畫法幾何第六章

畫法幾何第六章第1頁，共85頁，2023年，2月20日，星期二投影變換是研究如何通過改變空間幾何元素對投影面的相對位置或改變投射方向達到簡化解題的目的。常見的投影變換方法有換面法和旋轉(zhuǎn)法?！?-1概述上一頁下一節(jié)返回特殊位置兩點之間距離三角形實形實長實形一般位置直線與平面的交點兩平面夾角實角表6-1幾何元素對投影面的相對位置求距離求實形求共有點求夾角退出第2頁，共85頁，2023年，2月20日，星期二一、換面法的基本概念二、點的投影變換規(guī)律2、點的兩次變換3、四個基本問題(1)把一般位置直線變?yōu)橥队懊嫫叫芯€1、點的一次變換§6-2換面法(2)把一般位置直線變?yōu)橥队懊娲怪本€(3)把一般位置平面變?yōu)橥队懊娲怪泵?4)把一般位置平面變?yōu)橥队懊嫫叫忻纥c在V1/H

體系中的投影點在V/H1體系中的投影上一節(jié)下一節(jié)返回退出第3頁，共85頁，2023年，2月20日，星期二1.新投影面必須與空間幾何元素處于有利于解題的位置換面法的基本概念2.新投影面必須垂直于一個不變的投影面選擇新投影面的原則：平行X1軸//abc實形平行投影圖動畫中途返回請按“ESC”鍵第4頁，共85頁，2023年，2月20日，星期二點的一次變換點在V1/H

