平面向量基本定理

第第頁平面向量基本定理教學(xué)目標(biāo)1．了解基底的含義，理解平面向量基本定理，會(huì)用基底表示平面內(nèi)任一向量．(重點(diǎn))2．掌握兩個(gè)向量夾角的定義以及兩向量垂直的定義．(難點(diǎn))3．兩個(gè)向量的夾角與兩條直線所成的角．(易混點(diǎn))[基礎(chǔ)·初探]教材整理1平面向量基本定理閱讀教材P93至P94第六行以上內(nèi)容，完成下列問題．1．定理：如果e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任意向量a，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2．2．基底：不共線的向量e1，e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底．判斷(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)一個(gè)平面內(nèi)只有一對(duì)不共線的向量可作為表示該平面內(nèi)所有向量的基底．()(2)若e1，e2是同一平面內(nèi)兩個(gè)不共線向量，則λ1e1＋λ2e2(λ1，λ2為實(shí)數(shù))可以表示該平面內(nèi)所有向量．()(3)若ae1＋be2＝ce1＋de2(a，b，c，d∈R)，則a＝c，b＝d.()解：(1)錯(cuò)誤．根據(jù)基底的概念可知，平面內(nèi)不共線的向量都可以作為該平面內(nèi)向量的基底．(2)正確．根據(jù)平面向量基本定理知對(duì)平面內(nèi)任意向量都可以由向量e1，e2線性表示．(3)錯(cuò)誤．當(dāng)e1與e2共線時(shí)，結(jié)論不一定成立．【答案】(1)×(2)√(3)×教材整理2兩向量的夾角與垂直閱讀教材P94第六行以下至例1內(nèi)容，完成下列問題．1.夾角：已知兩個(gè)非零向量a和b，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，則∠AOB＝θ叫做向量a與b的夾角(如圖2－3－1所示)．圖2－3－1(1)范圍：向量a與b的夾角的范圍是0°≤θ≤180°．(2)當(dāng)θ＝0°時(shí)，a與b同向；當(dāng)θ＝180°時(shí)，a與b反向．2．垂直：如果a與b的夾角是90°，我們說a與b垂直，記作a⊥b．如圖2－3－2，在△ABC中，eq\o(AC,\s\up6(→))，eq\o(AB,\s\up6(→))的夾角與eq\o(CA,\s\up6(→))，eq\o(AB,\s\up6(→))的夾角的關(guān)系為________．圖2－3－2解：根據(jù)向量夾角定義可知向量eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))夾角為∠BAC，而向量(2)eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(AP,\s\up6(→))－eq\o(AO,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(OA,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)(eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→)))＋eq\o(OA,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)a＋eq\f(1,3)b，eq\o(OQ,\s\up6(→))＝eq\o(AQ,\s\up6(→))－eq\o(AO,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(OA,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)(eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→)))＋eq\o(OA,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)a＋eq\f(2,3)b.【答案】(1)D(2)eq\f(2,3)a＋eq\f(1,3)beq\f(1,3)a＋eq\f(2,3)b平面向量基本定理的作用以及注意點(diǎn)：(1)根據(jù)平面向量基本定理，任何一組基底都可以表示任意向量．用基底表示向量，實(shí)質(zhì)上主要是利用三角形法則或平行四邊形法則，進(jìn)行向量的加減法運(yùn)算．(2)要注意適當(dāng)選擇向量所在的三角形或平行四邊形，利用已知向量表示未知向量，或找到已知向量與未知向量的關(guān)系，用方程的觀點(diǎn)求出未知向量．[再練一題]1．已知△ABC中，D為BC的中點(diǎn)，E，F(xiàn)為BC的三等分點(diǎn)，若eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AC,\s\up6(→))＝b用a，b表示eq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(AE,\s\up6(→))，eq\o(AF,\s\up6(→)).