2023年北京市海淀區(qū)十一學(xué)校數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末聯(lián)考試題含解析

2022-2023高二下數(shù)學(xué)模擬試卷請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．若是小于的正整數(shù)，則等于（）A． B． C． D．2．若（為虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)（）A． B． C． D．3．已知函數(shù)在恰有兩個零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B．C． D．4．一個算法的程序框圖如圖所示，則該程序框圖的功能是A．求a，b，c三數(shù)中的最大數(shù) B．求a，b，c三數(shù)中的最小數(shù)C．將a，b，c按從小到大排列 D．將a，b，c按從大到小排列5．若，，，則實(shí)數(shù)，，的大小關(guān)系為（）A． B． C． D．6．為了得到函數(shù)的圖象，只需把函數(shù)的圖象上所有的點(diǎn)（）A．向左平移個單位長度 B．向右平移個單位長度C．向左平移個單位長度 D．向右平移個單位長度7．隨機(jī)變量的分布列如右表，若，則（）012A． B． C． D．8．下列說法中：相關(guān)系數(shù)用來衡量兩個變量之間線性關(guān)系的強(qiáng)弱，越接近于1，相關(guān)性越弱；回歸直線過樣本點(diǎn)中心；相關(guān)指數(shù)用來刻畫回歸的效果，越小，說明模型的擬合效果越不好．兩個模型中殘差平方和越小的模型擬合的效果越好.正確的個數(shù)是（）A．0 B．1 C．2 D．39．雙曲線和有（）A．相同焦點(diǎn) B．相同漸近線 C．相同頂點(diǎn) D．相等的離心率10．雙曲線的離心率等于2，則實(shí)數(shù)a等于（）A．1 B． C．3 D．611．對相關(guān)系數(shù)，下列說法正確的是（）A．越大，線性相關(guān)程度越大B．越小，線性相關(guān)程度越大C．越大，線性相關(guān)程度越小，越接近0，線性相關(guān)程度越大D．且越接近1，線性相關(guān)程度越大，越接近0，線性相關(guān)程度越小12．已知x,y的取值如下表，從散點(diǎn)圖知，x,y線性相關(guān)，且y=0.6x+a，則下列說法正確的是（x1234y1.41.82.43.2A．回歸直線一定過點(diǎn)(2.2,2.2)B．x每增加1個單位，y就增加1個單位C．當(dāng)x=5時，y的預(yù)報(bào)值為3.7D．x每增加1個單位，y就增加0.7個單位二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在極坐標(biāo)系中，圓上的點(diǎn)到直線的距離的最小值是____14．某等腰直角三角形的一條直角邊長為4，若將該三角形繞著直角邊旋轉(zhuǎn)一周所得的幾何體的體積是，則_____．15．二項(xiàng)式的展開式中含項(xiàng)的系數(shù)為____16．點(diǎn)2，，3，，4，，若的夾角為銳角，則的取值范圍為______．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）繼共享單車之后，又一種新型的出行方式------“共享汽車”也開始亮相南昌市，一款共享汽車在南昌提供的車型是“吉利”.每次租車收費(fèi)按行駛里程加用車時間,標(biāo)準(zhǔn)是“1元/公里＋0.1元/分鐘”，李先生家離上班地點(diǎn)10公里，每次租用共享汽車上、下班，由于堵車因素，每次路上開車花費(fèi)的時間是一個隨機(jī)變量，根據(jù)一段時間統(tǒng)計(jì)40次路上開車花費(fèi)時間在各時間段內(nèi)的情況如下：時間（分鐘）次數(shù)814882以各時間段發(fā)生的頻率視為概率，假設(shè)每次路上開車花費(fèi)的時間視為用車時間，范圍為分鐘.（1）若李先生上、下班時租用一次共享汽車路上開車不超過45分鐘，便是所有可選擇的交通工具中的一次最優(yōu)選擇，設(shè)是4次使用共享汽車中最優(yōu)選擇的次數(shù)，求的分布列和期望.（2）若李先生每天上、下班均使用共享汽車，一個月（以20天計(jì)算）平均用車費(fèi)用大約是多少（同一時段，用該區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）.18．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.（1）當(dāng)時，求直線與曲線的普通方程；（2）若直線與曲線交于兩點(diǎn)，直線的傾斜角范圍為，點(diǎn)為直線與軸的交點(diǎn)，求的最小值.19．（12分）某IT從業(yè)者繪制了他在26歲～35歲(2009年～2018年)之間各年的月平均收入（單位：千元）的散點(diǎn)圖：（1）由散點(diǎn)圖知，可用回歸模型擬合與的關(guān)系，試根據(jù)附注提供的有關(guān)數(shù)據(jù)建立關(guān)于的回歸方程（2）若把月收入不低于2萬元稱為“高收入者”.試?yán)茫?）的結(jié)果，估計(jì)他36歲時能否稱為“高收入者”？能否有95%的把握認(rèn)為年齡與收入有關(guān)系？附注：①.參考數(shù)據(jù)：，，,，，,，其中，取，②.參考公式：回歸方程中斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為:，P（K2≥k）0.0500.0100.001k3.8416.63510.828③.．20．（12分）已知函數(shù)，．（1）若，求的取值范圍；（2）若的圖像與相切，求的值．21．（12分）已知函數(shù).(1)判斷的奇偶性并證明你的結(jié)論;(2)解不等式22．（10分）如圖，橢圓和圓，已知橢圓C的離心率為，直線與圓O相切.（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過點(diǎn)的直線l與橢圓相交于P，Q不同兩點(diǎn)，點(diǎn)在線段PQ上.設(shè)，試求的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】