體系中的投影不變投影新投影舊投影.舊投影面新投影面不變投影面動畫中途返回請按“ESC”鍵第5頁，共85頁，2023年，2月20日，星期二點的一次變換點在V/H1體系中的投影舊投影不變投影新投影..動畫中途返回請按“ESC”鍵第6頁，共85頁，2023年，2月20日，星期二點的二次變換..動畫中途返回請按“ESC”鍵第7頁，共85頁，2023年，2月20日，星期二把一般位置直線變?yōu)橥队懊嫫叫芯€更換水平投影面動畫中途返回請按“ESC”鍵第8頁，共85頁，2023年，2月20日，星期二把一般位置線變?yōu)橥队懊娲怪本€一次變換可將投影面平行線變?yōu)橥队懊娲怪本€.動畫中途返回請按“ESC”鍵第9頁，共85頁，2023年，2月20日，星期二把一般位置平面變?yōu)橥队懊娲怪泵嬲骄€垂直動畫中途返回請按“ESC”鍵第10頁，共85頁，2023年，2月20日，星期二把一般位置平面變?yōu)橥队懊嫫叫忻嬉淮巫儞Q可將投影面垂直面變?yōu)橥队懊嫫叫忻嬷型痉祷卣埌础癊SC”鍵第11頁，共85頁，2023年，2月20日，星期二上一節(jié)下一節(jié)返回一、旋轉(zhuǎn)法的基本概念二、點旋轉(zhuǎn)時的投影變換規(guī)律2、幾何元素在軸所垂直的投影面上的投影，旋轉(zhuǎn)前后的形狀和大小不變4、四個基本問題把一般位置直線變?yōu)橥队懊嫫叫芯€1、旋轉(zhuǎn)必須遵循“三同”原則*§6-3旋轉(zhuǎn)法——繞投影面垂直軸旋轉(zhuǎn)把一般位置直線變?yōu)橥队懊娲怪本€把一般位置平面變?yōu)橥队懊娲怪泵姘岩话阄恢闷矫孀優(yōu)橥队懊嫫叫忻嫒?、直線和平面的旋轉(zhuǎn)3、不指明軸旋轉(zhuǎn)法2、點繞鉛垂軸旋轉(zhuǎn)1、點繞正垂軸旋轉(zhuǎn)退出第12頁，共85頁，2023年，2月20日，星期二旋轉(zhuǎn)法的基本概念中途返回請按“ESC”鍵第13頁，共85頁，2023年，2月20日，星期二點繞正垂軸旋轉(zhuǎn)中途返回請按“ESC”鍵第14頁，共85頁，2023年，2月20日，星期二點繞鉛垂軸旋轉(zhuǎn)中途返回請按“ESC”鍵第15頁，共85頁，2023年，2月20日，星期二“三同”原則中途返回請按“ESC”鍵第16頁，共85頁，2023年，2月20日，星期二幾何元素在軸所垂直的投影面上的投影，旋轉(zhuǎn)前后的形狀和大小不變中途返回請按“ESC”鍵第17頁，共85頁，2023年，2月20日，星期二不指明軸旋轉(zhuǎn)法旋轉(zhuǎn)軸的確定中途返回請按“ESC”鍵第18頁，共85頁，2023年，2月20日，星期二把一般位置直線旋轉(zhuǎn)到投影面平行線位置直線繞正垂軸旋轉(zhuǎn)中途返回請按“ESC”鍵第19頁，共85頁，2023年，2月20日，星期二把一般位置直線旋轉(zhuǎn)到投影面垂直線位置中途返回請按“ESC”鍵第20頁，共85頁，2023年，2月20日，星期二把一般位置平面旋轉(zhuǎn)到投影面垂直面位置中途返回請按“ESC”鍵第21頁，共85頁，2023年，2月20日，星期二把一般位置平面旋轉(zhuǎn)到投影面平行面位置例2例1中途返回請按“ESC”鍵第22頁，共85頁，2023年，2月20日，星期二上一節(jié)下一節(jié)返回一、繞投影面平行軸旋轉(zhuǎn)法的基本概念二、點繞投影面平行軸旋轉(zhuǎn)*§6-4旋轉(zhuǎn)法——繞投影面平行軸旋轉(zhuǎn)退出第23頁，共85頁，2023年，2月20日，星期二一、繞投影面平行軸旋轉(zhuǎn)法的基本概念中途返回請按“ESC”鍵第24頁，共85頁，2023年，2月20日，星期二二、點繞投影面平行軸旋轉(zhuǎn)例3中途返回請按“ESC”鍵第25頁，共85頁，2023年，2月20日，星期二從工程實際抽象出來的幾何問題，如距離、角度的度量；點、線、面的定位等，并不是單純的平行、相交、垂直問題，而多是較復(fù)雜的綜合問題，其突出特點是要受若干條件的限制，求解時往往要同時滿足幾個條件。解決此類問題的方法通常是：分析、確定解題方案及投影圖上實現(xiàn)。分析是十分重要的，首先根據(jù)給出已知條件和求解要求，想出已知空間幾何模型，然后進行空間思維，想象出最終結(jié)果的空間幾何模型，再分析確定從已知幾何模型到最終結(jié)果幾何模型的空間解題步驟。有時最終結(jié)果幾何模型很難直接確定，則常用“軌跡法”，即逐個滿足限制條件，找出滿足每一個條件的無數(shù)解答的集合（通常稱之為該條件的軌跡），弄清該集合是什么形狀，在投影圖上如何實現(xiàn)；多個條件則形成多個軌跡，這些軌跡的交集即為所求結(jié)果?！?-5綜合性問題解法舉例綜合性問題解法舉例（一）距離和角度的度量綜合性問題解法舉例（二）解題中的常見軌跡上一節(jié)下一頁返回退出第26頁，共85頁，2023年，2月20日，星期二解題中的常見軌跡1.過定點與定直線相交的直線的軌跡為一平面。2.與定平面平行（等距）的直線的軌跡為其平行面。3.與兩相交直線或兩相交平面等距的點的軌跡為其角平分面。4.題目中若出現(xiàn)正方形、矩形、菱形、等腰三角形、等邊三

角形、到兩點等距等，它們的軌跡通常為一直線的垂面。

因為這些幾何圖形都具有垂直要素，例如:菱形的對角線

垂直平分；等腰三角形底邊上的高垂直于底邊等。5.與定直線等距的點的軌跡為一圓柱面。6.與定直線平行，且距離為定長的直線的軌跡為圓柱面。7.與定直線距離為定長的直線的軌跡為一圓柱面的切平面。8.過一點和定直線或定平面保持固定夾角的直線的軌跡為圓