圖2－3－4【解】eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up6(→))＝a＋eq\f(1,2)(b－a)＝eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b；eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)(b－a)＝eq\f(2,3)a＋eq\f(1,3)b；eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BF,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(BC,\s\up6(→))＝a＋eq\f(2,3)(b－a)＝eq\f(1,3)a＋eq\f(2,3)b.向量的夾角問題(1)(2016·韶關(guān)高一檢測(cè))已知向量a，b，c滿足|a|＝1，|b|＝2，c＝a＋b，c⊥a，則a，b的夾角等于________．(2)若a≠0，b≠0，且|a|＝|b|＝|a－b|，求a與a＋b的夾角．可作出平面圖形利用向量夾角定義及平面幾何知識(shí)來解決．解：(1)作eq\o(BC,\s\up6(→))＝a，eq\o(CA,\s\up6(→))＝b，則c＝a＋b＝eq\o(BA,\s\up6(→))(如圖所示)，則a，b夾角為180°－∠C．因?yàn)閨a|＝1，|b|＝2，c⊥a，所以∠C＝60°，所以a，b的夾角為120°.【答案】120°(2)由向量運(yùn)算的幾何意義知a＋b，a－b是以a、b為鄰邊的平行四邊形兩條對(duì)角線．如圖，∵|a|＝|b|＝|a－b|，∴∠BOA＝60°.又∵eq\o(OC,\s\up6(→))＝a＋b，且在菱形OACB中，對(duì)角線OC平分∠BOA，∴a與a＋b的夾角是30°.兩向量夾角的實(shí)質(zhì)與求解方法：(1)兩向量夾角的實(shí)質(zhì)：從同一起點(diǎn)出發(fā)的兩個(gè)非零向量構(gòu)成的不大于平角的角，結(jié)合平面幾何知識(shí)加以解決．(2)求解方法：利用平移的方法使兩個(gè)向量起點(diǎn)重合，作出兩個(gè)向量的夾角，按照“一作二證三算”的步驟求出．[再練一題]2．已知|a|＝|b|＝2，且a與b的夾角為60°，則a＋b與a的夾角是________，a－b與a的夾角是________.解：如圖所示，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，則∠AOB＝60°，以O(shè)A，OB為鄰邊作?OACB，則eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＝a＋b，eq\o(BA,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→))＝a－b，eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＝a.因?yàn)閨a|＝|b|＝2，所以△OAB為正三角形，所以∠OAB＝60°＝∠ABC，即a－b與a的夾角為60°.因?yàn)閨a|＝|b|，所以平行四邊形OACB為菱形，所以O(shè)C⊥AB，所以∠COA＝90°－60°＝30°，即a＋b與a的夾角為30°.【答案】30°60°[探究共研型]平面向量基本定理的綜合應(yīng)用探究1在向量等式eq\o(OP,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))中，若x＋y＝1，則三點(diǎn)P、A、B具有什么樣的位置關(guān)系？【提示】三點(diǎn)P、A、B在同一直線上．在向量等式eq\o(OP,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))中，若x＋y＝1，則P，A，B三點(diǎn)共線；若P，A，B三點(diǎn)共線，則x＋y＝1.探究2如圖2－3－5所示，有點(diǎn)O，A，D，B，以O(shè)A和OB為鄰邊作一平行四邊形ADBO，將此平行四邊形的各邊所在直線延長(zhǎng)，將平面分成9部分，對(duì)于平面上任一向量eq\o(OC,\s\up6(→))，存在唯一有序?qū)崝?shù)對(duì)(x，y)，使eq\o(OC,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))成立．圖2－3－5對(duì)于點(diǎn)C的位置與實(shí)數(shù)x，y的取值情況需分幾種討論？【提示】需分12種情況．(1)點(diǎn)C與點(diǎn)O重合，則x＝y(tǒng)＝0.(2)點(diǎn)C與點(diǎn)A重合，則x＝1，y＝0.(3)點(diǎn)C與D重合，則x＝y(tǒng)＝1.(4)點(diǎn)C與點(diǎn)B重合，則x＝0，y＝1.(5)點(diǎn)C在直線OA上，則x∈R，y＝0.(6)點(diǎn)C在直線AD上，則x＝1，y∈R.