材料力學(xué)桿件變形分析

材料力學(xué)桿件變形分析第1頁(yè)，共52頁(yè)，2023年，2月20日，星期一第一節(jié)桿件軸向拉壓變形第二節(jié)圓軸扭轉(zhuǎn)變形第三節(jié)積分法求梁彎曲變形疊加法求梁彎曲變形第四節(jié)提高梁彎曲剛度的措施總結(jié)與討論第2頁(yè)，共52頁(yè)，2023年，2月20日，星期一桿件在載荷作用下都將發(fā)生變形（deformation）。在有些結(jié)構(gòu)或?qū)嶋H工程中，桿件發(fā)生過(guò)大的變形將影響桿件或結(jié)構(gòu)的正常使用，必須對(duì)桿件的變形加以限制，如工程中使用的傳動(dòng)軸、車床主軸等變形過(guò)大會(huì)造成機(jī)器不能正常工作；而有些結(jié)構(gòu)又需要桿件有較大的變形，如汽車上所使用的疊板彈簧，只有當(dāng)彈簧有較大變形時(shí)，才能起緩沖作用。在結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)中，無(wú)論是限制桿件的變形，還是利用桿件的變形，都必須掌握計(jì)算桿件變形的方法。本章將具體討論桿件軸向拉伸（或壓縮）、圓軸扭轉(zhuǎn)和彎曲三種情況下的桿件變形。研究桿件變形的目的，一方面是為了分析桿件的剛度問(wèn)題，另一方面則是為了求解超靜定問(wèn)題。第3頁(yè)，共52頁(yè)，2023年，2月20日，星期一第一節(jié)桿件軸向拉壓變形當(dāng)桿件承受軸向載荷時(shí)，其軸向尺寸和橫向尺寸均發(fā)生變化，桿件沿軸線方向的變形，稱為軸向變形（axialdeformation）；垂直于軸線方向的變形，稱為橫向變形（lateraldeformation）。1．拉壓桿的軸向變形與胡克定律實(shí)驗(yàn)表明，桿件受拉時(shí)，軸向尺寸增大，橫向尺寸縮小，桿件受壓時(shí)，軸向尺寸縮小，橫向尺寸增大。設(shè)拉壓桿的橫截面的面積為A，原長(zhǎng)為l，在軸向拉力F作用下產(chǎn)生變形，如圖4-1所示，變形后桿長(zhǎng)為l1，則桿在軸線方向的伸長(zhǎng)量為第4頁(yè)，共52頁(yè)，2023年，2月20日，星期一

Δl是桿件長(zhǎng)度尺寸的絕對(duì)改變量，稱為絕對(duì)變形，表示整個(gè)桿件沿軸線方向總的變形量，絕對(duì)變形不能說(shuō)明桿件的變形程度。要度量桿件變形程度的大小，必須消除桿件原有尺寸的影響，桿件均勻變形時(shí)桿件沿軸線方向的相對(duì)變形，即軸向線應(yīng)變（axialstrain）為其中ε為桿件軸線方向的線應(yīng)變，是無(wú)量綱量，拉伸時(shí)為正，壓縮時(shí)為負(fù)。實(shí)驗(yàn)表明，對(duì)于工程中的大部分材料，當(dāng)桿內(nèi)應(yīng)力在一定范圍（比例極限）內(nèi)時(shí)，桿的變形量與外力和桿的原長(zhǎng)成正比，與桿的橫截面面積成反比，并引入比例常數(shù)彈性模量，則可以得到桿件變形的計(jì)算公式為第5頁(yè)，共52頁(yè)，2023年，2月20日，星期一上述為描述彈性范圍內(nèi)桿件承受軸向載荷時(shí)力與變形的胡克定律（Hooke’slaw），適用于等截面常軸力拉壓桿。在比例極限內(nèi)，拉壓桿的軸向變形與材料的彈性模量及桿的橫截面面積成反比，乘積EA稱為拉壓桿的抗拉壓剛度（tensileorcompressionrigidity）。顯然，對(duì)于給定長(zhǎng)度的等截面拉壓桿，在一定的軸向載荷作用下，抗拉壓剛度EA越大，桿的軸向變形就越小。