錐面。9.與定點等距的點的軌跡為圓球面。上一頁下一頁返回節(jié)返回章退出第27頁，共85頁，2023年，2月20日，星期二過點K

作直線與平面△CDE

平行，并與直線CD

相交綜合性問題解法舉例（一）解題方案一(空間分析)：在V/H

投影體系中直接解題應(yīng)用換面法解題解題方案二（空間分析）：在V/H

投影體系中直接解題應(yīng)用換面法解題試過定點A作直線與與已知直線EF正交在V/H

投影體系中直接解題應(yīng)用換面法解題矩形ABCD

的頂點B

在直線MC

上，畫出它的V、H

面投影過線段AB

作一平面垂直于平面△DEF例5例4例6例7上一頁下一頁返回節(jié)返回章退出第28頁，共85頁，2023年，2月20日，星期二距離的度量1.點到點之間的距離2.點到直線之間的距離4.兩交叉直線之間的距離5.點到平面之間的距離6.直線到平面、平面到平面之間的距離3.兩平行直線之間的距離角度的度量1.兩相交直線之間的夾角2.直線與平面間的夾角3.兩平面間的夾角上一頁下一頁返回節(jié)返回章退出第29頁，共85頁，2023年，2月20日，星期二1、點到點之間的距離中途返回請按“ESC”鍵第30頁，共85頁，2023年，2月20日，星期二2、點到直線之間的距離求兩平行直線AB

和CD

之間的距離在V/H

投影體系中直接解題例8應(yīng)用換面法在H/V1體系或V1/H2體系中解題應(yīng)用換面法在V1/H2體系中解題中途返回請按“ESC”鍵第31頁，共85頁，2023年，2月20日，星期二3、兩平行直線之間的距離中途返回請按“ESC”鍵第32頁，共85頁，2023年，2月20日，星期二4、兩交叉直線之間的距離在V/H

投影體系中直接解題應(yīng)用換面法解題求兩交叉直線AB

和CD

的距離，并定出它們的公垂線的位置例9中途返回請按“ESC”鍵第33頁，共85頁，2023年，2月20日，星期二5、點到平面之間的距離平行四邊形ABCD

給定一平面，試求點S

至該平面的距離例10中途返回請按“ESC”鍵第34頁，共85頁，2023年，2月20日，星期二6、直線到平面、兩平面之間的距離直線到平面之間的距離兩平面之間的距離過直線上任一點作平面的垂線過一平面上任一點作另一平面的垂線..中途返回請按“ESC”鍵第35頁，共85頁，2023年，2月20日，星期二兩相交直線之間的夾角實形實角中途返回請按“ESC”鍵第36頁，共85頁，2023年，2月20日，星期二直線與平面間的夾角求直線HG

與平面的夾角，平面由四邊形ABCD

給定求直線AB

與平面DEF

之間的夾角θ例11例12中途返回請按“ESC”鍵第37頁，共85頁，2023年，2月20日，星期二兩平面間的夾角求△ABC

與△ABD

之間的夾角例13中途返回請按“ESC”鍵第38頁，共85頁，2023年，2月20日，星期二在直線AB

上求一點K,距點C

為20mm綜合性問題解法舉例（二）符合求解條件的“軌跡”為圓球面過點A

作直線AB，令它與H

面夾角為45度，

并垂直于線段BC找出與點A

距離為L，與直線CD

距離為L1

的

所有點的集合符合求解條件的“軌跡”為圓錐面符合求解條件的“軌跡”為圓球面和圓柱面例14例15例16上一頁下一頁返回節(jié)返回章退出第39頁，共85頁，2023年，2月20日，星期二本章結(jié)束點擊進入第七章退出上一頁返回第40頁，共85頁，2023年，2月20日，星期二投影圖：ABC實形.中途返回請按“ESC”鍵第41頁，共85頁，2023年，2月20日，星期二更換水平投影面中途返回請按“ESC”鍵第42頁，共85頁，2023年，2月20日，星期二旋轉(zhuǎn)軸的確定中途返回請按“ESC”鍵第43頁，共85頁，2023年，2月20日，星期二一次變換可將投影面平行線變?yōu)橥队懊娲怪本€..垂直動畫中途返回請按“ESC”鍵第44頁，共85頁，2023年，2月20日，星期二直線繞正垂軸旋轉(zhuǎn)中途返回請按“ESC”鍵第45頁，共85頁，2023年，2月20日，星期二解題方案一：解題思路：3.連KS