利用排列數(shù)的定義可得出正確選項(xiàng).【詳解】，由排列數(shù)的定義可得.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查排列數(shù)的表示，解題的關(guān)鍵就是依據(jù)排列數(shù)的定義將代數(shù)式表示為階乘的形式，考查分析問題和解決問題的能力，屬于中等題.2、B【解析】由可得：，故選B.3、B【解析】

本題可轉(zhuǎn)化為函數(shù)與的圖象在上有兩個交點(diǎn)，然后對求導(dǎo)并判斷單調(diào)性，可確定的圖象特征，即可求出實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】由題意，可知在恰有兩個解，即函數(shù)與的圖象在上有兩個交點(diǎn)，令，則，當(dāng)可得，故時，；時，.即在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，，，因?yàn)椋援?dāng)時，函數(shù)與的圖象在上有兩個交點(diǎn)，即時，函數(shù)在恰有兩個零點(diǎn).故選B.【點(diǎn)睛】已知函數(shù)有零點(diǎn)（方程有根）求參數(shù)值常用的方法：（1）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問題加以解決；（2）數(shù)形結(jié)合：先對解析式變形，在同一平面直角坐標(biāo)系中，畫出函數(shù)的圖象，然后觀察求解.4、B【解析】

根據(jù)框圖可知，當(dāng)a>b時，把b的值賦給a，此時a表示a、b中的小數(shù)；當(dāng)a>c時，將c的值賦給a，a表示a、c中的小數(shù)，所以輸出a表示的是a，b，c中的最小數(shù).【詳解】由程序框圖，可知若a>b，則將b的值賦給a，a表示a，b中的小數(shù)；再判斷a與c的大小，若a>c，則將c的值賦給a，則a表示a，c中的小數(shù)，結(jié)果輸出a，即a是a，b，c中的最小數(shù)．【點(diǎn)睛】本題考查程序框圖的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是在解題的過程中模擬程序框圖的運(yùn)行過程，屬于基礎(chǔ)題.5、A【解析】

利用冪指對函數(shù)的單調(diào)性，比較大小即可.【詳解】解：，，，∴，故選：A【點(diǎn)睛】本題考查了指對函數(shù)的單調(diào)性及特殊點(diǎn)，考查函數(shù)思想，屬于基礎(chǔ)題.6、D【解析】

通過變形，通過“左加右減”即可得到答案.【詳解】根據(jù)題意，故只需把函數(shù)的圖象上所有的點(diǎn)向右平移個單位長度可得到函數(shù)的圖象，故答案為D.【點(diǎn)睛】本題主要考查三角函數(shù)的平移變換，難度不大.7、B【解析】分析：根據(jù)題目條件中給出的分布列，可以知道和之間的關(guān)系，根據(jù)期望為，又可以得到一組關(guān)系，這樣得到方程組，解方程組得到的值.進(jìn)而求得.詳解：根據(jù)題意，解得則故選B.點(diǎn)睛：本題考查期望、方差和分布列中各個概率之間的關(guān)系，屬基礎(chǔ)題.8、D【解析】