對(duì)于軸向力、橫截面面積或彈性模量沿桿軸逐段變化的拉壓桿，如下圖所示，其軸向變形為第6頁(yè)，共52頁(yè)，2023年，2月20日，星期一對(duì)于軸力和橫截面面積沿軸向連續(xù)變化的情況，其軸向變形量為將式等號(hào)兩邊同除以桿長(zhǎng)，即得到或上式為胡克定律的另一種表達(dá)式。第7頁(yè)，共52頁(yè)，2023年，2月20日，星期一2．拉壓桿的橫向變形與泊松比如圖所示，設(shè)桿件的原寬度為b，在軸向拉力作用下，寬度變?yōu)閎1，橫向變形量為Δb=b1-b，則橫向應(yīng)變?yōu)轱@然，如果桿件是如圖所示的拉伸變形，則ε′為負(fù)值，即軸向拉伸時(shí)，桿沿軸向伸長(zhǎng)，其橫向尺寸減??；軸向壓縮時(shí)，桿沿軸向縮短，橫向尺寸增大。也就是說(shuō)，軸向的正應(yīng)變與橫向的正應(yīng)變的符號(hào)是相反的。第8頁(yè)，共52頁(yè)，2023年，2月20日，星期一通過(guò)實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，當(dāng)材料在彈性范圍內(nèi)時(shí)，拉壓桿的軸向正應(yīng)變?chǔ)排c橫向正應(yīng)變?chǔ)拧涑烧?。用μ?lái)表示橫向正應(yīng)變?chǔ)拧渑c軸向正應(yīng)變?chǔ)胖鹊慕^對(duì)值，有或式中，比例常數(shù)μ稱為泊松比（Poissonradio）。在比例極限內(nèi)，泊松比是一個(gè)材料的彈性常數(shù)，不同材料具有不同的泊松比，大多數(shù)各向同性材料的泊松比第9頁(yè)，共52頁(yè)，2023年，2月20日，星期一例4-1圓截面桿如圖4-3所示，已知F=4kN，l1=l2=100mm，彈性模量E=200GPa。為保證桿件正常工作，要求其總伸長(zhǎng)不超過(guò)0.10mm，即許用軸向變形[Δl]=0.10mm。試確定桿的直徑d。【解】（1）變形分析。AB段和BC段的軸力分別為FN1=2FFN2=F

桿AC的總伸長(zhǎng)為第10頁(yè)，共52頁(yè)，2023年，2月20日，星期一（2）直徑設(shè)計(jì)。按照設(shè)計(jì)要求，總伸長(zhǎng)Δl不得超過(guò)許用變形[Δl]，即要求例4-1圓截面桿如圖4-3所示，已知F=4kN，l1=l2=100mm，彈性模量E=200GPa。為保證桿件正常工作，要求其總伸長(zhǎng)不超過(guò)0.10mm，即許用軸向變形[Δl]=0.10mm。試確定桿的直徑d。由此得可以取直徑為第11頁(yè)，共52頁(yè)，2023年，2月20日，星期一3．桁架的節(jié)點(diǎn)位移桁架的變形通常用節(jié)點(diǎn)的位移（displacement）表示，現(xiàn)以下圖所示桁架為例，說(shuō)明桁架節(jié)點(diǎn)位移的分析方法。例4-2桁架是由1、2桿組成，通過(guò)鉸鏈連接，在節(jié)點(diǎn)A承受鉛垂載荷F=40kN作用。已知桿1為鋼桿，橫截面面積A1=960mm2，彈性模量E1=200GPa，桿2為木桿，橫截面面積A2=2.5×104mm2，彈性模量E2=10GPa，桿2的桿長(zhǎng)為1m。求節(jié)點(diǎn)A的位移。第12頁(yè)，共52頁(yè)，2023年，2月20日，星期一【解】（1）利用截面法，可以求得1、2兩桿的軸力分別為（拉力）（壓力）由胡克定律可以求得兩桿的變形分別為第13頁(yè)，共52頁(yè)，2023年，2月20日，星期一（2）求節(jié)點(diǎn)A的位移。節(jié)點(diǎn)A的水平位移與鉛垂位移分別為（↓）（←）A點(diǎn)的位移為在小變形條件下，通常可按結(jié)構(gòu)原有幾何形狀與尺寸計(jì)算約束力與內(nèi)力，并可采用以垂線代替圓弧法確定節(jié)點(diǎn)位移。