理論力學(xué)空間力系

理論力學(xué)空間力系第1頁，共59頁，2023年，2月20日，星期一工程實際中的空間力系問題第2頁，共59頁，2023年，2月20日，星期一工程實際中的空間力系問題第3頁，共59頁，2023年，2月20日，星期一實際工程中，絕大多數(shù)結(jié)構(gòu)所受力系的作用線往往不在同一平面內(nèi)，構(gòu)成了空間力系，空間力系是最一般的力系。第4頁，共59頁，2023年，2月20日，星期一3.1空間力的投影及其分解若已知力與正交坐標系Oxyz三軸間夾角,則用直接投影法(一次投影法)yxzFFxFyFzikjO第5頁，共59頁，2023年，2月20日，星期一當力與坐標軸Ox、Oy間的夾角不易確定時,可把力F先投影到坐標平面Oxy上,得到力矢量Fxy,然后再把這個力投影到x、y軸上,這叫間接投影法(二次投影法)。yxzFFxFyFzgO第6頁，共59頁，2023年，2月20日，星期一空間力的分解yxzFFxFyFzikjO第7頁，共59頁，2023年，2月20日，星期一3.2力對點的矩與力對軸的矩3.2.1力矩矢rxyzOFA(x,y,z)B空間力對點的矩要考慮三個方面:力矩的大小、指向和力矩作用面方位。這三個因素可用一個矢量MO(F)表示。其模表示力矩的大小(Fh);指向表示力矩在其作用面內(nèi)的轉(zhuǎn)向(符合右手螺旋法則);方位表示力矩作用面的法線。MO(F)h以r表示力作用點A的矢徑第8頁，共59頁，2023年，2月20日，星期一3.2.1力對點的矩以矢量表示－力矩矢這樣,在圖示坐標系中有xyzOFMO(F)rA(x,y,z)hBjik第9頁，共59頁，2023年，2月20日，星期一3.2.1力對點的矩以矢量表示－力矩矢力矩矢MO(F)在三個坐標軸上的投影為xyzOFMO(F)rA(x,y,z)hBjik第10頁，共59頁，2023年，2月20日，星期一FzFxFy3.2.2力對軸的矩第11頁，共59頁，2023年，2月20日，星期一3.2.2力對軸的矩力對軸的矩是力使剛體繞該軸轉(zhuǎn)動效應(yīng)的度量，是一個代數(shù)量，其絕對值等于力在垂直于該軸平面上的投影對于軸與平面交點的矩。即:第12頁，共59頁，2023年，2月20日，星期一符號規(guī)定：從z軸正向往負向看，若力使剛體逆時針轉(zhuǎn)動取正號，反之取負。也可按右手螺旋法則確定其正負號。第13頁，共59頁，2023年，2月20日，星期一由定義可知：當力的作用線與軸平行或相交(共面)時，力對軸的矩等于零。當力沿作用線移動時，它對于軸的矩不變。第14頁，共59頁，2023年，2月20日，星期一3.2.3力對軸之矩的解析表達式xyzOFFxFyFzA(x,y,z)BFxFyFxyabxy設(shè)力F沿三個坐標軸的分量分別為Fx,Fy,Fz,力作用點A的坐標為(x,y,z),則同理可得其它兩式。故有第15頁，共59頁，2023年，2月20日，星期一比較力對點的矩和力對軸的矩的解析表達式得即:力對點的矩矢在通過該點的某軸上的投影，等于力對該軸的矩。3.2.4力對點的矩與力對軸的矩的關(guān)系第16頁，共59頁，2023年，2月20日，星期一例3-1求力F在三軸上的投影和對三軸的矩。解:yxzFjqbcaFxyFxFyFz第17頁，共59頁，2023年，2月20日，星期一3.3空間力偶系FF'ABdOrBrArBA3.3.1力偶矩矢力偶對剛體的作用效應(yīng),可用力偶矩矢來度量,即用力偶中兩個力對空間某點之矩的矢量和來度量。表明力偶對空間任意點的矩與矩心位置無關(guān),以記號M(F,F')或M表示力偶矩矢,則第18頁，共59頁，2023年，2月20日，星期一力偶矩矢為一自由矢量。FF'3.3空間力偶系MFABdOrBrArBAdBACF'第19頁，共59頁，2023年，2月20日，星期一3.3空間力偶系3.3.2空間力偶等效定理FF'FF'空間力偶的等效條件是:兩個力偶的力偶矩矢相等。力偶由一個平面平行移至剛體另一個平行平面不影響它對剛體的作用效果。第20頁，共59頁，2023年，2月20日，星期一力偶作用面不在同一平面內(nèi)的力偶系稱為空間力偶系。空間力偶系合成的最后結(jié)果為一個合力偶,合力偶矩矢等于各力偶矩矢的矢量和。即:3.3空間力偶系3.3.3空間力偶系的合成證明:略第21頁，共59頁，2023年，2月20日，星期一根據(jù)合矢量投影定理:于是合力偶矩的大小和方向可由下式確定:3.3空間力偶系第22頁，共59頁，2023年，2月20日，星期一空間力偶系可以合成一合力偶,所以空間力偶系平衡的必要與充分條件是:合力偶矩矢等于零。即:因為:所以:上式即為空間力偶系的平衡方程。3.3空間力偶系3.3.4空間力偶系的平衡第23頁，共59頁，2023年，2月20日，星期一空間力系向點O簡化可得到一空間匯交力系和一空間力偶系,如圖。FnF1F2yzxOF'1F'nF'2MnM2M1zyxOMOF'ROxyz＝＝3.4.1空間任意力系的簡化3.4空間任意力系的簡化第24頁，共59頁，2023年，2月20日，星期一空間匯交力系可合成一合力F'R:力系中各力的矢量和稱為空間力系的主矢。主矢與簡化中心的位置無關(guān)。3.4.1空間任意力系的簡化MOF'ROxyz空間力偶系可合成為一合力偶,其矩矢MO:力系中各力對簡化中心之矩矢的矢量和稱為力系對簡化中心的主矩。主矩與簡化中心的位置有關(guān)。第25頁，共59頁，2023年，2月20日，星期一主矢的大小和方向為:或第26頁，共59頁，2023年，2月20日，星期一根據(jù)合力矩定理,得到主矩在三個方向的投影為:于是主矩的大小和方向可由下式確定:3.4空間任意力系的簡化第27頁，共59頁，2023年，2月20日，星期一3.4.2空間任意力系的簡化結(jié)果分析空間任意力系向任一點簡化的結(jié)果可能出現(xiàn)四種情況:(1)F'R＝0,MO≠0;(2)F'R

