多目標(biāo)最優(yōu)化問題全面介紹

解：設(shè)購(gòu)買A,A,A121重量％X2，X3A3X解：設(shè)購(gòu)買A,A,A121重量％X2，X3A3X3單價(jià)4元/公斤2.8元/公斤2.4元/公斤min4X1+2.8x2+2.4x（用錢最?。┙猓涸O(shè)梁的截面積寬和高分別為七和七強(qiáng)度最大=慣性矩最大=1XX2612成本最低=截面積最小=尤XTOC\o"1-5"\h\z故數(shù)學(xué)模型為：minXX12EC1max6XX2S-tX2+X2=112xZ0，xZ0例2買糖問題已知食品店有A,A,A三種糖果單價(jià)分別為4元/公斤，2.8元/公斤，1232.4元/公斤，今要籌辦一次茶話會(huì)，要求用于買買糖的錢不超于20元，糖的總量不少于6公斤，A1，A兩種糖的總和不少于3公斤，問應(yīng)如何確定買糖的最佳方案？A三種糖公斤數(shù)為X1，3A2X2max氣+氣+x(糖的總量最多)123St4七+2.8%+2.4x3<20(用錢總數(shù)的限制)七+x2+七-6(用糖總量的要求)x1+x2—3(糖品種的要求)X1,x2,X3-0是一個(gè)線性多目標(biāo)規(guī)劃。二、多目標(biāo)最優(yōu)化的模型V-minF(x)=(匕⑴乂⑴,.....fm(x)gstg(x)>0h(x)>0多目標(biāo)規(guī)劃最優(yōu)化問題實(shí)際上是一個(gè)向量函數(shù)的優(yōu)化問題，當(dāng)m=1,多目標(biāo)優(yōu)化就是前面講的單目標(biāo)優(yōu)化問題三、解的概念1.序的概念a=(a,a.....a>b=(b,b.....b)12：m1c…12ma=b^^abl—1,2..JU=a<bOai<bil=1,2??m稱a小于等于"a=bOal<bl且31<j<m，使a，則a小于向量"JJaVbOai<bil=1,2??m稱a嚴(yán)格小"絕對(duì)最優(yōu)解：設(shè)多目標(biāo)最優(yōu)化問題的可行域?yàn)镈，X,￡D，如果對(duì)VxeD，都有F(x*)<F(x),則稱X為多目標(biāo)最優(yōu)化的絕對(duì)最優(yōu)解，稱絕對(duì)最優(yōu)解的全體為絕對(duì)最優(yōu)解集，記Rb，absolute—絕對(duì)x二—有效解：可行域?yàn)镈，*eD,如果不存在xeD,使F(x)=F(*)，則稱X有效解：可行域?yàn)镈，*為有效解，也稱pareto最優(yōu)解，稱有效解的全體為有效解集，記Rpa是由1951年T.C.Koopmans提出的。X一弱有效解：可行域?yàn)镈，*￡d,如果不存在xeD,使F(X)<F(X*)，則稱X*為弱有效解，記R，若有效解是1959年kanlin提出的。wp四、解的性質(zhì)：定理8.1對(duì)于多目標(biāo)最優(yōu)化問題，總有R瀝^Rpa，即絕對(duì)最優(yōu)解必是有效解，并且當(dāng)、功，Ra戒pa。"X證明：先證Rab^Rpa用反證法設(shè)*eRab,但X#Rpa.由有效解的定義可知，存在XeD，使F(X)=F)*，即存在一個(gè)】ViVm，使f做<(f.x，這與&Rab矛盾，所以X*eRpa，即、頊pa-當(dāng)Rb，只需證明Rpa^Rab，也用反證法，設(shè)X"eRpa，使X七Rab,由于Rb，X"WRab，則存在一個(gè)XeRab，使F(X)<F(x”)，則至少存在一個(gè)i，使1Vi<m，使得fi(x)<fi(x”)(否則fi(x)=fi(x”)，則FX)FX)，X"eRb)，這與X"eRpa矛盾(X"是有效解表示找不到比工"更好的點(diǎn))所以%pa0綜合Rab=Rpa。定理8.2對(duì)于多目標(biāo)最有優(yōu)化問題，總有Rpa匚Rwp，即有效解必是弱有效解.證明：用反證法，設(shè)x*eRpa，但X*wRwp，由弱有效解的定義知，3X'ep,使F(X')<F(X*)，這與X*eRpa矛盾，所以X*eRwp，即Rpa人-定理8.3如果記各分量目標(biāo)函數(shù)f((X)的最優(yōu)解集為Rj，則有Rab=mRji=1證明：設(shè)x*eR證明：設(shè)x*eR^^，則對(duì)VxGd，都有F(x*)<F(x)，所以對(duì)abVi=1,2....m，有f（（x*）＜f（（x）到過程是可逆的，因此竹*^R瀝i=1即x*eRj，這就證明x*e，上述推i=1當(dāng)Rb^^，必有f^R=，i=1從而R=竹Rabii=1否則由已證皿jR瀝，可知R產(chǎn)奴i=1定理8.4如果記各分量目標(biāo)函數(shù)f((x)的最優(yōu)解集為§，則有牛Rwp，并且當(dāng)R瀝丈^，Rwp=理.i=1證明：先證RjjRwp設(shè)x'eRj，但xLr^^，由有效解的定義知，3xWD使F(x”)vF(x')，即Vi=1,2....m，都有f((x”)<f((x')，這與xWR.矛盾，所以x‘eRwp，即RjjRwp當(dāng)R產(chǎn)^時(shí)，由R?jRwp可得jRwp，因此只需證明Rwpj理，用i=1i=1反證法，設(shè)x，，，eRwp，但x"'Wl^R.，即對(duì)i=1，2....m都有x堀R，另一方面i=1由Rab^^，可設(shè)x*eRab，則有x*ePi，即f((xXf/，所以F(x*)<F(x1")，這與x”eRwp矛盾，所以x”em^.，即Rwp=m^..i=1i=1§8.2評(píng)價(jià)函數(shù)法評(píng)價(jià)函數(shù)法有：(1)理想點(diǎn)法(2)平方和加權(quán)法(3)極小極大法基本原理(4)乘除法基本原理(5)線性加權(quán)和法-、理想點(diǎn)法minF="??…冷sig(x)>0h(x)=0絕對(duì)最優(yōu)解往往不存在。P為范數(shù)設(shè)F*=(f1*,匕*....?fm*)為理想點(diǎn)，一般情況下，d1=(F(f(x)-f：)P)p