第14頁(yè)，共52頁(yè)，2023年，2月20日，星期一第二節(jié)圓軸扭轉(zhuǎn)變形1．圓軸扭轉(zhuǎn)變形圓軸的扭轉(zhuǎn)變形，用各橫截面間繞軸線作相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)的相對(duì)角位移j表示。相距為dx的兩個(gè)橫截面間有相對(duì)轉(zhuǎn)角dj，即微段dx的扭轉(zhuǎn)變形為因此，對(duì)于間距為l的兩截面的扭轉(zhuǎn)角（angleoftwist）為對(duì)于長(zhǎng)度為l，扭矩T為常數(shù)的等截面圓軸，其兩端橫截面的相對(duì)扭轉(zhuǎn)角為乘積GIP稱為圓軸截面的抗扭剛度（torsionrigidity）第15頁(yè)，共52頁(yè)，2023年，2月20日，星期一對(duì)于扭矩、橫截面或剪切彈性模量沿桿軸逐段變化的圓截面軸，其扭轉(zhuǎn)變形為式中，Ti、li、Gi與IPi分別為軸段i的扭矩、長(zhǎng)度、剪切彈性模量與極慣性矩，n為桿件的總段數(shù)。第16頁(yè)，共52頁(yè)，2023年，2月20日，星期一2．圓軸扭轉(zhuǎn)的剛度條件在圓軸設(shè)計(jì)中，除考慮其強(qiáng)度問(wèn)題外，在許多情況下對(duì)剛度的要求更為嚴(yán)格，常常對(duì)其變形有一定限制，即應(yīng)該滿足相應(yīng)的剛度條件。在工程實(shí)際問(wèn)題中，通常是限制扭轉(zhuǎn)角沿軸線的變化率，即單位長(zhǎng)度扭轉(zhuǎn)角j′，使其不得超過(guò)某一規(guī)定的許用值[j′]。由第三章圓軸扭轉(zhuǎn)強(qiáng)度分析時(shí)得到的扭轉(zhuǎn)角的變化率為其單位是rad/m

所以，圓軸扭轉(zhuǎn)的剛度條件為第17頁(yè)，共52頁(yè)，2023年，2月20日，星期一對(duì)于等截面圓軸，其剛度條件為式中，[j′]為許用單位長(zhǎng)度扭轉(zhuǎn)角。另外，對(duì)于某些特定的桿件，會(huì)限制兩個(gè)指定截面的相對(duì)扭轉(zhuǎn)角，其剛度條件可以表達(dá)為式中，[j

]為許用扭轉(zhuǎn)角。第18頁(yè)，共52頁(yè)，2023年，2月20日，星期一例4-3圖4-5所示圓截面軸AC，承受外力偶矩MA、MB和MC作用。試計(jì)算該軸的總扭轉(zhuǎn)角jAC（截面C相對(duì)于截面A的扭轉(zhuǎn)角），并校核軸的剛度。已知MA=180N·m，MB=320N·m，MC=140N·m，IP=3.0×105mm4，l=2m，G=80GPa，[j′]=0.5°/m。【解】（1）扭轉(zhuǎn)變形分析。利用截面法，得AB和BC段的扭矩分別為TAB=180N·mTBC=-140N·m第19頁(yè)，共52頁(yè)，2023年，2月20日，星期一則兩段的扭轉(zhuǎn)角分別為則軸的總扭轉(zhuǎn)角為（2）剛度校核。軸為等截面軸，AB段的扭矩最大，所以，應(yīng)校核該段軸的扭轉(zhuǎn)剛度。AB段的扭轉(zhuǎn)角變化率，即單位長(zhǎng)度扭轉(zhuǎn)角為可見(jiàn)，該軸滿足剛度條件。第20頁(yè)，共52頁(yè)，2023年，2月20日，星期一第三節(jié)積分法求梁彎曲變形當(dāng)直梁發(fā)生平面彎曲時(shí)，對(duì)于細(xì)長(zhǎng)梁，剪力對(duì)其變形的影響一般均可忽略不計(jì)，而認(rèn)為彎曲時(shí)各橫截面仍保持平面，與彎曲后的梁軸正交。