(7)點(diǎn)C在直線BD上，則x∈R，y＝1.(8)點(diǎn)C在直線OB上，則x＝0，y∈R.(9)點(diǎn)C在直線OD上，則x＝y(tǒng).(10)點(diǎn)C在直線AB上，則x＋y＝1.(11)點(diǎn)C在①②③區(qū)域上，則x>1；點(diǎn)C在④⑤⑥區(qū)域上，則0<x<1；點(diǎn)C在⑦⑧⑨區(qū)域上，則x<0.(12)點(diǎn)C在①④⑦區(qū)域上，則y<0；點(diǎn)C在②⑤⑧區(qū)域上，則0<y<1；點(diǎn)C在③⑥⑨區(qū)域上，則y>1.如圖2－3－6所示，在△OAB中，eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，點(diǎn)M是AB的靠近B的一個(gè)三等分點(diǎn)，點(diǎn)N是OA的靠近A的一個(gè)四等分點(diǎn)．若OM與BN相交于點(diǎn)P，求eq\o(OP,\s\up6(→)).圖2－3－6可利用eq\o(OP,\s\up6(→))＝teq\o(OM,\s\up6(→))及eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(ON,\s\up6(→))＋eq\o(NP,\s\up6(→))＝eq\o(ON,\s\up6(→))＋seq\o(NB,\s\up6(→))兩種形式來表示eq\o(OP,\s\up6(→))，并都轉(zhuǎn)化為以a，b為基底的表達(dá)式．根據(jù)任一向量基底表示的唯一性求得s，t，進(jìn)而求得eq\o(OP,\s\up6(→)).解：eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)(eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→)))＝eq\f(1,3)a＋eq\f(2,3)b.因?yàn)閑q\o(OP,\s\up6(→))與eq\o(OM,\s\up6(→))共線，故可設(shè)eq\o(OP,\s\up6(→))＝teq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\f(t,3)a＋eq\f(2t,3)b.又eq\o(NP,\s\up6(→))與eq\o(NB,\s\up6(→))共線，可設(shè)eq\o(NP,\s\up6(→))＝seq\o(NB,\s\up6(→))，eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(ON,\s\up6(→))＋seq\o(NB,\s\up6(→))＝eq\f(3,4)eq\o(OA,\s\up6(→))＋s(eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(ON,\s\up6(→)))＝eq\f(3,4)(1－s)a＋sb，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)（1－s）＝\f(t,3)，,s＝\f(2,3)t，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(t＝\f(9,10)，,s＝\f(3,5)，))所以eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\f(3,10)a＋eq\f(3,5)b.1．任意一向量基底表示的唯一性的理解：條件一平面內(nèi)任一向量a和同一平面內(nèi)兩個(gè)不共線向量e1，e2條件二a＝λ1e1＋μ1e2且a＝λ2e1＋μ2e2結(jié)論eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(λ1＝λ2，,μ1＝μ2))2.任意一向量基底表示的唯一性的應(yīng)用：平面向量基本定理指出了平面內(nèi)任一向量都可以表示為同一平面內(nèi)兩個(gè)不共線向量e1，e2的線性組合λ1e1＋λ2e2.在具體求λ1，λ2時(shí)有兩種方法：(1)直接利用三角形法則、平行四邊形法則及向量共線定理．(2)利用待定系數(shù)法，即利用定理中λ1，λ2的唯一性列方程組求解．[再練一題]3．如圖2－3－7所示，在△ABC中，點(diǎn)M是AB的中點(diǎn)，且eq\o(AN,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(NC,\s\up6(→))，BN與CM相交于E，設(shè)eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AC,\s\up6(→))＝b，試用基底a，b表示向量eq\o(AE,\s\up6(→)).圖2－3－7解：易得eq\o(AN,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)b，eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)a，由N，E，B三點(diǎn)共線，設(shè)存在實(shí)數(shù)m，滿足eq\o(AE,\s\up6(→))＝meq\o(AN,\s\up6(→))＋(1－m)eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)mb＋(1－m)a.