2023年上海外國語大學附屬浦東外國語學校高二數(shù)學第二學期期末教學質(zhì)量檢測試題含解析

2022-2023高二下數(shù)學模擬試卷注意事項:1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．設(shè)是雙曲線上的動點，則到該雙曲線兩個焦點的距離之差為（）A．4 B． C． D．2．已知直線與圓交于兩點，且（其中為坐標原點），則實數(shù)的值為A． B． C．或 D．或3．在底面為正方形的四棱錐中，平面，，則異面直線與所成的角是（）A． B． C． D．4．某班級有男生人，女生人，現(xiàn)選舉名學生分別擔任班長、副班長、團支部書記和體育班委.男生當選的人數(shù)記為，則的數(shù)學期望為（）A． B． C． D．5．定義域為的可導函數(shù)的導函數(shù)為，滿足，且，則不等式的解集為（）A． B． C． D．6．設(shè)，，，則()A． B． C． D．7．曲線y=2sinx+cosx在點(π，–1)處的切線方程為A． B．C． D．8．已知隨機變量滿足，，則下列說法正確的是（）A．， B．，C．， D．，9．下列函數(shù)中，是偶函數(shù)且在區(qū)間上單調(diào)遞減的函數(shù)是（）A． B． C． D．10．若離散型隨機變量的概率分布列如下表所示，則的值為()1A． B． C．或 D．11．若將函數(shù)圖象上所有點的橫坐標伸長為原來的倍（縱坐標不變），得到函數(shù)的圖象，則函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為（）A． B．C． D．12．的展開式中含項的系數(shù)為（）A．-160 B．-120 C．40 D．200二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸出的為1，則輸入的的值等于_________．14．若雙曲線的漸近線方程為y=±x，則滿足條件的一個雙曲線的方程為____________15．已知純虛數(shù)滿足(其中是虛數(shù)單位)，則__________.16．設(shè)隨機變量的概率分布列如下圖，則___________．1234三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知定圓：，動圓過點且與圓相切，記圓心的軌跡為．(1)求曲線的方程；(2)已知直線交圓于兩點.是曲線上兩點，若四邊形的對角線，求四邊形面積的最大值.18．（12分）某超市為了解顧客的購物量及結(jié)算時間等信息，安排一名員工隨機收集了在該超市購物的100位顧客的相關(guān)數(shù)據(jù)，統(tǒng)計結(jié)果如下表所示，已知這100位顧客中一次購物量超過7件的顧客占.一次購物量1至3件4至7件8至11件12至15件16件及以上顧客數(shù)（人）272010結(jié)算時間（/人）0.511.522.5（1）確定，的值，并求顧客一次購物的結(jié)算時間的平均值；（2）從收集的結(jié)算時間不超過的顧客中，按分層抽樣的方法抽取5人，再從這5人中隨機抽取2人，求至少有1人的結(jié)算時間為的概率.（注：將頻率視為概率）19．（12分）某校高二理科1班共有50名學生參加學業(yè)水平模擬考試，成績（單位：分，滿分100分）大于或等于90分的為優(yōu)秀，其中語文成績近似服從正態(tài)分布，數(shù)學成績的頻率分布直方圖如圖.（1）這50名學生中本次考試語文、數(shù)學成績優(yōu)秀的大約各有多少人？（2）如果語文和數(shù)學兩科成績都優(yōu)秀的共有4人，從語文優(yōu)秀或數(shù)學優(yōu)秀的這些同學中隨機抽取3人，設(shè)3人中兩科都優(yōu)秀的有X人，求X的分布列和數(shù)學期望；（3）根據(jù)（1）（2）的數(shù)據(jù)，是否有99%以上的把握認為語文成績優(yōu)秀的同學，數(shù)學成績也優(yōu)秀？語文優(yōu)秀語文不優(yōu)秀合計數(shù)學優(yōu)秀數(shù)學不優(yōu)秀合計附：①若，則，；②；③0.10.050.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.82820．（12分）設(shè)函數(shù).（1）解不等式；（2）設(shè)，，使得成立，求實數(shù)m的取值范圍.21．（12分）已知公差不為的等差數(shù)列的前項和，，，成等差數(shù)列，且，，成等比數(shù)列.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若，，成等比數(shù)列，求及此等比數(shù)列的公比.22．（10分）已知函數(shù)，其中為自然對數(shù)的底數(shù).（1）若，求的最小值；（2）若，證明：.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】