因此，梁的變形可用橫截面形心的線位移與截面的角位移表示。橫截面的形心在垂直于梁軸方向的線位移，稱為撓度（deflection），用w表示不同截面的撓度不相同，且撓度是連續(xù)變化的，所以如果沿變形前的梁軸建立坐標(biāo)軸x，則撓度可以表示為梁的軸線從原來(lái)的直線變成一條連續(xù)、光滑的曲線，該曲線稱為梁的撓曲軸或撓曲線（deflectioncurve），截面形心的軸向位移遠(yuǎn)小于其橫向位移，因而可忽略不計(jì)。上式也代表?yè)锨€的解析表達(dá)式，稱為撓曲線方程（deflectionequation）。第21頁(yè)，共52頁(yè)，2023年，2月20日，星期一根據(jù)平面假設(shè)，橫截面在梁彎曲變形后，仍與梁軸垂直，則橫截面會(huì)發(fā)生角位移，即繞中性軸轉(zhuǎn)過(guò)一個(gè)角度，稱為轉(zhuǎn)角（slopeofcrosssection），用q表示。由幾何關(guān)系可知，橫截面的轉(zhuǎn)角q與撓曲線在該截面處的切線與坐標(biāo)軸x的夾角q′相等，即由于梁的變形一般很小，這時(shí)轉(zhuǎn)角q也很小，于是有撓曲線與轉(zhuǎn)角之間的近似關(guān)系為它表明，橫截面的轉(zhuǎn)角等于撓曲線在該截面處的斜率。可見(jiàn)，在忽略剪力影響的情況下，轉(zhuǎn)角與撓度相互關(guān)聯(lián)。在右手坐標(biāo)系中，撓度w向上為正，向下為負(fù)。轉(zhuǎn)角q規(guī)定為截面法線與x軸夾角逆時(shí)針為正，順時(shí)針為負(fù)。第22頁(yè)，共52頁(yè)，2023年，2月20日，星期一1．撓曲線近似微分方程純彎曲正應(yīng)力的推導(dǎo)過(guò)程可知，在純彎曲梁的情況下，梁的中性層曲率與梁的彎矩之間關(guān)系為由于純彎曲梁的彎矩為常數(shù)，對(duì)于等截面梁，彎曲剛度為常數(shù)時(shí)，曲率半徑為常數(shù)，其撓曲線為一段圓弧。而當(dāng)截面上同時(shí)存在剪力與彎矩即橫力彎曲時(shí)，顯然這兩項(xiàng)內(nèi)力對(duì)梁的變形均有影響。研究表明：當(dāng)橫力彎曲時(shí)，若梁的跨度遠(yuǎn)大于梁的高度，剪力對(duì)梁的變形影響可以忽略不計(jì)，上式仍可用來(lái)計(jì)算橫力彎曲梁彎曲后的曲率，但由于彎矩不再是常量，上式變?yōu)榧磽锨€上任一點(diǎn)處的曲率與該點(diǎn)處橫截面上的彎矩成正比，而與該截面的抗彎剛度（flexuralrigidity）EI成反比。第23頁(yè)，共52頁(yè)，2023年，2月20日，星期一由高等數(shù)學(xué)可知，平面曲線w=w(x)上任一點(diǎn)的曲率為將上述關(guān)系用于分析梁的變形，可得上式稱為撓曲線微分方程，它是一個(gè)二階非線性微分方程。在工程實(shí)際問(wèn)題中，梁的轉(zhuǎn)角一般均很小，因此有(dw/dx)2遠(yuǎn)小于1，所以上式可簡(jiǎn)化為第24頁(yè)，共52頁(yè)，2023年，2月20日，星期一d2w/dx2與彎矩的關(guān)系如圖所示，坐標(biāo)軸w以向上為正。由該圖可以看出，當(dāng)梁段承受正彎矩時(shí)，撓曲線為凹曲線，如圖（a）所示，d2w/dx2為正。反之，當(dāng)梁段承受負(fù)彎矩時(shí)，撓曲線為凸曲線，如圖（b）所示，d2w/dx2為負(fù)。可見(jiàn)，d2w/dx2與彎矩M的符號(hào)一致。因此上式的右端應(yīng)取正號(hào)，即上式稱為撓曲線近似微分方程（approximatelydifferentialequationofthedeflectioncurve），簡(jiǎn)稱為撓曲線微分方程。