由C，E，M三點(diǎn)共線，設(shè)存在實(shí)數(shù)n滿足：eq\o(AE,\s\up6(→))＝neq\o(AM,\s\up6(→))＋(1－n)eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)na＋(1－n)b.所以eq\f(1,3)mb＋(1－m)a＝eq\f(1,2)na＋(1－n)b，由于a，b為基底，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1－m＝\f(1,2)n，,\f(1,3)m＝1－n，))解之得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＝\f(3,5)，,n＝\f(4,5)，))所以eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\f(2,5)a＋eq\f(1,5)b.[構(gòu)建·體系]1．(2016·黃石高一檢測(cè))已知平行四邊形ABCD，則下列各組向量中，是該平面內(nèi)所有向量基底的是()A．eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(DC,\s\up6(→)) B．eq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))C．eq\o(BC,\s\up6(→))，eq\o(CB,\s\up6(→)) D．eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(DA,\s\up6(→))解：由于eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(DA,\s\up6(→))不共線，所以是一組基底．【答案】D2．已知向量a＝e1－2e2，b＝2e1＋e2，其中e1，e2不共線，則a＋b與c＝6e1－2e2的關(guān)系是()A．不共線 B．共線C．相等 D．不確定解：∵a＋b＝3e1－e2，∴c＝2(a＋b)，∴a＋b與c共線．【答案】B3．如圖2－3－8，在矩形ABCD中，若eq\o(BC,\s\up6(→))＝5e1，eq\o(DC,\s\up6(→))＝3e2，則eq\o(OC,\s\up6(→))＝()圖2－3－8A．eq\f(1,2)(5e1＋3e2) B．eq\f(1,2)(5e1－3e2)C．eq\f(1,2)(3e2－5e1) D．eq\f(1,2)(5e2－3e1)解：eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)(eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)(5e1＋3e2)．【答案】A4．(2016·福州市八縣一中高一聯(lián)考)已知A，B，D三點(diǎn)共線，且對(duì)任一點(diǎn)C，有eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\f(4,3)eq\o(CA,\s\up6(→))＋λeq\o(CB,\s\up6(→))，則λ＝()A．eq\f(2,3) B．eq\f(1,3)C．－eq\f(1,3) D．－eq\f(2,3)解：∵A，B，D三點(diǎn)共線，∴存在實(shí)數(shù)t，使eq\o(AD,\s\up6(→))＝teq\o(AB,\s\up6(→))，則eq\o(CD,\s\up6(→))－eq\o(CA,\s\up6(→))＝t(eq\o(CB,\s\up6(→))－eq\o(CA,\s\up6(→)))，即eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(CA,\s\up6(→))＋t(eq\o(CB,\s\up6(→))－eq\o(CA,\s\up6(→)))＝(1－t)eq\o(CA,\s\up6(→))＋teq\o(CB,\s\up6(→))，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1－t＝\f(4,3)，,t＝λ，))即λ＝－eq\f(1,3).【答案】C5．已知e1，e2是平面內(nèi)兩個(gè)不共線的向量，a＝3e1－2e2，b＝－2e1＋e2，c＝7e1－4e2，試用向量a和b表示c.解：∵a，b不共線，∴可設(shè)c＝xa＋yb，則xa＋yb＝x(3e1－2e2)＋y(－2e1＋e2)＝(3x－2y)e1＋(－2x＋y)e2＝7e1－4e2.又∵e1，e2不共線，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3x－2y＝7，,－2x＋y＝－4，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝－2，))∴c＝a－2b.