直接利用雙曲線的定義分析解答得解.【詳解】由題得.由雙曲線的定義可知到該雙曲線兩個焦點的距離之差.故選：A【點睛】本題主要考查雙曲線的定義，意在考查學生對該知識的理解掌握水平.2、C【解析】分析：利用OA⊥OB，OA=OB，可得出三角形AOB為等腰直角三角形，由圓的標準方程得到圓心坐標與半徑R，可得出AB，求出AB的長，圓心到直線y=﹣x+a的距離為AB的一半，利用點到直線的距離公式列出關(guān)于a的方程，求出方程的解即可得到實數(shù)a的值．詳解：∵OA⊥OB，OA=OB，∴△AOB為等腰直角三角形，又圓心坐標為（0，0），半徑R=1，∴AB=.∴圓心到直線y=﹣x+a的距離d=AB==，∴|a|=1，∴a=±1．故答案為C．點睛：這個題目考查的是直線和圓的位置關(guān)系，一般直線和圓的題很多情況下是利用數(shù)形結(jié)合來解決的，聯(lián)立的時候較少；在求圓上的點到直線或者定點的距離時，一般是轉(zhuǎn)化為圓心到直線或者圓心到定點的距離，再加減半徑，分別得到最大值和最小值；涉及到圓的弦長或者切線長時，經(jīng)常用到垂徑定理和垂徑定理.3、B【解析】

底面ABCD為正方形，PA⊥平面ABCD，分別過P，D點作AD，AP的平行線交于M，連接CM，AM，因為PB∥CM，所以就是異面直線PB與AC所成的角.【詳解】解：由題意：底面ABCD為正方形，PA⊥平面ABCD，分別過P，D點作AD，AP的平行線交于M，連接CM，AM，

.

∴PBCM是平行四邊形，

∴PB∥CM，

所以∠ACM就是異面直線PB與AC所成的角.

設(shè)PA＝AB＝，在三角形ACM中，

∴三角形ACM是等邊三角形.

所以∠ACM等于60°，即異面直線PB與AC所成的角為60°.

故選：B.【點睛】本題考查了兩條異面直線所成的角的證明及求法.屬于基礎(chǔ)題.4、C【解析】分析：先寫出的取值，再分別求的概率，最后求的數(shù)學期望.詳解：由題得所以故答案為：C點睛：（1）本題主要考查離散型隨機變量的分布列和數(shù)學期望，意在考查學生對這些基礎(chǔ)知識的掌握能力.(2)離散型隨機變量的數(shù)學期望5、C【解析】

構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)可知，得到在上單調(diào)遞減；根據(jù)，可將所求不等式轉(zhuǎn)化為，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性可得到解集.【解答】令，則在上單調(diào)遞減則不等式可化為等價于，即即所求不等式的解集為：本題正確選項：【點睛】本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性求解不等式，關(guān)鍵是能夠構(gòu)造函數(shù)，將所求不等式轉(zhuǎn)變?yōu)楹瘮?shù)值的比較，從而利用其單調(diào)性得到自變量的關(guān)系．6、C【解析】

分別求出，，的范圍，從而得到答案．【詳解】根據(jù)指數(shù)函數(shù)圖像可得，，；由于，則，則；所以；故答案選C【點睛】本題考查指數(shù)、對數(shù)值的大小比較，解題的關(guān)鍵利用指數(shù)對數(shù)的運算法則求出值的范圍，屬于中檔題．7、C【解析】

先判定點是否為切點，再利用導數(shù)的幾何意義求解.【詳解】當時，，即點在曲線上．則在點處的切線方程為，即．故選C．【點睛】本題考查利用導數(shù)工具研究曲線的切線方程，滲透了直觀想象、邏輯推理和數(shù)學運算素養(yǎng)．采取導數(shù)法，利用函數(shù)與方程思想解題．學生易在非切點處直接求導數(shù)而出錯，首先證明已知點是否為切點，若是切點，可以直接利用導數(shù)求解；若不是切點，設(shè)出切點，再求導，然后列出切線方程．8、D【解析】分析：利用期望與方差的性質(zhì)與公式求解即可.詳解：隨機變量滿足，所以，解得，故選D.點睛：已知隨機變量的均值、方差，求的線性函數(shù)的均值、方差和標準差，可直接用的均值、方差的性質(zhì)求解.若隨機變量的均值、方差、標準差，則數(shù)的均值、方差、標準差.9、D【解析】