根據(jù)線性回歸方程的性質(zhì)，結(jié)合相關(guān)系數(shù)、相關(guān)指數(shù)及殘差的意義即可判斷選項(xiàng).【詳解】對于，相關(guān)系數(shù)用來衡量兩個變量之間線性關(guān)系的強(qiáng)弱，越接近于1，相關(guān)性越強(qiáng)，所以錯誤；對于，根據(jù)線性回歸方程的性質(zhì)，可知回歸直線過樣本點(diǎn)中心，所以正確；對于，相關(guān)指數(shù)用來刻畫回歸的效果，越小，說明模型的擬合效果越不好，所以正確；對于，根據(jù)殘差意義可知，兩個模型中殘差平方和越小的模型擬合的效果越好，所以正確；綜上可知，正確的為，故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查了線性回歸方程的性質(zhì)，相關(guān)系數(shù)與相關(guān)指數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.9、A【解析】

對于已知的兩條雙曲線，有，則半焦距相等，且焦點(diǎn)都在軸上，由此可得出結(jié)論.【詳解】解：對于已知的兩條雙曲線，有，半焦距相等，且焦點(diǎn)都在軸上，它們具有相同焦點(diǎn).故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的定義與性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.10、A【解析】

利用離心率的平方列方程，解方程求得的值.【詳解】由可得，從而選A.【點(diǎn)睛】本小題主要考查已知雙曲線的離心率求參數(shù)，考查方程的思想，屬于基礎(chǔ)題.11、D【解析】

根據(jù)兩個變量之間的相關(guān)系數(shù)r的基本特征，直接選出正確答案即可．【詳解】用相關(guān)系數(shù)r可以衡量兩個變量之間的相關(guān)關(guān)系的強(qiáng)弱，|r|≤1，r的絕對值越接近于1，表示兩個變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)，r的絕對值接近于0時，表示兩個變量之間幾乎不存在相關(guān)關(guān)系，故選D．【點(diǎn)睛】本題考查兩個變量之間相關(guān)系數(shù)的基本概念應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題目．12、C【解析】

由已知求得樣本點(diǎn)的中心的坐標(biāo)，代入線性回歸方程即可求得a值，進(jìn)一步求得線性回歸方程，然后逐一分析四個選項(xiàng)即可得答案．【詳解】解：由已知得，x=1+2+3+44=2.5，由回歸直線方程y^=0.6x+a^恒過樣本中心點(diǎn)（2.5，2.2），得2.2=0.6×2.5+∴回歸直線方程為y?x每增加1個單位，y就增加1個單位，故B錯誤；當(dāng)x＝5時，y的預(yù)測值為3.1，故C正確；x每增加1個單位，y就增加0.6個單位，故D錯誤．∴正確的是C．故選C．【點(diǎn)睛】本題考查線性回歸直線方程，解題關(guān)鍵是性質(zhì)：線性回歸直線一定過點(diǎn)(x二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、1【解析】試題分析：圓的直角坐標(biāo)方程為，直線的直角坐標(biāo)方程為，圓心到直線的距離，圓上的點(diǎn)到直線的距離的最小值為.考點(diǎn)：直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)、距離公式.14、【解析】分析：幾何體為圓錐，根據(jù)圓錐的體積公式求解詳解：由題意可知三角形繞著直角邊旋轉(zhuǎn)一周所得的幾何體為圓錐，體積是點(diǎn)睛：三角形旋轉(zhuǎn)為圓錐，體積公式為。15、【解析】分析：根據(jù)二項(xiàng)式定理的通項(xiàng)公式，寫出的系數(shù)．詳解：所以，當(dāng)時，所以系數(shù)為．點(diǎn)睛：項(xiàng)式定理中的具體某一項(xiàng)時，寫出通項(xiàng)的表達(dá)式，使其滿足題目設(shè)置的條件．16、【解析】

