額y的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表
廣告費(fèi)用X(萬元)4235
銷售額y(萬元)49263954
根據(jù)上表可得回歸方程$=去+6中的E為9.4,據(jù)此模型預(yù)報廣告費(fèi)用為6萬元時銷售額為
A.63.6萬元B.65.5萬元C.67.7萬元D.72.0萬元
r2v2
8.已知雙曲線r—==l(a>0,b>0)的兩條漸近線均和圓C:x2+y2-6x+5=0相切,且雙曲線
ab
的右焦點為圓C的圓心,則該雙曲線的方程為
10.已知/(%)是R上最小正周期為2的周期函數(shù),且當(dāng)0?xv2時,/(幻=d一二則函數(shù)y=于(x)
的圖象在區(qū)間[0,6]上與工軸的交點的個數(shù)為
A.6B.7C.8D.9
11.右圖是長和寬分別相等的兩個矩形.給定下列三個命題:①存在三棱柱,
其正(主)視圖、俯視圖如下圖;②存在四棱柱,其正(主)視圖、俯
視圖如右圖;③存在圓柱,其正(主)視圖、俯視圖如右圖.其中真命><<>?■
題的個數(shù)是
A.3B.2
C.1D.0
12.設(shè)A,&,A,是平面直角坐標(biāo)系中兩兩不同的四點,若44=444(入CR),
4A⑺GR),且,+'=2,則稱4,A.調(diào)和分割A(yù),A2,已知平面上的點c,D
2〃
調(diào)和分割點A,B則下面說法正確的是
A.C可能是線段AB的中點
B.D可能是線段AB的中點
C.C,D可能同時在線段AB上
D.C,D不可能同時在線段AB的延長線上
第n卷(共9。分)
二、填空題:本大題共4小題,每小題4分,共16分.
13.執(zhí)行右圖所示的程序框圖,輸入1=2,m=3,n=5,則輸出的y的值是
若*-在)6展開式的常數(shù)項為60,則常數(shù)。的值為
14.
X
X
15.設(shè)函數(shù)/(%)=——(x>0),觀察:
x+2
x
/(x)=/(x)
%+2,
x
力(x)=f(工(x))=
3x+4'
x
力")=/(加龍))=
7x+8'
x
力(%)=/(力(x))=
15x+16'
根據(jù)以上事實,由歸納推理可得:
當(dāng)〃CN+且〃22時,/(X)=/"T(X))=.
16.已知函數(shù)f(x)=logaX+x—Z?(a>0,且awl).當(dāng)2<a<3<b<4時,函數(shù)f(x)的零點
x0£(〃,〃+1),nGAT,貝Un二.
三、解答題:本大題共6小題,共74分.
17.(本小題滿分12分)
在△ABC中,內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c.己知竺公也吃£
cosB
(I)求皿的值;
sinA
(II)若cosB=—,b=2,A43c的面積S。
4
18.(本小題滿分12分)
紅隊隊員甲、乙、丙與藍(lán)隊隊員A、B、C進(jìn)行圍棋比賽,甲對A,乙對B,丙對C各一盤,
已知甲勝A,乙勝B,丙勝C的概率分別為0.6,050.5,假設(shè)各盤比賽結(jié)果相互獨立。
(I)求紅隊至少兩名隊員獲勝的概率;
(II)用J表示紅隊隊員獲勝的總盤數(shù),求彳的分布列和數(shù)學(xué)期望
19.(本小題滿分12分)
在如圖所示的幾何體中,四邊形ABCD為平行四邊形,ZACB=90°,EA,平面ABC
D,EF//AB,FG〃BC,EG〃AC.AB=2EF.
(I)若M是線段AD的中點,求證:GM〃平面ABFE;
(II)若AC=BC=2AE,求二面角A-BF-C的大小.
BC
20.(本小題滿分12分)
等比數(shù)列{風(fēng)}中,4M2,4分別是下表第一、二、三行中的某一個數(shù),且4,4中的任
何兩個數(shù)不在下表的同一列.