由奇函數(shù)和偶函數(shù)圖象的對稱性，根據(jù)的圖象和的定義域便可判斷出錯誤，而由的單調(diào)性便可判斷選項錯誤，從而得出正確．【詳解】選項：根據(jù)的圖象知該函數(shù)非奇非偶，可知錯誤；選項：的定義域為，知該函數(shù)非奇非偶，可知錯誤；選項：時，為增函數(shù)，不符合題意，可知錯誤；選項：，可知函數(shù)為偶函數(shù)，根據(jù)其圖象可看出該函數(shù)在上單調(diào)遞減，可知正確.本題正確選項：【點睛】本題考查奇函數(shù)和偶函數(shù)圖象的對稱性，函數(shù)單調(diào)性的問題，屬于基礎(chǔ)題．10、A【解析】由離散型隨機變量ξ的概率分布表知：.解得.故選：A.11、A【解析】

利用三角恒等變換化簡的解析式，再根據(jù)的圖象變換規(guī)律求得的解析式，再利用余弦函數(shù)的單調(diào)性，求得函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間.【詳解】解：將函數(shù)的圖象上所有的橫坐標伸長為原來的倍（縱坐標不變），得到函數(shù)的圖象，令，求得，可得的單調(diào)遞減區(qū)間為.故選：A.【點睛】本題主要考查三角恒等變換，余弦函數(shù)的單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題.12、B【解析】分析：將化為含由展開式中的，常數(shù)項與中展開式中的常數(shù)項，分別對應相乘得到.分別求出相應的系數(shù)，對應相乘再相加即可.詳解：將化為含由展開式中的，常數(shù)項與中展開式中的常數(shù)項，分別對應相乘得到.展開式的通項為，常數(shù)項的系數(shù)分別為展開式的通項為常數(shù)項，的系數(shù)分別為故的展開式中含項的系數(shù)為故選B.點睛：本題考查了二項式定理的應用問題，也考查了利用展開式的通項公式求指定項的系數(shù)，是基礎(chǔ)題目．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、2或【解析】

根據(jù)程序框圖，討論和兩種情況，計算得到答案.【詳解】當時，，故；當時，，故，解得或（舍去）.故答案為：2或.【點睛】本題考查了程序框圖，意在考查學生的計算能力和理解能力.14、=1（答案不唯一）【解析】

由雙曲線標準方程與漸近線方程的關(guān)系可得．【詳解】漸近線方程為y=±x的雙曲線方程為，則就是其中之一．故答案為．【點睛】本題考查雙曲線的幾何性質(zhì)：漸近線，與雙曲線共漸近線的雙曲線方程為，此方程對焦點沒有要求，即焦點可在軸上，也可在軸上．15、【解析】設(shè)，，整理得，16、【解析】

依題意可知，根據(jù)分布列計算可得；【詳解】解：依題意可得故答案為：【點睛】本題考查離散型隨機變量的分布列與和概率公式的應用，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1);(2).【解析】分析：（1）根據(jù)動圓與定圓相內(nèi)切，結(jié)合橢圓的定義，即可求得動圓圓心的軌跡方程；（2）由題可知，，因圓心坐標在直線上，則直徑，將問題轉(zhuǎn)化為求的最大值.根據(jù)題意設(shè)直線方程為，設(shè),與橢圓方程聯(lián)立，整理得關(guān)于的一元二次方程，由韋達定理及，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，由此可以求出四邊形面積的最大值.詳解：解：（1）依題意得：，圓的半徑，點在圓內(nèi)，圓內(nèi)切于圓，，點的軌跡為橢圓，設(shè)其方程為則，，，軌跡的方程為：.（2）點在直線上，即直線經(jīng)過圓的圓心，，故設(shè)直線方程為，設(shè),聯(lián)立消得，，且，，四邊形的面積，（當且僅當時取等號），即四邊形面積的最大值為.點睛：本題考查曲線的軌跡方程求法和直線與圓錐曲線位置關(guān)系，考查對角線互相垂直的四邊形面積的最大值求法，解題時要認真審題，注意等價轉(zhuǎn)化思想的合理運用.解決直線與圓錐曲線綜合問題基本步驟為：（1）設(shè)，即設(shè)交點坐標和直線方程，注意考慮直線斜率是否存在;（2）聯(lián)，即聯(lián)立直線方程與圓錐曲線，消元;（3）判，即直線與圓錐曲線的位置關(guān)系可以通過判別式加以判斷;（4）韋，即韋達定理，確定兩根與系數(shù)的關(guān)系.（5）代，即根據(jù)已知條件，將所求問題轉(zhuǎn)換到與兩點坐標和直線方程相關(guān)的問題，進而求解問題.18、（1），，；（2）【解析】

