人教課標(biāo)實(shí)驗(yàn)A版-選修4-1-第二講直線和圓的位置關(guān)系-五與圓有關(guān)的比例線段名師獲獎(jiǎng)

2．5和圓有關(guān)的比例線段

例1已知：如圖7-193，⊙O1和⊙O2不是同心圓，⊙O和這兩個(gè)圓分別相交于點(diǎn)A，B及C，D．直線AB，CD相交于點(diǎn)T．從T分別向⊙O1，⊙O2上引切線TP，TQ，P和Q為切點(diǎn)．求證：TP=TQ．證明由切割線定理及其推論得TP2=TA·TB=TC·TD=TQ2，所以

TP=TQ．例2已知：如圖7-194，△ABC內(nèi)接于圓，PA切圓于A與BC的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)P，AD平分∠BAC．若PC=a，CD=b，DB=c．求證：方程ax2+2bx-b+c=0有兩個(gè)相等的實(shí)根．分析方程ax2+2bx-b+c=0有兩個(gè)相等實(shí)根的充要條件是b2-a(-b+c)=0即b2+ab-ac=0．因此從已知條件推導(dǎo)出以上等式，問題就解決了．從圖看到a，b，c是圓的割線PCB上的線段的長(zhǎng)．從而推想到本問題可能與切割線定理有關(guān)．這就要考慮切線PA．由已知條件及弦切角定理有∠PDA=∠BAD+∠ABD=∠CAD+∠PAC=∠PAD，從而

PA=PD=a+b．由切割線定理得PA2=PC·PB，即

(a+b)2=a(a+b+c)．化簡(jiǎn)得

b2+ab-ac=0．從而所給方程有兩個(gè)相等的實(shí)根．證明讀者自己完成．例3已知：如圖7-195，在△ABC中，AD是∠A的平分線．求證：AD2＝AB·AC-BD·DC．分析一仿第七章§1．5例3的想法，先通過相似三角形考慮等號(hào)右端的AB·AC等于什么，再考慮BD·DC等于什么．然后這樣得到的兩個(gè)等式左右各相減，看是否AB·AC-BD·DC等于AD2．在圖7-195（a）中沒有相似三角形可以利用，因此需要加輔助線．如圖7-195（a），以C為端點(diǎn)作射線CE，使∠ACE=∠ADB，并且CE與AD的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)E．顯然△ADB∽△ACE．由此得AB·AC=AD·AE．而AD，BD，DC各是△ADB和△CDE的邊，并且這兩個(gè)三角形相似．由此得BD·DC=AD·DE．把得到的兩個(gè)等式左右各相減，就得到要證明的等式．

分析二如果利用△ABC的外接圓便得到本例的更簡(jiǎn)單的證明．證明步驟與由分析一得到的證明步驟大體相同．證明如圖7-195（b），作出△ABC的外接圓，設(shè)AD的延長(zhǎng)線交外接圓于點(diǎn)E，連結(jié)線段CE，則由于∠BAD=∠EAC，∠ABD=∠AEC，所以△ABD∽△AEC，由此得AB·AC=AD·AE，即

AB·AC=AD(AD+DE)，或

AB·AC=AD2+AD·DE．由相交弦定理有AD·DE=BD·DC，所以有AD2=AB·AC-BD·DC．點(diǎn)評(píng)利用本例及幾何一第五章§2例1可以解決以下問題：已知三角形三邊的長(zhǎng)，求一角的平分線的長(zhǎng)．例如△ABC的BC=10，AB=9，AC=6，求∠A的平分線AD的長(zhǎng)．由幾何一第五章§2例1可知BD∶DC=AB∶AC=9∶6=3∶2，而BC=10，從而BD=6，DC=4．由本例可知AD2＝AB·AC-BD·DC=9×6-6×4=30．例4已知：如圖7-196，圓的弦AB，CD，EF兩兩相交于點(diǎn)M，N，P，并且AM=DN=FP，CM=EN=BP．求證：△MNP是等邊三角形．分析由于在圓內(nèi)出現(xiàn)了三組相交弦，這就自然考慮到用相交弦定理來證明這個(gè)問題．為了方便，設(shè)AM=DN=FP=a，CM=EN=BP=b，M