2023年山西省太原市迎澤區(qū)五中數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末聯(lián)考模擬試題含解析

2022-2023高二下數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項(xiàng)1．考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫(xiě)在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑；如需改動(dòng)，請(qǐng)用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無(wú)效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫(xiě)清楚，線條、符號(hào)等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知直線與圓相交所得的弦長(zhǎng)為，則圓的半徑（）A． B．2 C． D．42．甲、乙、丙、丁四人參加駕?？颇慷荚?，考完后，甲說(shuō)：我沒(méi)有通過(guò)，但丙已通過(guò)；乙說(shuō)：丁已通過(guò)；丙說(shuō)：乙沒(méi)有通過(guò)，但丁已通過(guò)；丁說(shuō)：我沒(méi)有通過(guò)．若四人所說(shuō)中有且只有一個(gè)人說(shuō)謊，則科目二考試通過(guò)的是（）A．甲和丁 B．乙和丙 C．丙和丁 D．甲和丙3．運(yùn)用祖暅原理計(jì)算球的體積時(shí)，構(gòu)造一個(gè)底面半徑和高都與球半徑相等的圓柱，與半球（如圖一）放置在同一平面上，然后在圓柱內(nèi)挖去一個(gè)以圓柱下底面圓心為頂點(diǎn)，圓柱上底面為底面的圓錐（如圖二），用任何一個(gè)平行與底面的平面去截它們時(shí)，可證得所截得的兩個(gè)截面面積相等，由此證明該幾何體與半球體積相等.現(xiàn)將橢圓繞軸旋轉(zhuǎn)一周后得一橄欖狀的幾何體（如圖三），類比上述方法，運(yùn)用祖暅原理可求得其體積等于（）A． B． C． D．4．如圖，在矩形中，在線段上，且，將沿翻折．在翻折過(guò)程中，記二面角的平面角為，則的最大值為（）A． B． C． D．5．已知，則（）A． B．3 C． D．6．設(shè)是等差數(shù)列.下列結(jié)論中正確的是（）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則7．在正方體中，過(guò)對(duì)角線的一個(gè)平面交于，交于得四邊形，則下列結(jié)論正確的是（）A．四邊形一定為菱形B．四邊形在底面內(nèi)的投影不一定是正方形C．四邊形所在平面不可能垂直于平面D．四邊形不可能為梯形8．若將函數(shù)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的倍（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖象，則函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為（）A． B．C． D．9．某創(chuàng)業(yè)公司共有36名職工，為了了解該公司職工的年齡構(gòu)成情況，隨機(jī)采訪了9位代表，將數(shù)據(jù)制成莖葉圖如圖，若用樣本估計(jì)總體，年齡在內(nèi)的人數(shù)占公司總?cè)藬?shù)的百分比是（精確到）（）A． B． C． D．10．如圖所示，給出了樣本容量均為7的A、B兩組樣本數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖，已知A組樣本數(shù)據(jù)的相關(guān)系數(shù)為r1，B組數(shù)據(jù)的相關(guān)系數(shù)為r2，則（）A．r1＝r2 B．r1<r2 C．r1>r2 D．無(wú)法判定11．有件產(chǎn)品，其中件是次品，從中任取件，若表示取得次品的件數(shù)，則（）A． B． C． D．12．復(fù)數(shù)（）A． B． C．0 D．2二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．如圖，矩形中曲線的方程分別為，，在矩形內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自陰影部分的概率為_(kāi)___.14．已知數(shù)據(jù)的方差為1，則數(shù)據(jù)的方差為_(kāi)___.15．復(fù)數(shù)的虛部為_(kāi)_____．16．在平面直角坐標(biāo)系中，己知直線與圓相切，則k的值為_(kāi)_______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）．（Ⅰ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）若，證明：關(guān)于的不等式在上恒成立．18．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，將曲線上的每一個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)保持不變，縱坐標(biāo)縮短為原來(lái)的，得到曲線，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，的極坐標(biāo)方程為.(1)求曲線的參數(shù)方程；(2)過(guò)原點(diǎn)且關(guān)于軸對(duì)稱的兩條直線與分別交曲線于和，且點(diǎn)在第一象限，當(dāng)四邊形周長(zhǎng)最大時(shí)，求直線的普通方程.19．（12分）已知拋物線的焦點(diǎn)為，若過(guò)且傾斜角為的直線交于，兩點(diǎn)，滿足.（1）求拋物線的方程；（2）若為上動(dòng)點(diǎn)，，在軸上，圓內(nèi)切于，求面積的最小值.20．（12分）已知數(shù)列中，，。（1）證明數(shù)列為等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和。21．（12分）在直角坐標(biāo)系中，直線，圓,以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．（1）求，的極坐標(biāo)方程；（2）若直線的極坐標(biāo)方程為，設(shè)的交點(diǎn)為，求的面積．22．（10分）已知函數(shù)．(Ⅰ)求函數(shù)處的切線方程；(Ⅱ)時(shí)，.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】