=1絕對(duì)最優(yōu)解往往不存在。P為范數(shù)般P=2時(shí)TOC\o"1-5"\h\zm1di=(m(f(x)-f*)2)2=111例1maxf(x)=-3x+2qmaxf(x)=4H3x2122x+3x<18b12st2工］+x2<0*1x2>0解：先求maxf(x)=-3x+2x1122x+3x<18b12st2x1+x2<10'］，x2>0x*=(0,6)maxf=121maxf2(x)=4x1+3x22x+3x<18b12st2x1+x2<0"1x2>0x*=(3,4)maxf^=24故理想點(diǎn)為F=(12,24)min?—3氣+2%_12)2+(4氣干3%_24)22x+3x<18

12st2X］+x2<10x,x>0解之得x*=(0.53,0.65丫f=9.72,匕=19.06

可以證明理想點(diǎn)法求出的點(diǎn)是有效解。例2用理想點(diǎn)法求解min九=4%1-x2minf2=%1+3x2

x+x<12*2工］+3x2<10x『x2>0解：minf=4、］-x2x+x<122x,3x<101+2x『x2>0f(5,0=)20f(12,=)4f(0,1=)-1f(0,10>=-101111/3所以minf=-12匕(5,0=)5匕(匕(5,0=)5匕(12,0)=12匕(0,1=)362(0,星)=10所以minf2=5

故理想點(diǎn)F=(-i00)min盤2_12)2+(%+3勺2x+x<12st2X]+3x2<10X],X2>0求出n?Xmin盤2_12)2+(%+3勺22.平方和加權(quán)法平方和加權(quán)法也稱虛擬目標(biāo)法，共思想是構(gòu)造一個(gè)很好的虛擬目標(biāo)，然后它的目標(biāo)函數(shù)值去逼近虛擬目標(biāo).先對(duì)每個(gè)目標(biāo)函數(shù)f(x)確定一個(gè)想象的最好值f.0，并使各目標(biāo)函數(shù)與它的差的平方和最小，常取f(x)極小值得下屆作為fh(F(x))=Y/(f(x)-f。)2Zwi=1i=iminf=x)+x22+1minf=x2+(x2-2)2解：s.tx，x2>0解：f]=1，f2=0h(x)=w1(f1(x)-1)2+w2(f2(x)-0)2取.=0.5，^2=0.5minh(x)=0.5仔2+x22)2+0.5仔2+(x2-2)2)2s.tx^x2>0[x=0利用MATLAB求解：11x=12h(x)=l可以證明這種方法求出的解是有效解.3.極小一極大法/z(F(x))=maxy(x)l<i<m'minh(F(min(maxf(x))

xuDi<z<m'minf=^(%2+4)min/(工-2)22Zs.to<x<5解:_(x-2)2,0<X<12h(x)=\_L(X2+4),1<X<4101_(x-2)2,4<x<5〔2min/z(x)時(shí),、，1=>x—\.h—_21y=o.5f二一1,224.乘除法買糖問題minf=4x+2.8r+2A1123max/=x+x+x21234x+2.&+2.4r<20123x+x+xZ6123S.Tx+x>312>0123\o"CurrentDocument"?j(\f4^+2.&+2.4cmiittvv=i=i23yx+x+x21234x+2.8x+2.4x<20123“x+x+x>6