學(xué)業(yè)分層測(cè)評(píng)[學(xué)業(yè)達(dá)標(biāo)]一、選擇題1．(2016·衡水高一檢測(cè))設(shè)e1，e2是平面內(nèi)所有向量的一組基底，則下列四組向量中，不能作為基底的是()A．e1＋e2和e1－e2B．3e1－4e2和6e1－8e2C．e1＋2e2和2e1＋e2D．e1和e1＋e2解：B中，∵6e1－8e2＝2(3e1－4e2)，∴(6e1－8e2)∥(3e1－4e2)，∴3e1－4e2和6e1－8e2不能作為基底．【答案】B2．(2016·合肥高一檢測(cè))如圖2－3－9，向量a－b等于()圖2－3－9A．－4e1－2e2B．－2e1－4e2C．e1－3e2D．3e1－e2解：不妨令a＝eq\o(CA,\s\up6(→))，b＝eq\o(CB,\s\up6(→))，則a－b＝eq\o(CA,\s\up6(→))－eq\o(CB,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→))，由平行四邊形法則可知eq\o(BA,\s\up6(→))＝e1－3e2.【答案】C3.(2016·大連高一檢測(cè))如圖2－3－10，已知E、F分別是矩形ABCD的邊BC、CD的中點(diǎn)，EF與AC交于點(diǎn)G，若eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，用a、b表示eq\o(AG,\s\up6(→))＝()圖2－3－10A．eq\f(1,4)a＋eq\f(1,4)b B．eq\f(1,3)a＋eq\f(1,3)bC．eq\f(3,4)a－eq\f(1,4)b D．eq\f(3,4)a＋eq\f(3,4)b解：易知eq\o(CF,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(CD,\s\up6(→))，eq\o(CE,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(CB,\s\up6(→)).設(shè)eq\o(CG,\s\up6(→))＝λeq\o(CA,\s\up6(→))，則由平行四邊形法則可得eq\o(CG,\s\up6(→))＝λ(eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→)))＝2λeq\o(CE,\s\up6(→))＋2λeq\o(CF,\s\up6(→))，由于E，G，F(xiàn)三點(diǎn)共線，則2λ＋2λ＝1，即λ＝eq\f(1,4)，從而eq\o(CG,\s\up6(→))＝eq\f(1,4)eq\o(CA,\s\up6(→))，從而eq\o(AG,\s\up6(→))＝eq\f(3,4)eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(3,4)(a＋b)．【答案】D4．若D點(diǎn)在三角形ABC的邊BC上，且eq\o(CD,\s\up6(→))＝4eq\o(DB,\s\up6(→))＝req\o(AB,\s\up6(→))＋seq\o(AC,\s\up6(→))，則3r＋s的值為()A．eq\f(16,5) B．eq\f(12,5)C．eq\f(8,5) D．eq\f(4,5)解：∵eq\o(CD,\s\up6(→))＝4eq\o(DB,\s\up6(→))＝req\o(AB,\s\up6(→))＋seq\o(AC,\s\up6(→))，∴eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\f(4,5)eq\o(CB,\s\up6(→))＝eq\f(4,5)(eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→)))＝req\o(AB,\s\up6(→))＋seq\o(AC,\s\up6(→))，∴r＝eq\f(4,5)，s＝－eq\f(4,5).∴3r＋s＝eq\f(12,5)－eq\f(4,5)＝eq\f(8,5).【答案】C5．如要e1，e2是平面α內(nèi)所有向量的一組基底，那么下列命題正確的是()A．若實(shí)數(shù)λ1，λ2，使λ1e1＋λ2e2＝0，則λ1＝λ2＝0B．空間任一向量a可以表示為a＝λ1e1＋λ2e2，其中λ1，λ2∈RC．對(duì)實(shí)數(shù)λ1，λ2，λ1e1＋λ2e2不一定在平面α內(nèi)D．對(duì)平面α中的任一向量a，使a＝λ1e1＋λ2e2的實(shí)數(shù)λ1，λ2有無數(shù)對(duì)解：選項(xiàng)B錯(cuò)誤，這樣的a只能與e1，e2在同一平面內(nèi)，不能是空間任一向量；選項(xiàng)C錯(cuò)誤，在平面α內(nèi)任一向量都可表示為λ1e1＋λ2e2的形式，故λ1e1＋λ2e2一定在平面α內(nèi)；選項(xiàng)D錯(cuò)誤，這樣的λ1，λ2是唯一的，而不是有無數(shù)對(duì)．【答案】A二、填空題6．已知a與b是兩個(gè)不共線的向量，且向量a＋λb與－(b－3a)共線，則λ＝________.