貴州省貴陽市清鎮(zhèn)北大培文學(xué)校2022-2023學(xué)年高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末聯(lián)考模擬試題含解析

2022-2023高二下數(shù)學(xué)模擬試卷考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．如圖，正方體，則下列四個(gè)命題：①點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，直線與直線所成角的大小不變②點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，直線與平面所成角的大小不變③點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，二面角的大小不變④點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，三棱錐的體積不變其中的真命題是（）A．①③ B．③④ C．①②④ D．①③④2．某校組織《最強(qiáng)大腦》賽，最終、兩隊(duì)講入決賽，兩隊(duì)各由3名選手組成，每局兩隊(duì)各派一名洗手，除第三局勝者得2分外，其余各局勝者均得1分，每局的負(fù)者得0分.假設(shè)每局比賽隊(duì)選手獲勝的概率均為，且各局比賽結(jié)果相互獨(dú)立，比賽結(jié)束時(shí)隊(duì)的得分高于隊(duì)的得分的概率為（）A． B． C． D．3．已知函數(shù)是奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則的解集時(shí)（）A． B．C． D．4．已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且對任意的恒成立，則下列不等式均成立的是（）A． B．C． D．5．下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在上單調(diào)遞增的是（）A． B．C． D．6．設(shè)，則“”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件7．現(xiàn)有張不同的卡片，其中紅色、黃色、藍(lán)色、綠色卡片各張.從中任取張，要求這張卡片不能是同一種顏色，且紅色卡片至多張.不同取法的種數(shù)為A． B． C． D．8．袋中有6個(gè)不同紅球、4個(gè)不同白球，從袋中任取3個(gè)球，則至少有兩個(gè)白球的概率是（）．A． B． C． D．9．在研究吸煙與患肺癌的關(guān)系中,通過收集數(shù)據(jù)、整理分析數(shù)據(jù)得“吸煙與患肺癌有關(guān)”的結(jié)論,并且有99%以上的把握認(rèn)為這個(gè)結(jié)論是成立的,則下列說法中正確的是.A．100個(gè)吸煙者中至少有99人患有肺癌B．1個(gè)人吸煙,那么這人有99%的概率患有肺癌C．在100個(gè)吸煙者中一定有患肺癌的人D．在100個(gè)吸煙者中可能一個(gè)患肺癌的人也沒有10．已知i是虛數(shù)單位，若z=1+i1-2i，則z的共軛復(fù)數(shù)A．-13-i B．-111．在15個(gè)村莊中有7個(gè)村莊交通不方便，現(xiàn)從中任意選10個(gè)村莊，用表示這10個(gè)村莊中交通不方便的村莊數(shù)，下列概率等于的是（）A． B． C． D．12．下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)，又是在區(qū)間上單調(diào)遞減的函數(shù)為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知X的分布列如圖所示，則X-101P0.20.3a（1），（2），（3），其中正確的個(gè)數(shù)為________.14．__________.15．公元前3世紀(jì)，古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯在前人的基礎(chǔ)上寫了一部劃時(shí)代的著作《圓錐曲線論》，該書給出了當(dāng)時(shí)數(shù)學(xué)家們所研究的六大軌跡問題，其中之一便是“到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之比等于不為1的常數(shù)的軌跡是圓”，簡稱“阿氏圓”．用解析幾何方法解決“到兩個(gè)定點(diǎn)，的距離之比為的動(dòng)點(diǎn)軌跡方程是：”，則該“阿氏圓”的圓心坐標(biāo)是______，半徑是_____．16．已知橢圓，直線，則橢圓上點(diǎn)到這條直線的最短距離是______________．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）按照國家質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)：某種工業(yè)產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值落在內(nèi)，則為合格品，否則為不合格品．某企業(yè)有甲乙兩套設(shè)備生產(chǎn)這種產(chǎn)品，為了檢測這兩套設(shè)備的生產(chǎn)質(zhì)量情況，隨機(jī)從兩套設(shè)備生產(chǎn)的大量產(chǎn)品中各抽取了50件產(chǎn)品作為樣本對規(guī)定的質(zhì)量指標(biāo)值進(jìn)行檢測．表1是甲套設(shè)備的樣本頻數(shù)分布表，圖1是乙套設(shè)備的樣本頻率分布直方圖．表1：甲套設(shè)備的樣本頻數(shù)分布表（1）將頻率視為概率，若乙套設(shè)備生產(chǎn)了5000件產(chǎn)品，則其中合格品約有多少件？（2）填寫下面2×2列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有95%的把握認(rèn)為這種產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值與甲乙兩套設(shè)備的選擇有關(guān)：18．（12分）已知函數(shù).（1）求的最小值；（2）證明：對一切，都有成立.19．（12分）如圖，直三棱柱中，，，，為的中點(diǎn)，點(diǎn)為線段上的一點(diǎn).(1)若，求證:;(2)若，異面直線與所成的角為30°，求直線與平面所成角的正弦值.20．（12分）已知復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位，）.（1）若是實(shí)數(shù)，求的值；（2）若復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限，求的取值范圍.21．（12分）在中，內(nèi)角對邊的邊長分別是，已知，．（Ⅰ）若的面積等于，求；（Ⅱ）若，求的面積．22．（10分）某公園設(shè)有自行車租車點(diǎn)，租車的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)是每小時(shí)元(不足一小時(shí)的部分按一小時(shí)計(jì)算)．甲、乙兩人各租一輛自行車，若甲、乙不超過一小時(shí)還車的概率分別為，一小時(shí)以上且不超過兩小時(shí)還車的概率分別為，兩人租車時(shí)間都不會(huì)超過三小時(shí)．（1）求甲、乙兩人所付租車費(fèi)用相同的概率；（2）設(shè)甲、乙兩人所付的租車費(fèi)用之和為隨機(jī)變量，求的分布列與數(shù)學(xué)期望．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】

