線性代數(shù)期末考試試卷答案合集詳解

線性代數(shù)期末考試試卷答案合集詳解×××?學(xué)線性代數(shù)期末考試題?、填空題（將正確答案填在題中橫線上。每?題2分，共10分）1.若022150131=---x，則=χ__________。2．若齊次線性?程組=++=++=++000321321321xxxxxxxxxλλ只有零解，則λ應(yīng)滿?。3．已知矩陣nsijcCBA?=)(，，，滿?CBAC=，則A與B分別是階矩陣。4．矩陣=323122211211aaaaaaA的?向量組線性。5．n階?陣A滿?032=--EAA，則=-1A。?、判斷正誤（正確的在括號(hào)內(nèi)填“√”，錯(cuò)誤的在括號(hào)內(nèi)填“×”。每?題2分，共10分）1.若?列式D中每個(gè)元素都?于零，則0?D。（）2.零向量?定可以表?成任意?組向量的線性組合。（）3.向量組maaa，，，Λ21中，如果1a與ma對(duì)應(yīng)的分量成?例，則向量組saaa，，，Λ21線性相關(guān)。（）4.?=010*********0010A，則AA=-1。（）5.若λ為可逆矩陣A的特征值，則1-A的特征值為λ。()三、單項(xiàng)選擇題(每?題僅有?個(gè)正確答案，將正確答案題號(hào)填?括號(hào)內(nèi)。每?題2分，共10分)

1.設(shè)A為n階矩陣，且2=A，則=TAA（）。①n2②12-n③12+n④42.n維向量組sααα，，，Λ21（3≤s≤n）線性?關(guān)的充要條件是（）。①sααα，，，Λ21中任意兩個(gè)向量都線性?關(guān)②sααα，，，Λ21中存在?個(gè)向量不能?其余向量線性表?③sααα，，，Λ21中任?個(gè)向量都不能?其余向量線性表?④sααα，，，Λ21中不含零向量3.下列命題中正確的是()。①任意n個(gè)1+n維向量線性相關(guān)②任意n個(gè)1+n維向量線性?關(guān)③任意1+n個(gè)n維向量線性相關(guān)④任意1+n個(gè)n維向量線性?關(guān)4.設(shè)A，B均為n階?陣，下?結(jié)論正確的是()。①若A，B均可逆，則BA+可逆②若A，B均可逆，則AB可逆③若BA+可逆，則BA-可逆④若BA+可逆，則A，B均可逆5.若4321νννν，，，是線性?程組0=XA的基礎(chǔ)解系，則4321νννν+++是0=XA的（）①解向量②基礎(chǔ)解系③通解④A的?向量四、計(jì)算題(每?題9分，共63分)1.計(jì)算?列式xabcdaxbcdabxcdabcxd++++。解·3)(0000000

01)(1111)(xdcbaxxxxdcbdcbaxdxcbdcxbdcbxdcbdcbaxdxcbdcbaxdcxbdcbaxdcbxdcbaxdcbdcbaxdxcbadcxbadcbxadcbax++++=++++=+++++++=+++++++++++++++++++=++++2.設(shè)BAAB2+=，且A,410011103=求B。解.ABEA=-)2(??-----=--111122112)2(1EA，-----=-=-322234225)2(1AEAB3.設(shè),1000110001100011---=B?=200012003120431

2C且矩陣X滿?關(guān)系式'(),XCBE-=求X。4.問(wèn)a取何值時(shí)，下列向量組線性相關(guān)？123112211,,221122aaaααα-????-???=-==---。5.λ為何值時(shí)，線性?程組-=++-=++-=++223321321321xxxxxxxxxλλλλ有唯?解，?解和有?窮多解？當(dāng)?程組有?窮多解時(shí)求其通解。①當(dāng)1≠λ且2-≠λ時(shí)，?程組有唯?解；②當(dāng)2-=λ時(shí)?程組?解③當(dāng)1=λ時(shí)，有?窮多組解，通解為-+-+-=X10101100221cc6.設(shè).77103,1301,3192,01414321--=?--=?--=?=αααα求此向量組的秩和?個(gè)極??關(guān)組，并將其余向量?該極??關(guān)組線性表?。7.設(shè)100010021A???=????，求A的特征值及對(duì)應(yīng)的特征向量。五、證明題(7分)若A是n階?陣，且，IAA=T，1-=A證明0=+IA。其中I為單位矩陣?！痢痢?學(xué)線性代數(shù)期末考試題答案?、填空題1.52.1≠λ3.nnss??，4.相關(guān)

5.EA3-?、判斷正誤1.×2.√3.√4.√5.×三、單項(xiàng)選擇題1.③2.③3.③4.②5.①四、計(jì)算題1.3)(000000001)(1111)(xdcbaxxxxdcbdcbaxdxcbdcxbdcbxdcbdcbaxdxcbdcbaxdcxbdcbaxdcbxdcbaxdcbdcbaxdxcbadcxbadcbxadcbax++++=++++=+++++++=+++++++++++++++++++=++++2.ABEA=-)2(??-----=--111122112)2(1EA，-----=-=-322234225)2(1AEAB3.()[]()[]