根據(jù)的夾角為銳角，可得，且不能同向共線解出即可得出．【詳解】1，，2，，的夾角為銳角，，且不能同向共線．解得，．則的取值范圍為．故答案為．【點(diǎn)睛】本題主要考查了向量夾角公式、向量共線定理，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（Ⅰ）見解析;（Ⅱ）542元.【解析】試題分析：（1）首先求為最優(yōu)選擇的概率是，故ξ的值可能為0，1，2，3，4，且ξ～B（4，），進(jìn)而求得分布列和期望值；（2）根據(jù)題意得到每次花的平均時間為35.5，根據(jù)花的費(fèi)用為10+35.5*0.1得到費(fèi)用.解析：（Ⅰ）李先生一次租用共享汽車，為最優(yōu)選擇的概率依題意ξ的值可能為0，1，2，3，4，且ξ～B（4，），，，，，，∴ξ的分布列為：ξ01234P（或）．（Ⅱ）每次用車路上平均花的時間（分鐘）每次租車的費(fèi)用約為10+35.5×0.1=13.55元．一個月的平均用車費(fèi)用約為542元．18、（1）；（2）【解析】

（1）當(dāng)，可得直線的參數(shù)方程為，消掉參數(shù)，即可求得直線的普通方程，由的參數(shù)方程為，可得，根據(jù)即可求得答案；（2）將直線的參數(shù)方程，代入圓的方程得，根據(jù)韋達(dá)定理和直線參數(shù)的幾何意義，即可求得答案；【詳解】（1）直線的參數(shù)方程為，消掉參數(shù)可得直線的普通方程為，的參數(shù)方程為（為參數(shù)）可得曲線的普通方程為.（2）將直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）代入圓的方程得，易知，設(shè)所對應(yīng)的參數(shù)分別為，則，，所以，當(dāng)時，的最小值為.【點(diǎn)睛】本題考查了參數(shù)方程化為直角坐標(biāo)方程和利用直線參數(shù)方程幾何意義求弦長問題，解題關(guān)鍵是掌握根據(jù)直線的參數(shù)方程求弦長問題時，一般與韋達(dá)定理相結(jié)合，考查了分析能力和計(jì)算能力，屬于中檔題.19、（1）（2）他36歲時能稱為“高收入者”,有95%的把握認(rèn)為年齡與收入有關(guān)系【解析】

（1）分別計(jì)算出，，帶入即可．（2）將2代入比較即可，計(jì)算觀測值，與臨界值比較可得結(jié)論．【詳解】（1）令，則∴∴(2)把帶入（千元）≥2（萬元）∴他36歲時能稱為“高收入者”.故有95%的把握認(rèn)為年齡與收入有關(guān)系【點(diǎn)睛】本題考查線性回歸直線、獨(dú)立性檢驗(yàn)，屬于基礎(chǔ)題．20、（1）；（2）1【解析】

（1）由題意可得，設(shè)，求得導(dǎo)數(shù)和單調(diào)性、極值和最值，即可得到所求范圍；（2）設(shè)的圖象與相切于點(diǎn)，求得的導(dǎo)數(shù)，可得切線的斜率和切點(diǎn)滿足曲線方程，解方程即可得到所求值．【詳解】（1）由得.，從而，即．設(shè).，則，（）所以時，，單調(diào)遞增；時，，單調(diào)遞減，所以當(dāng)時，取得最大值，故的取值范圍是．（2）設(shè)的圖像與相切于點(diǎn)，依題意可得因?yàn)?，所以消去可得．令，則，顯然在上單調(diào)遞減，且，所以時，，單調(diào)遞增；時，，單調(diào)遞減，所以當(dāng)且僅當(dāng)時．故．【點(diǎn)睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義即函數(shù)在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)即為在改點(diǎn)處切線的斜率，導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性、極值和最值的關(guān)系，由，得函數(shù)單調(diào)遞增，得函數(shù)單調(diào)遞減，考查方程思想和運(yùn)算能力、推理能力，屬于中檔題．21、(1)為奇函數(shù)；證明見解析；(2)【解析】

（1）求出函數(shù)定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，再求得，從而得到原函數(shù)為奇函數(shù)；（2）利用對數(shù)式與指數(shù)式的互化，得到分式不等式，求得.【詳解】（1）根據(jù)題意為奇函數(shù)；證明：，所以定義域?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)對稱．任取，則．則有，為奇函數(shù)．（2）由（1）知，，即，，即，∴或．又由，則有，綜上不等式解集為．【點(diǎn)睛】本題以對數(shù)函數(shù)、分式函數(shù)復(fù)合的復(fù)合