第25頁(yè)，共52頁(yè)，2023年，2月20日，星期一2．用積分法求梁的彎曲變形將上述撓曲線近似微分方程相繼積分兩次，依次得C、D為積分常數(shù)上述積分常數(shù)可利用梁上某些截面的已知位移條件來(lái)確定。梁截面的已知位移條件或位移約束條件，稱為梁的邊界條件（boundaryconditions）。積分常數(shù)確定后，即得到梁的撓曲線方程和轉(zhuǎn)角方程，由此可以求出任一截面的撓度與轉(zhuǎn)角。第26頁(yè)，共52頁(yè)，2023年，2月20日，星期一當(dāng)彎矩方程需要分段建立，或抗彎剛度沿梁軸變化，以致其表達(dá)式需要分段建立時(shí)，撓曲線近似微分方程也需要分段建立，而在各段的積分中，將分別包含兩個(gè)積分常數(shù)，為了確定這些積分常數(shù)，除應(yīng)利用位移邊界條件外，還應(yīng)利用分段處撓曲線的連續(xù)（撓度相等）、光滑（轉(zhuǎn)角相等）條件。因?yàn)樵谙噜彾蔚慕唤犹?，相鄰兩截面?yīng)具有相同的撓度和轉(zhuǎn)角。分段處撓曲線所滿足的連續(xù)、光滑條件，簡(jiǎn)稱為梁位移的連續(xù)條件（continuityconditions）。對(duì)于分段數(shù)為n的靜定梁，求解時(shí)將包含2n個(gè)積分常數(shù)，但由于存在n-1個(gè)分界面，所以將提供2(n-1)個(gè)連續(xù)條件，再加上兩個(gè)位移邊界條件，共2n個(gè)約束條件，恰好可用來(lái)確定2n個(gè)積分常數(shù)。由此可見(jiàn)，梁的位移不僅與彎矩及梁的抗彎剛度有關(guān)，而且與梁位移的邊界條件及連續(xù)條件有關(guān)。第27頁(yè)，共52頁(yè)，2023年，2月20日，星期一例4-4抗彎剛度為EI的等直懸臂梁受均布載荷q作用，如圖所示，試求該梁的轉(zhuǎn)角方程和撓曲線方程，并求自由端的轉(zhuǎn)角qB和撓度wB?！窘狻浚?）列出彎矩方程。（2）列出撓曲線近似微分方程并積分。積分C、D為積分常數(shù)。第28頁(yè)，共52頁(yè)，2023年，2月20日，星期一（3）確定積分常數(shù)。邊界條件為將以上邊界條件代入，得所以求得（4）將C、D代入并整理得轉(zhuǎn)角方程和撓曲線方程。（5）求qB和wB。（↓）（）第29頁(yè)，共52頁(yè)，2023年，2月20日，星期一例4-5如圖所示為一簡(jiǎn)支梁，梁的C截面處作用一集中力F，設(shè)EI為常數(shù)。試求梁的轉(zhuǎn)角方程和撓曲線方程，并求qmax和wmax?！窘狻浚?）求支反力和列彎矩方程。由平衡方程可得支反力為彎矩方程為AC段（0≤x≤a）CB段（a≤x≤l）第30頁(yè)，共52頁(yè)，2023年，2月20日，星期一（2）列出撓曲線近似微分方程并積分。由于彎矩方程在C處分段，故應(yīng)對(duì)AC段及CB段分別計(jì)算。AC段（0≤x≤a）

積分CB段（a≤x≤l）

其中，C1、D1、C2、D2為積分常數(shù)。第31頁(yè)，共52頁(yè)，2023年，2月20日，星期一（3）確定積分常數(shù)。四個(gè)積分常數(shù)，應(yīng)找出四個(gè)邊界條件。在A、B支座處，梁的撓度為零，在C處是連續(xù)和光滑的，因此在其左、右兩側(cè)撓度和轉(zhuǎn)角應(yīng)相等，即邊界條件為C處的光滑條件為C處的連續(xù)條件為代入邊界條件及連續(xù)光滑條件可求得第32頁(yè)，共52頁(yè)，2023年，2月20日，星期一則轉(zhuǎn)角方程和撓曲線方程分別為第33頁(yè)，共52頁(yè)，2023年，2月20日，星期一（4）確定qmax和wmax