≠

0,MO

＝

0;(3)F'R≠

0,MO≠0;(4)F'R＝0,MO＝

0第28頁，共59頁，2023年，2月20日，星期一

1)空間任意力系簡化為一合力偶的情形F'R＝0,MO≠0簡化結(jié)果為一個與原力系等效的合力偶,其合力偶矩矢等于對簡化中心的主矩。此時力偶矩矢與簡化中心位置無關(guān)。

F'R

≠

0,MO＝

0這時得一與原力系等效的合力,合力的作用線過簡化中心O,其大小和方向等于原力系的主矢。3.4.2空間任意力系的簡化結(jié)果分析2)空間任意力系簡化為一合力的情形第29頁，共59頁，2023年，2月20日，星期一

這時亦得一與原力系等效的合力,其大小和方向等于原力系的主矢。3.4.2空間任意力系的簡化結(jié)果分析

F'R

≠

0,MO≠0,且F'R⊥MOMOF'ROF'RF"RFROO'dFROO'＝＝第30頁，共59頁，2023年，2月20日，星期一F'R≠

0,MO≠0,且F'R∥MO＝MOF'ROOF'R3)空間任意力系簡化為力螺旋的情形3.4.2空間任意力系的簡化結(jié)果分析此時無法進一步合成,這就是簡化的最后結(jié)果。這種力與力偶作用面垂直的情形稱為力螺旋。F'R與MO同方向時,稱為右手螺旋;F'R與MO反向時,稱為左手螺旋。圖示為一右手螺旋。第31頁，共59頁，2023年，2月20日，星期一第32頁，共59頁，2023年，2月20日，星期一F'R

≠

0,MO≠0,同時兩者既不平行,又不垂直,此時可將MO分解為兩個分力偶M"O和M'O,它們分別垂直于F'R和平行于F'R,則M"O和F'R可用作用于點O'的力FR來代替,最終得一通過點O'的力螺旋。MOF'RqOM"OF'ROM'OFROO'M'O＝＝3.4.2空間任意力系的簡化結(jié)果分析第33頁，共59頁，2023年，2月20日，星期一F'R＝0,MO＝