圓心到直線的距離，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式計(jì)算得到答案.【詳解】根據(jù)題意：圓心到直線的距離，故，解得.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)弦長(zhǎng)求參數(shù)，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化能力.2、C【解析】

逐一驗(yàn)證，甲、乙、丙、丁說(shuō)謊的情況，可得結(jié)果.【詳解】若甲說(shuō)謊，則可知丁通過(guò)，但丁說(shuō)沒(méi)通過(guò)，故矛盾若乙說(shuō)謊則可知丁沒(méi)有通過(guò)，但丙說(shuō)丁通過(guò)，故矛盾若丙說(shuō)謊則可知丁通過(guò)，但丁說(shuō)沒(méi)有通過(guò)，故矛盾若丁說(shuō)謊，則可知丙、丁通過(guò)了科目二所以說(shuō)謊的人是丁故選：C【點(diǎn)睛】本題考查論證推理，考驗(yàn)邏輯推理以及閱讀理解的能力，屬基礎(chǔ)題.3、C【解析】

根據(jù)橢圓方程,構(gòu)造一個(gè)底面半徑為2,高為3的圓柱,通過(guò)計(jì)算可知高相等時(shí)截面面積相等,因而由祖暅原理可得橄欖球幾何體的體積的一半等于圓柱的體積減去圓錐的體積.【詳解】由橢圓方程,構(gòu)造一個(gè)底面半徑為2,高為3的圓柱在圓柱中挖去一個(gè)以圓柱下底面圓心為頂點(diǎn)、上底面為底面的圓錐當(dāng)截面與底面距離為時(shí)，截圓錐得到的截面小圓半徑為則，即所以截面面積為把代入橢圓方程，可求得所以橄欖球形狀幾何體的截面面積為由祖暅原理可得橄欖球幾何體的體積為故選:C【點(diǎn)睛】本題考查了類比推理的綜合應(yīng)用,空間幾何體體積的求法,屬于中檔題.4、A【解析】

做輔助線，構(gòu)造并找到二面角所對(duì)應(yīng)的平面角，根據(jù)已知可得，進(jìn)而求得其最大值.【詳解】在平面圖中過(guò)A作DM的垂線并延長(zhǎng)，交于,交于.在翻折過(guò)程中A點(diǎn)在平面BCD上的投影的軌跡就是平面圖中的AE.設(shè)翻折的角度為，在平面BCD投影為，過(guò)作于F，則即為二面角所對(duì)的平面角.然后有，.故=，求導(dǎo)得,設(shè)，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，所以即時(shí)，有最大值，此時(shí)=,故選A.【點(diǎn)睛】本題的解題關(guān)鍵在于找到二面角的平面角,并且用了求導(dǎo)數(shù)的方法求最大值，有一定的難度.5、D【解析】

根據(jù)正弦的倍角公式和三角函數(shù)的基本關(guān)系式，化為齊次式，即可求解，得到答案．【詳解】由題意，可得，故選D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了正弦的倍角公式，以及三角函數(shù)的基本關(guān)系式的化簡(jiǎn)、求值，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．6、C【解析】

先分析四個(gè)答案，A舉一反例，而，A錯(cuò)誤，B舉同樣反例，，而，B錯(cuò)誤，D選項(xiàng)，故D錯(cuò)，下面針對(duì)C進(jìn)行研究，是等差數(shù)列，若，則設(shè)公差為，則，數(shù)列各項(xiàng)均為正，由于，則，故選C.考點(diǎn)：本題考點(diǎn)為等差數(shù)列及作差比較法，以等差數(shù)列為載體，考查不等關(guān)系問(wèn)題，重點(diǎn)是對(duì)知識(shí)本質(zhì)的考查.7、D【解析】對(duì)于A，當(dāng)與兩條棱上的交點(diǎn)都是中點(diǎn)時(shí)，四邊形為菱形，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B,四邊形在底面內(nèi)的投影一定是正方形,故B錯(cuò)誤；對(duì)于C,當(dāng)兩條棱上的交點(diǎn)是中點(diǎn)時(shí)，四邊形垂直于平面,故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，四邊形一定為平行四邊形，故D正確.故選：D8、A【解析】