3/123x+x>312x,x,x>0123解之得：七=。，％=3氣=35.線性加權(quán)和法線性加權(quán)和法是最容易理解的評(píng)價(jià)函數(shù)法，根據(jù)各日標(biāo)函數(shù)的重要程度構(gòu)造評(píng)價(jià)函數(shù)h^F^xj)-^1w/(x)i=l其中巧.為權(quán)函數(shù)，滿足w>0,z=l,2,3...m且于w=11I'zi=l然后求解mi^(F(%))=iw/(%)

xeDxeD.1''i=lJ_C；2+4),jC；2一4人+4102例1.min/(x)=min解:°<5利用線性加權(quán)和法求解h(x)=土(x2+4)+土(x2-4x+4)102(x2(x2+4)+0.25Cx2-4x+4)df(x)

dx=0.6x—1=0(1)若人=0.5,人=0.5時(shí)12minh(x)=0.05a1.6667h=0.3667(1)(2)若人=0.8,人=0.2，同理可得x=1.1111h=0.4977Rpa=〔0，2］，兩種做法的結(jié)果都屬于有效解。例2.利用線性加權(quán)和法求解問題，買糖問題miny=4x+2.8r+24TOC\o"1-5"\h\z1123maxy=x+x+x4x1+2.8x2+2.4x3<20x+x+x>6123S.Tx+x>3x,x,x>0123取W=W=0.5h(x)=0.5(4x+2.8x+2.4x)—0.5(x+x+x)取12，1231234x1+2.8x2+2.4x<20x+x+x>6stx+x>3x,x,x>0123可得x=0,x=3,x=3h=4.8minf=%+3%st%+minf=%+3%st%+%<122工+3%<1012%,%>0可行域?yàn)镈,若氣=。.5，七=0.5h=1(4%-%)+1(%+3%)=1x5%+%212212212(10、，h0yV312'21h(0,0)=0,h(5,0)=25%=0,%=0,f=0,f=0%*=(0,0)，而r=OD，可得％*￡Rpa設(shè)h:Rm—R,F1GRm若F1<F2時(shí)，總有h(F1)<h(F2)，則稱h為嚴(yán)格單增函數(shù);若F1vF2時(shí)，總有h(F1)vh(F2)，則稱h為單增函數(shù)。定義:(1)(2)10T161第3題min，、=4%]-%2定理8.5(1)如果h是嚴(yán)格單增函數(shù)，則由評(píng)價(jià)函數(shù)法得到的解是原多目標(biāo)最優(yōu)化問題的有效解；(2)如果h是單增函數(shù)，則由評(píng)價(jià)函數(shù)得到的解是弱有效解。證明：(1)若%*是minh(%)的最優(yōu)解，用反證法，假設(shè)%*不是多目標(biāo)規(guī)劃(%1)<F(%*)有F(F(Jvh(F(%*))minF(%1)<F(%*)有F(F(Jvh(F(%*))這與%*是評(píng)價(jià)函數(shù)的最優(yōu)解相矛盾，故%*GRpa

由定義可知，(2)若寸是評(píng)價(jià)函數(shù)法的最優(yōu)解，用反證法，假設(shè)^任Rwp存在一點(diǎn)x1eD，使F(x1)<F(x*)由定義可知，wph(x)是單增函數(shù)，UhGCx1))<h(F(x*))這與X*是評(píng)價(jià)函數(shù)的最優(yōu)解矛盾，故x*WRwp§8.3分層求解法可以把目標(biāo)函數(shù)分成優(yōu)化級(jí)，分第一層、分第二層、分第三層再逐步求解;例1.用分層求解法求m_m1n—2x-X—x+2x12Xx-X—x+2x12X+X<1X,X>0七比/2更重要，取5=0.1解：(1)先求f(0,0)=0f(1,0)=11，1B點(diǎn)最優(yōu)解，f=-1(2)取5=0.1minf=x-xX+x<1X,X>0f1(0,1)=-1%-x2<-1+0.1=-0.9f2(B)=minf=-x+2xx—x<-0.9stx+x<1X,X>0f（B）=2,f（C）=1.8,f（D）=1.85222C點(diǎn)為最優(yōu)點(diǎn)：x]=0，x2=0.9,f2T.&f]=-0.9綜合可得：x1=0，x2=0-9,f]=—0.9,f2=L8例2.<6「4用分層求解法求minf=-2x+x1「一minf2st假設(shè)目標(biāo)f1比f(wàn)2重要，