①由與平面的位置關(guān)系判斷直線與直線所成角的大小變化情況；②考慮與平面所成角的大小，然后判斷直線與平面所成角的大小是否不變；③根據(jù)以及二面角的定義判斷二面角的大小是否不變；④根據(jù)線面平行的性質(zhì)以及三棱錐的體積計(jì)算公式判斷三棱錐的體積是否不變.【詳解】①如下圖，連接，因?yàn)椋云矫?，所以，所以直線與直線所成角的大小不變；②如下圖，連接，記到平面的距離為，設(shè)正方體棱長為，所以，所以，又因?yàn)椋?，所以與平面所成角的正弦值為：，又因?yàn)椋?，所以所以與平面所成角的正弦值為：，顯然，所以直線與平面所成角的大小在變化；③因?yàn)?，所以四點(diǎn)共面，又在直線上，所以二面角的大小不變；④因?yàn)椋矫?，平面，所以平面，所以?dāng)在上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)到平面的距離不變，所以三棱錐的體積不變.所以真命題有：①③④.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查空間中點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系的判斷，難度一般.(1)已知直線平行平面，則該直線上任意一點(diǎn)到平面的距離都相等；(2)線面角的計(jì)算方法：<1>作出線段的射影，計(jì)算出射影長度，利用比值關(guān)系即可求解線面角的大??；<2>計(jì)算線段在平面外的一個(gè)端點(diǎn)到平面的距離，該距離比上線段長度即為線面角的正弦.2、C【解析】

先將隊(duì)得分高于隊(duì)得分的情況列舉出來，然后進(jìn)行概率計(jì)算.【詳解】比賽結(jié)束時(shí)隊(duì)的得分高于隊(duì)的得分可分為以下種情況：第一局：隊(duì)贏，第二局：隊(duì)贏，第三局：隊(duì)贏；第一局：隊(duì)贏，第二局：隊(duì)贏，第三局：隊(duì)贏；第一局：隊(duì)贏，第二局：隊(duì)贏，第三局：隊(duì)贏；則對應(yīng)概率為：，故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查獨(dú)立事件的概率計(jì)算，難度較易.求解相應(yīng)事件的概率，如果事件不符合特殊事件形式，可從“分類加法”的角度去看事件，然后再將結(jié)果相加.3、A【解析】

對的范圍分類討論，利用已知及函數(shù)是奇函數(shù)即可求得的表達(dá)式，解不等式即可．【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)是奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，所以當(dāng)，即：時(shí)，，當(dāng)，即：時(shí)，可化為：，解得：.當(dāng)，即：時(shí)，利用函數(shù)是奇函數(shù)，將化為：，解得：所以的解集是故選A【點(diǎn)睛】本題主要考查了函數(shù)的奇偶性應(yīng)用，還考查了分類思想及計(jì)算能力，屬于中檔題．4、A【解析】

構(gòu)造函數(shù)，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，從而求出結(jié)果.【詳解】令，則.，，是減函數(shù)，則有，，即，所以.選.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)與導(dǎo)數(shù)中利用函數(shù)單調(diào)性比較大小.其中構(gòu)造函數(shù)是解題的難點(diǎn).一般可通過題設(shè)已知條件結(jié)合選項(xiàng)進(jìn)行構(gòu)造.對考生綜合能力要求較高.5、B【解析】

