第七章 隨機(jī)模擬

第七章隨機(jī)模擬第1頁(yè)，共16頁(yè)，2023年，2月20日，星期三模擬法分類

一、運(yùn)籌對(duì)策法（主要用于軍事對(duì)策和企業(yè)管理對(duì)策。如現(xiàn)代化戰(zhàn)爭(zhēng)的軍事演習(xí)、新式武器的試驗(yàn)等。最早于40年代末美國(guó)紐曼等人首先用運(yùn)籌模擬法解決了核屏蔽實(shí)驗(yàn)問題。）第2頁(yè)，共16頁(yè)，2023年，2月20日，星期三三、系統(tǒng)模擬法（是用數(shù)字對(duì)含有隨機(jī)變量的系統(tǒng)進(jìn)行模擬，可看作是蒙特卡洛法的應(yīng)用。一般說來，蒙特卡洛法用于靜態(tài)計(jì)算，而系統(tǒng)模擬法用于動(dòng)態(tài)模型計(jì)算。我們主要討論此法。）

我們?cè)谂抨?duì)論中討論了M/M/C、M/G/1等系統(tǒng)，并用解析方法得出了精確解。但對(duì)于到達(dá)與服務(wù)均為任意分布的排隊(duì)系統(tǒng)的求解就不可能用那一套公式和方法。第3頁(yè)，共16頁(yè)，2023年，2月20日，星期三例1：設(shè)某商店顧客到達(dá)的時(shí)間間隔均勻分布在1到10分鐘之間，而每一顧客所需要的服務(wù)時(shí)間均勻分布在1到6分鐘之間。求顧客在商店所花費(fèi)的平均時(shí)間和售貨員空閑時(shí)間占全部工作時(shí)間的百分比。分析：到達(dá)與服務(wù)皆為均勻分布，不能利用M/M/C或M/G/1的公式。但由于問題的特性：第4頁(yè)，共16頁(yè)，2023年，2月20日，星期三可用人工方法模擬系統(tǒng)當(dāng)時(shí)的真實(shí)情況從而求解。（用標(biāo)有1-10的撲克牌及骰子分別得出用于模擬20名顧客到達(dá)間隔與服務(wù)時(shí)間的一串?dāng)?shù)稱為隨機(jī)數(shù)，從而推知相關(guān)結(jié)果。具體怎樣做?）經(jīng)考察開門后的20名顧客的被服務(wù)情況可知，20名顧客在系統(tǒng)中的全部時(shí)間是68分鐘，售貨員空閑時(shí)間是55分鐘，而售貨員從8點(diǎn)至9點(diǎn)57分在班上共117分鐘。于是可得：WS=68/20=3.4(分鐘）P0=55/117=0.47（空閑率過大，可加以調(diào)整）第5頁(yè)，共16頁(yè)，2023年，2月20日，星期三