利用三角恒等變換化簡(jiǎn)的解析式，再根據(jù)的圖象變換規(guī)律求得的解析式，再利用余弦函數(shù)的單調(diào)性，求得函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間.【詳解】解：將函數(shù)的圖象上所有的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的倍（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖象，令，求得，可得的單調(diào)遞減區(qū)間為.故選：A.【點(diǎn)睛】本題主要考查三角恒等變換，余弦函數(shù)的單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題.9、A【解析】

求出樣本平均值與方差，可得年齡在內(nèi)的人數(shù)有5人，利用古典概型概率公式可得結(jié)果.【詳解】,,年齡在內(nèi)，即內(nèi)的人數(shù)有5人，所以年齡在內(nèi)的人數(shù)占公司總?cè)藬?shù)的百分比是等于，故選A.【點(diǎn)睛】樣本數(shù)據(jù)的算術(shù)平均數(shù)公式．樣本方差公式，標(biāo)準(zhǔn)差.10、C【解析】

利用“散點(diǎn)圖越接近某一條直線線性相關(guān)性越強(qiáng)，相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值越大”判斷即可.【詳解】根據(jù)兩組樣本數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖知，組樣本數(shù)據(jù)幾乎在一條直線上，且成正相關(guān)，∴相關(guān)系數(shù)為應(yīng)最接近1，組數(shù)據(jù)分散在一條直線附近，也成正相關(guān)，∴相關(guān)系數(shù)為，滿足，即，故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查散點(diǎn)圖與線性相關(guān)的的關(guān)系，屬于中檔題.判斷線性相關(guān)的主要方法：（1）散點(diǎn)圖（越接近直線，相關(guān)性越強(qiáng)）；（2）相關(guān)系數(shù)（絕對(duì)值越大，相關(guān)性越強(qiáng)）.11、B【解析】

由題意，知取0，1，2，3，利用超幾何分布求出概率，即可求解．【詳解】根據(jù)題意，故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查利用超幾何分布求概率，屬基礎(chǔ)題.12、A【解析】

利用復(fù)數(shù)的除法法則求解即可.【詳解】由題,,故選:A【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

運(yùn)用定積分可以求出陰影部分的面積，再利用幾何概型公式求出在矩形內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自陰影部分的概率.【詳解】解:陰影部分的面積為，故所求概率為【點(diǎn)睛】本題考查了幾何概型，正確運(yùn)用定積分求陰影部分的面積是解題的關(guān)鍵.14、9【解析】

根據(jù)方差的線性變化公式計(jì)算：方差為，則的方差為.【詳解】因?yàn)榉讲顬?，則的方差為,【點(diǎn)睛】本題考查方差的線性變化，難度較易.如果已知方差為，則的方差為，這可用于簡(jiǎn)便計(jì)算方差.15、【解析】

利用復(fù)數(shù)的除法將復(fù)數(shù)表示為一般形式，可得出該復(fù)數(shù)的虛部.【詳解】由復(fù)數(shù)的除法法則得，因此，復(fù)數(shù)的虛部為.故答案為.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)虛部的求解，一般利用復(fù)數(shù)四則運(yùn)算法則將復(fù)數(shù)表示為一般形式即可，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.16、【解析】

通過(guò)圓心到直線的距離等于半徑構(gòu)建等式，于是得到答案.【詳解】根據(jù)題意，可知圓心為，半徑為2，于是圓心到直線的距離，而直線與圓相切，故，因此解得.【點(diǎn)睛】本題主要考查直線與圓的位置關(guān)系，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化能力，難度不大.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（Ⅰ）的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為；（Ⅱ）證明見(jiàn)解析.【解析】