根據(jù)基本初等函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性，逐一分析四個(gè)函數(shù)在上的單調(diào)性和奇偶性，逐一比照后可得答案.【詳解】對于A:是奇函數(shù)，對于B:為偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞增；對于C:為偶函數(shù)，但在上單調(diào)遞減；對于D:是減函數(shù)；所以本題答案為B.【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性，屬于中檔題.判斷函數(shù)的奇偶性首先要看函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對稱，如果不對稱，既不是奇函數(shù)又不是偶函數(shù)，如果對稱常見方法有：（1）直接法，（正為偶函數(shù)，負(fù)為減函數(shù)）；（2）和差法，（和為零奇函數(shù)，差為零偶函數(shù)）；（3）作商法，（1為偶函數(shù)，-1為奇函數(shù)）.6、B【解析】

分別將兩個(gè)不等式解出來即可【詳解】由得由得所以“”是“”的必要不充分條件故選：B【點(diǎn)睛】設(shè)命題p對應(yīng)的集合為A，命題q對應(yīng)的集合為B，若AB,則p是q的充分不必要條件，若AB，則p是q的必要不充分條件，若A=B，則p是q的充要條件.7、C【解析】試題分析：3張卡片不能是同一種顏色，有兩種情形：三種顏色或者兩種顏色，如果是三種顏色，取法數(shù)為，如果是兩種顏色，取法數(shù)為，所以取法總數(shù)為，故選C．考點(diǎn)：分類加法原理與分步乘法原理．【名師點(diǎn)晴】（1）對于一些比較復(fù)雜的既要運(yùn)用分類加法計(jì)數(shù)原理又要運(yùn)用分步乘法計(jì)數(shù)原理的問題，我們可以恰當(dāng)?shù)禺嫵鍪疽鈭D或列出表格，使問題更加直觀、清晰．（2）當(dāng)兩個(gè)原理混合使用時(shí)，一般是先分類，在每類方法里再分步．8、D【解析】

事件“至少有兩個(gè)白球”包含“兩個(gè)白球一個(gè)紅球”和“三個(gè)都是白球”，然后利用古典概型的概率的計(jì)算公式可求出所求事件的概率．【詳解】事件“至少有兩個(gè)白球”包含“兩個(gè)白球一個(gè)紅球”和“三個(gè)都是白球”，由古典概型的概率公式知，事件“兩個(gè)白球一個(gè)紅球”的概率為，事件“三個(gè)都是白球”的概率為，因此，事件“至少有兩個(gè)球是白球”的概率為，故選D．【點(diǎn)睛】本題考查古典概型的概率公式以及概率的加法公式，解題時(shí)要弄清楚事件所包含的基本情況，結(jié)合概率的加法公式進(jìn)行計(jì)算，考查分類討論數(shù)學(xué)思想，屬于中等題．9、D【解析】獨(dú)立性檢驗(yàn)是判斷兩個(gè)分類變量是否有關(guān)；吸煙與患肺癌是兩個(gè)分類變量，通過收集數(shù)據(jù)、整理分析數(shù)據(jù)得“吸煙與患肺癌有關(guān)”的結(jié)論，并且有以上的把握認(rèn)為這個(gè)結(jié)論是成立的．指的是得出“吸煙與患肺癌有關(guān)”這個(gè)結(jié)論正確的概率超過99％，即作出“吸煙與患肺癌有關(guān)”這個(gè)結(jié)論犯錯(cuò)的概率不超過1％；不能作為判斷吸煙人群中有多少人患肺癌，以及1個(gè)人吸煙，這個(gè)人患有肺癌的概率的依據(jù)．故選D10、C【解析】

通過分子分母乘以分母共軛復(fù)數(shù)即可化簡，從而得到答案.【詳解】根據(jù)題意z=1+i1+2i【點(diǎn)睛】本題主要考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，共軛復(fù)數(shù)的概念，難度較小.11、D【解析】

利用古典概型、組合的性質(zhì)直接求解.【詳解】在15個(gè)村莊中有7個(gè)村莊交通不方便，現(xiàn)從中任意選10個(gè)村莊，用表示這10個(gè)村莊中交通不方便的村莊數(shù)，則，故A錯(cuò)誤；，故B錯(cuò)誤；，故C錯(cuò)誤；，故D正確；故選：D【點(diǎn)睛】本題考查了古典概型的概率計(jì)算公式，組合的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.12、A【解析】本題考察函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性由函數(shù)的奇偶性定義易得，，是偶函數(shù)，是奇函數(shù)是周期為的周期函數(shù)，單調(diào)區(qū)間為時(shí)，變形為，由于2>1,所以在區(qū)間上單調(diào)遞增時(shí)，變形為，可看成的復(fù)合，易知為增函數(shù)，為減函數(shù)，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減的函數(shù)故選擇A二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、1【解析】