即為所求1.過點K

作平面P

平行于△CDE2.求直線AB

與平面P

的交點S例4：過點K

作直線與平面△CDE

平行，并與直線AB

相交中途返回請按“ESC”鍵第46頁，共85頁，2023年，2月20日，星期二解題方案二：解題思路：3.過點K

作MN

的平行線KS

即為所求1.作平面KAB2.求作平面KAB

與平面DEF

的交線MN例4：過點K

作直線與平面△CDE

平行，并與直線AB

相交中途返回請按“ESC”鍵第47頁，共85頁，2023年，2月20日，星期二空間分析：解題思路：3.連AK

即為所求1.過點A

作直線EF的垂面AIII2.求直線EF

與垂面AIII的交點K例5：試過定點A

作直線與已知直線EF

正交中途返回請按“ESC”鍵第48頁，共85頁，2023年，2月20日，星期二空間分析：解題思路：2.兩相交直線BC、AB確定的平面即為所求1.過直線AB上任一點B作平面DEF的垂線

例7：過線段AB

作一平面垂直于平面DEF中途返回請按“ESC”鍵第49頁，共85頁，2023年，2月20日，星期二空間分析：解題思路：3.過垂足N作直線EF平行于直線AB,交CD于點S

2.過直線AB上任一點M作平面P的垂線，垂足為N

例9求兩交叉直線AB

和CD

的距離，并定出它們的公垂線的位置1.含直線CD作平面P平行于AB4.過點S作直線ST平行于直線MN,ST即為所求

中途返回請按“ESC”鍵第50頁，共85頁，2023年，2月20日，星期二空間分析：解題思路：2.在新投影面H2上直接求作距離的實長例9求兩交叉直線AB

和CD

的距離，并定出它們的公垂線的位置1.將兩直線之一變換為投影面垂直線

中途返回請按“ESC”鍵第51頁，共85頁，2023年，2月20日，星期二解題思路：例11求直線HG

與平面的夾角，平面由四邊形ABCD

給定1.過點H

作平面ABCD

的垂線

2.作直線EF，求出HEF

的實形，得3.求

的余角

中途返回請按“ESC”鍵第52頁，共85頁，2023年，2月20日，星期二解題思路：例12求直線AB與平面DEF之間的夾角θ經(jīng)3次變換投影面，在V3投影面中求作角中途返回請按“ESC”鍵第53頁，共85頁，2023年，2月20日，星期二解題思路：例13求兩平面之間的夾角將兩平面的交線變換為投影面垂直線則角可得中途返回請按“ESC”鍵第54頁，共85頁，2023年，2月20日，星期二例1求△ABC