最大轉(zhuǎn)角：A、B兩端的截面轉(zhuǎn)角為若a>b，則qB>qA，可以斷定qB為最大轉(zhuǎn)角最大撓度：由上面計(jì)算可知A截面的轉(zhuǎn)角qA為負(fù)，可以求得C截面的轉(zhuǎn)角為如果a>b，則qC>0，可見(jiàn)從截面A到截面C，轉(zhuǎn)角由負(fù)到正，而撓曲線為光滑連續(xù)曲線，則q=0的截面必然在AC段內(nèi)。令A(yù)C段轉(zhuǎn)角等于零，可得x0即為撓度最大值的截面的位置。第34頁(yè)，共52頁(yè)，2023年，2月20日，星期一將x0代入AC段撓度計(jì)算公式，可求得最大撓度為當(dāng)集中力F作用于跨度中點(diǎn)時(shí)，顯然最大撓度發(fā)生在跨度中點(diǎn)，這也可由撓曲線的對(duì)稱性直接看出。另一種極端情況是集中力無(wú)限靠近于桿端支座，如靠近右端支座，此時(shí)，所以有

最大撓度為可見(jiàn)即使在這種情況下，發(fā)生最大撓度的截面仍然在跨度中點(diǎn)附近。也就是說(shuō)，撓度為最大值的截面總是靠近跨度中點(diǎn)，所以可以用跨度中點(diǎn)的撓度近似代替最大撓度。第35頁(yè)，共52頁(yè)，2023年，2月20日，星期一可以通過(guò)AC段撓度計(jì)算公式，令x=l/2，求得跨中的撓度為在極端情況下，集中力無(wú)限靠近B端，則這時(shí)用中點(diǎn)撓度代替最大撓度所引起的誤差為可見(jiàn)在簡(jiǎn)支梁中，只要撓曲線上無(wú)拐點(diǎn)，可用跨度中點(diǎn)撓度來(lái)代替其最大撓度，并且不會(huì)引起太大的誤差。第36頁(yè)，共52頁(yè)，2023年，2月20日，星期一第四節(jié)疊加法求梁彎曲變形用積分法求梁彎曲變形，在彎矩方程分段較多時(shí)，由于每段均出現(xiàn)兩個(gè)積分常數(shù)，運(yùn)算較為煩瑣，所以工程中發(fā)展出許多簡(jiǎn)化的計(jì)算方法，疊加法便是其中的一種。1、載荷疊加法在線彈性、小變形的前提下，撓曲線近似微分方程為線性微分方程，而彎矩又與載荷成線性齊次關(guān)系，因此，當(dāng)梁上同時(shí)作用幾個(gè)載荷時(shí)，撓曲線近似微分方程的解，必等于各載荷單獨(dú)作用時(shí)撓曲線近似微分方程的解的線性組合，而由此求得的撓度與轉(zhuǎn)角也一定與載荷成線性齊次關(guān)系。變形與載荷成線性關(guān)系，即任一載荷使桿件產(chǎn)生的變形均與其他載荷無(wú)關(guān)。當(dāng)梁上同時(shí)作用幾個(gè)載荷時(shí)，如果梁的變形很小，而且應(yīng)力不超過(guò)材料的比例極限，即可利用疊加法計(jì)算梁的位移。只要分別求出桿件上每個(gè)載荷單獨(dú)作用產(chǎn)生的變形，然后將其相加，便可得到這些載荷共同作用時(shí)桿件的變形。這就是求桿件變形的載荷疊加法。第37頁(yè)，共52頁(yè)，2023年，2月20日，星期一如圖4-10所示的梁，若載荷q、F及Me單獨(dú)作用時(shí)，B截面的撓度分別為(wB)q、(wB)F和，則所有載荷共同作用時(shí)該截面的撓度為2、逐段分析疊加法在計(jì)算有些梁的變形時(shí)，雖然載荷是比較簡(jiǎn)單的，但是梁需要分段分析，不能再利用前述載荷疊加法。例如，計(jì)算圖4-11（a）所示梁截面C的撓度wC，（）（↓）（b）圖第38頁(yè)，共52頁(yè)，2023年，2月20日，星期一（）（↓）（b）圖（c）圖（↓）則截面C的總撓度為（↓）上述兩種方法前者為分解載荷，后者為分解梁；前者的理論基礎(chǔ)是力作用的獨(dú)立性原理，而后者的依據(jù)則是梁段局部變形與梁總體位移間的幾何關(guān)系。