（1）由條件可得，從而可求出，的值，再計算顧客一次購物的結(jié)算時間的平均值

（2）結(jié)算時間不超過的顧客有45人，則按分層抽樣抽取5人，從結(jié)算時間為的人中抽取2人，從結(jié)算時間為的人中抽取3人，列舉出基本事件數(shù)，再列舉出至少有1人結(jié)算時間為所包含基本事件數(shù)，用古典概率可求解.【詳解】解：（1）由已知得，∴，，∴.該超市所有顧客一次購物的結(jié)算時間組成一個總體，

所收集的100位顧客一次購物的結(jié)算時間可視為總體的一個容量為100的簡單隨機樣本，

顧客一次購物的結(jié)算時間的平均值可用樣本平均數(shù)估計，

其估計值為.（2）結(jié)算時間不超過共有45人，其中結(jié)算時間為的有18人，

結(jié)算時間為的有27人，

結(jié)算時間為的人數(shù)：結(jié)算時間為的人數(shù)，

則按分層抽樣抽取5人，從結(jié)算時間為的人中抽取人，

從結(jié)算時間為的人中抽取人.記抽取結(jié)算時間為的2人分別為，，

抽取結(jié)算時間為的3人分別為，，，

表示抽取的兩人為，，基本事件共有10個：，，，，，，

，，，.記至少有1人結(jié)算時間為為事件，包含基本事件共有7個：，，，，，，，∴，故至少有1人結(jié)算時間為的概率.【點睛】本題考查統(tǒng)計中求平均數(shù)和分層抽樣以及用古典概率公式計算概率,屬于基礎(chǔ)題.19、（1）語文成績優(yōu)秀的同學有人，數(shù)學成績優(yōu)秀的同學有人.（2）分布列見解析，；（3）沒有以上的把握認為語文成績優(yōu)秀的同學，數(shù)學成績也優(yōu)秀.【解析】

（1）語文成績服從正態(tài)分布，根據(jù)正態(tài)分布的原則可得語文成績優(yōu)秀的概型及人數(shù)，根據(jù)數(shù)學成績的頻率分布直方圖可以計算數(shù)學成績優(yōu)秀的概率及人數(shù)；（2）語文和數(shù)學兩科都優(yōu)秀的有4人，則可算出單科優(yōu)秀的學生人數(shù)，從中隨機抽取3人，則3人中兩科都優(yōu)秀的可能為0、1、2、3四種情況，服從超幾何分布，利用概率公式分別求出概率，即可寫出分布列及數(shù)學期望；（3）先完成列聯(lián)表，利用公式求出卡方的值比較參考數(shù)據(jù)即可得出結(jié)論；【詳解】解：（1）因為語文成績服從正態(tài)分布所以語文成績優(yōu)秀的概率數(shù)學成績優(yōu)秀的概率所以語文成績優(yōu)秀的同學有人，數(shù)學成績優(yōu)秀的同學有人.（2）語文數(shù)學兩科都優(yōu)秀的有4人，單科優(yōu)秀的有10人，的所有可能取值為0、1、2、3，，，，所以的分布列為：（3）列聯(lián)表：語文優(yōu)秀語文不優(yōu)秀合計數(shù)學優(yōu)秀數(shù)學不優(yōu)秀合計所以沒有以上的把握認為語文成績優(yōu)秀的同學，數(shù)學成績也優(yōu)秀.【點睛】本題考查正態(tài)分布的概率計算，頻率分布直方圖的應用，離散型隨機變量的分布列及期望的計算，獨立性檢驗的應用，屬于中檔題.20、(1);(2)【