第一列第二列第三列
第一行3210
第二行6414
第三行9818
(I)求數(shù)列{4}的通項公式;
(II)若數(shù)列{4}滿足:<=a”+(-l)lna”,求數(shù)列{么}的前「項和S”.
21.(本小題滿分12分)
某企業(yè)擬建造如圖所示的容器(不計厚度,長度單位:米),其中容器的中間為圓柱形,左
右兩端均為半球形,按照設(shè)計要求容器的體積為酶立方米,且/22八假設(shè)該容器的建造費(fèi)
3
用僅與其表面積有關(guān).已知圓柱形部分每平方米建造費(fèi)用為3千元,半球形部分每平方米建造
費(fèi)用為c(c>3)千元,設(shè)該容器的建造費(fèi)用為y千元.
(I)寫出y關(guān)于r的函數(shù)表達(dá)式,并求該函數(shù)的定義域;
(II)求該容器的建造費(fèi)用最小時的r.
22.(本小題滿分14分)
已知動直線/與橢圓C:]+]=1交于P&,y)、Q(%,%)兩不同點,且AOPQ的面
積SA°P°=乎,其中°為坐標(biāo)原點?
(I)證明花2+々2和凹2+必2均為定值;
(II)設(shè)線段PQ的中點為M,求|OM|“PQ|的最大值;
(HI)橢圓C上是否存在點D,E,G,使得邑8£=SA。0G=SAOEG=手?若存在,判斷△DEG
的形狀;若不存在,請說明理由.
參考答案
一、選擇題
ADDDBCBACBAD
二、填空題
13.6814.416.2
(2"-l)x+2"
三、解答題
17.解:
abc
(I)由正弦定理,設(shè)二一=--=--=k,
sinAsinBsinC
2c-a2ZsinC—攵sinA2sinC-sinA
則
b&sinBsinB
cosA-2cosC_2sinC-sinA
所以
cosBsinB
即(cosA-2cosC)sin8=(2sinC-sinA)cosB,
化簡可得sin(A+8)=2sin(B+C).
又A+JB+C*=%,
所以sinC=2sinA
廠,,sinC-
因此-----=2.
sinA
.sinC-c
(zIIx)由-----=2得。=2。.
sinA
由余弦定理
b2=a2+c2-laccosBRCOSB=—,b=2,
4
W4=a2+4a2-4。2x-.
4
解得a=l。
因此c=2
1L
又因為cosB=—,且G<B<TC.
4
所以sinB=@5
4
因此S=—^zcsinB=—xlx2x^^-=^^-
2244
18.解:(I)設(shè)甲勝A的事件為D,
乙勝B的事件為E,丙勝C的事件為F,
則。,瓦E分別表示甲不勝A、乙不勝B,丙不勝C的事件。
因為P(D)=0.6,P(E)=0.5,P(F)=0.5,
由對立事件的概率公式知
P(D)=0.4,P(E)=0.5,P(F)=0.5,
紅隊至少兩人獲勝的事件有:
DEF,DEF,DEF,DEF.
由于以上四個事件兩兩互斥且各盤比賽的結(jié)果相互獨立,
因此紅隊至少兩人獲勝的概率為
P=P{DEF)+P(DEF)+P(DEF)+P(DEF)
=0.6x0.5x0.5+0.6x0.5x0.5+0.4x0.5x0.5+0.6x0.5x0.5
=0.55.
(ID由題意知&可能的取值為0,1,2,3。
又由(I)知尸是兩兩互斥事件,
且各盤比賽的結(jié)果相互獨立,
因此P化=0)=P(DEF)=0.4x0.5x0.5=0.1,
=1)=P(DEF)+P(DEF)+P(DEF)
=0.4x0.5x0.5+0.4x0.5x0.5+0.6x0.5x0.5
=0.35
P(&=3)=P(DEF)=0.6x0.5x0.5=0.15.