由分布列先求出，再利用公式計(jì)算和即可.【詳解】解：由題意知：，即；綜上，故（1）正確，（2）（3）錯(cuò)誤，正確的個(gè)數(shù)是1.故答案為：1.【點(diǎn)睛】本題考查了離散型隨機(jī)變量的期望和方差，屬于基礎(chǔ)題.14、1【解析】

由即可求得【詳解】【點(diǎn)睛】利用和或差的極限等于極限的和或差，此題是一道基礎(chǔ)題。15、2【解析】

將圓化為標(biāo)準(zhǔn)方程即可求得結(jié)果.【詳解】由得：圓心坐標(biāo)為：，半徑為：本題正確結(jié)果：；【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)圓的方程求解圓心和半徑的問題，屬于基礎(chǔ)題.16、【解析】

可將橢圓的標(biāo)準(zhǔn)式轉(zhuǎn)化為參數(shù)方程，再由點(diǎn)到直線距離公式求解即可【詳解】由對應(yīng)參數(shù)方程為：，由點(diǎn)到直線距離公式得，當(dāng)時(shí)，故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查橢圓參數(shù)方程的應(yīng)用，點(diǎn)到直線的距離公式，屬于中檔題三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）800件；（2）見解析；【解析】

（1）結(jié)合頻數(shù)分布表，求出滿足條件的概率,再乘以5000即可；（2）求出2×2列聯(lián)表，計(jì)算K2值，判斷即可【詳解】（1）由圖知，乙套設(shè)備生產(chǎn)的不合格品率約為；∴乙套設(shè)備生產(chǎn)的5000件產(chǎn)品中不合格品約為（件）；（2）由表1和圖得到列聯(lián)表：甲套設(shè)備乙套設(shè)備合計(jì)合格品484290不合格品2810合計(jì)5050100將列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)代入公式計(jì)算得；∴有95%的把握認(rèn)為產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值與甲、乙兩套設(shè)備的選擇有關(guān)；【點(diǎn)睛】本題考查了頻率分布直方圖與獨(dú)立性檢驗(yàn)的應(yīng)用問題，準(zhǔn)確計(jì)算是關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題．18、(I).（Ⅱ）見解析.【解析】

（1）先求出函數(shù)的定義域，然后求導(dǎo)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)判斷函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)而可求出最小值．（2）對一切，都有成立，即，結(jié)合（1）中結(jié)論可知，構(gòu)造新函數(shù)，分析其最大值，可得答案．【詳解】（1）的定義域?yàn)?，的?dǎo)數(shù)．令，解得；令，解得．從而在單調(diào)遞減，在，單調(diào)遞增．所以，當(dāng)時(shí)，取得最小值．（2）若則，由（1）得：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取最小值；設(shè)，則，時(shí)，，單調(diào)遞增，時(shí)，，單調(diào)遞減，故當(dāng)時(shí)，取最大值故對一切，都有成立．【點(diǎn)睛】本題考查的知識點(diǎn)是函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的條件，導(dǎo)數(shù)在最值問題中的應(yīng)用，屬于難題．19、(1)證明見解析(2)【解析】

（1）取中點(diǎn)，連接，，易知要證，先證平面；（2）如圖以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，，為軸?軸?軸，建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量及直線的方向向量，即可得到結(jié)果.【詳解】(1)證明:取中點(diǎn)，連接，，有，因?yàn)?，所以，又因?yàn)槿庵鶠橹比庵云矫嫫矫?，又因?yàn)槠矫嫫矫妫云矫?，又因?yàn)槠矫?，所以又因?yàn)?，，平面，平面，所以平面，又因?yàn)槠矫?，所以，因?yàn)?，所?(2)設(shè)，如圖以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，，為軸?軸?軸，建立空間直角坐標(biāo)系，由(1)可知，，所以，故，，，，，對平面，，，所以其法向量為.又，所以直線與平面成角的正弦值.【點(diǎn)睛】本題主要考查線面垂直的證明、中位線定理以及利用空間向量求線面角的正弦值，考查了學(xué)生空間想象能力和計(jì)算能力，屬于中檔題．20、(1)(2)【解析】分析：（1）由復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則可得.據(jù)此得到關(guān)于實(shí)數(shù)m的方程組，解得.（2）結(jié)合(1)中的結(jié)果得到關(guān)于m的不等式組，求解不等式組可知.詳解：（1）.因?yàn)槭菍?shí)數(shù)，所以，解得.（2）因?yàn)閺?fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限，所以，解得.點(diǎn)睛：本題主要考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則，已知復(fù)數(shù)的