（Ⅰ）根據(jù)導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)單調(diào)區(qū)間的步驟，確定定義域，求導(dǎo)，解導(dǎo)數(shù)不等式或，中間涉及到解含參的一元二次不等式的解法，注意分類討論；（Ⅱ）構(gòu)造函數(shù)，再利用題目條件進(jìn)行放縮，得到，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最小值，即可證出?！驹斀狻慷x域?yàn)镽，,令，則，則結(jié)合二次函數(shù)圖像可知，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為；（II）令，當(dāng)時(shí)，，而，故，故，令，故，故函數(shù)在上單調(diào)遞減，則，則，即關(guān)于x的不等式在上恒成立.【點(diǎn)睛】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間問(wèn)題，最值問(wèn)題，證明恒成立問(wèn)題，涉及到轉(zhuǎn)化與化歸思想的應(yīng)用。靈活構(gòu)造函數(shù)是解決本題的關(guān)鍵，合理放縮也是關(guān)鍵點(diǎn)，意在考查學(xué)生的邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)學(xué)建模的能力。18、（1）(為參數(shù))；（2）【解析】試題分析：（Ⅰ）首先求得的普通方程，由此可求得的參數(shù)方程；（Ⅱ）設(shè)四邊形的周長(zhǎng)為，點(diǎn)，然后得到與的關(guān)系式，從而利用輔助角公式求得點(diǎn)的直角坐標(biāo)點(diǎn)，從而求得的普通方程．試題解析：（Ⅰ），（為參數(shù)）．（Ⅱ）設(shè)四邊形的周長(zhǎng)為，設(shè)點(diǎn)，，且，，所以，當(dāng)（）時(shí)，取最大值，此時(shí)，所以，，，此時(shí)，，的普通方程為．點(diǎn)睛：將曲線的參數(shù)方程化為普通方程的關(guān)鍵是消去其中的參數(shù)，此時(shí)要注意其中的(它們都是參數(shù)的函數(shù))的取值范圍，即在消去參數(shù)的過(guò)程中一定要注意普通方程與參數(shù)方程的等價(jià)性．19、（1）（2）【解析】

（1）求出拋物線的焦點(diǎn)，設(shè)出直線的方程，代入拋物線方程，運(yùn)用韋達(dá)定理和拋物線的定義，可得，進(jìn)而得到拋物線方程；（2）設(shè)，，，不妨設(shè)，直線的方程為，由直線與圓相切的條件：，化簡(jiǎn)整理，結(jié)合韋達(dá)定理以及三角形的面積公式，運(yùn)用基本不等式即可求得最小值.【詳解】（1）拋物線的焦點(diǎn)為，則過(guò)點(diǎn)且斜率為1的直線方程為，聯(lián)立拋物線方程，消去得：，設(shè)，則，由拋物線的定義可得，解得，所以拋物線的方程為（2）設(shè)，，，不妨設(shè)，化簡(jiǎn)得：，圓心到直線的距離為1，故，即，不難發(fā)現(xiàn)，上式又可化為，同理有，所以可以看做關(guān)于的一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，，，由條件：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).∴面積的最小值為8.【點(diǎn)睛】本題主要考查了拋物線的定義、方程和性質(zhì)，主要考查定義法和方程的運(yùn)用，同時(shí)考查直線和拋物線方程聯(lián)立，運(yùn)用韋達(dá)定理，直線和圓相切的條件：，以及基本不等式的運(yùn)用，屬于中檔題.20、(1)見(jiàn)證明；(2)【解析】

（1）由題設(shè)條件，化簡(jiǎn)得到，即可證得數(shù)列為首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，進(jìn)而求得通項(xiàng)公式．（2）由（1）可得，利用求和公式即可得出．【詳解】（1）因?yàn)椋?，所以?shù)列為首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列.所以，即.（2）因?yàn)?，所?【點(diǎn)睛】本題主要考查了數(shù)列遞推關(guān)系、等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求和公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．21、(1),；(2)．【解析】試題分析：（1）將代入的直角坐標(biāo)方程，化簡(jiǎn)得，；（2）將代入，得得，所以，進(jìn)而求得面積為.試題解析：（1）因?yàn)椋缘臉O坐標(biāo)方程為，的極坐標(biāo)方程為（2）將代入得得，所以因?yàn)榈陌霃綖?，則的面積為考點(diǎn)：坐標(biāo)系與參數(shù)方程.22、(Ⅰ);(Ⅱ).【解析】

(Ⅰ)對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，再令x=1,可求得，回代可知，由導(dǎo)數(shù)可求得切線方程。(Ⅱ)由,令由導(dǎo)數(shù)可知，在時(shí)恒成立。下證，所以?！驹斀狻?Ⅰ)函數(shù)的定義域?yàn)橐驗(yàn)椋?，即?/p>