---=-=?????---=-??=-??=---12101210012000112100121001200011234012300120001)(10002100321043211'1''BCEXBCBCBC，，4.)22()12(812121212121212321-+=------=aaaaaaaa，，當(dāng)21-=a或1=a時(shí)，向量組321aaa，，線性相關(guān)。5.①當(dāng)1≠λ且2-≠λ時(shí)，?程組有唯?解；②當(dāng)2-=λ時(shí)?程組?解③當(dāng)1=λ時(shí)，有?窮多組解，通解為

-+-+-=X10101100221cc6.-=?------→--------→------=0000110020102001131300161600241031217130104302410312171307311100943121)(4321aaaa，，，則()34321=aaaar，，，，其中321aaa，，構(gòu)成極??關(guān)組，321422aaaa++-=7.0)1(1210013=-=----=-λλλλλAE特征值1321===λλλ，對(duì)于λ1＝1，-=-020*******AEλ，特征向量為+????100001lk()()'五、證明題+-='+-='+='+=+AIAIAIAAAAIA∴()02=+AI，∵()0=+AI?、選擇題（本題共4?題，每?題4分，滿分16分。每?題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有?項(xiàng)符合題?要求）1、設(shè)A，B為n階?陣，滿?等式0=AB，則必有（）(A)0=A或0=B;(B)0=+BA；（C）0=A或0=B;(D)0=+BA。2、A和B均為n階矩陣，且222()2ABAABB+=++，則必有（）(A)AE=；(B)BE=；（C）AB=.(D)ABBA=。3、設(shè)A為nm?矩陣，齊次?程組0=Ax僅有零解的充要條件是（）(A)A的列向量線性?關(guān)；(B)A的列向量線性相關(guān)；（C）A的?向量線性?關(guān)；(D)A的?向量線性相關(guān).4、n階矩陣A為奇異矩陣的充要條件是（）(A)A的秩?于n；(B)0A≠；(C)A的特征值都等于零；(D)A的特征值都不等于零；?、填空題（本題共4?題，每題4分，滿分16分）5、若4階矩陣A的?列式5A=-，A*是A的伴隨矩陣，則*A=。6、A為nn?階矩陣，且220AAE--=，則1(2)AE-+=。7、已知?程組=-+43121232121321xxxaa?解，則a=。

8、?次型2221231231213(,,)2322fxxxxxtxxxxx=++++是正定的，則t的取值范圍是。三、計(jì)算題（本題共2?題，每題8分，滿分16分）9、計(jì)算?列式1111111111111111xxDyy+-=+-10、計(jì)算n階?列式121212333nnnnxxxxxxDxxx++=+LLMMML四、證明題（本題共2?題，每?題8分，滿分16分。寫出證明過(guò)程）11、若向量組123,,ααα線性相關(guān)，向量組234,,ααα線性?關(guān)。證明：(1)1α能有23,αα線性表出；(2)4α不能由123,,ααα線性表出。12、設(shè)A是n階矩?陣，E是n階單位矩陣，EA+可逆，且1()()()fAEAEA-=-+。證明（1）(())()2EfAEAE++=；（2）(())ffAA=。五、解答題（本題共3?題，每?題12分，滿分32分。解答應(yīng)寫出?字說(shuō)明或演算步驟）13、設(shè)200032023A??=????，求?個(gè)正交矩陣P使得1PAP-為對(duì)?矩陣。14、已知?程組=++=++=++040203221321321xaxxaxxxxxx與?程組12321-=++axxx有公共解。求a的值。15、設(shè)四元?齊次線性?程組的系數(shù)矩陣的秩為3，已知1η，2η，3η是它的三個(gè)解向量，且??=54321η，

=+432132ηη求該?程組的通解。解答和評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)?、選擇題1、C；2、D；3、A；4、A。?、填空題5、-125;6、2π；7、-1；8、53>t。三、計(jì)算題9、解：第??減第??，第三?減第四?得：001111001111xxxDyyy-=-第?列減第?列，第四列減第三列得：00011000011xxDyy-=-（4分）按第??展開得100001xDxyy-=-按第三列展開得2201

xDxyxyy-=-=。（4分）10、解：把各列加到第?列，然后提取第?列的公因?+∑=niix13，再通過(guò)?列式的變換化為上三?形?列式2212113313nnnniinxxxxDxxx=+??=+?+∑LLMMML（4分）2110303003nniixxx=??=+∑LLMMML1133nniix-=??=+∑（4分）四、證明題11、證明：(1)、因?yàn)?32,ααα，線性?關(guān)，所以32αα，線性?關(guān)。，?321ααα，，線性相關(guān)，故1α能由32αα，線性表出。(4分)123()3rααα=，，，（2）、（反正法）若不，則4α能由321,ααα，線性表出，不妨設(shè)3322114ααααkkk++=。由（1）知，1α能由32αα，線性表出，不妨設(shè)32211αααtt+=。所以3322322114)(αααααkkttk+++=，這表明432,ααα，線性相關(guān)，?盾。12、證明（1）1(())()[()()]()EfAEAEEAEAEA-++=+-++1()()()()()()2EAEAEAEAEAEAE-=++-++=++-=（4分）（2）1(())[()][()]ffAEfAEfA-=-+由（1）得：11[()]()2EfAEA-+=+，代?上式得11111

(())[()()]()()()()()222ffAEEAEAEAEAEAEAEA--=--++=+--++11()()22EAEAA=+--=（4分）五、解答題13、解：