但是，由于在實(shí)際求解時(shí)常將兩種方法聯(lián)合應(yīng)用，所以習(xí)慣上將二者統(tǒng)稱為疊加法（superpositionmethod）。第39頁(yè)，共52頁(yè)，2023年，2月20日，星期一例4-6求圖4-12（a）所示梁撓曲線方程，并求梁中點(diǎn)撓度及最大轉(zhuǎn)角。已知M=0.5ql2,梁的抗彎剛度為EI。

【解】梁承受集中力偶和均布載荷作用，首先將載荷簡(jiǎn)化，將圖（a）所示的梁分解為如圖（b）、（c）所示的簡(jiǎn)支梁，一個(gè)受集中力偶作用，一個(gè)受均布載荷作用。（1）求撓曲線方程。查表可知，在M與q單獨(dú)作用下梁撓曲線方程分別為第40頁(yè)，共52頁(yè)，2023年，2月20日，星期一根據(jù)疊加原理，梁在兩個(gè)載荷作用下的撓曲線方程為即（2）求最大轉(zhuǎn)角。圖（b）所示梁截面A的轉(zhuǎn)角比截面B的轉(zhuǎn)角大，圖（c）所示梁截面A和截面B的轉(zhuǎn)角相同。顯然兩種情況下A、B截面對(duì)應(yīng)的轉(zhuǎn)角方向一致，所以截面A的轉(zhuǎn)角最大，查表4-2可求得梁的最大轉(zhuǎn)角為（）第41頁(yè)，共52頁(yè)，2023年，2月20日，星期一（3）求中點(diǎn)撓度。查表求得梁中點(diǎn)的撓度為（↓）第42頁(yè)，共52頁(yè)，2023年，2月20日，星期一例4-7圖4-13（a）所示懸臂梁，同時(shí)承受集中力F和均布載荷q作用，且F=qa，試求橫截面C的撓度。設(shè)抗彎剛度EI為常數(shù)。【解】當(dāng)均布載荷q單獨(dú)作用時(shí)，如圖4-13（b）所示，橫截面B的轉(zhuǎn)角與撓度為（）（↓）則由于均布載荷的作用，引起截面C的撓度為（↓）第43頁(yè)，共52頁(yè)，2023年，2月20日，星期一當(dāng)載荷F單獨(dú)作用時(shí)，如圖（c）所示，橫截面C的撓度為（↑）根據(jù)疊加原理，截面C的撓度為（↑）第44頁(yè)，共52頁(yè)，2023年，2月20日，星期一例4-8變截面梁如圖所示，試求跨中點(diǎn)C的撓度?！窘狻坎捎茂B加法計(jì)算。由于AB梁的支承、截面慣性矩和載荷都是對(duì)稱的，其變形也必然是對(duì)稱的，因此，跨中點(diǎn)C截面的轉(zhuǎn)角為零，撓曲線在C點(diǎn)的切線是水平的這樣，就可以把變截面梁的CB部分看作是懸臂梁，如圖（b）所示，自由端B在載荷F/2作用下的撓度wB也就在數(shù)值上等于原來(lái)AB梁跨中點(diǎn)的撓度wC第45頁(yè)，共52頁(yè)，2023年，2月20日，星期一對(duì)慣性矩為I的DB段懸臂梁查表可得B截面相對(duì)于D截面的位移為將CB梁從D截面假想截開(kāi)，得到DB和CD兩段懸臂梁，如圖（c）和（d）所示。D截面上的彎曲內(nèi)力為第46頁(yè)，共52頁(yè)，2023年，2月20日，星期一B截面由于qD和wD而引起的撓度是對(duì)于慣性矩為I1的懸臂梁CD，查表可以求出D截面由于彎矩和剪力引起的轉(zhuǎn)角和撓度為第47頁(yè)，共52頁(yè)，2023年，2月20日，星期一疊加wB1和wB2即可求得AB梁跨中點(diǎn)C的撓度第48頁(yè)，共52頁(yè)，2023年，2月20日，星期一第五節(jié)提高梁彎曲剛度的措施從撓曲線的近似微分方程及其積分可以看出，彎曲變形與彎矩大小，跨度長(zhǎng)短，橫截面的慣性