和△ABD

兩平面之間的夾角中途返回請按“ESC”鍵第55頁，共85頁，2023年，2月20日，星期二例2試將點D

繞所設(shè)OO

軸旋轉(zhuǎn)到已知平面ABC

上中途返回請按“ESC”鍵第56頁，共85頁，2023年，2月20日，星期二例3求△ABC

的實形中途返回請按“ESC”鍵第57頁，共85頁，2023年，2月20日，星期二例4過點K

作直線與平面△CDE

平行，并與直線AB

相交解題步驟：空間分析3.連KS

即為所求1.過點K

作平面KFG

平行于△CDE2.求直線AB

與平面KFG

的交點S——在V/H

投影體系中直接解題：解題方案一中途返回請按“ESC”鍵第58頁，共85頁，2023年，2月20日，星期二例4過點K

作直線與平面△CDE

平行，并與直線AB

相交.解題步驟：5.連k1’s1’3.過k1’作平面Q

平行于c1’d1’e1’4.求a1’b1’與平面Q

的交點s1’——應(yīng)用換面法在H/V1體系中解題：2.直線AB、點K隨之變換6.將k1’s1’返回原體系1.將△CDE

變換為新投影面的垂直面解題方案一中途返回請按“ESC”鍵第59頁，共85頁，2023年，2月20日，星期二例4過點K

作直線與平面△CDE

平行，并與直線AB

相交——在V/H

投影體系中直接解題：解題方案二空間分析解題步驟：1.作△KAB

2.求△KAB

與△DEF

的交線MN3.過點K

作直線MN的平行線KS

中途返回請按“ESC”鍵第60頁，共85頁，2023年，2月20日，星期二例4過點K

作直線與平面△CDE

平行，并與直線AB

相交解題方案二——應(yīng)用換面法在V/H1體系中解題：解題步驟：1.作△KAB

2.換面法求△KAB與△DEF

的交線MN3.過點K

作直線MN

的平行線KS

中途返回請按“ESC”鍵第61頁，共85頁，2023年，2月20日，星期二例5試過定點A

作直線與已知直線EF

正交解題步驟：3.連KA

即為所求1.過點A

作直線EF

的垂面2.求直線EF與所作垂面AIII

的交點K

..空間分析——在V/H

投影體系中直接解題：中途返回請按“ESC”鍵第62頁，共85頁，2023年，2月20日，星期二例5試過定點A

作直線與已知直線EF

正交解題步驟：3.過a1’作e1’f1’的垂線,得k1’2.點A

隨之變換

4.將k1’a1’返回原體系1.將直線EF

變換為新投影面的平行線——應(yīng)用換面法在H/V1體系中解題：中途返回請按“ESC”鍵第63頁，共85頁，2023年，2月20日，星期二例6矩形ABCD

的頂點B

在直線MC

上，畫出它的V、H

面投影解題步驟：3.過a1’作m1’c1’的垂線(面),得b1’2.點A

隨之變換

4.將a1’b1’返回原體系1.將直線MC

變換為新投影面的平行線5.依對邊平行作

出另兩條邊

空間分析：中途返回請按“ESC”鍵第64頁，共85頁，2023年，2月20日，星期二例7過線段AB

作一平面垂直于平面DEF平行解題步驟：5.求作c’4.求作bc(//X1軸)2.直線AB

隨之變換1.將△DEF

變換為新投影面的垂直面3.過a1’b1’上任一點作d1’e1’f1’的垂線得c1’空間分析中途返回請按“ESC”鍵第65頁，共85頁，2023年，2月20日，星期二例8求兩平行直線AB

和CD

之間的距離實長——在V/H

投影體系中直接解題：解題步驟：4.求作EF

的實長2.求直線CD

與所作垂面的交點F

3.連e’f’、ef即為所求距離的投影1.過一條直線AB

上任一點E

作另一條直線CD

的垂面中途返回請按“ESC”鍵第66頁，共85頁，2023年，2月20日，星期二例8求兩平行直線AB

和CD

之間的距離.⊿Z——應(yīng)用換面法在H/V1體系中解題：——應(yīng)用換面法在V1/H2體系中解題：解題步驟：3.求作EF

的實長2.求兩直線的公垂線EF

1.將兩已知平行直線變換為投影面平行線解題步驟：2.e2f2實長即為EF

的實長實長實長1.接上一步，將兩已知平行直線變換為投影面垂直線中途返回請按“ESC”鍵第67頁，共85頁，2023年，2月20日，星期二例8求兩平行直線AB

和CD

之間的距離實長——應(yīng)用換面法在V1/H2體系中解題：解題步驟：2.求作EF

的實長1.將兩已知平行直線構(gòu)成的平面經(jīng)兩次變換，變成投影面平行面中途返回請按“ESC”鍵第68頁，共85頁，2023年，2月20日，星期二例9求兩交叉直線AB

和CD

的距離，并定出它們的公垂線的位置解題步驟：空間分析——在V/H

投影體系中直接解題：直線AB,交CD

于點S

3.過垂足N

作直線EF

平行于面CDG

的垂線，垂足為N

2.過直線AB

上任一點M

作平1.過直線CD上任一點C

作直線CG

平行于AB

MN,交直線AB

于點T,ST

4.過點S

作直線平行于直線即為所求

中途返回請按“ESC”鍵第69頁，共85頁，2023年，2月20日，星期二例9求兩交叉直線AB

和CD

的距離，并定出它們的公垂線的位置解題步驟：3.將s2t2返回原體系ST

的投影s2t22.在投影面H2中作公垂線空間分析——

應(yīng)用換面法解題：1.將兩已知直線之一CD

變換為投影面垂直線,直線

AB隨之變換

中途返回請按“ESC”鍵第70頁，共85頁，2023年，2月20日，星期二例10平行四邊形ABCD

給定一平面，試求點S

至該平面的距離.解題步驟：3.過s1’作a1’b1’c1’d1’的垂線,s1’k1’即為所求2.點S

隨之變換

1.將平面ABCD

變換為新投影面的垂直面空間分析：距離中途返回請按“ESC”鍵第71頁，共85頁，2023年，2月20日，星期二例11求直線HG

與平面的夾角，平面由四邊形ABCD

給定垂直垂直空間分析中途返回請按“ESC”鍵第72頁，共85頁，2023年，2月20日，星期二例12求直線AB

與平面DEF

之間的夾角θ空間分析中途返回請按“ESC”鍵第73頁，共85頁，2023年，2月20日，星期二例13