解：由題意可以設(shè)a＋λb＝λ1(－b＋3a)＝3λ1a－λ1b，因?yàn)閍與b不共線，所以有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1＝3λ1，,λ＝－λ1，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(λ1＝\f(1,3)，,λ＝－\f(1,3).))【答案】－eq\f(1,3)7．設(shè)e1，e2是平面內(nèi)一組基向量，且a＝e1＋2e2，b＝－e1＋e2，則向量e1＋e2可以表示為另一組基向量a，b的線性組合，即e1＋e2＝________.解：因?yàn)閍＝e1＋2e2①，b＝－e1＋e2②，顯然a與b不共線，①＋②得a＋b＝3e2，所以e2＝eq\f(a＋b,3)代入②得e1＝e2－b＝eq\f(a＋b,3)－b＝eq\f(1,3)a－eq\f(2,3)b，故有e1＋e2＝eq\f(1,3)a－eq\f(2,3)b＋eq\f(a,3)＋eq\f(b,3)＝eq\f(2,3)a－eq\f(1,3)b.【答案】eq\f(2,3)a－eq\f(1,3)b三、解答題8.如圖2－3－11，平面內(nèi)有三個(gè)向量eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))，eq\o(OC,\s\up6(→))，其中eq\o(OA,\s\up6(→))與eq\o(OB,\s\up6(→))的夾角為120°，eq\o(OA,\s\up6(→))與eq\o(OC,\s\up6(→))的夾角為30°，且|eq\o(OA,\s\up6(→))|＝|eq\o(OB,\s\up6(→))|＝1，eq\o(|OC,\s\up6(→))|＝2eq\r(3)，若eq\o(OC,\s\up6(→))＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＋μeq\o(OB,\s\up6(→))(λ，μ∈R)，求λ＋μ的值.【導(dǎo)學(xué)號(hào)：00680047】圖2－3－11解：如圖，以O(shè)A，OB所在射線為鄰邊，OC為對(duì)角線作平行四邊形ODCE，則eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\o(OD,\s\up6(→))＋eq\o(OE,\s\up6(→))，在直角△OCD中，因?yàn)閨eq\o(OC,\s\up6(→))|＝2eq\r(3)，∠COD＝30°，∠OCD＝90°，所以|eq\o(OD,\s\up6(→))|＝4，|eq\o(CD,\s\up6(→))|＝2，故eq\o(OD,\s\up6(→))＝4eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OE,\s\up6(→))＝2eq\o(OB,\s\up6(→))，即λ＝4，μ＝2，所以λ＋μ＝6.9.(2016·馬鞍山二中期末)如圖2－3－12所示，?ABCD中，E，F(xiàn)分別是BC，DC的中點(diǎn)，BF與DE交于點(diǎn)G，設(shè)eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b.圖2－3－12(1)用a，b表示eq\o(DE,\s\up6(→))；(2)試用向量方法證明：A、G、C三點(diǎn)共線．解：(1)eq\o(DE,\s\up6(→))＝eq\o(AE,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BE,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→))＝a＋eq\f(1,2)b－b＝a－eq\f(1,2)b.(2)證明：連接AC、BD交于O，則eq\o(CO,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(CA,\s\up6(→))，∵E，F(xiàn)分別是BC，DC的中點(diǎn)，∴G是△CBD的重心，∴eq\o(GO,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(CO,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))eq\o(AC,\s\up6(→))＝－eq\f(1,6)eq\o(AC,\s\up6(→))，又C為公共點(diǎn)，∴A，G，C三點(diǎn)共線．[能力提升]1．已知O是平面上一定點(diǎn)，A、B、C是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋λeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\o(AB,\s\up6(→)),|\o(AB,\s\up6(→))|)＋\f(\o(AC,\s\up6(→)),|\o(AC,\s\up6(→))|)))(λ∈[0，＋∞))，則點(diǎn)P的軌跡一定通過△ABC的()A．外心 B．內(nèi)心C．重心 D．垂心解：eq\f(\o(AB,\s\up6(→)),|\o(AB,\s\up6(→))|)為eq\o(AB,\s\up6(→))上的單位向量，eq\f(\o(AC,\s\up6(→