由此例我們初步了解了系統(tǒng)模擬的方法。其中的重要步驟是得到一串關(guān)于系統(tǒng)中隨機(jī)規(guī)律的隨機(jī)數(shù)，用以模擬系統(tǒng)的真實(shí)情況（故模擬也稱仿真），從而求解。而此例中均勻分布的隨機(jī)數(shù)是采用人工方法得到的，即麻煩又不可靠，且局限性很大。所以我們還要尋求產(chǎn)生任意分布隨機(jī)數(shù)的一般方法。第6頁(yè)，共16頁(yè)，2023年，2月20日，星期三第二節(jié)隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生第7頁(yè)，共16頁(yè)，2023年，2月20日，星期三2.產(chǎn)生方法(1)物理方法：一是放射性物質(zhì)隨機(jī)蛻變；二是電子管回路的熱噪聲。（如可將熱噪聲源裝于計(jì)算機(jī)外部，按其噪聲電壓的大小表示不同的隨機(jī)數(shù)。此法產(chǎn)生的隨機(jī)性最好，但產(chǎn)生過程復(fù)雜。）(2)查隨機(jī)數(shù)表----”RandTable”（1955年由美國(guó)蘭德公司編制，有隨機(jī)數(shù)100萬個(gè)。）隨機(jī)數(shù)表中的數(shù)字具有均勻的隨機(jī)性，沒有周期性。使用時(shí)，可根據(jù)需要任取一段（橫或豎）。如需20個(gè)，便可從中?。槾危?0個(gè)，需要幾位取幾位，隨機(jī)數(shù)表無所謂位數(shù)，不能四舍五入。第8頁(yè)，共16頁(yè)，2023年，2月20日，星期三(3)由遞推公式（如同余數(shù)公式）在計(jì)算機(jī)內(nèi)產(chǎn)生偽隨機(jī)數(shù)。由于第i+1個(gè)隨機(jī)數(shù)是由第i個(gè)按一定公式推算出來的，故并非真正的隨機(jī)數(shù)。但滿足：a）有較好的隨機(jī)、均勻性。b）周期長(zhǎng)、重復(fù)性差。c）算法過程不退化（即不能反復(fù)出現(xiàn)某一常數(shù)。）d）算法可再現(xiàn)，速度快。故這是目前最常用的方法。第9頁(yè)，共16頁(yè)，2023年，2月20日，星期三

二、任意概率分布的隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生以上介紹了R的隨機(jī)數(shù)r1，r2……的產(chǎn)生方法，那么任意分布X的隨機(jī)數(shù)如何產(chǎn)生？我們說，X的隨機(jī)數(shù)x1，x2……可以利用r1，r2……得到。那么X與R間必有一定關(guān)系。這種關(guān)系又是什么？

定理：設(shè)R是服從[0，1]區(qū)間上均勻分布的隨機(jī)變量，X的分布函數(shù)為FX(x)，則X=FX-1(R)。（X=FX-1(R)即FX(X)=R。即任意分布的隨機(jī)變量X被它自己的分布函數(shù)作用后所得的隨機(jī)變量恰為R。）第10頁(yè)，共16頁(yè)，2023年，2月20日，星期三第11頁(yè)，共16頁(yè)，2023年，2月20日，星期三此定理說明：因?yàn)閤軸上的點(diǎn)經(jīng)FX(x)映射到y(tǒng)軸的[0，1]上便是的R取值（如圖）。反之，y軸的[0，1]上R的點(diǎn)經(jīng)FX-1映射到x軸便是X的取值。所以若知R的隨機(jī)數(shù)r1，r2……便可得X的隨機(jī)數(shù)x1，x2……其中xi=FX-1(ri)。注：若不加以說明則隨機(jī)數(shù)即指[0，1]上均勻分布的隨機(jī)數(shù)。第12頁(yè)，共16頁(yè)，2023年，2月20日，星期三例2：利用[0，1]區(qū)間均勻分布的隨機(jī)數(shù)r1，r2……表示服從負(fù)指數(shù)分布的隨機(jī)數(shù)。第13頁(yè)，共16頁(yè)，2023年，2月20日，星期三例3：已知X的概

率分布如右表，

試根據(jù)[0，1]區(qū)間

上均勻分布R的隨

機(jī)數(shù)列36，55，

70，38，36，98，

50，95，92，67。

產(chǎn)生X的隨機(jī)數(shù)列。XP(x)FX(x)對(duì)應(yīng)的隨機(jī)數(shù)

0123450.230.300.300.100.050.020.230.530.830.930.981.0000—2324—5354—8384—9394—9899—100第14頁(yè)，共16頁(yè)，2023年，2月20日，星期三分析：所給概率分布如圖，而由R轉(zhuǎn)到X需用分布函數(shù)FX（如圖）。用數(shù)表表達(dá)即累積概率。第15頁(yè)，共16頁(yè)，2023年，2月20日，星期三解：先求出X的累積概率

即FX(x)如右表，然后由

X=FX-1(R)得X的隨機(jī)數(shù)。

（注：當(dāng)隨機(jī)數(shù)落在交界

點(diǎn)上，如98，規(guī)定屬于前

一個(gè)范