由對立事件的概率公式得
PC=2)=l_PC=0)_PC=l)_PC_3)=0.4,
所以g的分布列為:
0123
P0.10.350.40.15
因此=0x0.1+1x0.35+2x0.4+3x0.15=1.6.
19.(I)證法一:
因為EF//AB,FG//BC,EG//AC,ZACB=90°,
所以ZEGF=90°,WBCs\EFG.
由于AB=2EF,
因此,BC=2FC,
連接AF,由于FG//BC,FG=-BC,
2
在A3CQ中,M是線段AD的中點,
則AM〃BC,且AM=工BC,
2
因此FG//AM且FG=AM,
所以四邊形AFGM為平行四邊形,
因此GM//FA。
又FAu平面ABFE,平面ABFE,
所以GM//平面AB?
證法二:
因為EF//AB,FG//BC,EG//AC,ZACB=90°,
所以ZEGF=90°,M5C-\EFG.
由于AB=2EF,
因此,BC=2FC,
取BC的中點N,連接GN,
因此四邊形BNGF為平行四邊形,
所以GN〃FB,
在A5CO中,M是線段AD的中點,連接MN,
則MN//AB,
因為MNGN=N,
所以平面GMN//平面ABFE。
又GMu平面GMN,
所以GM//平面ABFE。
(II)解法一:
因為ZACB=90°,所以NCAD=90°,
又E4L平面ABCD,
所以AC,AD,AE兩兩垂直,
分別以AC,AD,AE所在直線為x軸、y軸和z軸,建立如圖所法的空間直角坐標(biāo)系,
不妨設(shè)AC=3C=2AE=2,
則由題意得A(0,0,0,),B(2,-2,0),C(2,0,0,),E(0,0,1),
所以A3=(2,—2,0),BC=(0,2,0),
又
2
所以£(1,一1,1),8/=(一1,1,1).
設(shè)平面BFC的法向量為加=(王,兇,4),
則m-BC-0,m-BF=0,
y=0
所以1力'取Z1=l彳導(dǎo)X1=l,
k=zP
所以/”=(1,0,1),
設(shè)平面ABF的法向量為〃=(X2,%,Z2)>
則n-AB-0,n-BF=0,
所以<2:2'取以=1,得l2=1,
z,=0,
則〃=(1/,0),
、m-n1
所以cos(機(jī),〃)=-------=一.
'/\m\-\n\2
因此二面角A—BF—C的大小為60°.
解法二:
由題意知,平面平面ABCD,
取AB的中點H,連接CH,
因為AC=BC,
所以CH_LAB,
則CH_L平面ABFE,
過H向BF引垂線交BF于R,連接CR,
則CR1BF.
所以為二面角A-BF-C的平面角。
由題意,不妨設(shè)AC=BC=2AE=2。
在直角梯形ABFE中,連接FH,
則又=
所以HF=AE=l,BH=g,
因此在即她〃/中,HR=—.
3
由于CH=,AB=&,
2
所以在中,tan/HRC=」==A/3,
76
3
因此二面角A-BF-C的大小為6()。.
20.解:(I)當(dāng)4=3時,不合題意;
當(dāng)4=2時,當(dāng)且僅當(dāng)q=6,4=18時,符合題意;
當(dāng)q=10時,不合題意。
因此4=2,%=6,%=18,
所以公式q=3,
故a“=2-3"i.
(II)因為=a”+(-1)"Ina,,
=2-3,,_|+(-ir(2-3n-')
=2-3"-+(-l)"[ln2+(〃-l)In3]
=2.3"T+(-1)"(In2-ln3)+(-1)"“In3,
所以
2,,-I2,,
S2?=2(1+3++3)+[-1+1-1++(-l)](ln2-In3)+[-1+2-5++(-l)"n]ln3,
所以
1-3"n
當(dāng)n為偶數(shù)時,S“=2xL」+Nln3
“1-32
n
=3"+-ln3-l;
2
1—3〃n-\
當(dāng)n為奇數(shù)時,=2x-p^--(ln2-ln3)+(—--〃)ln3
Yl—\
=3"-----In3-ln2-l.