0==>空間任意力系平衡的必要與充分條件為:力系中各力在三個坐標軸上投影的代數(shù)和等于零,且各力對三個軸之矩的代數(shù)和也等于零。上式即為空間任意力系的平衡方程。3.5空間任意力系的平衡第34頁，共59頁，2023年，2月20日，星期一不失一般性，假定取z軸與各力平行，如右圖所示，則空間任意力系的6個平衡方程中有3個恒為零，即因而空間平行力系的平衡方程只有下面的3個xyzOF1F2F3Fn分析:空間平行力系的平衡方程第35頁，共59頁，2023年，2月20日，星期一空間約束類型第36頁，共59頁，2023年，2月20日，星期一第37頁，共59頁，2023年，2月20日，星期一例3-2

扒桿如圖所示，立柱AB用BG和BH兩根纜風(fēng)繩拉住，并在點A用球鉸約束，G、A、H在地面上，臂桿的D端懸吊的重物重P=20kN。求兩繩的拉力和支座A的約束力。第38頁，共59頁，2023年，2月20日，星期一解：以整個系統(tǒng)為研究對象，受力如圖，建立如圖所示的坐標系。列平衡方程如下：第39頁，共59頁，2023年，2月20日，星期一聯(lián)立求解得：第40頁，共59頁，2023年，2月20日，星期一例題3-3

如圖所示三輪小車，自重P=8kN，作用于點E，載荷F1=10kN，作用于點C。求小車靜止時地面對車輪的約束力。第41頁，共59頁，2023年，2月20日，星期一以小車為研究對象，主動力和約束力組成空間平行力系，受力分析如圖。列平衡方程解：第42頁，共59頁，2023年，2月20日，星期一解方程得第43頁，共59頁，2023年，2月20日，星期一例3-4

一車床的主軸如圖所示,齒輪C半徑為100mm,卡盤D夾住一半徑為50mm的工件,A為向心推力軸承,B為向心軸承。切削時工件等速轉(zhuǎn)動,車刀給工件的力Fx＝466N、Fy＝352N、Fz＝1400N,齒輪C在嚙合處受力為Q,作用在齒輪C的最低點，壓力角a＝20°。不考慮主軸及其附件的質(zhì)量,試求Q的大小及A、B處的約束力。FxFzFy第44頁，共59頁，2023年，2月20日，星期一AFAxFAyFAzFBzFBxFxFzFyByxz50200100解:取主軸及工件為研究對象。向心軸承B的約束反力為FBx和FBz,止推軸承A處約束反力有FAx、FAy、FAz,其中FAy起止推作用。主軸共受九個力作用,是空間一般力系。Q第45頁，共59頁，2023年，2月20日，星期一AFAxFAyFAzFBzFBxFxFzFyByxz50200100Q第46頁，共59頁，2023年，2月20日，星期一AFAxFAyFAzFBzFBxFxFzFyByxz50200100Q第47頁，共59頁，2023年，2月20日，星期一3.4.1平行力系中心平行力系中心是平行力系合力通過的一個點。平行力系合力作用點的位置僅與各平行力的大小和作用點的位置有關(guān),而與各平行力的方向無關(guān)。稱該點為此平行力系的中心。3.4重心F1FRF2yzxOACBr1rCr2第48頁，共59頁，2023年，2月20日，星期一由合力矩定理：如果令F0是力作用線方向的單位矢量則將上式代入（1）式得（1）F1FRF2yzxOACBr1rCr2第49頁，共59頁，2023年，2月20日，星期一通常采用投影式求出直角坐標分量去掉F0這個單位矢量F1FRF2yzxOACBr1rCr2第50頁，共59頁，2023年，2月20日，星期一重力是地球?qū)ξ矬w的吸引力,如果將物體看作由無數(shù)的質(zhì)點組成,則重力便構(gòu)成空間匯交力系。3.4.2重心由于物體的尺寸比地球小得多,因此可近似地認為重力是個平行力系,這力系的合力就是物體的重量。不論物體如何放置,其重力的合力的作用線相對于物體總是通過一個確定的點,這個點稱為物體的重心。第51頁，共59頁，2023年，2月20日，星期一對于均質(zhì)物體、均質(zhì)板或均質(zhì)桿,其重心坐標分別為:3.4.2重心均質(zhì)物體的重心就是幾何中心,即形心。均質(zhì)物體均質(zhì)板均質(zhì)桿第52頁，共59頁，2023年，2月20日，星期一3.4.3