2
綜上所述,
3z,+-ln3-l,〃為偶數(shù)
S=12
“〃一]
3"_ZL」in3Tn2T,n為奇數(shù)
I2
21.解:(D設(shè)容器的容積為V,
由題意知V=萬//+芻》/,又丫=空工,
33
V—d乃「3
y38044,20.
故/=______—_______一_____________,(廠)
rcr2
由于/22〃
因止匕()<〃<2.
所以建造費(fèi)用y=2%力x3+4"/c=rx—(-^-r)x3+4^r2c,
3r
因此y=41(c-2)/+1°",0<rK2.
r
(ID由(I)得y'=8乃(c—2?—二8乃9一2)(/_區(qū)),0<廠v2.
廣rc-2
由于。>3,所以c—2>0,
當(dāng),__絲_=0B寸/=
c-2s
令J2。=m,貝!Jm>0
Vc-2
所以y'=8"(:2)(一m)(r2+rm+m2).
r'
9
(1)當(dāng)0<〃?<2即c>一時,
2
當(dāng)r=m時,y'=0;
當(dāng)re(0,m)時,y'<0;
當(dāng)re(m,2)時,y>>0.
所以r=w是函數(shù)y的極小值點,也是最小值點。
9
(2)當(dāng)加22即3<c?一時,
2
當(dāng)re(0,2)時,y<0,函數(shù)單調(diào)遞減,
所以r=2是函數(shù)y的最小值點,
9
綜上所述,當(dāng)3<c4二時,建造費(fèi)用最小時/*=2;
2
920
當(dāng)c〉2時,建造費(fèi)用最小時r=:產(chǎn)-
2Vc-2
22.(I)解:(1)當(dāng)直線/的斜率不存在時,P,Q兩點關(guān)于x軸對稱,
所以%=看,%=一升
因為P(x”yJ在橢圓上,
因此±+&=1
32
又因為SA”O(jiān)=乎,
所以1%卜卬=當(dāng)②
由①、②得|不|=乎,|凹1=1.
此時才+宕=3,y;+£=2,
(2)當(dāng)直線/的斜率存在時,設(shè)直線/的方程為丁=去+加,
X2丫2
由題意知mH0,將其代入二+乙=1,得
32
(2+3左2)爐+6kmx+3(nr—2)-0,
2
其中△=36公加—12(2+3左2)(m-2)>0,
即3公+2>加2......(*)
b6km3(m2-2)
又Xi+X,=------7,X.X=---------廠,
1-2+3/1-22+3二
2
所以|PQ|=V1+F-+X2)-4X]X2=Jl+公.2M3,
因為點O到直線/的距離為d=-,|/?z|■■
Vi+F,
所以%及=卜。區(qū)
2瓜/3公+2-/。2|刈
=32^3p717^
_V6Im\+2-/
―2+3〃
又S一
人DAOPQ_2,
整理得女2+2=2加2,且符合(*)式,
3(根2—2)
此時Xj2+%2-(玉+/另-2內(nèi)尤2=(——6歷〃J2一2X=3,
2+3k2+3嚴(yán)
272
=§(3_x;)+§(3_x;)=4_§a2+x;)=2.
綜上所述,片+尤=3;弁+£=2,結(jié)論成立。
(II)解法一:
(1)當(dāng)直線/的斜率存在時,
由⑴知|0M|=|x|=^,|PQ|=2|x|=2,
因止匕|0M|"PQ|="x2=?.
2
(2)當(dāng)直線/的斜率存在時,由(D知
x,+x,_3k
2—茄'
22
X+必“玉+工2、3k之-3k+2m_1
———=k(———-)+m=------+m=
222m2mm'
|。吸(等)*券?9k216m2-2J1、
+-2=~;~~2-=7(3----T),
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